30.2 三角形的内切圆&微专题14 证明切线的常用方法-【探究在线】2026-2027学年九年级上册数学高效课堂导学案（人教版·新教材）

©30.2三角形的内切圆 ①基础在线> “知识要点分类练 5.(中考·攀枝花)如图，⊙O是△ABC的内切 圆，与AB,BC,CA分别相切于点D,E,F, 知识点三角形的内切圆 ∠DOE=120°，∠E0F=150°. 1.三角形的内心是 (1)求△ABC的三个内角的大小； A.三条中线的交点 (2)设⊙O的直径为d,证明：d=AB+AC-BC. B.三条高的交点 C.三边的垂直平分线的交点 D.三条角平分线的交点 2.(中考·宁夏)如图，⊙O是△ABC的内切圆， 若∠A=54°，则∠BOC= 3.如图，已知△ABC,∠B=40°. (1)在图中，用尺规作出△ABC的内切圆⊙O, 并标出⊙O与边AB,BC,AC的切点D,E,F; (保留作图痕迹，不写作法) (2)连接EF,DF,求∠EFD的度数. ③拓展在线》 培优拔尖提升练 6(中考·滨州)如图，E,F,G,H四点分别在正 方形ABCD的四条边上，AF=BG=CH= 2 能力在线沙方法规律综合 ,● DE.若AB=17,EF=13,则△GCH的内切圆 半径为 () 4.如图，点O是△ABC的内心，也是△DBC的 外心.若∠A=80°，则∠D的度数是() G A.1 B.2 C.3 D.4 A.60° B.65° C.70° D.75° 第三十章116 微专题14证明t切线的常用方法 堡型①有切点，连半径，证垂直 (一)利用角度转换证垂直 1.如图，AC切⊙O于点C,BC是直径，⊙O与 AB相交于点D,E为AC的中点.求证：DE 与⊙O相切. (四)利用垂径定理的推论证垂直 (二)利用勾股定理的逆定理证垂直 4.如图，AB是⊙O的直径，CD经过⊙O上一点 2.如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O交 D,且CD⊥AC于点C,ED=DB.求证：CD是 AC于点M,弦MN∥BC交AB于点E,且 ⊙O的切线. ME=1,AM=2,AE=√3.求证：BC是⊙O的 切线。 类型2无切点，作垂直，证半径 5.如图，在△ABC中，∠ABC=90°. (三)利用全等证垂直 (1)作∠ACB的平分线交AB边于点O,再以 3.如图，AB是⊙O的直径，AD和CD分别切 点O为圆心，OB的长为半径作⊙O;(要求：不 ⊙O于A,E两点，BC与⊙O有公共点B,且 写作法，保留作图痕迹) EC=BC. (2)判断(1)中AC与⊙O的位置关系，并写出 (1)求证：BC是⊙O的切线； 理由， (2)若AB=12,AD=8,求BC的长. 117探究在线 九年级数学（上）.AO=BO=3,OP=5,∠OBP=90°， ,⊙O的直径为d,OD为⊙O的半径， ∴.BP=√/OP2-OB2=√52-32=4. ..d=20D=2AF. :SAam=2OB·BP=合OP,BD, ∴.d=AB+AC-BC. 拓展在线 :.BD-OB BP-3X4-12.:.BC=2BD-24 6.B OP 5 51 微专题14证明切线的常用方法 AB是⊙O的直径， 1.连接DO,CD. .AB=2OA=6,∠ACB=90° AC切⊙O于点C,.AC⊥CO. Ac-VaB-BC-√6-()-8 BC是⊙O的直径， ∴∠BDC=90°，∴.∠ADC=90. 拓展在线 E为AC的中点， 12.A ,ED=EC,.∠ECD=∠EDC 第2课时切线长定理 .OC=OD,.∠OCD=∠ODC 基础在线 .∠EDO=∠ECO=90°，.DE与⊙O相切 1.A2.70° 2.ME=1,AM=2,AE=√5， 3.AB与AC相等， .∴.ME+AE=AP, 如图，连接OD,OE, ∴.△AME是直角三角形，且∠AEM=90. :AB,AC是小圆的两条切线，切点分别 又：MN∥BC,∴.∠ABC=∠AEM=90°， 为D,E, 即OB⊥BC. ∴.OD⊥AB,OE⊥AC,AD=AE. 又，OB是⊙O的半径，.BC是⊙O的切线 ∴.AB=2AD,AC=2AE. 3.(1)证明：如图，连接OC,OE, ..AB=AC. ,CD是⊙O的切线， 能力在线 .∠OEC=90°， 4.D5.48 在△OEC和△OBC中， 6.(1)60° (OE=OB, (2)如图，连接OC.由题意，知CD EC=BC, CE,OD⊥CD,OE⊥CE, OC-OC, .OC是∠EOD的平分线 .△OEC≌△OBC(SSS),∴.∠OBC=∠OEC=90°， ∠00E=合∠D0E=30. 即BC⊥OB,.BC是⊙O的切线. .CE=20 cm,.'.OC=2CE=40 cm. (2)连接0D,易证∠D0C=2∠A0B=90 ∴.0E=√/402-202=20√3(cm). AD=8,AB=12, .轮胎的直径为403cm. ∴.DE=8,AO=BO=6,∴.OD=10. 拓展在线 设BC=EC=x, 7.d>6y=x-12z+36 在Rt△OBC中，OC=62+x2, 2x 在Rt△ODC中，OC=(x+8)2-102, 30.2三角形的内切圆 9 基础在线 62+x2=(x+8)2-102,解得x=2 1.D2.117 BC=号 3.(1)△ABC的内切圆⊙O如图所示 (2)如图，连接OD,OE 4.连接OD,OE,BE,OD与BE交于点H. 由题意知，OD⊥AB,OE⊥BC, .AB是⊙O的直径， .∠ODB=∠OEB=90° ∴∠AEB=90. ∠B=40°，.∠D0E=140°. ED=DB,∴.∠EOD=∠BOD. 又OE=OB,.OD⊥BE ∠EFD=2∠DOE=70, ,AC⊥CD,∴.四边形ECDH是矩形， 能力在线 .OD⊥CD,.CD是⊙O的切线 4.B 5.(1)如图，即为所作。 5.(1)由题意，AB⊥OD,BC⊥OE,CA⊥OF (2)AC与⊙O相切.理由如下： ∴.∠ODB=∠OEB=∠OEC=∠OFC=90°， 过点O作OD⊥AC于点D. :∠D0E=120°，∠E0F=150°， ,CO平分∠ACB,∠ABC=90°， ∴∠B=360°-∠ODB-∠OEB-∠DOE=60°， ∴OB=OD,即d=r,∴.AC与⊙O相切. ∠C=360°-∠OEC-∠OFC-∠EOF=30° 30.3正多边形与圆 .∠A=180°-∠B-∠C=90°. 基础在线 ∴.∠A,∠B,∠C的度数分别为90°，60°，30° 1.B2.C3.B4.72°5.12 (2)证明：由切线长定理，得AD=AF,BD=BE,CF=CE, 6.(1)由题意知，∠OFG=60°+90°=150°， ∴.BD+CF=BE+CE=BC. ∠0Gp=180°，150-15. AB+AC=AD+BD+CF+AF=2AF+BC, 2 ..2AF=AB+AC-BC. ,∠ODA=∠OFA=∠A=90°， （2)S=6×9=39R,Sa=, 4 ∴.四边形ADOF是矩形..OD=AF. 28 一探究在线·九 小S正六边形：S正方形=3 15.连接OC,则0C=OA, 2 ∠CAB=60°， 7.如图所示 ∴△AOC是等边三角形. .∠COD=60°. ∴∠B=号∠00D=30 CD与⊙O相切于点C,交BA的延长线于点D, .CD IOC..∠OCD=90° .∠D=90°-∠C0D=30° ∠B=∠D..CD=CB. 能力在线 16.(1)证明：.四边形ABCD是正方形， 8.C9.D10.75°11.6或30 ..AB=CD,..AB=DC. 12.(1)七 (2)如图所示，即为所求 :BM=CM,∴.BM=CM. ..BM-AB=CM-CD. .AM=DM..M为AD的中点. (2)⊙O的半径为√2. 17.(1)证明：连接OD,如图所示. OE=OD,∴∠OED=∠ODE. 13.(1)证明：：六边形ABCDEF是正六边形， :DE∥OA, ∴.BC=EF=CD=AF=AB=DE,∠C=∠D=∠DEF .∠OED=∠AOC,∠ODE=∠AOD. =∠EFA=∠FAB=∠ABC ∠AOC=∠AOD. 又CH=FG, 在△AOD和△AOC中， △BCH≌△EFG(SAS)..BH=EG AO-=AO, .CD=AF,CH=FG, ∠AOD=∠AOC, ∴.CD-CH=AF-FG,即DH=AG. LOD=OC, ∴.△DEH≌△ABG(SAS).∴.EH=BG. ∴.△AOD≌△AOC(SAS)..∠ADO=∠ACO. ∴四边形BGEH是平行四边形. ,AC与⊙O相切于点C, (2)如图，连接OB,OA,OF, ∴.∠ADO=∠ACO=90°. ,点O是正六边形ABCDEF的中心， 又OD是⊙O的半径，.AB是⊙O的切线. ∴.OB=OA=OF,∠AOB=∠AOF= (2)CE=6,.OE=OD=OC=3. 号×360°=602 在Rt△ODB中，BD=4,OD=3, ∴.△OAB和△OAF都是等边三角形 .B0=√BD2+OD=5. ..OB=OA=OF-AB-AF-4, .BC=BO+OC=8. .∠BOF=∠AOB+∠AOF=120°，SANOB=SANOF :⊙O与AB和AC都相切，.AD=AC 在Rt△ACB中，AC+BC=AB, 5AB-45. 即AC+82=(AC+4)2,解得AC=6. 六S形0=120X4Xx=16m AC的长为6. 360 3 单元综合复习（六） 直线与圆的位置关系 ∴.阴影部分的面积为S形oF一S△AOB一S△AOF= 16元 热门考点突破 3 1.C2.D3.(9,0) 45-45=1g-8v5. 4.连接OD, :⊙O与边BC相切于点D, 拓展在线 ∴.OD⊥BC,即∠ODC=90°. 14.2√2 △ABC为直角三角形， 微专题15隐圆问题 .∠ODC=∠B=90°. 1.1+222.43.2√64.2√5-2 .OD∥AB.∠1=∠3. 5.(1)4(2)67-2 0D=OA.∠1=∠2. 2 .∠3=∠2..AD平分∠BAC 6.2+2√3 5.(1)证明：连接OD 阶段测评6(30.1~30.3) ⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的 1.B2.A3.B4.B5.C6.D 直径， 7.28.259.√310.10 .∠ACB=90°，OA=OD. .∠OAD=∠ODA. 11.219° 12,2或-2或013号 DE∥BC,∴∠AED=∠ACB=90° 14.如图，四边形ABCD即为所求作. :∠BAC的平分线交⊙O于点D, ∴.∠EAD=∠BAD. ∴∠EAD=∠ADO.∴.OD∥AE. ∴.∠ODE=180°-∠AED=90°. OD为⊙O的半径，.DE是⊙O的切线. (2)设OD交BC于点F, 年级数学（上）一