专题29.4 圆周角（举一反三讲义）数学新教材人教版九年级上册

专题29.4 圆周角（举一反三讲义） 【新教材人教版】 题型归纳 【题型1 圆周角的定义】 2 【题型2 圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半】 3 【题型3 同弧或等弧所对的圆周角相等】 4 【题型4 直径所对圆周角为直角】 5 【题型5 90°的圆周角所对的弦是直径】 6 【题型6 圆内接四边形对角互补】 7 【题型7 圆周角与勾股定理的综合求值】 8 【题型8 与圆周角有关的综合证明】 10 考点1 圆周角 【知识点1 圆周角】 1. 圆周角的定义 顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角． 2. 圆周角定理 圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半，同弧或等弧所对的圆周角相等. 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．如图，=． S 同弧或等弧所对的圆周角相等．如图，⇒=． 3. 圆周角定理的推论 （1）半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径． 如上图，AB是直径⇒= =90°；=90°⇒AB是直径． 4. 圆周角与圆心角的区别 圆心角 圆周角 区别 顶点在圆心 顶点在圆上 在同圆中，一条弧所对的圆心角是唯一的 在同圆中，一条弧所对的圆心角有无数个 联系 两边都与圆相交 【题型1 圆周角的定义】 【例1】（25-26九年级上·福建厦门·阶段检测）如图，内接于圆，点在上，连接，．下列角中，所对圆周角的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】下列关于“圆周角及圆心角”的说法不正确的是（   ） A．圆心角的度数与其所对的弧的度数相等 B．顶点在圆周上的角叫做圆周角 C．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦也相等 D．在圆中，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半 【变式1-2】下列图形中的角是圆周角的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】如图，四边形ABCD的顶点A，B，C在圆上，且边CD与该圆交于点E，AC，BE交于点F.下列角中，弧AE所对的圆周角是(    ) A．∠ADE B．∠AFE C．∠ABE D．∠ABC 【题型2 圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半】 【例2】（24-25九年级上·湖南长沙·期末）如图，在⊙中，直径垂直于弦，若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【变式2-1】（25-26九年级上·浙江杭州·期末）如图，点A，点B，点C在上，连接，，，连接并延长交于点D．若，，则（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】（25-26九年级上·河南许昌·期末）如图，为的直径，点C在上，且于点O，弦与相交于点E，连接，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式2-3】（25-26九年级上·山东泰安·期末）如图，点、、在上，是弧的中点，交于点．若，，则的度数是______． 【题型3 同弧或等弧所对的圆周角相等】 【例3】（25-26九年级上·山西阳泉·期末）如图，在中，为直径，弦，，的度数为______． 【变式3-1】如图，为的直径，点C在上，且于点O，弦与相交于点E，若，连接，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】（25-26九年级上·湖北武汉·期末）如图，正方形内接于⊙，点是弧的中点，连接，，交于点，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】（25-26九年级上·福建福州·期末）如图，在足球比赛中，从，，，四个位置向球门射门，其中，点，，，在上，点在外，点在内．设射门角度为射门位置与球门两端，所连线段的夹角，则射门角度最大的位置是（   ） A．点处 B．点处 C．点处 D．点处 【题型4 直径所对圆周角为直角】 【例4】（25-26九年级上·陕西延安·期末）如图，是的直径，弦交于点，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式4-1】（25-26九年级上·江苏盐城·期末）如图，已知为的直径，，为上两点，且平分，连接，，若，则的度数为________． 【变式4-2】（25-26九年级上·浙江杭州·期末）如图，是的直径，点C，D是上的点，且，与相交于点E，连接． (1)求证：． (2)若，求的长． 【变式4-3】（25-26九年级上·安徽合肥·期末）如图，是的直径，，垂足为， (1)若，求的半径； (2)若的角平分线交于点，交于点，求证：． 