29.3 弧长和扇形面积（第1课时 弧长和扇形面积）（教学课件）数学新教材人教版九年级上册

该初中数学课件聚焦弧长和扇形面积公式，通过400米比赛起跑线问题导入，类比圆周长和面积公式，从360°圆心角对应量推导1°及n°的弧长与扇形面积公式，搭建从整体到部分的知识支架。 其亮点在于以生活情境培养数学眼光，通过类比和转化思想发展数学思维，结合管道展直、排水截面等典例强化数学语言应用。课堂小结提炼思想方法，助力学生提升抽象与运算能力，为教师提供系统教学流程与多样化练习资源。

29.3 弧长和扇形面积 第1课时　弧长和扇形面积 第二十九章 圆 人教版（新教材）·九年级上册 学 习 目 标 1 2 3 理解并掌握弧长公式：能通过类比圆周长公式推导出弧长公式，理解公式中各字母的含义，并能正确运用公式计算弧长. 理解并掌握扇形面积公式：能类比圆面积公式推导出扇形面积公式，理解扇形面积与弧长之间的内在联系，掌握 这一简化形式. 灵活运用公式：能综合运用弧长和扇形面积公式解决简单的实际问题. 发展核心素养：经历公式的“猜想—推导—应用”过程，体会类比思想、转化思想和从特殊到一般的数学思想，发展抽象能力和运算能力. 导入新课 标准操场示意图 ►在400米比赛中，不同跑道的运动员起跑线为什么不在同一处？ *直道长度相同，但‌弯道半径随道次外移而增大‌； 根据圆周长公式 C=2πR，外圈跑道的弯道部分比内圈长；所以外道起跑线需‌向前错位，以补偿多出的距离。 ►为了确定每条跑道的起跑位置，需要知道什么？ *弯道的“展直长度”——即弧长 导入新课 今天我们就来研究——如何计算圆心角为n°的弧长和扇形面积. *圆的周长可以看作是多少度的圆心角所对的弧长？ 360°的圆心角所对的弧长 360°的圆心角所对的扇形面积 C *圆的面积可以看作是多少度的圆心角所对的扇形面积？ ►还记得圆的周长公式是什么？ ►圆的面积公式能呢？ 我们知道，弧是圆的一部分，弧长就是圆周长的一部分。想一想，如何计算圆周长？圆的周长可以看作多少度的圆心角所对的弧长？由此出发，1°的圆心角所对的弧长是多少？n°的圆心角呢？ 新知探究 探究点1 推导弧长公式 思考 *半径为R的圆，周长是 ， R 360° *360°的圆心角所对的弧长是 ， 圆的周长 *1°的圆心角所对的弧长是圆周长的 ， *1°的圆心角所对的弧长是 ， 化简得 ， *n°的圆心角所对的弧长l是 。 *n°的圆心角所对的弧长l是1°圆心角所对弧长的 倍， n 公式 . 新知探究 探究点1 推导弧长公式 归一归 n° 弧长公式： 若设⊙O半径为R，n°的圆心角所对的弧长为 A B O 注意：（1） n是圆心角的度数（1°的倍数），不带单位； （2）180是常数，不带单位； （3）若题目未要求精确，结果保留π的形式. 生活中的扇子 新知探究 探究点2 扇形概念与扇形面积公式 欣 赏 扇面的形状可以看成由哪些线条围城的图形？ 圆心角的两条半径和圆心角所对的弧 O 弧 半径 半径 O A B 新知探究 探究点2 扇形概念与扇形面积公式 归一归 定义：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫做扇形。 O 半径 半径 圆心角 弧 B A O A B 扇形 扇形定义 表示： 如图，∠AOB的两条半径OA、OB和弧AB围成的图形，记作“扇形OAB”. 新知探究 探究点2 扇形概念与扇形面积公式 由扇形的定义可知，扇形面积就是圆面积的一部分，想一想，如何计算圆的面积？圆面积可以看作圆心角为多少度的扇形的面积？ 圆心角是360° 圆心角是180° 圆心角是90° 圆心角是270° O O O O 1个圆面积 个圆面积 个圆面积 个圆面积 思考 1°圆心角所对的扇形面积是多少？n°的圆心角呢？ 1°圆心角 n°的圆心角 扇形面积 扇形面积 新知探究 探究点2 扇形概念与扇形面积公式 类比弧长公式推导 整个圆的面积 圆面积的 1°圆心角所对扇形面积的n倍，即 半径为R的圆，面积是 ， 360°的圆心角所对的扇形面积是 . 1°的圆心角所对的扇形面积是 ; n°的圆心角所对的扇形面积是 . 讨论 n°的圆心角所对的扇形面积是多少？ O R n° 弧 B A O A B 新知探究 探究点2 扇形概念与扇形面积公式 议一议 在半径为R 的圆中，n°的圆心角所对的扇形面积计算公式为: S扇形＝ S圆= πR2 扇形面积公式： S扇形＝ 扇形面积与圆心角和半径有关 O R n° 弧 B A O A B 新知探究 探究点3 两个公式的联系——弧长表示扇形面积 议一议 扇形面积公式与弧长公式之间有怎样的联系？ L弧＝ C圆= × = πR S扇形＝ S圆= πR2 R l O n° S 都与弧所对的圆心角度数n°有关 弧长公式 扇形面积公式 新知探究 探究点3 两个公式的联系——弧长表示扇形面积 议一议 扇形面积公式让你联想到哪个公式？ 把扇形看成一个“曲边三角形”，弧长l相当于底，半径R相当于高.有公式 三角形面积公式： S =底×高 计算扇形面积时已知条件不同，选择不同形式的公式会更方便： 已知圆心角n和半径R :用 ； 已知弧长l和半径R : 用 . 高 弧（底） 曲边三角形 典例分析 例1.制造弯形管道时，经常要先按中心线计算“展直长度”，再下料，计算如图所示管道的展直长度L（结果取整数） 管道的展直长度由哪几部分组成？ 图中弯道对应的圆心角是 度； 半径是 ； 弧长公式 ； 两段直线段 + 中间一段弯道弧长 100 900 mm 解：由弧长公式，可得弯道弧的长： 因此所要求的展直长度 答：管道的展直长度约为2970 mm. 【问题分析】 【规范解答】 典例分析 例2.如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6m，其中水面高0.3m.求截面上有水部分的面积（结果保留小数点后两位） ►如图所示，OC⊥AB，垂足为D，如何求有水部分的面积？ ►已知半径OC=0.6 m，水面高CD=0.3 m，OD是多少？ ►在Rt△AOD中，OD与OA有什么关系？ ► ∠AOB等于多少度？ OD = 0.6 - 0.3 = 0.3 m OD=OA，所以∠OAD=30°，∠AOD=60° ∠AOB =2∠AOD=120° =- 【问题分析】 A B D ∟ C 典例分析 例2.如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6m，其中水面高0.3m.求截面上有水部分的面积（结果保留小数点后两位） 【问题解答】 A B D ∟ C 解：解：连接OA、OB，作OD⊥AB于D， 延长OD交⊙O于C.由题意，OC=0.6 m，CD=0.3 m， ∴ OD=OC-CD=0.3 m。 在Rt△AOD中，OA=0.6m，OD=0.3 m， ∴OD=OA，∠OAD=30°，∠AOD=60°. 同理∠BOD=60°，∴ ∠AOB=120°. =-= －AB·OD =0.12π－×0.6××0.3≈0.22（m²） 答：截面上有水部分的面积约为0.22 m². 新知巩固 课本P136 1.弧长相等的两段弧是等弧吗？并说明理由. 答：长度相等的两条弧不一定是等弧 。 等弧的定义要求必须在同圆或等圆中， 仅长度相等无法保证它们能重合 。‌‌‌ 只有在半径相等的圆中，长度相等的两条弧才是等弧答 新知巩固 2.如图，有一段弯道是圆弧形的，弯道长是12m，弧所对的圆心角是81°.这段圆弧所在圆的半径R是多少米（结果保留小数点后一位）? 解：根据弧长公式l = ， 得：12= ， 解得：R≈8.5(m). 课本P136 新知巩固 3. 如图，△ ABC是边长为a的等边三角形， D，E，F分别为BC，CA，AB的中点，以A，B， C三点为圆心， 为半径作圆，求图中阴影部分的面积. 解：连接AD， ∵ △ ABC是边长为a的等边三角形 ∴ ∠A=∠ B=∠ C=60°， AD= a ∴S阴影= S△ABC – 3S扇形AEF =×a× a –3× = a 2. 课本P136 拓展提升 1．如图，的三个顶点A、、都在格点上，坐标分别为、、． (1)画出绕着点顺时针旋转得到的； (2)求点A运动到点所经过的路径长． （2）解：由作图可知：从点A运动到点所经过的路径为一段圆弧长，连接， ∴， ， ∴点A运动到点所经过的路径长为： ． y O x A （1）解：所得如图所示： 真题感知 1．（2026年广东省）如图，的半径为1，点，，在上，．则图中阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D． 解：， 与分别是所对的圆周角和圆心角 的半径为 ． A 真题感知 2（2026年安徽省中考）.如图，矩形中，六个小正方形的边长均为1，正方形的各边与所在的圆分别相切于点，，，N．，所在圆的圆心分别是，．则图中阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D． 解：如图，设与交于点， 由题意得：， ，， ∴， ∵正方形的各边与所在的圆分别相切于点， ∴所在的圆为以点为圆心、长为半径的， ∴图中阴影部分的面积为 ． A 主题 求生活中的圆弧长 研究内容 本次活动选取学校的铅球场地，将场地的一部分抽象为扇形（如图1所示），已知扇形所在圆的半径于点，，用不同的方案分别求的长．   工具 软尺（长度足够）、测角仪（可测量角度的大小）等 研究方案与实践成果 方案一 方案二 方案三 用软尺直接测量的长． 测量数据： 第一次 第二次 用测角仪测角，利用弧长公式计算的长． 测量数据： 查阅文献，发现北宋沈括的《梦溪笔谈》中收录了近似计算圆弧长度的“会圆术”．图1中，弧长． 测量数据： 真题感知 3（2026年河北省）．在学习了圆的相关知识后，同学们设计并开展了一项综合实践活动，下面是一个小组尚未完成的活动报告． 真题感知 主题 求生活中的圆弧长 研究方案与实践成果 方案一 方案二 方案三 反思应用 取两次测量结果的平均数，则． 利用弧长公式，…… 根据“会圆术”，…… ①方案一可通过____________的方法减少误差； ②我们可以利用上面的活动经验解决一些生活中的问题． 如图2所示，公园里一座桥的主桥拱是圆弧形，已知其跨度为，拱高为，虽然弧长和圆心角不方便测量，但可以通过计算近似得出． 计算过程如下：……   3（2026年河北省）．在学习了圆的相关知识后，同学们设计并开展了一项综合实践活动，下面是一个小组尚未完成的活动报告． 请你帮助该小组完成活动报告，具体如下： (1)写出“反思应用”①中减少误差的方法；（写出一种方法即可） (2)分别利用方案二（结果保留）和方案三计算的长； (3)求图2中弧长和圆心角．（取3.1） 真题感知 3（2026年河北省）．在学习了圆的相关知识后，同学们设计并开展了一项综合实践活动，下面是一个小组尚未完成的活动报告． 请你帮助该小组完成活动报告，具体如下： (1)写出“反思应用”①中减少误差的方法；（写出一种方法即可） （1）解：方案一可通过多次测量取平均值的方法减少误差； 3（2026年河北省）．在学习了圆的相关知识后，同学们设计并开展了一项综合实践活动，下面是一个小组尚未完成的活动报告． (2)分别利用方案二（结果保留）和方案三计算的长； （2）解：方案二： 的长； 方案三： ∵，， ， ∴； 3（2026年河北省）．在学习了圆的相关知识后，同学们设计并开展了一项综合实践活动，下面是一个小组尚未完成的活动报告． (3)求图2中弧长和圆心角．（取3.1） （3）解：∵， ∴ 在中，由勾股定理得， ， ∴ 解得 由“会圆术”可得， ， 设的度数为，则由得，，解得. 课堂小结 *两个公式： 弧长公式：， 扇形面积公式：. *一个模型：弓形面积 = 扇形面积 - 三角形面积. *一种策略： 已知n和R → 直接代入公式； 已知l和R → 用更简便. 知识与技能 课堂小结 ►类比思想： 弧长公式和扇形面积公式的推导方法完全一致 ——从整体（圆）到部分（弧/扇形）. ►转化思想： 扇形面积用弧长表示时，转化为“曲边三角形”，与三角形面积公式类比. ►从特殊到一般： 从1°对应的量推导n°对应的量，实现由特殊到一般的数学抽象. 思想与方法 课堂小结 ＊公式记混： 弧长公式分母是180，扇形面积公式分母是360 ——口诀：“弧长180，面积360” ＊单位混淆： n是圆心角的度数，不带单位； 若题目给出的是弧度或其他单位，需先转换. ＊半径误代： 若题目给出的是直径，需先除以2得到半径再代入公式. 易错点提醒 课后练习 1. 填空题. （1）75°的圆心角所对的弧长是2.5π，则此弧所在圆的半径为 . （2）一个扇形的弧长是20π，面积是240π，则这个扇形的圆心角为 . 6 150º 习题 29.3 课本p138页 解（1）设圆的半径为，由弧长公式得： 解得：=6 （2）设扇形圆心角度数为n°，半径为R，由扇形面积公式得： 240 解得：=24 ∴ 解得：=150， ∴圆心角度数：1°×150=150° 课后练习 2.如图，两个大小一样的传送轮连接着一条传送带.求这条传送带的长（结果保留小数点后一位）. 解：这条传送带的长： πd+2×10 =3π+20 ≈26.3（m） 习题 29.3 课本p138页 答：这条传送带的长26.3m 课后练习 3.正方形的边长为a，以各边为直径在正方形内画半圆.求图中阴影部分的面积. 习题 29.3 课本p139页 解： =4（- ） =- =4××－ = － 课后练习 5.在航海中，常用海里(单位：n mile)作为路程的度量单位. 把地球看作球体，1 n mile近似等于赤道所在的圆中1′的圆心角所对的弧长. 已知地球半径(也就是赤道所在圆的半径)约为 6370 km，1 n mile约等于多少米(结果取整数)？ 解:1n mile= × 1′ = × ×6370 ≈1.852 （km） = 1 852 （m） 习题 29.3 课本p139页 课后练习 9.如图为一个圆形花坛，为了在这个花坛中种植不同的花卉，要把它分成面积相等的四部分，请你至少提供两种设计方案， 解: 方案一： 习题 29.3 课本p139页 方案二： 谢谢聆听 $