29.2.3 圆周角-【新课程能力培养】2026-2027学年九年级上册数学同步练习（人教版·新教材）

参 考答案 (2)解：如图，连接BD, D 理由如下：AE平分∠BAC,BE平分∠ABC, OA,连接DO并延长交AB于 ∠BAE=∠CAD=∠CBD,∠ABE=∠EBC. 点FBC=CD=DE=EA, ∠BED=∠BAE+∠ABE,∠DBE=∠DBC+∠CBE, AD=BD,即点D是ADB的中 00 ∠BED=∠DBE,BD=ED,AB为直径， 点，D01AB,ABF2AB ∠ADB=90°，.∴△BDE为等腰直角三角形 (2)如图，连接0C, 1,由(1)知AD=CE,CE=3, A 第6题答图 CD,OD,OD交BC于点F :AD=3,在Rt△ADF中，由勾 ∠DBC=∠CAD=∠BAD=∠BCD, 股定理，得DF=VAD-AF=V32-1下=2V2,设⊙0 BD=DC.OB=0C,∴.OD垂 的半径为r,则0F=2V2-T,在Rt△AOF中，由勾股 直平分BC.~△BDE是等腰直 定理，得0A2=0F2+AF22=(2V2-r)2+12,解得r= 角三角形，BE=2V10,BD= D 92,即⊙0的半径是92 2V5.AB=10,.0B=0D=5 例题答图 8 1 设OF=t,则DF=5-k在Rt△BOF和Rt△BDF中， 7.证明：AC=CB,.∠AOC=∠BOC,:CD⊥ OA,CE⊥OB,∴.∠CD0=∠CE0=90°.在△CD0与 52-2=(2V5)2-(5-t)2,解得=3，.BF4,.BC=8. ∠AOC=∠B0C, 1.2/32.23°3.100° △CE0中， {∠CD0=∠CE0,∴.△CD0≌△CE0 4.证明：如图，连接CD. OC=OC. AM=BM,.∠A=∠B,由圆周角 (AAS),..OD=OE. 定理，得∠D=∠A,∠C=∠B, 8.证明：OA=0B,.∠A=∠B,在△OAC和 ∠C=∠D,∴.CM=DM. OA=OB. 5.证明：AD=CB,∴AD= △OBD中. ∠A=∠B,.△OAC≌△OBD,.∠AOE= CB,.AD+AC =CB +AC,..AB= 第4题答图 AC=BD. CD,AB=CD,BD=DB,.△ABD≌△CDB(SSS) ∠BOF,AE=BF,.AF=BE: 6.(1)证明：连接BC,CD=CE,∠CED= 9.证明：如图，连接OB.由题意，可得BM= ∠D,∠CED=∠CAB,∴.∠D=∠CAB,∴DB=AB, 4B,CN=D,MB-CD,BM-CN,在R△0MB :AB是⊙0的直径，.∠ACB=90°，DB=AB,BC⊥ AD,.AC=CD. 与Rt△ONC中， OB=OC, BM=CN, .Rt△OMB≌Rt△OWC (2)解：由(1)得∠D=∠CAB,∠D=25°， ∠ABE=∠D+∠CAB=2∠D=50°，AB是⊙O的直径 (HL)...OM=ON. ∴.∠AEB=90°，∴∠BAE=90°-∠ABE=40°，∴.∠BAE的 度数是40°. D 0 B 第9题答图 第10题答图 D 10.(1)证明：连接AC,如图.，⊙0的直径AB 第6题答图 第7题答图 垂直弦CD于点E,∴CE=DE,AC=AD,∴AC=AD, 7.(1)解：如图，连接CB.CD是⊙0的直径， 又F为AD的中点，CF经过圆心O,.CF⊥AD, .∠CED=90°，.AB⊥CD,∴.∠BOC=∠BOD=90°， ∴.CD=AC,AC=CD,∴AD=CD. OB=0C,.∠BCD=∠0BC=45°（等边对等角），BD (2)解：连接BD.如图，由(1)可知AC=AD= =BD,.∠BED=∠BCD=45°（圆周角定理），.∠CEB= CD,.△ACD是等边三角形，∠DAB=30°，∴.∠ADB= ∠CED+∠BED=90°+45°=135°，则∠CEB的度数为 0AB-8B4B-4.AD-VAR-D 135 (2)证明：如图，连接BD.:点E在弧BC的中 V82-4=4V3,.CD=AD=4V3 点处，.CE=BE,.∠CBE=∠CDE=∠BDE(圆周角定 29.2.3圆周角（第一课时） 理)，由(1)可知∠0BC=45°，∴.∠FBE=∠OBC+ 【知识点】圆上都与圆相交圆周角圆 ∠CBE=45°+∠CBE,OB=OD,∠B0D=90°， 心角同弧或等弧半圆（或直径）直径 ∠OBD=45°，∠EFB是△BDF的一个外角，∴∠EFB= 1.A2.B3.C ∠OBD+∠BDE=45°+∠BDE,∴.∠EFB=∠EBF,∴.EF= 【例】解：(1)△BDE为等腰直角三角形 EB(等角对等边). 63 数学 九年级上册（人教版） 8.证明：【情况二】如图1，连接OA,延长AO 证法二：如图，连接AC.AB=CD,AB=CD, 交⊙0于点D.OA=0B=0C,.∠OAB=∠0BA, ∴.∠ACB=∠DAC,AD∥BC ∠OAC=∠OCA,.·∠OAB+∠OBA=∠BOD,∠OAC+ 7.解：AD∥BC理由如下：BD=AC,.BD= ∠OCA=∠COD,.2∠OAB=∠BOD,2∠OAC=∠COD, .2∠OAB+2∠OAC=2(∠OAB+∠OAC)=2∠BAC=∠BODH AC,..BD -AD =AC -AD,..AB=CD ,.LADB= ∠COD=∠BOC,∠BAC=1∠BOC. ∠CBD,.AD∥BC. 2 8.解：(1)利用圆周角定理作出图形，与∠B相 等的圆周角∠D如图1所示 图1 图2 第8题答图 图1 图2 【情况三】如图2，连接OA,延长A0交⊙0于 (2)利用圆内接四边形的性 点E.OA=0B=0C,∴∠OAB=∠0BA,∠OAC=∠OCA, 质作出图形，与∠B互补的圆周 .·∠OAB+∠OBA=∠BOE,∠OAC+∠OCA=∠COE= 角∠E如图2所示. ∠BOE+∠BOC,.2∠OAB=∠BOE,2∠OAC=∠BOE+ (3)作出直径AG,连接 ∠B0C,.2∠OAC-2∠OAB=2∠BAC=∠BOC,. CG,与∠B互余的圆周角∠F如 LBAC=-3∠B0C 图3所示. 9.(1)证明：由题意，可知 图3 9.B10.66° ∠ADB=∠CDB,.BD平分∠ADC, 第8题答图 29.2.3圆周角（第二课时） ,BD平分∠ABC,∠ABD=LCBD 【知识点】圆的内接多边形外接圆互补 又，四边形ABCD是圆内接四边形，.∠ABC+ 140° ∠ADC=180°，.∴.∠ABD+∠CBD+∠ADB+∠CDB=180° 【例】(1)证明：∠ADE是⊙0的内接四 2(∠ABD+∠ADB)=180°，.∠ABD+∠ADB=90°， 边形ABCD的外角，.∠ADE+∠ADC=180°，又 ∴.∠BAD=180°-90°=90°. (2)解：由条件，可知∠ADE+∠DAE=90°， ,∠B+∠ADC=180°，.∠ADE=∠B,:∠ADE ∠AED=90°，∠BAD=90°，.BD是圆的直径，∴.BD ∠ACB,∴.∠B=∠ACB,.AB=AC 垂直平分AC,AD=CD,AC=AD,∴.△ACD是等边 (2)解：：∠B+∠ACB+∠BAC=180°，且 ∠B=∠ACB,∠BAC=70°，.∴∠B+∠B+70°=180°， 三角形，LADC=60,BDLAC,∠BDC-3∠ADC ∴∠B=55°，∴.∠ADC=180°-∠B=125. 30°，CF∥AD,.∠F+∠BAD=180°，.∠F=90°，四 1.C2.D3.D4.110° 边形ABCD是圆内接四边形，.∠ADC+∠ABC=180° 5证明：如图，连接A0并延长交⊙0于点E, 由条件，可知∠FBC=∠ADC=60°，.BC=2BF=4,由条 连接DE,BE,AE是⊙O的直径，∴.∠ADE=∠ABE= 90°，又∠ADE+∠DEB+∠EBA+∠BAD=36O°，. 件，可知BC=2BD,BD是圆的直径，园的半径长 ∠DEB+∠BAD=18O°，∠DEB=∠DCB,.∠DAB+ ∠DCB=180°. 是4，SsA5mt5a44y3,43-16V3. 2 2 10.证明：(1)如图，连接AB.直径AD1弦 D BC于点E,.BE=CE,AD垂直平分BC,.AB=AC, :∠BPC=60°，∠BAC=∠BPC,∴.∠BAC=60°，∴.△ABC ●0、 为等边三角形，AC=BC. 第5题答图 第6题答图 6.证法一：AB=CD,AB=CD,∴AB+AD=CD +AD,即BD=AC,∠DCB=∠ABC.四边形ABCD B 是⊙0的内接四边形..∠BAD+∠DCB=180°， D ∠BAD+∠ABC=180°，.AD∥BC. 第10题答图 64 参考答案 (2)由(1)得AB=AC,.∠ABC=∠ACB,⊙0 29.3弧长和扇形面积（第二课时) 为四边形APBC的外接圆，∠APB+∠ACB=180°， 【知识点】2 wr Trl Tr(r+l) ∠APB+∠FPB=180°，∴.∠ACB=∠FPB,∠ABC= 1.180°2.12m ∠APC,∠ABC=∠ACB,.∠FPB=∠APC. 【例】解：(1)由条件，可得底面半径为 11.B12.80° 29.3弧长和扇形面积（第一课时)】 V-h=V252-20=15cm,侧面积为Trl=15× 25m=375π(cm2) 【知识点】上RS=mR 180 360 (2)设扇形卡纸的圆心角的度数为n°，由题 1.4m2.π3.4 意， 得nm25-2mx15,m=216.答：所需扇形卡 180 【例】解：(1)由旋转的性质，得AC=AC= 纸的圆心角的度数为216° 3,B'C'=BC=4,AB'=AB=5,△ABC'的面积等于 1.B2.C3.D4.B △ABC的面积，∠BAB=45°，.弧BB的长度 5.解：(1)设此弧所在圆的半径长为rcm,根 为5需2子，阴影部分的周长为4443+3 据题意，可得忍×2=4，解得=12，此弧所在圆 4m=144 5 的半径长为12cm. (2)如图，结合(1)可知DE=r=12cm,设这个 (2)45mx53+3x4x1-3x4x1-25, 扇形制作成的圆锥底面半径为acm,则有2a=4r, 360 28 T. 解得a=2,即OE=2cm,∴.根据勾股定理，得OD= 102.B3.B4c5. 2m6.10 VDE-0区=V12-2=2V35cm,∴该圆锥的高0D 长为2V35cm. 7. 6.解：(1)A(0,4),C(-2,0),AC= 8.解：四边形ABCD内接于⊙0，∠B=120°，. V(-2-0)+(0-4)2=2V5,则⊙C的半径为2V5.连 ∠D=60°，∴.∠A0C=2∠D=120°，劣弧AC的长为 接AB,A(0,4),B(-6,2),C(-2,0),AB= (-6-0)2+(2-4)2=40,AC2=(-2-0)2+(0-4)2=20,BC= 120m×12 180=3π. [-6-(-2)]+(2-0)2-20,.AC+BC=AB2,.∠ACB=90°. 9.解：由题意，知4个半径为1的弧长之和为4x 90m1=2m,2个半径为2的弧长之和为2×90m2 180 180 2r,.该图形的周长为4. 10.解：AB是⊙0的直径，.∠ACB=90°， ∠BAC=20°，∴.∠ABC=90°-20°=70°，∠ABC的平分 线交⊙0于点D,LABD=7∠ABC=7×70=35, 7654321 1 ∠A0D=2∠ABD=2x35=70°，AD的长=70mX3_7 1806m, 第6题答图 Sa后A=70mX32_ T. 3604 (2)由题意，知弧AB的长为90x2V5π 180 11.(1)证明：由题意，可得∠ADC+∠ABC= V5π，令圆锥的底面圆的半径为r,2mr=V5π， 180°，又：∠CBE+∠ABC=180°，.∠CBE=∠ADC, ∠ACD=90°，∴.∠CAD+∠ADC=90°，∴.∠CBE+∠CAD= 解得=V5,圆锥的底面圆的半径为Y5 2 2 90°，CE⊥AB,.∠CBE+∠BCE=90°，.∠CAD= 7.解：(1)如图，过点0作 ∠BCE. AB的垂线，垂足为C.OA=OB, (2)解：如图，过点0作 OH⊥AC于点H.OC∥AB, 0C1AB,AG=号AB,∠A0C- ∠COD=∠EAD=60°，OC=OD, 1LA0B=7×120°=60° .∠C0D=LD=60°，OD=CD= 2 2 0 0 AC=0Asin∠A0C=10xY3= AD=2,∴AC=VAD-CD= 2 第7题答图 2V3,∠CAD=30°，.0H= 5V3 (cm),.AB=2AC=2x5V3 =10v3 (cm),. 0A-l,S雕=5 wt 第11题答图 弦AB的长为10V3cm. }4c-0i+-2V3x1:0%2-V5+ 3 20m÷2不= (2)AB=368x2m×10=297(cm),297 360 3 12.40m (cm).答：这个圆锥的底面圆的半径是9cm 3 8.解：由图形，可知圆锥的底面圆的半径为0.4m, 65圆第二十九章 29.2.3 圆周角（第一课时） 知识梳理@形成联系 -卡 【知识点】圆周角的定义及圆周角定理 ◎顶点在 并且两边 的角叫作圆周角. ©圆周角定理：一条孤所对的 等于它所对的 的一半 O推论： 所对的圆周角相等 所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是 1.如图29.2-5，点A，,B,C在⊙0上，∠ACB=45°，则∠AOB的度 数是() A.90° B.80° C.60° D.45 图29.2-5 2.如图29.2-6，在⊙0中，弦AB,CD相交于点P.若∠D=46°， ∠CPB=80°，则∠C的度数是() ◆0 A.44° B.34° C.80 D.54° 图29.2-6 3.如图29.2-7，AB是⊙0的直径，点C在⊙0上，连接AC,BC, 若∠A=24°，则∠B的度数是() A.48° B.56° C.66 D.76° 图29.2-7 例题点拨Q素养导向 【例】如图，以AB为直径的⊙O经过△ABC的顶点C,AE,BE分别 平分∠BAC和∠ABC,AE的延长线交⊙O于点D,连接BD. (1)判断△BDE的形状，并证明你的结论， (2)若AB=10,BE=2V10,求BC的长 D 【点拨】(I)由角平分线的定义结合等量代换，可得∠BED=∠DBE, 图29.2-8 即BD=ED,然后再根据直径所对的圆周角为90°即可解答；(2)连接OC,CD,OD,OD交 BC于点F.先说明OD垂直平分BC.进而求得BD,OD,OB的长，设OF=t,则DF=5-t,然 后根据勾股定理，列出关于t的方程求解即可. 口数学 九年级上册（人教版） 夯实四基U达标闯关 1.如图，AB是⊙O的直径，若AC=2,∠D=60°，则BC的长等于 2.如图，在⊙0中，半径OA,OB互相垂直，点C在劣弧AB上.若∠ABC=22°，则 ∠BAC的度数为 第1题图 第2题图 第3题图 3.如图，点A,B,C,D在⊙0上，∠CAD=30°，∠ABD=50°，则∠ADC的度数为 4.如图，在⊙O中，弦AC,BD相交于点M,且AM=BM.求证：CM=DM. 0 第4题图 5.如图，点A,B,C,D都在⊙O上，AD=CB.求证：△ABD≌△CDB. ●0 第5题图 @ 圆 第二十九章 能力提升睡综合拓展 6.如图，AB是⊙0的直径，D是弦AC的延长线上的一点，DB的延长线交⊙O于点E, 且CD=CE. (1)求证：AC=CD. (2)连接AE,若∠D=25°，求∠BAE的度数 0 第6题图 7.AB,CD是⊙O的直径，AB=2,AB⊥CD,垂足为O,点E是弧BC上一动点（不与 点B,C重合)，DE与AB交于点F (1)求∠CEB的度数 (2)若点E在弧BC的中点处，求证：EF-EB. D 第7题图 @ 数学 九年级上册（人教版） 8.【知识】圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. 【已知】在⊙0中，BC所对的圆周角为∠BAC,圆心角为LBOC.求证：∠BAC=1∠BOC: 【情况一】如图1，当点O在∠BAC的一边上时：.OA=OC,.∠A=∠C..∠BOC=∠A+ ∠C,LB0G=-2LA.即LBAC=)∠B0C 【情况二】如图2，当点O在∠BAC的内部时. 【情况三】如图3，当点O在∠BAC的外部时. 图1 图2 C 图3 第8题图 中考链接⊙真题演练 9.(2025·山西)如图，AB为⊙O的直径，点C,D是⊙0上位于AB异侧的两点，连接 AD,CD.若AC=BC,则∠D的度数为() A.30° B.45 C.60° D.75 D 0 第9题图 第10题图 10.(2025·陕西)如图，AB为⊙0的直径，BC=BD,∠CDB=24°，则∠ACD的度数为 128 圆第二十九章 29.2.3 圆周角（第二课时） 知识梳理@形成联系 【知识点】圆的内接多边形 ©如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫作 ,这个圆叫作这个多边形的 ◎圆内接四边形的对角 0 如图29.2-9，在圆内接四边形ABCD中，若∠B=40°，则∠D的度数 D 为 图29.2-9 例题点拨Q素养导向 一。多多多 【例】如图29.2-10，∠ADE是⊙0的内接四边形ABCD的一个外角，连接AC,已知 ∠ADE=∠ACB. (1)求证：AB=AC. (2)若∠BAC=70°，求∠ADC的度数 【点拨】(1)由∠ADE+∠ADC=180°，∠B+∠ADC=18O°，推导出∠ADE=∠B,而∠ADE= ∠ACB,所以∠B=∠ACB,则AB=AC;(2)由∠B=∠ACB,∠BAC=70°，根据三角形内角 和定理，得∠B+∠B+70°=180°，求得∠B=55°，则∠ADC=180°-∠B=125°. ●0 图29.2-10 夯实四基心达标闯关 1.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形.若∠ADC=130°，则 ∠AOC的度数是() A.50° B.80° C.100° D.130° 2.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB=AD,BE是直径，若 B 第1题图 ∠A=70°，则∠ABE的度数为（) A.55° B.40° C.38° D.35 数学 九年级上册（人教版） 3.如图，圆内接四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点E,BD是⊙O的直径，若AB= AC,∠BAC=80°，则∠AEB的度数是() A.30° B.40° C.50° D.60° 第2题图 第3题图 第4题图 4.如图，AB为⊙0的直径，C为圆上一点，D为AC上一点，若∠AOD=40°，则∠DCB 的度数为 5.已知：四边形ABCD内接于⊙O.求证：∠A+∠C=180°. D 0● 第5题图 6.用两种方法证明命题“在圆的内接四边形中，如果一组对边相等，那么另一组对边平 行” 【已知】如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB=CD,求证：AD∥BC.(请把证 法一补充完整，并用不同的方法完成证法二) 【证法一】… ，AB=CD 即BD=AC.∴.∠DCB=∠ABC. .四边形ABCD是⊙O的内接四边形 .∠BAD+∠ABC=180°，AD∥BC ●0 第6题图 @ 圆 第二十九章 能力提升睡综合拓展 7.如图，四边形ABCD内接于⊙O,分别连接AC,BD,若BD=AC,判断AD与BC的 位置关系，并说明理由. 第7题图 8.点A,B,C均在⊙O上，仅用无刻度的直尺分别在给定图中按要求 作图，点D,E,F均不与点A,B,C重合. ●0 (1)在图1中，画一个与∠B相等的圆周角∠D. (2)在图2中，画一个与∠B互补的圆周角∠E. (3)在图3中，画一个与∠B互余的圆周角∠F 图1 ◆0 图2 ●0 图3 第8题图 9.如图所示，圆内接四边形ABCD的对角线AC,BD交于点E,BD平分∠ABC,∠BAC= ∠ADB (I)求证：BD平分∠ADC,并求∠BAD的大小 (2)过点C作CF∥AD交AB的延长线于点F,若AC=AD,BF=2,试求四边形ABCD的 面积和此圆半径的长。 第9题图 @ 口数学 九年级上册（人教版） 10.如图，⊙O为四边形APBC的外接圆，延长AP,CB相交于点F,直径AD⊥弦BC 于点E,连接CP. (1)若∠BPC=60°，求证：AC=BC (2)求证：∠FPB=∠APC. D 第10题图 中考链接©真题演练 11.(2025·泸州)如图，四边形ABCD内接于⊙O,BD为⊙0的直径若AB=AC,∠ACB= 70°，则∠CBD=() A.40° B.50° C.60° D.70° 第11题图 第12题图 12.(2025·陕西)如图，点A,B,C,D在⊙0上，若∠1+∠2=100°，则∠B的度数为 @