29.2.3圆周角（第2课时 圆内接四边形）（教学课件）数学新教材人教版九年级上册

该初中数学课件聚焦圆内接四边形的定义及性质，通过回顾四边形内角和，结合画图观察顶点在圆上的特殊性，衔接圆周角定理，搭建旧知到新知的学习支架。 其亮点在于“观察—猜想—证明—应用”探究流程，通过画图测量培养几何直观，性质证明发展推理意识，典例与真题结合提升应用能力。学生能增强逻辑推理和几何直观，教师可利用多样化练习提高教学效果。

29.2 圆的有关性质 29.2.3 圆周角 第2课时　圆内接四边形 第二十九章 圆 人教版（新教材）九年级上册 学 习 目 标 1 2 3 理解圆内接四边形的定义：能准确识别圆内接四边形，并能指出其外接圆. 掌握圆内接四边形的性质：能准确叙述并证明“圆内接四边形对角互补”这一性质，理解“外角等于内对角”的结论. 灵活运用性质：能运用圆内接四边形的性质进行角度计算和简单的几何证明. 4 发展核心素养：经历“观察—猜想—证明—应用”的探究过程，体会转化思想（将四边形问题转化为圆周角问题），发展逻辑推理和几何直观能力. 知识回顾 练一练 1.如图，在⊙O中，∠AOD=120º，∠BDP=25º，则∠P的度数等于 。 35° O A P C D B 圆周角定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. ∠P= 知识回顾 练一练 2. 如图，等边三角形ABC，点D是⊙O上一点，则∠BDC = ； 60° 圆周角定理推论 同弧或等弧所对的圆周角相等 ∠BDC=∠BAC=60° 知识回顾 3.如图，的直径是，，圆的半径是4，则弦的长是（    ）． 解：如图：连接， ∵， ∴， ∵的直径是，圆的半径是4， ∴， ∴， ∴， ∴, ∵， ∴，解得：． A． B． C． D． ∟ B 圆周角定理推论 直径所对的圆周角是直角 练一练 导入新课 如图，在⊙O上任取四个点A、B、C、D，顺次连接得到一个四边形ABCD · O C · B · A · D · （1）四边形有什么基本性质？ 四边形的内角和为360° ∠A +∠B+∠C + ∠D =360° （2）四边形ABCD的四个顶点在哪里？ 都在⊙O上. 四边形ABC是圆内接四边形 四个顶点都在同一个圆上的四边形叫做圆内接四边形，这个圆叫做这个四边形的外接圆. （3）圆内接四边形定义 新知探究 探究点1 度量观察猜想性质 议一议 学习任务单： 画一个⊙O，在圆上任取四个点A、B、C、D，连接成四边形ABCD。用量角器分别测量∠A和∠C、 ∠B和∠D的度数. 猜想： 。 · O D B C A · · · · 一般四边形的内角和为360°，但具体每个角是多少度不确定.圆内接四边形的四个角由于都在圆上，它们之间会不会有某种特殊的数量关系？ ∠A+∠C=180° ∠B+∠D =180° 对角互补. 新知探究 探究点1 度量观察猜想性质 议一议 · O D B C A · · · · E 一般四边形的内角和为360°，但具体每个角是多少度不确定.圆内接四边形的四个角由于都在圆上，它们之间会不会有某种特殊的数量关系？ 学习任务单： 画一个⊙O，在圆上任取四个点A、B、C、D，连接成四边形ABCD。延长AB到E，∠CBE是四边形的一个外角. ∠CBE+ =180° 猜想： 。 ∠CBE=∠D ∠CBA 外角等于内对角 · O D B C A · · · · 新知探究 探究点2 性质的证明 求证：圆内接四边形的对角互补. 思 考 已知：四边形ABCD内接于⊙O. 求证：∠A + ∠C = 180°，∠B + ∠D = 180°. (1)∠A是圆周角，它对的弧是哪条？所对圆心角的度数如何表示？ (2)∠C是圆周角，它对哪条弧？ ∠C对 ，对的圆心角的的度数 = 2∠C的度数） ∠A对，对的圆心角的度数 = 2∠A的度数 和合起来是整个圆，所对圆心角的度数和是360°. （3）和合起来是多少度？ （4）请用数学式子表达这个关系. 2∠A + 2∠C = 360° 问题分析 新知探究 探究点2 性质的证明 求证：圆内接四边形的对角互补. 思 考 已知：四边形ABCD内接于⊙O. 求证：∠A + ∠C = 180°，∠B + ∠D = 180°. 问题解答 · O D B C A · · · · 证明：如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形.连接OB，OD. ∵∠A 所对的弧为， ∠C 所对的弧为， 又 和 所对的圆心角的和是周角， ∴ ∠A + ∠C = ×360° = 180°. 同理 ∠B + ∠D = 180°. 新知探究 探究点2 性质的证明 已知：四边形ABCD内接于⊙O，延长AB到E. 求证：∠CBE = ∠D. 证明：∵四边形ABCD内接于⊙O ∴∠ABC + ∠D = 180° （圆内接四边形对角互补）， ∵ ∠CBE + ∠ABC = 180°（邻补角定义）， ∴ ∠CBE = ∠D. 圆内接四边形的任何一个外角等于它的内对角. · O D B C A E 思考 怎样证明这个结论呢？ ►圆内接四边形的对角互补 新知探究 探究点2 性质的证明 归一归 ∵ 四边形ABCD内接于⊙O， ∴ ∠A + ∠C = 180°，∠B + ∠D = 180°. ∴ ∠CBE = ∠D. ►圆内接四边形的任何一个外角等于它的内对角. 圆内接四边形性质定理及推论 · O D B C A E 几何符号语言： 典例分析 例1.如图.四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠BOD=100°，求∠A和∠C的度数. 解：:在⊙O中，∠A与∠BOD所对的弧都是， ∴∠A=∠BOD=×100°=50°. 又四边形ABCD是⊙O的内接四边形， ∴∠C+∠A=180° ∴∠C=130°. · O D B C A 问题分析 ∠BOD=100° ∠A=∠BOD ∠A=50° ∠C+∠A=180° ∠C的度数 典例分析 例2．求证：圆内接菱形是正方形． 证明 ∵四边形是菱形， ∴，（菱形对角相等） ∵菱形内接于， ∴， ∴， ∴菱形是正方形． （有一个角是直角的菱形是正方形） · O D B C A 已知：菱形ABCD内接于⊙O. 求证：菱形是正方形. 新知巩固 1. 如图，圆内接四边形 ABCD 的对角线 AC，BD 把它的 4 个内角分成 八 个角，这八个角中哪些相等？ 为什么？ 解： ∠1 与∠4所对的弧是 ∴∠1 = ∠4， 同理∠3 = ∠6， ∠2 = ∠7， ∠5 = ∠8. 理由：同弧所对的圆周角相等. 课本P131 D B C A 1 2 3 6 7 5 4 8 新知巩固 2. 如图，四边形 ABCD 是内接于 ⊙O，的内接四边形。E为CB延长线上一点，若∠D=110°。求∠ABE 的度数. 解：∵四边形 ABCD 是内接于 ⊙O ，E为CB延长线上一点 ∴∠ABE =∠D= 110°. （圆内接四边形的任何一个外角等于它的内对角.） · O D B C A E · 课本P131 新知巩固 3.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，且AB=AD.若∠C=78°，求∠ABD的度数. · O D B C A 解： ∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形 ∴∠A+∠C=180° ∵ ∠C=78° ∴ ∠A=180 °－78°=112° ∵ AB=AD ∴ ∠ABD= ∠ADB（等边对等角） ∵∠A+ ∠ABD+∠ADB =180° ∴∠ABD = (180 ° － 112°)=39° 课本P131 拓展提升 1.如图，四边形内接于平分，求四边形的面积． 解：连接， ∵四边形内接于， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形的面积为： ． 真题感知 1．（2026·延安校联考）如图，四边形内接于，、分别在、的延长线上，且，求证：． 证明：∵四边形内接于， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴．（同旁内角互补，两直线平行） 真题感知 2．（2026福建）如图，四边形 内接于， 是延长线上的一点，的延长线交于点，，． (1)求的度数； (2)求证：四边形是平行四边形. （1）解： ，， 是等边三角形． ． ∵四边形 是的内接四边形， ． 又， ． ， ． 真题感知 2．（2026福建）如图，四边形 内接于， 是延长线上的一点，的延长线交于点，，． (1)求的度数； (2)求证：四边形是平行四边形. （2）证明：， ．． ∵四边形是的内接四边形， ． 是等边三角形， ， ． ． ． ∴四边形是平行四边形． 课堂小结 ＊定义： 四个顶点都在同一个圆上的四边形叫做圆内接四边形. ＊性质： 对角互补（∠A+∠C=180°，∠B+∠D=180°）； 外角等于内对角（∠CBE=∠D）. ＊常用方法： 遇到圆内接四边形，立即想到“对角互补”或“外角=内对角”寻找角的大小关系 知识与技能 · O D B C A · · · · E 课堂小结 ►转化思想： 将四边形问题转化为圆周角问题，利用弧的度数关系进行证明. ►方程思想： 在比例问题中，通过设未知数列方程求解. ►类比思想： 类比一般四边形的内角和，发现圆内接四边形的特殊性质. 思想与方法 · O D B C A · · · · E 课堂小结 ＊区分概念： 圆内接四边形（顶点在圆上）≠圆外切四边形（边与圆相切，后续学习）. ＊找准外角： 外角等于内对角——外角必须是“延长某一边”形成的邻补角，内对角是“与这个外角不相邻的内角”. ＊弧的对应： 在证明对角互补时，注意∠A对的是（不经过A的弧），不是. 易错点提醒 · O D B C A · · · · E 课后练习 5.求证：圆内接平行四边形是矩形. 证明:四边形ABCD为⨀𝑶的内接四边形, ∴∠BAD+∠BCD=180° ∵四边形ABCD为平行四边形, ∴∠BAD=∠BCD（平行四边形对角相等） ∴∠BAD=∠BCD =90° ∴ ▱ ABCD 为矩形。 · O D B C A 习题 26.2 课本p132页 已知：平行四边形ABCD内接于⊙O. 求证：平行四边形是矩形. 证法一 课后练习 5.求证：圆内接平行四边形是矩形. 证明:∵四边形ABCD为⨀𝑶的内接平行四边形, ∴AB=DC,（平行四边形对边相等） ∴= , ∴ + = + , 即 = , ∴ AC= BD, ∴ ▱ ABCD 为矩形 （对角线相等的平行四边形为矩形） · O D B C A 习题 29.2 课本p132页 已知：平行四边形ABCD内接于⊙O. 求证：平行四边形是矩形. 证法二 课后练习 6. ⨀𝑶的半径为13，AB，CD是的两条弦，AB//CD，AB=24,CD=10.求AB和CD之间的距离. 解:两种情况 （1）如图，当弦AB，CD在圆心两侧 过圆心O作OE ⊥AB，垂足为E、延长EO交CD于F，连结OA、OC ∵AB//CD ∴ OF ⊥AB ∵AB=24，CD=10 ∴AE=12，CF=5 (垂径定理) ∵OA=13，由勾股定理得：OE==5， OF==12 ∴EF=OE+OF=17 · O D B C A E F ∟ ∟ 习题 29.2 课本p132页 课后练习 6. ⨀𝑶的半径为13，AB，CD是的两条弦，AB//CD，AB=24,CD=10.求AB和CD之间的距离. A E F · O D B C A （2）如图，当弦AB，CD在圆心同侧侧 过圆心O作OE ⊥AB，垂足为E、延长OE交CD于F，连结OA、OC ∵AB//CD ∴ OF ⊥AB ∵AB=24，CD=10 ∴AE=12，CF=5 (垂径定理) ∵OA=13，由勾股定理得： OE==5， OF==12 ∴EF=OE-OF=7 答：AB和CD之间的距离为17cm或7cm. 习题 29.2 课本p132页 ∟ ∟ 课后练习 12.如图，AB，CD是上的两条弦，OM ⊥ AB，ON ⊥ CD，垂足分别为M，N.如果AB>CD，OM和ON的大小有什么关系？为什么? 解:OM<ON,理由: 连接OC,OA.由垂径定理得： AM= ∵OM= ON= 且 OC=OA，AB>CD ∴ OM<ON. 习题 29.2 课本p133页 课后练习 13.如图，铁路MN和公路PQ在点O处交会，∠QON=30°，在点A处有一栋居民楼， AO = 200 m. 如果火车行驶时，周围 200 m以内会受到噪声的影响，那么火车在铁路MN上沿ON方向行驶时，居民楼是否会受到噪声的影响？如果火车行驶的速度为 72 km/h，居民楼受噪声影响的时间约为多少秒（结果保留小数点后一位）？ 解:会.以点A为圆心,以AO长为半径画圆交MN于点B, 过点A作AC ⊥ OB于点C. ∵∠ QON=30° ∴ AC= AO=100m OC= =100(m). ∵ 100<200，∴会受到噪声影响， BO=2OC= 200 m= km, ÷ 72 × 3 600≈17.3(s). ∴受到噪声影响的时间约为17.3s. 习题 29.2 课本p133页 B ∟ C 课后练习 14.如图，一个海港在AB范围内是浅滩.为了使深水船只不进入浅滩，需要测量船所在的位置与两个灯塔的视角∠ APB，并把它与已知的危险角∠ ACB(AB上任意一点C与两个灯塔所成的角）相比较，航行中保持∠ APB< ∠ ACB.你知道这样做的道理吗? 解:连接PC并延长，根据三角形的 一个外角大于任何一个与它不相邻 的内角，可知∠APB<∠ACB; 而根据同弧所对的圆周角相等，可知只要始终保持∠APB<∠ACB便会远离危险区 习题 29.2 课本p133页 谢谢聆听 $