29.2.2 圆心角 课件 2026-2027学年人教版数学九年级上册

29.2 圆的有关性质 29.2.2 圆心角 任务一：理解圆的旋转对称性，了解圆心角的概念. 活动：在两张透明纸上，分别作半径均为3cm的⊙O和⊙O´，把两张纸叠在一起，使⊙O和⊙O´重合，用图钉钉住圆心. 问题1：将上面一个圆旋转任意一个角度，两个圆还能重合吗？ 圆是中心对称图形. 对称中心是圆心. 问题2：把圆绕圆心旋转任意一个角度呢？ 圆是旋转对称图形，具有旋转不变性. O A B 1.圆心角：顶点在圆心的角叫作圆心角，如∠AOB. 2.圆心角∠AOB所对的弧为AB. 3.圆心角∠AOB所对的弦为AB. 任意给圆心角，对应出现两个量： 圆心角 弧 弦 判断下列各图中的角是不是圆心角，说明理由. ① ② ③ ④ 圆内角 圆外角 圆周角 （后面会学到） 圆心角 任务二：掌握弧、弦、圆心角之间的关系，并用其解决相关问题. 活动：如图，在⊙O 中，圆心角 ∠AOB = ∠A′OB′. 独立思考，解决下列问题. 问题：圆心角 ∠AOB 和 ∠A′OB′ 所对的弧 和 ，弦 AB 和 A′B′ 相等吗？为什么？ AB ( A′B′ ( 把∠AOB 连同 绕圆心O旋转，使射线 OA 与 OA′ 重合. ∵∠AOB = ∠A′OB′，∴射线 OB 与 OB′ 重合. 又 OA = OA′，OB = OB′， ∴点A 与 A′ 重合，点 B 与 B′ 重合． AB ( O A B A′ B′ O A B B′ A′ 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等． 思考：同圆或等圆中，对于两个圆心角、两条弧、两条弦，如果有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量有什么关系？ 因此， 与 重合， AB 与 A'B' 重合. 即 = ， AB = A'B'. AB ( A'B' ( AB ( A'B' ( 弧、弦、圆心角之间的关系定理 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等. 几何语言： ∠AOB=∠A′OB′ AB=A′B′ AB=A′B′ 思考：如果把定理的结论与题设交换，还成立吗？ O B′ A′ A B 弧、弦、圆心角关系定理的推论 在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等. O B′ A′ A B 在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的优弧和劣弧分别相等. AB=A′B′ ∠AOB=∠A′OB′，AB=A′B′ AB=A′B′ ∠AOB=∠A′OB′，AB=A′B′ 思考：“在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等” ，可否把条件“在同圆或等圆中”去掉？为什么？ 如图，∠AOB=∠A′OB′， 但AB≠A′B′，AB≠A′B′. 前提：在同圆或等圆中. O A B B′ A′ O A B B′ A′ O B′ A′ A B 圆心角相等 弧相等 弦相等 知一推二 例1：如图，在⊙O中，AB=AC，∠ACB=60°.求证：∠AOB=∠BOC=∠AOC. 证明：∵在⊙O中，AB=AC， ∴AB=AC，△ABC是等腰三角形. 又∠ACB=60°， ∴△ABC是等边三角形，可得AB=BC=AC. ∴∠AOB=∠BOC=∠AOC. 1.如图，AB，CD是⊙O的两条弦. （1）如果AB=CD，那么__________， _____________. （2）如果AB=CD，那么__________，_____________. （3）如果∠AOB=∠COD，那么___________，____________. AB=CD ∠AOB=∠COD AB=CD ∠AOB=∠COD AB=CD AB=CD （4）如果AB=CD，OE⊥AB，OF⊥CD，垂足分别为E，F，OE与OF相等吗？为什么？ 解：相等.理由： ∵OE⊥AB，OF⊥CD， ∴AE=AB，CF=CD，∠AEO=∠CFO=90°. ∵AB=CD，∴AE=CF. 又OA=OC，∴Rt△AOE≌Rt△COF（HL）. ∴OE=OF. 圆心角 概念 顶点在圆心的角 弦、弧、圆心角的关系定理及推论 前提：在同圆或等圆中. 针对本节课的关键词“圆心角”，你能说说学到了哪些知识吗？ 1.如果两个圆心角相等，那么（ ） A.这两个圆心角所对的弦相等 B.这两个圆心角所对的弧相等 C.这两个圆心角所对的弦的弦心距相等 D.以上说法都不对 D 2.弦长等于半径的弦所对的圆心角等于_______. 60° 随堂小练 3.如图，AB，EG是☉O的直径，EF，EB是☉O的弦，且EF=EB，EF与AB交于点C，连接OF.若∠AOF=20°，则∠F的度数是_______. 40° 证明：如图，连接AC. ∵C，D是AB的三等分，∴AC=CD=DB. ∴∠AOC=∠COD=∠DOB，AC=CD. 又∠AOB=90°，∴∠AOC=∠AOB=30°. ∵OA=OC，∴∠ACE=(180°−∠AOC)=75°. ∵∠AOB=90°，OA=OB.∴∠OAB=(180°−∠AOB)=45°. ∴∠AEC=∠AOC+∠OAB=30°+45°=75°. ∴ ∠AEC=∠ACE.∴AE=AC.∴AE=CD. O A B C D E F 4.如图，点O是AB所在圆的圆心，C，D是AB的三等分点，AB分别交OC，OD于点E，F.若∠AOB=90°，求证：AE=CD. $