第16讲圆心角和圆周角（知识点+题型精讲）2026-2027学年人教版九年级数学上册暑假预习讲义

第16讲 圆心角和圆周角 目录 知识点1 圆心角的定义与性质 2 知识点2 弧、弦、圆心角的关系（必考定理） 2 知识点3 圆周角的定义 3 知识点4 圆周角定理（核心重难点） 3 知识点5 圆周角四大必考推论 3 知识点6 圆内接四边形性质 3 题型1 圆心角概念辨析及其简单运算 4 题型2 利用弧、弦、圆心角的关系求解 6 题型3 利用弧、弦、圆心角的关系求证 10 题型4 求圆弧的度数 15 题型5 圆周角的概念辨析及其简单运算 17 题型6 圆周角定理 20 题型7 同弧或等弧所对的圆周角相等 23 题型8 半圆（直径）所对的圆周角是直角 25 题型9 90度的圆周角所对的弦是直径 27 题型10 已知圆内接四边形求角度 31 1. 知识目标：精准掌握圆心角、圆周角的定义，明晰两类角的区别与判定标准；熟记同圆或等圆中弧、弦、圆心角三者的等价关系；熟练掌握圆周角定理及五大重要推论；理解圆内接四边形的核心性质，明确所有定理的适用前提。 2. 能力目标：能准确辨析圆心角、圆周角概念并完成基础运算；熟练运用弧、弦、圆心角的关系进行求解与几何证明；掌握圆弧度数求解方法；能灵活运用圆周角定理及推论解决直角、等角转化、角度计算题型；精通圆内接四边形角度计算题型。 3. 素养目标：建立圆中角度转化、数形结合、等量代换的几何思维，规范圆几何证明的书写步骤，提升识图推理、角度换算、定理灵活运用的能力，攻克圆中角度计算核心重难点。 知识点1 圆心角的定义与性质 圆心角定义：顶点在圆心，两边都与圆相交的角叫做圆心角。 如图所示，∠AOB的顶点在圆心，像这样顶点在圆心的角叫做圆心角． 　　　　 核心特征：顶点必在圆心，两边为圆的半径，圆心角的度数等于它所对弧的度数。 取值范围：0°＜圆心角≤360°。 知识点2 弧、弦、圆心角的关系（必考定理） 适用前提：同圆或等圆中（缺一不可，非同圆/等圆不成立）。 1. 相等的圆心角 ⇔ 所对的弧相等 ⇔ 所对的弦相等； 2. 三量等价：圆心角、弧、弦三组量中，任意一组相等，其余两组全部相等； 3. 拓展：三组量中，一组不等，其余两组全部不等。 知识点3 圆周角的定义 圆周角定义：顶点在圆上，两边都与圆相交的角叫做圆周角。 像图中∠AEB、∠ADB、∠ACB这样的角，它们的顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 判定两个核心条件：①顶点在圆上；②两边与圆相交，缺一不是圆周角。 知识点4 圆周角定理（核心重难点） 定理内容：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。 公式：。 核心要点：必须是同一条弧对应的角，不同弧无此数量关系。 知识点5 圆周角四大必考推论 1. 等弧等角：同弧或等弧所对的圆周角相等； 2. 直径直角：半圆（或直径）所对的圆周角是90°（直角）； 3. 直角直径：90°的圆周角所对的弦是圆的直径； 4. 同弦所对的圆周角：同侧相等，异侧互补。 知识点6 圆内接四边形性质 定义：四个顶点都在圆上的四边形，叫做圆内接四边形。 核心性质：圆内接四边形的对角互补，任意一个外角等于它的内对角。 公式：对角和为180°，外角=相邻内角的对角。 题型1 圆心角概念辨析及其简单运算 解题技巧（两点判定法）：1. 概念辨析：严格核对两点，顶点在圆心、两边为半径，满足即为圆心角；2. 简单运算：圆心角度数=所对弧的度数，直接等量代换；3. 整体换算：整圆360°，均分圆弧可直接求单个圆心角度数；4. 易错排除：顶点不在圆心的角，一律不是圆心角。 秒杀口诀：顶点在心是圆心角，角度对等弧度数。 【典例1】．图中是圆心角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆心角的概念，解决本题的关键是掌握顶点在圆心的角叫作圆心角，根据圆心角的定义进行判断． 【详解】解：A、顶点O不在圆心，不符合圆心角的概念，不符合题意； B、顶点O不在圆心，不符合圆心角的概念，不符合题意； C、顶点O在圆内，不符合圆心角的概念，不符合题意； D、顶点O在圆心，符合圆心角的概念，符合题意． 故选：D． 【变式1】．如图所示，下列各角是圆内的角，其中圆心角是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆心角的定义，根据圆心角的定义，角的两边是两条从圆心出发的射线，它们必须与圆周相交于两点，顶点在圆心的角叫做圆心角，即可求解． 【详解】解：图中是圆心角 故选：A． 【变式2】．在半径为2的中，弦的长为2，则弦所对的圆心角的度数为______度． 【答案】60 【分析】画出图形，连接、，可证得是等边三角形，由此得解． 【详解】解：如图，连接、， ∵， ∴是等边三角形， ∴． 【变式3】．把一个圆分割成个扇形，各个扇形面积的比为，则最大的圆心角的度数是______． 【答案】/144度 【分析】该题考查了圆心角，解一元一次方程，扇形面积比等于圆心角比，设比例系数为，根据圆心角和为列方程求解． 【详解】解：∵各个扇形面积的比为， 设四个扇形的圆心角分别为，，，， 则， 解得：， 最大圆心角为． 故答案为：． 题型2 利用弧、弦、圆心角的关系求解 解题技巧（三量等价通法）：1. 先定前提：确认是同圆或等圆，无前提不能用定理；2. 找已知量：已知圆心角、弧、弦任意一种等量关系；3. 等价推导：一组相等，直接推出另外两组相等；4. 角度长度计算：结合全等、等腰三角形、内角和定理，求解未知角度与弦长。 核心提醒：非等圆、不同圆，弧相等不能推弦、圆心角相等。 【典例2】．如图，已知锐角，按下列步骤作图：①在射线上取一点C，以点O为圆心，长为半径作，交射线于点D，连接；②分别以点C，D为圆心，长为半径作弧，交于点M，N；③连，．则下列结论错误的是（     ） A． B．若，则 C． D． 【答案】B 【分析】由圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，平行线的判定，即可解决问题． 【详解】解：A、根据题意得：， ， ，故不符合题意； B、连接， 根据题意得：， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， 根据题意得：， ∴， ，故选项错误，符合题意； C、连接，， ， ， ∴，故不符合题意； D、连接，如图所示： ∵， ∴，选项正确，不符合题意． 【变式1】．如图，点A、B、C、D在上，，点B是的中点，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，根据弧，弦，圆心角的关系，易得，再根据圆周角定理，即可求解． 【详解】解：如图，连接， 点B是的中点， ， ， ， ， ． 【变式2】．如图，是的直径，，是的弦，且，与交于点E，连接．若，则的度数是_____ 【答案】/度 【分析】连接，根据弦相等得出对应的圆心角相等，即，利用平角定义和角的和差关系建立方程求出的度数，最后利用等腰三角形的性质求出的度数即可. 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∴， 设，则， 是的直径， ， ， ， 由图可知， ， 解得， ， ， . 【变式3】．如图，是的内接三角形，，点是劣弧中点，连接，，其中交于点，若，，则的长为______． 【答案】 【分析】证明，，求解，进一步可得答案． 【详解】解：∵点是劣弧中点， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ， ∴， ∵， ∴． 题型3 利用弧、弦、圆心角的关系求证 解题技巧（标准证明模板）：1. 写前提：在同圆或等圆中；2. 摆已知：列出题干中相等的圆心角、弧或弦；3. 用定理：根据三量等价关系，推导所需弧、弦、角相等；4. 收尾结论：结合等量代换、公共量，证出最终求证结论；5. 大题必写依据：同圆或等圆中，相等的圆心角（弧、弦）所对的弧（弦、圆心角）相等。 【典例3】．如图，在中，下列结论不正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了“弧，弦，圆心角”的关系，全等三角形的性质和判定， 根据“弧，弦，圆心角”的关系得，即可说明A，C；再证明解答D即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，则A正确，C正确； ∵， ∴， ∴，则D正确． 不一定相等，则B不正确 故选：B． 【变式1】．如图中，A、B、C均为圆上的点，下列说法：①若，则； ② 若，则；③若，则；④若，则O点到弦的距离相等．其中正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题主要考查圆心角、弧、弦心距的关系，根据“在同圆或等圆中，如果两个圆心角对应的两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们对应的其余各组量也相等”进行判断即可 ． 【详解】解：∵在同圆或等圆中，如果两个圆心角对应的两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们对应的其余各组量也相等． ∴①若，则，所以，此说法正确； ②若，则，所以，此说法正确； ③若，则，所以，此说法正确； ④若，则O点到弦的距离相等，所以，此说法正确； ∴说法正确的是①②③④，共4个， 故选：D． 【变式2】．如图，是半圆的直径，是半圆弧的中点，和均内接于半圆，分别连结、交于点、．若是的中点，给出下面四个结论： ①；②；③；④． 上述结论中，正确结论的序号有________． 【答案】①②④ 【分析】①根据点是弧的中点得，由此可对结论①进行判断；②证明，由此可对结论②进行判断；③连接，根据点是的中点，得，由此可对结论③进行判断；④连接，根据是半圆弧的中点，得垂直平分，所以，由此可对结论④进行判断． 【详解】解：①∵点是的中点， ， ∴，故①正确； ②∵是半圆的直径， ， ， 是半圆弧的中点， ， ， ， ， ， ，故②正确； ③如图，连接， ∵点是的中点，是半圆弧的中点， ∴， ∵， ， ∴，故③错误； ④如图，连接， ∵是半圆弧的中点， ∴垂直平分， ∴， 在中，根据勾股定理：， ∴，故④正确； 综上所述：正确结论的序号有①②④， 故答案为：①②④． 【点睛】此题主要考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，圆心角，弧，弦的关系，勾股定理等知识点，熟练掌握圆周角定理，圆心角，弧，弦的关系是解决问题的关键． 【变式3】．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，三角形内接于圆，且顶点A，B均在格点上． （1）线段的长为______； （2）若点D在圆上，在上有一点P，满足． 请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点P，并简要说明点P的位置是如何找到的（不要求证明）______． 【答案】 如图：连接与网格线相交于点F，取与网格线的交点E，连接并延长与网格线相交于点G，连接并延长与圆相交于点P．则点P即为所求． 【分析】（1）由勾股定理即可求得线段的长； （2）连接与网格线相交于点F，取与网格线的交点E，连接并延长与网格线相交于点G，连接并延长与圆相交于点P．则点P即为所求．分别证明及，则可得，即有． 【详解】（1）、解：由勾股定理得：， 故答案为：； （2）解：∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了勾股定理，无刻度直尺作图，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，夹在两平行弦间的弧长相等等知识． 题型4 求圆弧的度数 解题技巧（角度对等法）：1. 核心规则：圆弧的度数 = 其所对圆心角的度数；2. 间接求解：先求同弧所对圆心角度数，直接等价为弧的度数；3. 圆周角转化：已知圆周角，先×2得圆心角，再得弧度数；4. 整圆补差：优弧度数=360°−对应劣弧度数，快速求解优弧度数。 秒杀技巧：弧度看圆心角，圆周角翻倍即可。 【典例4】．如图，在扇形中，点在上，连接，，，．若，则的度数为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由等腰三角形的性质得出，由四边形内角和为，根据可得出，根据圆心角和弧之间的关系即可求出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 则的度数为． 【变式1】．如图，是半圆的直径，点在半圆上，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆周角定理(直径所对的圆周角为直角，圆周角的度数等于所对弧度数的一半)，关键是利用直径的性质和圆周角与弧的度数关系求解． 【详解】解：如图，连接． ∵是半圆的直径， ∴． ∵， 在中，． ∴的度数为； 故选：C． 【变式2】．如图，由圆盘和挂绳，组成挂饰，，分别与相切于点，．若，则的度数为_____． 【答案】 【分析】连接、，根据切线的性质可得，结合，即可求解． 【详解】解：如图，连接、， ，分别切于点，， ， ， ，即的度数为． 【变式3】．如图，四边形是的内接四边形，，则的度数为______°． 【答案】 【分析】本题考查圆内接四边形的性质（对角互补）与圆周角定理（圆周角与所对弧度数的关系）．解题关键是通过内接四边形性质找到关联的圆周角，再利用圆周角定理建立弧度数与圆周角的数量关系，从而求出弧的度数． 【详解】解：连接、，如图： 四边形是的内接四边形，， ， 的度数为． 故答案为：． 题型5 圆周角的概念辨析及其简单运算 解题技巧（双条件锁定法）：1. 辨析判定：顶点在圆上、两边与圆相交，双条件同时满足才是圆周角；2. 基础运算：依托圆周角定理，圆周角=对应圆心角一半；3. 识图避错：顶点在圆心、在圆内、在圆外，均不是圆周角；4. 简单换算：结合平角、直角、三角形内角和，快速化简求值。 【典例5】．下列图中是圆周角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查圆周角的定义． 根据圆周角的定义（角的顶点在圆上，并且角的两边与圆相交的角叫做圆周角）判断即可． 【详解】解：A、图中的角的顶点不在圆上，所以图中的角不是圆周角，故本选项不符合题意； B、图中的角的顶点在圆上，两边与圆相交，所以图中的角是圆周角，故本选项符合题意； C、图中的角的顶点不在圆上，所以图中的角不是圆周角，故本选项不符合题意； D、图中的角的顶点不在圆上，所以图中的角不是圆周角，故本选项不符合题意； 故选：B． 【变式1】．下列各图中，为圆周角的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了圆周角定义．顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角，此题比较简单，解题的关键是理解圆周角的定义． 根据由圆周角的定义逐项判定即可． 【详解】解：A、的边不是与圆相交所得，所以不是圆周角，故此选项不符合题意； B、的边、都不是与圆相交所得，所以不是圆周角，故此选项不符合题意； C、的顶点没在圆上，所以不是圆周角，故此选项不符合题意； D、符合圆周角定义，是圆周角，故此选项符合题意； 故选：D． 【变式2】．如图，所对的圆周角是___________，所对的圆周角是___________．    【答案】 【分析】根据圆周角的定义即可解答． 【详解】解：如图，   所对的圆周角是， 所对的圆周角是． 故答案为：；． 【点睛】本题考查了圆周角，顶点在圆周上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角． 【变式3】．直角三角形的三个顶点在上，则圆心O在___________． 【答案】斜边的中点 【分析】根据圆的定义知圆心O到三角形的三个顶点距离相等，由三角形斜边的中线等于斜边的一半即可． 【详解】解：∵由三角形斜边的中线等于斜边的一半， ∴圆心O斜边上的中点到各顶点的距离相等． 故答案为：斜边的中点． 【点睛】本题主要考查了圆的基本性质、直角三角形的性质等知识点，掌握直角三角形斜边的中线等于斜边的一半是解答本题的关键． 题型6 圆周角定理 解题技巧（一弧对角模型）：1. 找准对应关系：锁定同一条弧，区分弧对应的圆心角和圆周角；2. 单向计算：知圆心角÷2得圆周角，知圆周角×2得圆心角；3. 识图关键：避免跨弧计算，不同弧的角无倍数关系；4. 综合计算：结合等腰三角形（半径相等），推导隐藏角度。 核心易错：必须同弧，不同弧不能套用二倍关系。 【典例6】．如图，A、B、C是上的点，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据圆周角定理得到，即可直接得出答案． 【详解】解：∵， ∴． 【变式1】．如图，内接于，是的直径，与相交于点M，且，若的半径为， ，则的值为（     ） A．12 B．20 C．24 D．28 【答案】C 【分析】过O作于E，连接，，，根据垂径定理求出，根据勾股定理求出，则可判断是等腰直角三角形，求出的度数，根据等腰三角形三线合一的性质求出的度数，根据圆周角定理求出的度数，根据垂径定理和线段垂直平分线的性质可判定是等腰直角三角形，可求出，，然后根据勾股定理求解即可． 【详解】解：过O作于F，连接，，， ∴， ∵的半径为， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵直径， ∴平分， ∴， ∴， ∴， ∴ ． 【变式2】．的是，边长，此三角形外接圆的直径为______． 【答案】 【分析】构造外接圆，利用圆周角定理可证是等边三角形，根据等边三角形的性质可知圆的半径是，根据半径与直径的关系可求外接圆的直径. 【详解】解：如下图所示，作外接圆，连接、， 则有， ， ， 是等边三角形， ， 的直径为． 【变式3】．如图，将直角三角板角的顶点放在圆心上，斜边和一直角边分别与相交于、两点，是优弧上任意一点与、不重合，则______． 【答案】/30度 【详解】解：由题意得，， ． 题型7 同弧或等弧所对的圆周角相等 解题技巧（等角转化法）：1. 找公共弧：图形中同一段弧、相等弧，对应所有圆周角全部相等；2. 角度代换：利用等圆周角进行等量替换，简化角度计算；3. 证明应用：通过等弧证等角，进而证三角形全等、平行；4. 秒杀结论：共弧共角，等弧等角，无需重复计算。 【典例7】．如图，为直径，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据直径所对的圆周角等于求出的度数，再由三角形内角和定理求出的度数，最后根据同弧所对的圆周角相等求解即可． 【详解】解：∵为直径， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式1】．如图，，，，四点共圆，是的直径．若，则的度数等于（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据圆周角定理得到，根据直角三角形两锐角互余得到，根据圆周角定理即可得到结论． 【详解】解：∵是的直径， ∴． ∴， ∴． 【变式2】．如图，为的直径，，为上两点，，则的度数为_________． 【答案】 【分析】由圆周角定理得到，再根据三角形内角和定理计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴． 【变式3】．如图，点，，，在上，是的直径，，则的度数为________． 【答案】/70度 【详解】解：∵点，，，在上，是的直径，， ∴， ∴， ∴（同弧所对的圆周角相等）. 题型8 半圆（直径）所对的圆周角是直角 解题技巧（直径构直角模型）：1. 见直径、见半圆，直接锁定对应圆周角为90°；2. 构图辅助：连接直径端点与圆上任意一点，构造直角三角形；3. 综合求解：利用直角三角形两锐角互余、勾股定理求边角；4. 压轴常用：直径必出直角，是圆中几何计算的核心辅助模型。 秒杀口诀：直径对直角，半圆出90度。 【典例8】．如图，若是的直径，，则的长为（     ）． A．10 B．5 C．15 D． 【答案】B 【分析】根据“直径所对圆周角为直角”得，利用含角的直角三角形性质计算即可． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴． 【变式1】．如图，是的内接三角形，是的直径，点为边上不与点，重合的任意一点，连接．若，则的度数可能为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据直径所对的圆周角为直角，求出，根据，求出，得出，再进行判断即可． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵点为边上不与点，重合的任意一点， ∴， ∵ ∴四个选项中只有A选项符合题意． 【变式2】．如图，内接于，，是的直径．设，，则与的关系是 _______． 【答案】 【分析】由直径所对的圆周角是直角得到，则可求出，由等边对等角得到，则可求出，再由可得． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴． 【变式3】．如图，C是以为直径的上一点，点D在上，，则_______． 【答案】 【分析】根据直径所对的圆周角是直角，得出，利用三角形内角和定理求出的度数，再根据圆内接四边形对角互补，即可求解． 【详解】解：是的直径， ， ， ， 四边形内接于， ， ． 题型9 90度的圆周角所对的弦是直径 解题技巧（直角判直径模型）：1. 逆向判定：圆中出现90°圆周角，其对弦必为直径；2. 定位圆心：找到直径即可锁定圆的圆心（直径中点）；3. 综合应用：通过直角反向推弦、定圆心、求半径；4. 几何证明：通过角度90°，证线段为直径，完成题型求证。 逆向核心：直角定直径，直径定圆心，一步突破。 【典例9】．如图，四边形中，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直角确定四点共圆，然后根据圆周角定理求解． 【详解】解：如图所示， ∵， ∴四点共圆， ∵， ∴， ∵与所对的弧为， ∴． 【变式1】．中，，，，若，，三个顶点均在圆上，则圆的半径为（    ） A．5 B． C． D．2 【答案】B 【分析】本题考查了圆周角定理、勾股定理的逆定理，熟练掌握圆周角定理是解题关键． 先根据勾股定理的逆定理可得是直角三角形，且，再根据圆周角定理可得为圆的直径，由此即可得． 【详解】解：如图，在中，，，， ∴， ∴是直角三角形，且， 又∵，，三个顶点均在圆上， ∴为圆的直径， ∴圆的半径为， 故选：B． 【变式2】．如图，，的平分线交于D，若则的长为_______． 【答案】 【分析】本题主要考查圆的性质和勾股定理，过点A作于点E，连接，，根据题意可得，，利用勾股定理求得，则可求，在中可求得，即可求得． 【详解】解：过点A作交于点E，连接，，如图， ∵， ∴为直径， ∴， ∵平分， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， 则． 故答案为：． 【变式3】．如图，在中，，，，点是内部一点，且，连接，则长的最小值为________ 【答案】 【分析】本题考查了圆的性质，平行四边形的性质，勾股定理． 设的中点为，连接，易知当点在上时，的值最小，过点作，交的延长线于点，根据勾股定理求出，即可得到答案． 【详解】解：， ， ， ， ， 点的轨迹是以为直径的圆的一部分． 设的中点为，连接，易知当点在上时，的值最小，过点作，交的延长线于点， 则， ， ， ， ， ． 故答案为：． 题型10 已知圆内接四边形求角度 解题技巧（互补代换法）：1. 核心公式：圆内接四边形对角和为180°；2. 外角结论：四边形外角=内对角，直接等量代换；3. 计算套路：已知一角，直接用180°减得对角；4. 多角计算：联立多组互补关系，列方程求解未知角度。 秒杀口诀：圆内四边形，对角必互补，外角对内角。 【典例10】．如图，四边形内接于，F是上一点，且，连接并延长交的延长线于点E，连接．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据圆的内接四边形对角互补，同弧所对的圆周角相等，三角形的外角性质，求解即可； 【详解】解：∵四边形内接于，， ∴． ∵，， ∴， ∴． 【变式1】．如图，四边形中，，，若，，则四边形面积的最大值为（     ） A． B．36 C． D．25 【答案】A 【分析】过作交直线于，过作于，以为斜边作等腰直角三角形，过作于，则四边形为平行四边形，得到，根据平行线得到，，即可得到，根据对角对等边得到点、、在以为圆心，为半径的圆上，得到，据此求四边形面积的最大值即可． 【详解】解：如图，过作交直线于，过作于， ∵，， ∴四边形为平行四边形，，， ∴， ∴， ∴， 以为斜边作等腰直角三角形，过作于， ∵， ∴，， ∵， ∴点、、在以为圆心，为半径的圆上， ∴， ∴， ∴最大值为， ∴四边形面积的最大值为． 【变式2】．如图，四边形内接于，若，则的度数为_________ ． 【答案】/100度 【详解】解：∵四边形内接于，， ∴， ∴． 【变式3】．以为直径的半圆上，点，的位置如图所示，若，则_____． 【答案】 【分析】连接，由题意得，由直角三角形两个锐角互余可得出，再由圆内接四边形的性质即可求解． 【详解】解：连接， ∵为圆的直径， ∴， ∵， ∴， ∵四边形为圆的内接四边形， ∴． 1．下图中的是圆心角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆心角的概念，解决本题的关键是掌握顶点在圆心的角叫作圆心角. 根据圆心角的概念判断即可. 【详解】解：A、顶点C不在圆心，不符合圆心角的概念，不符合题意； B、顶点C在圆心，符合圆心角的概念，符合题意； C、顶点C在圆内，不符合圆心角的概念，不符合题意； D、顶点C在圆外，不符合圆心角的概念，不符合题意； 故选：B ． 2．图1是阿基米德的滑动曲尺模型，图2是其抽象成的几何图形．为的直径，其延长线与弦的延长线交于点，．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆的基本概念、等边对等角，熟练掌握圆的基本概念是解题的关键．利用等边对等角得到，由得到，利用三角形的外角的性质得到，结合即可求解． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， ， ，即． 故选：B． 3．如图，是的半径，是的中点，连接，点在的延长线上．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用邻补角定义求出，根据等腰三角形性质求出 ，再利用弧中点性质得出，最后求和即可． 【详解】解：连接， 点在的延长线上， 是的中点 ． 4．已知是的外接圆，且，要求仅用直尺作出圆周角的平分线． 嘉嘉说：“对于图1的情况，连接，即为的平分线．” 淇淇说：“对于图2的情况，的延长线与交于点Q，连接，即为的平分线．” 对于嘉嘉和淇淇的说法，判断正确的是（    ） A．只有嘉嘉说的对 B．只有淇淇说的对 C．嘉嘉和淇淇说的都对 D．嘉嘉和淇淇说的都不对 【答案】C 【分析】如图1，首先根据易得，再根据“同弧或等弧所对的圆周角相等”可得，即为的平分线，故嘉嘉说的对；在图2中，连接，首先证明，由全等三角形的性质可得，进而证明，由垂径定理可得，易知，即为的平分线，故淇淇说的也对． 【详解】解：如图1， ∵是ABC的外接圆，且， ∴， ∴，即为的平分线，故嘉嘉说的对； 在图2中，连接，如下图， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵为半径， ∴， ∴，即为的平分线，故淇淇说的也对． 综上所述，嘉嘉和淇淇说的都对． 5．如图，量角器的直径与直角三角板的斜边重合，其中量角器0刻度线的端点N与点A重合，射线从处出发沿顺时针方向以每秒2度的速度旋转，与量角器的半圆弧交于点E，第24秒时，点E在量角器上对应的读数是（　　） A．48度 B．64度 C．96度 D．132度 【答案】C 【分析】本题考查了圆周角定理及推论，正确应用圆周角定理及推论是解题的关键． 第24秒时，射线旋转的角度是，利用同弧所对的圆心角与圆周角的关系求解即可． 【详解】解：连接， ∵， ∴A，B，C在以点O为圆心，为直径的圆上， ∴点E，A，B，C共圆， ∵射线从处出发沿顺时针方向以每秒2度的速度旋转， ∴， ∴． ∴点E在量角器上对应的读数是：． 故选：C． 6．如图，其中圆周角有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据圆周角的定义进行判断，即可得到答案． 【详解】解：根据题意，，是圆周角，共2个． 故选：B． 【点睛】本题考查了圆周角的定义，解题的关键是掌握圆周角的定义进行判断． 7．如图，在中，所对的圆心角为，点在上．若，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】如图，连接并延长交于点E，连接，首先利用等边对等角得到，然后利用三角形内角和定理求出，然后结合圆周角定理和圆内接四边形对角互补求解即可． 【详解】解：如图，连接并延长交于点E，连接 ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴． 8．如图，内接于，是的直径，与交于点．若，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据是直径得到，因此根据角的和差求出，根据三角形的内角和定理求出，即可得到，再根据三角形外角的性质即可求解． 【详解】解：∵是直径， ∴， ∵， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴． 9．如图，圆内接四边形的对角线与相交于点，是的直径，若，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据圆周角定理可得，利用是的直径，可得，进而求出，最后利用求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵是直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 10．已知直线和直线互相垂直，垂足为，且直线过定点，在此坐标系中有一个固定的点，下面关于的长描述正确的是（　　） A．最大值为16 B．最小值为9 C．的取值范围是 D．的取值范围是 【答案】B 【分析】根据圆周角定理可得的轨迹是以为直径的圆，求出圆心和半径，结合勾股定理计算定点到圆心的距离，即可求出的最值，得到结果． 【详解】解：∵直线恒过定点，直线恒过定点，且，垂足为， ∴，， ∴点在以为直径的圆上， 如图，取的中点C， ∵， ∴圆心为中点，坐标为，圆C的半径为4， ∵， 由勾股定理得：， ∴的最大值为，的最小值为， 即的取值范围是． 所以选项B正确，选项A、C，D错误． 11．在中，弦，圆心角，则的半径为_____． 【答案】 【分析】本题主要考查等边三角形的判定和性质，圆心角，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据等边三角形的判定定理证明是等边三角形，根据等边三角形的性质得到答案． 【详解】解：∵， ∴是等边三角形， ∴． 故答案为：． 12．如图，是直径所在的直线，且平分，垂直，垂直，则：①；②弧等于弧；③；④弧等于弧；⑤；其中结论正确的是_____（填序号） 【答案】①②④⑤ 【分析】利用“弧、弦、弦心距之间的关系”，可得①、②正确；证明，得到，可得④、⑤正确，即可找到全部正确答案． 【详解】解：平分，垂直，垂直，则， 即弦，的弦心距相等，因而，弧等于弧，故①、②正确； 在直角三角形中，，故③错误； 如图，连接， ， ， ， ，垂直，垂直， ， ，故⑤正确； ， ， ， ， 弧等于弧，故④正确； 其中结论正确的是①②④⑤． 13．如图，中，，点C、D是弧上任两点，则的度数是________°． 【答案】 【分析】根据圆周角定理得到，再求它们的和即可． 【详解】解：∵，和都是所对的圆周角，点C、D是弧上任两点， ∴， ∴． 14．如图，点是边长为的正方形的边上一动点，连接，交对角线于点，作的外接圆，交于点，连接．若，则____________． 【答案】 【分析】由正方形的性质可得，再结合圆周角定理即可得出的度数；连接，由圆周角定理可得，则为等腰直角三角形，进而可得，作于点，延长交 于点，证明四边形为矩形，得出，证明，得出，，证明为等腰直角三角形，得出，设，则，，，根据，即可求解． 【详解】解：如图，连接，∵四边形是正方形， ∴，，， ∵， ∴； ∵为的直径， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， 作于点，延长交 于点， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， 设，则，，， ∵， ∴ 解得： ∴ 15．如图，中，，，，，分别是，，的中点，在上运动（不与，重合），连接．点与点关于对称，连接并延长交于点，则的最小值为___________． 【答案】 【分析】根据等腰直角三角形的性质，中位线的判定和性质得到，根据三角形内角和定理，轴对称的性质得到，点在以点O为圆心，以为半径的圆弧上运动，，取线段的中点H，连接，由勾股定理得到，结合题意，当点三点共线时，的值最小，最小值为，由此即可求解 ． 【详解】解：在中，，， ∴， 如图所示，连接， ∵，分别是，的中点， ∴，， ∵点与点关于对称， ∴，， 设，则， ∴， ∴， 在中，， ∴，即， 如图，取线段的中点O，连接，则， ∴点在以点O为圆心，以为半径的圆弧上运动， 如图，取线段的中点H，连接， 在中，点分别是的中点， ∴，， ∴，， ∴， ∵点Q在上运动， ∴，即当点三点共线时，的值最小，最小值为 ． 16．如图，是的一条弦，，垂足为交于点，点在上． (1)若，求的度数； (2)若，求的半径长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了垂径定理，同弧或等弧所对的圆心角相等，圆周角定理，勾股定理等知识，熟练掌握垂径定理是解题的关键． （1）由垂径定理得，，，则，然后根据圆周角定理求解即可； （2）设的半径长，则，，由勾股定理得，，即，计算求解即可． 【详解】（1）解：∵是的一条弦，，∴由垂径定理得，，， ∴， ∵， ∴， ∴的度数； （2）解：设的半径长，则， ∴， 由勾股定理得，，即， 解得，， ∴的半径长为． 17．某校有一块圆形劳动教育实践基地，现在其内部规划一个四边形区域植鲜花．如图，数学兴趣小组已经确立了、、三点的位置，．已知点在劣弧上，且 (1)尺规作图：请在上确定点的位置，并连接、； (2)已知，求鲜花种植区域四边形的面积（请用含的式子表达） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意作，即可求解； （2）过点分别作的垂线，垂足分别为，证明，，进而根据含30度角的直角三角形的性质，勾股定理求得，根据四边形的面积，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：如图，过点分别作的垂线，垂足分别为， 由（1）可得， ∵ ∴， 在，中， ∴ ∴ 在中， ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ ∴四边形的面积 18．如图1，在中，为直径，P为上的点，过点P作的垂线交于C，D两点，E为上的点，且，连接交于点F，连接，记． (1)请用含的代数式表示； (2)若，求的值； (3)如图2，连接交于点G，若的半径为5，，求的长． 【答案】(1)； (2)； (3)或． 【分析】（1）由和，得到，即可得出答案； （2）证明，得到，设，，则，由勾股定理得到，即可求解； （3）设，则，得到，证明，，再求出值，即可求解． 【详解】（1）解：，为直径， ， 又， ， ； （2）解：由（1）可得，， ， ， ， ， ， 设，，则， 如图，连接，得，， 在中，， ， ； （3）解：由（1）得， ，， ，， 又，， 设，则， ， ，， ， ， ，即， 解得：，， 当时，， 当时，， 综上可得：或． 19．综合与实践 实践主题 光的反射在半圆中的路径问题 素材背景 如图1，为平面镜，入射光线经平面镜沿方向反射，过点 作 ，叫做法线，叫做入射角， 叫做反射角． 光的反射定理：反射角等于入射角（即 (1)如图2，反向延长得到，若 ，则的度数为__________ (2)如图3，为半圆O的直径，点C在半圆上，P为直径上的调节点．一束光线从C点射向上的P点，经反射后射出，反射光线经过半圆上的D点 连接，判断与之间的数量关系，并说明理由 【答案】(1) (2)， 理由：如解图，过点P作法线，补全，作点C关于的对称点，连接，， ． ∴是线段的垂直平分线， ． 点在上． 由反射定理，可得 ， ． 由对称，可知， ． ． ，P，D三点共线． 设， ， ． 又， ． 【分析】（1）由垂直得到，然后根据反射定律结合对顶角相等即可求解； （2）过点P作法线，补全，作点C关于的对称点，连接，， ，先证明，P，D三点共线．设，则 ，，由圆周角定理可得，即可证明． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵ ∴； （2）略 20．已知四边形内接于，连接、，； (1)如图1，求证：是的直径； (2)如图2，点在上，连接、，且，，求证：平分； (3)如图3，在（2）的条件下，点在上，连接，若，，，求的半径长． 【答案】(1)证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴是的直径； (2)证明： ∵ ∴ 又∵ ∴ ∵ ∴ ∴，即平分； (3) 【分析】（1）根据等弧所对的圆周角相等可得，，，结合已知进而证明，从而得出是的直径； （2）根据，结合已知得出，根据等边对等角可得，进而可得平分； （3）延长、交于点，过点，分别作的垂线，垂足分别为，证明四边形是矩形，证明，得出，，设，在中，勾股定理求得，在中，勾股定理求得的长，即可求解． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如图，延长、交于点，过点，分别作的垂线，垂足分别为， ∵ ， ∵ ∴ 由（2）知， 设，则， ∴， ∴， ∴ ∴， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴四边形是矩形， ∴，， ∵ ∴ 又， ∴ ∴， 又∵已知， ∴ ∴， 设 ∵， ∴， ∴ ∴ ∴ 在中，，， ∵ ∴ 解得： ∴且， ∴ ∴ ∴ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第16讲 圆心角和圆周角 目录 知识点1 圆心角的定义与性质 2 知识点2 弧、弦、圆心角的关系（必考定理） 2 知识点3 圆周角的定义 3 知识点4 圆周角定理（核心重难点） 3 知识点5 圆周角四大必考推论 3 知识点6 圆内接四边形性质 3 题型1 圆心角概念辨析及其简单运算 4 题型2 利用弧、弦、圆心角的关系求解 4 题型3 利用弧、弦、圆心角的关系求证 6 题型4 求圆弧的度数 7 题型5 圆周角的概念辨析及其简单运算 8 题型6 圆周角定理 9 题型7 同弧或等弧所对的圆周角相等 10 题型8 半圆（直径）所对的圆周角是直角 11 题型9 90度的圆周角所对的弦是直径 13 题型10 已知圆内接四边形求角度 13 1. 知识目标：精准掌握圆心角、圆周角的定义，明晰两类角的区别与判定标准；熟记同圆或等圆中弧、弦、圆心角三者的等价关系；熟练掌握圆周角定理及五大重要推论；理解圆内接四边形的核心性质，明确所有定理的适用前提。 2. 能力目标：能准确辨析圆心角、圆周角概念并完成基础运算；熟练运用弧、弦、圆心角的关系进行求解与几何证明；掌握圆弧度数求解方法；能灵活运用圆周角定理及推论解决直角、等角转化、角度计算题型；精通圆内接四边形角度计算题型。 3. 素养目标：建立圆中角度转化、数形结合、等量代换的几何思维，规范圆几何证明的书写步骤，提升识图推理、角度换算、定理灵活运用的能力，攻克圆中角度计算核心重难点。 知识点1 圆心角的定义与性质 圆心角定义：顶点在圆心，两边都与圆相交的角叫做圆心角。 如图所示，∠AOB的顶点在圆心，像这样顶点在圆心的角叫做圆心角． 　　　　 核心特征：顶点必在圆心，两边为圆的半径，圆心角的度数等于它所对弧的度数。 取值范围：0°＜圆心角≤360°。 知识点2 弧、弦、圆心角的关系（必考定理） 适用前提：同圆或等圆中（缺一不可，非同圆/等圆不成立）。 1. 相等的圆心角 ⇔ 所对的弧相等 ⇔ 所对的弦相等； 2. 三量等价：圆心角、弧、弦三组量中，任意一组相等，其余两组全部相等； 3. 拓展：三组量中，一组不等，其余两组全部不等。 知识点3 圆周角的定义 圆周角定义：顶点在圆上，两边都与圆相交的角叫做圆周角。 像图中∠AEB、∠ADB、∠ACB这样的角，它们的顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 判定两个核心条件：①顶点在圆上；②两边与圆相交，缺一不是圆周角。 知识点4 圆周角定理（核心重难点） 定理内容：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。 公式：。 核心要点：必须是同一条弧对应的角，不同弧无此数量关系。 知识点5 圆周角四大必考推论 1. 等弧等角：同弧或等弧所对的圆周角相等； 2. 直径直角：半圆（或直径）所对的圆周角是90°（直角）； 3. 直角直径：90°的圆周角所对的弦是圆的直径； 4. 同弦所对的圆周角：同侧相等，异侧互补。 知识点6 圆内接四边形性质 定义：四个顶点都在圆上的四边形，叫做圆内接四边形。 核心性质：圆内接四边形的对角互补，任意一个外角等于它的内对角。 公式：对角和为180°，外角=相邻内角的对角。 题型1 圆心角概念辨析及其简单运算 解题技巧（两点判定法）：1. 概念辨析：严格核对两点，顶点在圆心、两边为半径，满足即为圆心角；2. 简单运算：圆心角度数=所对弧的度数，直接等量代换；3. 整体换算：整圆360°，均分圆弧可直接求单个圆心角度数；4. 易错排除：顶点不在圆心的角，一律不是圆心角。 秒杀口诀：顶点在心是圆心角，角度对等弧度数。 【典例1】．图中是圆心角的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】．如图所示，下列各角是圆内的角，其中圆心角是（    ） A． B． C． D． 【变式2】．在半径为2的中，弦的长为2，则弦所对的圆心角的度数为______度． 【变式3】．把一个圆分割成个扇形，各个扇形面积的比为，则最大的圆心角的度数是______． 题型2 利用弧、弦、圆心角的关系求解 解题技巧（三量等价通法）：1. 先定前提：确认是同圆或等圆，无前提不能用定理；2. 找已知量：已知圆心角、弧、弦任意一种等量关系；3. 等价推导：一组相等，直接推出另外两组相等；4. 角度长度计算：结合全等、等腰三角形、内角和定理，求解未知角度与弦长。 核心提醒：非等圆、不同圆，弧相等不能推弦、圆心角相等。 【典例2】．如图，已知锐角，按下列步骤作图：①在射线上取一点C，以点O为圆心，长为半径作，交射线于点D，连接；②分别以点C，D为圆心，长为半径作弧，交于点M，N；③连，．则下列结论错误的是（     ） A． B．若，则 C． D． 【变式1】．如图，点A、B、C、D在上，，点B是的中点，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【变式2】．如图，是的直径，，是的弦，且，与交于点E，连接．若，则的度数是_____ 【变式3】．如图，是的内接三角形，，点是劣弧中点，连接，，其中交于点，若，，则的长为______． 题型3 利用弧、弦、圆心角的关系求证 解题技巧（标准证明模板）：1. 写前提：在同圆或等圆中；2. 摆已知：列出题干中相等的圆心角、弧或弦；3. 用定理：根据三量等价关系，推导所需弧、弦、角相等；4. 收尾结论：结合等量代换、公共量，证出最终求证结论；5. 大题必写依据：同圆或等圆中，相等的圆心角（弧、弦）所对的弧（弦、圆心角）相等。 【典例3】．如图，在中，下列结论不正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式1】．如图中，A、B、C均为圆上的点，下列说法：①若，则； ② 若，则；③若，则；④若，则O点到弦的距离相等．其中正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式2】．如图，是半圆的直径，是半圆弧的中点，和均内接于半圆，分别连结、交于点、．若是的中点，给出下面四个结论： ①；②；③；④． 上述结论中，正确结论的序号有________． 【变式3】．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，三角形内接于圆，且顶点A，B均在格点上． （1）线段的长为______； （2）若点D在圆上，在上有一点P，满足． 请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点P，并简要说明点P的位置是如何找到的（不要求证明）______． 题型4 求圆弧的度数 解题技巧（角度对等法）：1. 核心规则：圆弧的度数 = 其所对圆心角的度数；2. 间接求解：先求同弧所对圆心角度数，直接等价为弧的度数；3. 圆周角转化：已知圆周角，先×2得圆心角，再得弧度数；4. 整圆补差：优弧度数=360°−对应劣弧度数，快速求解优弧度数。 秒杀技巧：弧度看圆心角，圆周角翻倍即可。 【典例4】．如图，在扇形中，点在上，连接，，，．若，则的度数为（  ） A． B． C． D． 【变式1】．如图，是半圆的直径，点在半圆上，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式2】．如图，由圆盘和挂绳，组成挂饰，，分别与相切于点，．若，则的度数为_____． 【变式3】．如图，四边形是的内接四边形，，则的度数为______°． 题型5 圆周角的概念辨析及其简单运算 解题技巧（双条件锁定法）：1. 辨析判定：顶点在圆上、两边与圆相交，双条件同时满足才是圆周角；2. 基础运算：依托圆周角定理，圆周角=对应圆心角一半；3. 识图避错：顶点在圆心、在圆内、在圆外，均不是圆周角；4. 简单换算：结合平角、直角、三角形内角和，快速化简求值。 【典例5】．下列图中是圆周角的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】．下列各图中，为圆周角的是（　　） A． B． C． D． 【变式2】．如图，所对的圆周角是___________，所对的圆周角是___________．    【变式3】．直角三角形的三个顶点在上，则圆心O在___________． 题型6 圆周角定理 解题技巧（一弧对角模型）：1. 找准对应关系：锁定同一条弧，区分弧对应的圆心角和圆周角；2. 单向计算：知圆心角÷2得圆周角，知圆周角×2得圆心角；3. 识图关键：避免跨弧计算，不同弧的角无倍数关系；4. 综合计算：结合等腰三角形（半径相等），推导隐藏角度。 核心易错：必须同弧，不同弧不能套用二倍关系。 【典例6】．如图，A、B、C是上的点，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【变式1】．如图，内接于，是的直径，与相交于点M，且，若的半径为， ，则的值为（     ） A．12 B．20 C．24 D．28 【变式2】．的是，边长，此三角形外接圆的直径为______． 【变式3】．如图，将直角三角板角的顶点放在圆心上，斜边和一直角边分别与相交于、两点，是优弧上任意一点与、不重合，则______． 题型7 同弧或等弧所对的圆周角相等 解题技巧（等角转化法）：1. 找公共弧：图形中同一段弧、相等弧，对应所有圆周角全部相等；2. 角度代换：利用等圆周角进行等量替换，简化角度计算；3. 证明应用：通过等弧证等角，进而证三角形全等、平行；4. 秒杀结论：共弧共角，等弧等角，无需重复计算。 【典例7】．如图，为直径，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【变式1】．如图，，，，四点共圆，是的直径．若，则的度数等于（     ） A． B． C． D． 【变式2】．如图，为的直径，，为上两点，，则的度数为_________． 【变式3】．如图，点，，，在上，是的直径，，则的度数为________． 题型8 半圆（直径）所对的圆周角是直角 解题技巧（直径构直角模型）：1. 见直径、见半圆，直接锁定对应圆周角为90°；2. 构图辅助：连接直径端点与圆上任意一点，构造直角三角形；3. 综合求解：利用直角三角形两锐角互余、勾股定理求边角；4. 压轴常用：直径必出直角，是圆中几何计算的核心辅助模型。 秒杀口诀：直径对直角，半圆出90度。 【典例8】．如图，若是的直径，，则的长为（     ）． A．10 B．5 C．15 D． 【变式1】．如图，是的内接三角形，是的直径，点为边上不与点，重合的任意一点，连接．若，则的度数可能为（     ） A． B． C． D． 【变式2】．如图，内接于，，是的直径．设，，则与的关系是 _______． 【变式3】．如图，C是以为直径的上一点，点D在上，，则_______． 题型9 90度的圆周角所对的弦是直径 解题技巧（直角判直径模型）：1. 逆向判定：圆中出现90°圆周角，其对弦必为直径；2. 定位圆心：找到直径即可锁定圆的圆心（直径中点）；3. 综合应用：通过直角反向推弦、定圆心、求半径；4. 几何证明：通过角度90°，证线段为直径，完成题型求证。 逆向核心：直角定直径，直径定圆心，一步突破。 【典例9】．如图，四边形中，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【变式1】．中，，，，若，，三个顶点均在圆上，则圆的半径为（    ） A．5 B． C． D．2 【变式2】．如图，，的平分线交于D，若则的长为_______． 【变式3】．如图，在中，，，，点是内部一点，且，连接，则长的最小值为________ 题型10 已知圆内接四边形求角度 解题技巧（互补代换法）：1. 核心公式：圆内接四边形对角和为180°；2. 外角结论：四边形外角=内对角，直接等量代换；3. 计算套路：已知一角，直接用180°减得对角；4. 多角计算：联立多组互补关系，列方程求解未知角度。 秒杀口诀：圆内四边形，对角必互补，外角对内角。 【典例10】．如图，四边形内接于，F是上一点，且，连接并延长交的延长线于点E，连接．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【变式1】．如图，四边形中，，，若，，则四边形面积的最大值为（     ） A． B．36 C． D．25 【变式2】．如图，四边形内接于，若，则的度数为_________ ． 【变式3】．以为直径的半圆上，点，的位置如图所示，若，则_____． 1．下图中的是圆心角的是（   ） A． B． C． D． 2．图1是阿基米德的滑动曲尺模型，图2是其抽象成的几何图形．为的直径，其延长线与弦的延长线交于点，．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．如图，是的半径，是的中点，连接，点在的延长线上．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 4．已知是的外接圆，且，要求仅用直尺作出圆周角的平分线． 嘉嘉说：“对于图1的情况，连接，即为的平分线．” 淇淇说：“对于图2的情况，的延长线与交于点Q，连接，即为的平分线．” 对于嘉嘉和淇淇的说法，判断正确的是（    ） A．只有嘉嘉说的对 B．只有淇淇说的对 C．嘉嘉和淇淇说的都对 D．嘉嘉和淇淇说的都不对 5．如图，量角器的直径与直角三角板的斜边重合，其中量角器0刻度线的端点N与点A重合，射线从处出发沿顺时针方向以每秒2度的速度旋转，与量角器的半圆弧交于点E，第24秒时，点E在量角器上对应的读数是（　　） A．48度 B．64度 C．96度 D．132度 6．如图，其中圆周角有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．如图，在中，所对的圆心角为，点在上．若，则（     ） A． B． C． D． 8．如图，内接于，是的直径，与交于点．若，，则（     ） A． B． C． D． 9．如图，圆内接四边形的对角线与相交于点，是的直径，若，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 10．已知直线和直线互相垂直，垂足为，且直线过定点，在此坐标系中有一个固定的点，下面关于的长描述正确的是（　　） A．最大值为16 B．最小值为9 C．的取值范围是 D．的取值范围是 11．在中，弦，圆心角，则的半径为_____． 12．如图，是直径所在的直线，且平分，垂直，垂直，则：①；②弧等于弧；③；④弧等于弧；⑤；其中结论正确的是_____（填序号） 13．如图，中，，点C、D是弧上任两点，则的度数是________°． 14．如图，点是边长为的正方形的边上一动点，连接，交对角线于点，作的外接圆，交于点，连接．若，则____________． 15．如图，中，，，，，分别是，，的中点，在上运动（不与，重合），连接．点与点关于对称，连接并延长交于点，则的最小值为___________． 16．如图，是的一条弦，，垂足为交于点，点在上． (1)若，求的度数； (2)若，求的半径长． 17．某校有一块圆形劳动教育实践基地，现在其内部规划一个四边形区域植鲜花．如图，数学兴趣小组已经确立了、、三点的位置，．已知点在劣弧上，且 (1)尺规作图：请在上确定点的位置，并连接、； (2)已知，求鲜花种植区域四边形的面积（请用含的式子表达） 18．如图1，在中，为直径，P为上的点，过点P作的垂线交于C，D两点，E为上的点，且，连接交于点F，连接，记． (1)请用含的代数式表示； (2)若，求的值； (3)如图2，连接交于点G，若的半径为5，，求的长． 19．综合与实践 实践主题 光的反射在半圆中的路径问题 素材背景 如图1，为平面镜，入射光线经平面镜沿方向反射，过点 作 ，叫做法线，叫做入射角， 叫做反射角． 光的反射定理：反射角等于入射角（即 (1)如图2，反向延长得到，若 ，则的度数为__________ (2)如图3，为半圆O的直径，点C在半圆上，P为直径上的调节点．一束光线从C点射向上的P点，经反射后射出，反射光线经过半圆上的D点 连接，判断与之间的数量关系，并说明理由 20．已知四边形内接于，连接、，； (1)如图1，求证：是的直径； (2)如图2，点在上，连接、，且，，求证：平分； (3)如图3，在（2）的条件下，点在上，连接，若，，，求的半径长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $