29.2.2 圆心角-【新课程能力培养】2026-2027学年九年级上册数学同步练习（人教版·新教材）

数学 九年级上册（人教版） 29.2.2 圆， 心角 知识梳理@形成联系 【知识点】圆心角的定义及圆心角定理 ©我们把 的角叫作圆心角 ©圆是中心对称图形， 就是它的对称中心.把圆绕圆心旋转任意一个角度，所 得的图形都与原图形重合，即圆是 对称图形 ○在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的 相等，所对的 也相等 ©在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的 相等，所对的 相等 ©在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的 相等，所对的 和 分别相等. 如图29.2-3，AB,CD是⊙O的两条弦，且AB=CD.求证：AC=BD.(请用两种方法 证明) 图29.2-3 例题点拨Q素养导向 -s多多 【例】如图29.2-4，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，且AB∥CD,连接AC,BD.求 证：AC=BD 【点拨】要证AC=BD,只要证明AC,BD所对的圆心角相等，故连接OC,OD.由AB∥ CD,可得∠AOC=∠OCD,∠BOD=∠ODC.由OC=OD,可证∠OCD=∠ODC. 图29.2-4 @ 圆 第二十九章 夯实四基达标闯关 1.如图，点A,B,C,D都在⊙O上，∠AOB=∠COD,下列说法一定正确的是() A.AB=AD B.AB=BC C.AB=CD D.AD=BC 2.如图，AB是⊙O的直径，C,D是⊙0上的点，若CD=BD,∠AOC=120°，则∠BOD 的度数为() A.20° B.30° C.45° D.60° 第1题图 第2题图 第3题图 第4题图 3.如图，AB是⊙O的直径，BC=BD,若∠AOC=130°，则∠BOD的大小为() A.130° B.80° C.65° D.50 4.如图，在⊙0中，请添上一个条件： 使得AB=CD 5.如图，在⊙0中，AB=AC,AB,AC是互相垂直的两条弦，OD1AB,OELAC,垂足 分别为D,E.求证：OD=OE. B 0 第5题图 能力提升岫综合拓展 6.如图，点A,B,C,D,E在⊙0上，且BC=CD=DE=EA. (1)求证：AD=CE D (2)若AB=2,CE=3,求⊙0的半径 ●0 B 第6题图 @ 数学 九年级上册（人教版） 7.如图，在⊙O中，AC=CB,CD⊥OA于点D,CE⊥OB于点E,求证：OD=OE. 第7题图 8.如图，AB是⊙O的弦，C,D是AB上两点，AC=BD,求证：AF=BE. 0 第8题图 9.如图，AB,CD是⊙O的两条弦，且AB=CD,OM⊥AB于点M,ON⊥CD于点N.求 证：OM=ON. 第9题图 10.如图，已知⊙O的直径AB垂直弦CD于点E,连接CO并延长交AD于点F,且F 为AD的中点. (1)求证：AD=CD (2)若AB=8,求弦CD的长. B 第10题图 ②数学 九年级上册（人教版） 29.2圆的有关性质 9.解：(1)货船不能顺利通过这座桥，理由如 29.2.1垂直于弦的直径 下：以D为坐标原点建立坐标系如图1，根据题意 【知识点】任何一条直径所在直线弦 得CD=18m,AD=BD=24m,:A(-24,0),B(24,0), 弦所对的两条弧垂直于弦所对的两条弧 C(0,18),设抛物线为y=2+18,代人点A的坐标， 得576a+18-0,解得仁2，抛物线为-立418， 1 1.BE BD BC2.⊥ 【例】解：由题意，得圆心O在EF上，四 边形ABCD是矩形，AD=BC=48m,EF⊥ 设MN=14m,MN上y轴于点H,MH=号MN=7m, AD,AP号4D=24m,设01=rm,E=EF 点M坐标为7，把一7代人y立8，得贸。 PF=4-2.8=1.2(m),.0P=0E-PE=(r-1.2)m, DH=527 32 m<16.5m,.货船不能顺利通过这座桥. 在Rt△A0P中，0A2=AP2+0P2,2=2.42+(r- 1.2)2,.r=3.∴.上部圆弧的半径O4的长是3m M 1.D2.D3.C4.5 5.45垂径定理(r-15)452+(r-15)275 H 6.解：AB是⊙0的直径，AB⊥CD,∠OED= D 90°，DE=】DC=4,在Rt△0ED中，OE=VOD-ED= 2 V5-4=3,0B=0D=5,∴BE=0B-0E=5-3=2 图1 图2 7.解：(1)如图1，连接OB,OC.设BF=EF=x, 第9题答图 OF=yAB∥CD,EF⊥AB,EF⊥CD,∠CEF= (2)①连接OA,根据题意，得CD=18m,AB= ∠BFO=90°，.AF=BF=x,DE=EC=2V6,根据勾股定 理，可得25， 4格m,则AD=子AB=24m,设这座拱标所在圆的半径 (2V6+(y)2-25 解得（舍去) 为xm,则0A=0C=xm,0D=0C-CD=(x-18)m,在 Rt△A0D中，0A2=0D+AD2,则x2=(x-18)2+24,解得 或K=4,,BF=4,AB=2BF=8. x=25,.该圆弧形拱桥所在圆的半径为25m. y=3. ②货船能顺利通过这座拱桥.理由如下：连接 0M,设MN=14m,0C1MN,Mh=号M7m,在 Rt△OMH中，0H=VOM-Mr=24(m),·OD=0C CD=25-18=7(m),·.0H-0D=24-7=17(m)>16.5m, .货船能顺利通过这座拱桥 10.1011.B 图1 图2 29.2.2圆心角 第7题答图 【知识点】顶点在圆心圆心旋转弧 (2)如图2，作CH⊥AB于点H.0B⊥OC, 弦 圆心角弦圆心角优弧劣弧 ∠A=号∠BOC=45°，AHLCH,△ACH是等腰直角 证明：证法1：：AB=CD,.∠AOB=∠COD, 2 ∴.∠AOB-∠COB=∠COD-∠COB,即∠AOC= 三角形，AC=V2CH,AB∥CD,EF⊥AB,EF⊥ ∠BOD,AC=BD CD,∠CEF=∠EFH=∠CHF=90°，∴.四边形EFHC是矩 证法2：AB=CD,AB=CD,AB-BC 形，CH=EF,在Rt△OEC中，EC=V6,OC= CD-BC,即AC=BD. V30,.0E=V0C-EC=V30-6=2V6,∠E0C+ 【例】证明：连接OC,OD.AB∥CD, ∠OCE=90°，∠EOC+∠F0B=90°，.∴.∠FOB=∠EC0, ∠AOC=∠OCD,∠B0D=∠ODC..OC=OD, .OB=OC,.△0FB≌△CE0(AAS),.OF=EC=V6, ∠OCD=∠ODC,.∠AOC=∠BOD,AC=BD. ..CH=EF=3V6,.AC=V2 EF-6V3 1.C2.B3.D 8.解：如图，连接OA, 由题意，得0A=0C=1+0D, 4.∠A0OB=∠COD(答案不唯一) .0C⊥AB,.0D=0A-1, 5.证明：AB=AC,AB=AC,·0D⊥AB,0EI AD=BD=分AB=3(m), AC,AD=7AB,AE=4C,∠0D1=∠0E1S0, ∠AD0=90°，在Rt△AD0 D B 水面 AD=AE,AB⊥AC,.∠DAE=90°，四边形AE0D是 中，0A2=0D+AD,∴.0A2= 用 矩形，AD=AE,.四边形AEOD是正方形，.OD=OE. (0A-1)2+32,.0A=5(m), 6.(1)证明：BC=CD=DE=EA,.DE+EA= 即⊙0的半径为5m. 第8题答图 C⑦+DE,即AD=CE,AD=CE. 62 参 考答案 (2)解：如图，连接BD, D 理由如下：AE平分∠BAC,BE平分∠ABC, OA,连接DO并延长交AB于 ∠BAE=∠CAD=∠CBD,∠ABE=∠EBC. 点FBC=CD=DE=EA, ∠BED=∠BAE+∠ABE,∠DBE=∠DBC+∠CBE, AD=BD,即点D是ADB的中 00 ∠BED=∠DBE,BD=ED,AB为直径， 点，D01AB,ABF2AB ∠ADB=90°，.∴△BDE为等腰直角三角形 (2)如图，连接0C, 1,由(1)知AD=CE,CE=3, A 第6题答图 CD,OD,OD交BC于点F :AD=3,在Rt△ADF中，由勾 ∠DBC=∠CAD=∠BAD=∠BCD, 股定理，得DF=VAD-AF=V32-1下=2V2,设⊙0 BD=DC.OB=0C,∴.OD垂 的半径为r,则0F=2V2-T,在Rt△AOF中，由勾股 直平分BC.~△BDE是等腰直 定理，得0A2=0F2+AF22=(2V2-r)2+12,解得r= 角三角形，BE=2V10,BD= D 92,即⊙0的半径是92 2V5.AB=10,.0B=0D=5 例题答图 8 1 设OF=t,则DF=5-k在Rt△BOF和Rt△BDF中， 7.证明：AC=CB,.∠AOC=∠BOC,:CD⊥ OA,CE⊥OB,∴.∠CD0=∠CE0=90°.在△CD0与 52-2=(2V5)2-(5-t)2,解得=3，.BF4,.BC=8. ∠AOC=∠B0C, 1.2/32.23°3.100° △CE0中， {∠CD0=∠CE0,∴.△CD0≌△CE0 4.证明：如图，连接CD. OC=OC. AM=BM,.∠A=∠B,由圆周角 (AAS),..OD=OE. 定理，得∠D=∠A,∠C=∠B, 8.证明：OA=0B,.∠A=∠B,在△OAC和 ∠C=∠D,∴.CM=DM. OA=OB. 5.证明：AD=CB,∴AD= △OBD中. ∠A=∠B,.△OAC≌△OBD,.∠AOE= CB,.AD+AC =CB +AC,..AB= 第4题答图 AC=BD. CD,AB=CD,BD=DB,.△ABD≌△CDB(SSS) ∠BOF,AE=BF,.AF=BE: 6.(1)证明：连接BC,CD=CE,∠CED= 9.证明：如图，连接OB.由题意，可得BM= ∠D,∠CED=∠CAB,∴.∠D=∠CAB,∴DB=AB, 4B,CN=D,MB-CD,BM-CN,在R△0MB :AB是⊙0的直径，.∠ACB=90°，DB=AB,BC⊥ AD,.AC=CD. 与Rt△ONC中， OB=OC, BM=CN, .Rt△OMB≌Rt△OWC (2)解：由(1)得∠D=∠CAB,∠D=25°， ∠ABE=∠D+∠CAB=2∠D=50°，AB是⊙O的直径 (HL)...OM=ON. ∴.∠AEB=90°，∴∠BAE=90°-∠ABE=40°，∴.∠BAE的 度数是40°. D 0 B 第9题答图 第10题答图 D 10.(1)证明：连接AC,如图.，⊙0的直径AB 第6题答图 第7题答图 垂直弦CD于点E,∴CE=DE,AC=AD,∴AC=AD, 7.(1)解：如图，连接CB.CD是⊙0的直径， 又F为AD的中点，CF经过圆心O,.CF⊥AD, .∠CED=90°，.AB⊥CD,∴.∠BOC=∠BOD=90°， ∴.CD=AC,AC=CD,∴AD=CD. OB=0C,.∠BCD=∠0BC=45°（等边对等角），BD (2)解：连接BD.如图，由(1)可知AC=AD= =BD,.∠BED=∠BCD=45°（圆周角定理），.∠CEB= CD,.△ACD是等边三角形，∠DAB=30°，∴.∠ADB= ∠CED+∠BED=90°+45°=135°，则∠CEB的度数为 0AB-8B4B-4.AD-VAR-D 135 (2)证明：如图，连接BD.:点E在弧BC的中 V82-4=4V3,.CD=AD=4V3 点处，.CE=BE,.∠CBE=∠CDE=∠BDE(圆周角定 29.2.3圆周角（第一课时） 理)，由(1)可知∠0BC=45°，∴.∠FBE=∠OBC+ 【知识点】圆上都与圆相交圆周角圆 ∠CBE=45°+∠CBE,OB=OD,∠B0D=90°， 心角同弧或等弧半圆（或直径）直径 ∠OBD=45°，∠EFB是△BDF的一个外角，∴∠EFB= 1.A2.B3.C ∠OBD+∠BDE=45°+∠BDE,∴.∠EFB=∠EBF,∴.EF= 【例】解：(1)△BDE为等腰直角三角形 EB(等角对等边). 63