【题型5 90°的圆周角所对的弦是直径】 【例5】（24-25九年级上·江苏宿迁·期末）如图，利用三角尺可以确认图中的弦是圆的直径，其数学依据是（   ）    A．直径所对的圆周角是直角 B．的圆周角所对的弦是直径 C．直角三角形的两个锐角互余 D．两角互余的三角形是直角三角形 【变式5-1】（2024·陕西榆林·模拟预测）如图，内接于，点在上，连接，若，则的直径为（    ） A．12 B． C．6 D． 【变式5-2】如图，圆内接四边形，，，若，则圆的直径是（    ） A．6 B．5 C． D． 【变式5-3】如图，是正方形的外接圆，若正方形的边长为4，则的直径为_______． 考点2 圆内接四边形 【知识点2 圆的内接四边形】 1. 圆内接四边形的定义 （1）一个四边形的4个顶点都在同一个圆上，这个四边形叫做圆的内接四边形，这个圆叫做这个四边形的外接圆． 2. 圆内接四边形的性质 （1）圆内接四边形的对角互补； （2）圆内接四边形的每一个外角都等于它的内对角． 【题型6 圆内接四边形对角互补】 【例6】（25-26九年级上·陕西渭南·期末）如图，四边形内接于，连接，，则的度数为_______ °． 【变式6-1】（25-26九年级上·四川绵阳·期末）如图，四边形内接于，，在的延长线上，点在上，连接，则（   ） A． B． C． D． 【变式6-2】（25-26九年级上·天津·期末）如图，四边形内接于以为直径的，平分，若四边形的面积是，则___________． 【变式6-3】（25-26九年级上·山东潍坊·期末）如图，是的直径，弦，垂足为点，点是上的一点，延长交的延长线于点，连接，，．若，求的大小． 【题型7 圆周角与勾股定理的综合求值】 【例7】（2026·安徽阜阳·一模）如图，，是的两条弦，． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 【变式7-1】（25-26九年级上·河北保定·期末）如图，，都是的直径，弦，垂足为． (1)求证：． (2)若，，求的长． 【变式7-2】（24-25九年级上·北京密云·期末）如图，是的直径，是的弦，于E． (1)求证：； (2)若，，求的半径长． 【变式7-3】如图，在⊙O中，弦AC，BD 相交于点E,连接 AD，已知 (1)求证： (2)连接OC、OD，若AC⊥BD，⊙O的半径为 4，求 CD的长． 【题型8 与圆周角有关的综合证明】 【例8】（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图，，是的两条弦，且． (1)求证：； (2)连接，，求证：． 【变式8-1】（25-26九年级上·广东广州·期末）如图，是的外接圆，平分，交于点，交于点，平分，交于点，连接． (1)求证：； (2)若点是弧的中点，求证：． 【变式8-2】如图，在中，是直径，弦，垂足为，点在上，且，连接，，． (1)求证：； (2)求证：； (3)若，求的长． 【变式8-3】（25-26九年级上·内蒙古乌海·期末）如图，在中，，，以为直径的交于点，点是边上一点（点不与点、重合），的延长线交于点，，且交于点． (1)连接，求证：； (2)连接，，求证：． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题29.4 圆周角（举一反三讲义） 【新教材人教版】 题型归纳 【题型1 圆周角的定义】 2 【题型2 圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半】 4 【题型3 同弧或等弧所对的圆周角相等】 6 【题型4 直径所对圆周角为直角】 10 【题型5 90°的圆周角所对的弦是直径】 14 【题型6 圆内接四边形对角互补】 17 【题型7 圆周角与勾股定理的综合求值】 20 【题型8 与圆周角有关的综合证明】 24 考点1 圆周角 【知识点1 圆周角】 1. 圆周角的定义 顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角． 2. 圆周角定理 圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半，同弧或等弧所对的圆周角相等. 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．如图，=． S 同弧或等弧所对的圆周角相等．如图，⇒=． 3. 圆周角定理的推论 （1）半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径． 如上图，AB是直径⇒= =90°；=90°⇒AB是直径． 4. 圆周角与圆心角的区别 圆心角 圆周角 区别 顶点在圆心 顶点在圆上 在同圆中，一条弧所对的圆心角是唯一的 在同圆中，一条弧所对的圆心角有无数个 联系 两边都与圆相交 【题型1 圆周角的定义】 【例1】（25-26九年级上·福建厦门·阶段检测）如图，内接于圆，点在上，连接，．下列角中，所对圆周角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查圆周角的定义，根据圆周角的定义，结合图形即可求解． 【详解】解：由图可知： 所对圆周角的是或， 故选：C． 【变式1-1】下列关于“圆周角及圆心角”的说法不正确的是（   ） A．圆心角的度数与其所对的弧的度数相等 B．顶点在圆周上的角叫做圆周角 C．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦也相等 D．在圆中，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半 【答案】B 【分析】本题考查了圆周角与圆心角的基本概念及性质，根据圆周角与圆心角的基本概念及性质逐一分析即可，掌握圆周角与圆心角的基本概念及性质是解题的关键． 【详解】解：、 圆心角的度数等于其对应弧的度数，原选项说法正确，不符合题意； 、 圆周角定义要求顶点在圆上且两边与圆相交，原选项说法错误，符合题意； 、同圆或等圆中，相等圆心角所对的弦相等，原选项说法正确，不符合题意； 、同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，原选项说法正确，不符合题意； 故选：． 【变式1-2】下列图形中的角是圆周角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据圆周角的定义判断即可． 【详解】解：选项A和选项B中的角的顶点没有在圆上，选项D中的角的一边没有与圆相交，均不是圆周角， 选项C中的角的顶点在圆上，并且角的两边与圆相交，是圆周角． 故选C． 【点睛】本题考查圆周角的识别，解题的关键是掌握圆周角的定义，即：角的顶点在圆上，并且角的两边与圆相交的角叫做圆周角． 【变式1-3】如图，四边形ABCD的顶点A，B，C在圆上，且边CD与该圆交于点E，AC，BE交于点F.下列角中，弧AE所对的圆周角是(    ) A．∠ADE B．∠AFE C．∠ABE D．∠ABC 【答案】C 【分析】直接运用圆周角的定义进行判断即可. 【详解】解：弧AE所对的圆周角是：∠ABE或∠ACE 故选：C 【点睛】本题考查了圆周角的定义，掌握圆周角的定义是解题的关键. 【题型2 圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半】 【例2】（24-25九年级上·湖南长沙·期末）如图，在⊙中，直径垂直于弦，若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据垂径定理，直径垂直弦可平分弦所对的弧，得到；再由圆周角定理，结合的度数求出所对的圆心角的度数；最后根据等弧所对的圆心角相等，得到的度数． 【详解】解：如图，连接． ∵直径垂直于弦， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴． 故选：C． 【变式2-1】（25-26九年级上·浙江杭州·期末）如图，点A，点B，点C在上，连接，，，连接并延长交于点D．若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据圆周角定理得出，再根据等腰三角形的性质和邻补角的定义求出，再根据三角形外角性质求出． 【详解】解：∵点A，点B，点C在上，， ∴，， ∵连接并延长交于点D，， ∴， ∴， ∵， ∴． 【变式2-2】（25-26九年级上·河南许昌·期末）如图，为的直径，点C在上，且于点O，弦与相交于点E，连接，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据圆周角定理求出，再根据三角形外角定理即可求出． 【详解】解：∵， ， ， ， ∵是外角， ． 【变式2-3】（25-26九年级上·山东泰安·期末）如图，点、、在上，是弧的中点，交于点．若，，则的度数是______． 【答案】/95度 【分析】连接，设与交于点，由圆心角、弧、弦的关系定理推出，由圆周角定理得到，然后由三角形外角的性质求解． 【详解】解：如图，连接，设与交于点， ∵是弧的中点，，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【题型3 同弧或等弧所对的圆周角相等】 【例3】（25-26九年级上·山西阳泉·期末）如图，在中，为直径，弦，，的度数为______． 【答案】 【分析】本题考查圆中求角度，涉及弦与弧的关系、同弧所对的圆周角相等、圆的基本性质、等边对等角、三角形内角和定理、圆心角定理等知识，熟记圆的相关性质是解决问题的关键． 先由弦相等得到弧相等，再由同弧所对的圆周角相等得到，再由等边对等角得到，再由三角形内角和定理得到，从而得到所对的圆心角为，再由圆周角定理即可得到答案． 【详解】解：弦， ， 则， ， ， 则在中，由三角形内角和定理可得， 所对的圆心角为， 则由圆周角定理可得， 故答案为：． 【变式3-1】如图，为的直径，点C在上，且于点O，弦与相交于点E，若，连接，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由等腰三角形的性质可求，再根据圆周角定理可得，即可得解． 【详解】解：连接， ， ， ， ， ． 【变式3-2】（25-26九年级上·湖北武汉·期末）如图，正方形内接于⊙，点是弧的中点，连接，，交于点，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了正方形的性质，等弧所对的圆周角相等，由正方形的性质可得，再由题意可得，则，再由三角形内角和定理即可得到答案． 【详解】解；如图所示，连接， ∵四边形是正方形， ∴， ∵点是弧的中点， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 【变式3-3】（25-26九年级上·福建福州·期末）如图，在足球比赛中，从，，，四个位置向球门射门，其中，点，，，在上，点在外，点在内．设射门角度为射门位置与球门两端，所连线段的夹角，则射门角度最大的位置是（   ） A．点处 B．点处 C．点处 D．点处 【答案】D 【分析】本题主要考查了同弧所对的圆周角相等，三角形外角的性质，掌握相关性质定理是解题的关键．设与圆交于，延长交圆于，连接，，则，进而由三角形外角的性质可得，，即可得到答案． 【详解】解；如图所示，设与圆交于，延长交圆于，连接，，则， ，， ，， ， 射门角度最大的位置是点处． 故选：D． 【题型4 直径所对圆周角为直角】 【例4】（25-26九年级上·陕西延安·期末）如图，是的直径，弦交于点，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据对顶角相等得出，已知，利用三角形内角和定理求出的度数，连接，因为是的直径，由圆周角定理可知，故可得出的度数，进而得出结论． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴． 【点睛】当图中出现直径时，构造直径所对的圆周角是常用的辅助线思路． 【变式4-1】（25-26九年级上·江苏盐城·期末）如图，已知为的直径，，为上两点，且平分，连接，，若，则的度数为________． 【答案】 【分析】由直径所对的圆周角是直角得，由同弧所对的圆周角相等得，由直角三角形两锐角互余得，由平分得，最后由同弧所对的圆周角相等得． 【详解】解：∵为的直径， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 【变式4-2】（25-26九年级上·浙江杭州·期末）如图，是的直径，点C，D是上的点，且，与相交于点E，连接． (1)求证：． (2)若，求的长． 【答案】(1) 证明：是直径， ， ， ∴， ， ∵为半径， ； (2)2 【分析】（1）根据圆周角定理得到，根据平行线的性质得到，再根据垂径定理证明； （2）根据勾股定理列出方程，解方程求出的半径，根据勾股定理求出，再根据勾股定理计算得到答案． 【详解】（1）略 （2）解：，， ， 设，则， 在中，根据勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴， 在中，根据勾股定理得：， 在中，根据勾股定理得：． 【变式4-3】（25-26九年级上·安徽合肥·期末）如图，是的直径，，垂足为， (1)若，求的半径； (2)若的角平分线交于点，交于点，求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半；半圆 (或直径)所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径，也考查了勾股定理和等腰三角形的判定． （1）连接，如图，设的半径为，则，在中利用勾股定理得到，然后解方程即可； （2）连接，如图，先根据圆周角定理得到，再根据角平分线的定义得到，所以，然后证明，从而得到． 【详解】（1）解：如图，连接， 设的半径为，则， 在中，， ∴， ∴； （2）证明：如图，连接， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【题型5 90°的圆周角所对的弦是直径】 【例5】（24-25九年级上·江苏宿迁·期末）如图，利用三角尺可以确认图中的弦是圆的直径，其数学依据是（   ）    A．直径所对的圆周角是直角 B．的圆周角所对的弦是直径 C．直角三角形的两个锐角互余 D．两角互余的三角形是直角三角形 【答案】B 【分析】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．根据的圆周角所对的弦是直径，即可解答． 【详解】解：利用三角尺可以确认图中的弦是圆的直径，其数学依据的圆周角所对的弦是直径， 故选：B． 【变式5-1】（2024·陕西榆林·模拟预测）如图，内接于，点在上，连接，若，则的直径为（    ） A．12 B． C．6 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查圆周角定理和直角三角形的性质，连接，由，可得为的直径，当，可得，在中， ，则，故可得解． 【详解】解：连接，如图， ∵，即， ∴为的直径， ∵所对的圆周角是， ∴ 在中，， ， 故选：A． 【变式5-2】如图，圆内接四边形，，，若，则圆的直径是（    ） A．6 B．5 C． D． 【答案】D 【分析】根据圆内接四边形的性质求出∠A，证明为等腰直角三角形，求解，证明是圆的直径即可得到答案． 【详解】解：∵四边形是圆内接四边形， ∴， ∵， ∴， 又， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴线段为圆的直径， ∴圆的直径为． 故选： 【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质、等腰直角三角形的性质，勾股定理的应用，圆周角定理的应用，掌握以上知识是解题的关键． 【变式5-3】如图，是正方形的外接圆，若正方形的边长为4，则的直径为_______． 【答案】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，90度的圆周角所对的弦是直径，勾股定理，由正方形的性质得到，则是的直径，利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】解：∵四边形是边长为4的正方形， ∴， ∴是的直径， 在中，由勾股定理得， ∴的直径为， 故答案为：． 考点2 圆内接四边形 【知识点2 圆的内接四边形】 1. 圆内接四边形的定义 （1）一个四边形的4个顶点都在同一个圆上，这个四边形叫做圆的内接四边形，这个圆叫做这个四边形的外接圆． 2. 圆内接四边形的性质 （1）圆内接四边形的对角互补； （2）圆内接四边形的每一个外角都等于它的内对角． 【题型6 圆内接四边形对角互补】 【例6】（25-26九年级上·陕西渭南·期末）如图，四边形内接于，连接，，则的度数为_______ °． 【答案】30 【分析】根据圆内接四边形的性质和等腰三角形的等边对等角性质进行解答即可． 【详解】解：∵四边形内接于， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式6-1】（25-26九年级上·四川绵阳·期末）如图，四边形内接于，，在的延长线上，点在上，连接，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质； 根据同弧所对的圆周角相等可得，再利用平行线的性质求出，然后根据圆内接四边形的一个外角等于它的内对角得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 【变式6-2】（25-26九年级上·天津·期末）如图，四边形内接于以为直径的，平分，若四边形的面积是，则___________． 【答案】 【分析】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，全等三角形的判定和性质． 过点作，交的延长线于点，证明，从而得到四边形的面积等于的面积，然后证明出是等腰直角三角形，根据三角形的面积公式即可求出的长度． 【详解】解：如图，过点作，交的延长线于点E， ， ∵为的直径， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， 在与中， ∴ ， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式6-3】（25-26九年级上·山东潍坊·期末）如图，是的直径，弦，垂足为点，点是上的一点，延长交的延长线于点，连接，，．若，求的大小． 【答案】 【分析】本题主要考查圆内接四边形和垂径定理，连接，由圆内接四边形的性质得，由垂径定理得，根据可得结论． 【详解】解： ∵四边形是的内接四边形， ∴． ， ． 是的直径，弦， ， ． ， 即， ． 【题型7 圆周角与勾股定理的综合求值】 【例7】（2026·安徽阜阳·一模）如图，，是的两条弦，． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 【答案】(1) 证明：， ， ， ， ； (2)的半径为 【分析】（1）根据题意得到，即可得到，证明，即可证明结论； （2）连接，，，根据圆周角定理得到，证明，得到是等腰直角三角形，在中，，即，即可得到答案． 【详解】（1）略 （2）解：如图，令的交点为，连接，，， ∵， ∴， ， ， 在和中， ， ， 又， 是等腰直角三角形， ， ， 设的半径为． 在中，，即， 解得， 的半径为． 【变式7-1】（25-26九年级上·河北保定·期末）如图，，都是的直径，弦，垂足为． (1)求证：． (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：∵， ∴， ∴， ∴； (2) 【分析】（1）由对顶角相等可得，则可得，再根据圆周角定理可得，则； （2）根据垂径定理，，根据圆周角定理可得，结合可证明是等腰直角三角形，则，使用勾股定理计算出的长． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴，， ∵， 又∵， ∴， ∴， 在直角中，． 【点睛】本题考查垂径定理，圆心角的性质，圆周角定理，等腰三角形的判定定理，勾股定理，熟练掌握圆的基本性质是关键． 【变式7-2】（24-25九年级上·北京密云·期末）如图，是的直径，是的弦，于E． (1)求证：； (2)若，，求的半径长． 【答案】(1) 证明：连接， ∵直径， ∴， ∴， ∵， ∴； (2)5 【分析】本题考查了圆周角定理，勾股定理，垂径定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）连接，利用垂径定理可得：，从而可得，然后利用圆周角定理可得：，从而可得，即可解答； （2）利用垂径定理可得：，然后设的半径为，在中，利用勾股定理进行计算即可解答． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ， 设的半径为， 在中，， ， 解得：， ∴的半径长为5． 【变式7-3】如图，在⊙O中，弦AC，BD 相交于点E,连接 AD，已知 (1)求证： (2)连接OC、OD，若AC⊥BD，⊙O的半径为 4，求 CD的长． 【答案】(1) 证明：∵； ∴； ∴； 即； ∴． (2) 【分析】本题主要考查了圆周角定理，弧、线与圆周角之间的关系，勾股定理，熟练掌握相关知识是解题的关键．（1）根据弧、弦之间的关系定理得到，进而得出，根据圆周角定理证明即可；（2）根据圆周角定理求出，根据勾股定理即可求出答案． 【详解】（1）略 （2）解：∵； ∴； ∴； ∴； ∵的半径为4， ∴． 【题型8 与圆周角有关的综合证明】 【例8】（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图，，是的两条弦，且． (1)求证：； (2)连接，，求证：． 【答案】(1) 证明：∵ ∴， ∴， ∴， ∴； (2) 证明：如图， 由（1）知：， ∵所对的弧是，所对的弧是， ∴， ∴． 【分析】本题考查了圆心角、弦、弧之间的关系定理，圆周角定理，解题的关键是： （1）根据在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两个弦中有一组量相等，它们所对应的其余各组量也相等，据此求解即可； （2）根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，可得出，然后根据平行线的判定即可得证． 【变式8-1】（25-26九年级上·广东广州·期末）如图，是的外接圆，平分，交于点，交于点，平分，交于点，连接． (1)求证：； (2)若点是弧的中点，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了圆周角定理，角平分线的定义，全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握圆周角定理． （1）由角平分线的定义可得，，根据圆周角定理得到，推出，即可得证； （2）由题意可得，进而得到，证明得到，由（1）知，推出，即可得证． 【详解】（1）证明： 、分别平分、， ，， ， ， ， ，， ； （2）证明：点是的中点， ， ， 平分， ， ， ， ， ， 由（1）知， ， ． 【变式8-2】如图，在中，是直径，弦，垂足为，点在上，且，连接，，． (1)求证：； (2)求证：； (3)若，求的长． 【答案】(1) 证明：是的直径，， ． ， ， ， ． (2) 证明：如图，连接． ． ， ∴． 是的直径， ． 是的直径，， ， ∴， 四边形为平行四边形， ， ． (3)的长为1 【分析】题目主要考查垂径定理，圆周角定理，平行四边形的判定和性质，解一元二次方程，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键． （1）根据垂径定理得出，再由弧、弦之间的关系求解即可； （2）连接，根据圆周角定理，平行四边形的判定得出四边形为平行四边形，再由其性质即可证明； （3）设，则，再由中位线的性质及平行四边形的性质，利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：设，则． ， 为的中位线， ． 四边形为平行四边形， ， ． ， ． 在Rt中，由勾股定理得， 即，整理得， 解得（不合题意，舍去）， 即的长为1． 【变式8-3】（25-26九年级上·内蒙古乌海·期末）如图，在中，，，以为直径的交于点，点是边上一点（点不与点、重合），的延长线交于点，，且交于点． (1)连接，求证：； (2)连接，，求证：． 【答案】(1) 证明：连接， 在中，，， ∴， ∵为圆的直径， ∴，即， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ，，， ∴， ∴． (2) 证明：连接，， ∵， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴． 【分析】本题主要考查了圆周角定理、全等三角形的判定与性质以及平行线的判定，第（1）问通过连接构造直角三角形，利用直径所对的圆周角为直角和等腰三角形性质证明；第（2）问通过证明，利用同位角相等判定两直线平行是解题的关键． （1）连接，由三角形为等腰直角三角形，求出与的度数，根据为圆的直径，利用圆周角定理得到为直角，即垂直于，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得到，进而确定出，再利用同角的余角相等得到一对角相等，利用得到三角形与三角形全等，利用全等三角形对应边相等即可得证； （2）连接，，由三角形与三角形全等，得到，进而得到三角形为等腰直角三角形，利用圆周角定理及等腰直角三角形性质得到一对同位角相等，利用同位角相等两直线平行即可得证 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $