29.1.2 过三点的圆-【新课程能力培养】2026-2027学年九年级上册数学同步练习（人教版·新教材）

数学 九年级上册（人教版） 2,r>AC,点A在⊙C内.BC=4,<BC,.点B 在⊙C外..CM=V5,=CM,∴.点M在⊙C上 5.证明：如图所示，取 BC的中点F,连接DF,EFBD CE是△ABC的高，△BCD和 △BCE都是直角三角形..DF, EF分别为Rt△BCD和Rt△BCE 斜边上的中线，DF=EF=BF= CF.E,B,C,D四点在以点 B F为圆心，BC为半径的园上. 第5题答图 图1 图2 第10题答图 6.证明：0A,0B是⊙0的两条半径，.A0= (2)⊙C经过点A,.CA为⊙C的半径，：点C B0,C,D分别是半径OA,B0的中点，.OC=OD, AO=BO, 在线段AB上，且0<AC<3AB,CBAB,BC 在△OCB和△ODA中， ∠O=LO,∴.△OCB≌△ODA CA,点B在⊙C外，如图2所示 0D=0C, 29.1.2过三点的圆（第一课时） (SAS),.AD=BC. 【知识点1】圆心的位置半径的大小半径 7.解：(1)连接AD,:在 确定圆心无数无数线段AB的垂直平分线 △ABC中，AB=AC=5,BC=8, 上 不在同一条直线上的三个点D 点D是BC的中点，.CD=4, 【知识点2】三角形的外接圆三角形三条边 AD=3,43,点A在⊙D内 的垂直平分线三角形的外心圆的内接三角形 (2)在△ABC中，AB= D AC=5,BC=6,点D是BC的中 第7题答图 【例】解：(1)如图所示，圆心D的坐标为 点，.CD=3,AD=4,4>3,.点A在⊙D外 (2,0).故答案为(2,0). (3)在△ABC中，AB=AC=5,BC=5V2,点D (2)由勾股定理，得⊙D的半径=V4+2 是c的中点，D-5Y5,M05,5Y5 2 2 2 2V5. 5V5,点A在⊙D上. (3)点E在⊙D内，理由如下：如图，由勾 2 股定理，得点E到圆心D的距离d=DE=V3+3?= 8.解：(1)在△ABC中，∠C=90°，AC=2, 32,dkr,.点E在⊙D内. BC=3,AB的中点为点M,:AB=VAC+BC=V2+3= V厘，CM4B=Y5,以点C为圆心，2为半径 作⊙C,AC=2,则点A在圆上，CM=E2,则点 2 M在圆内，BC=3>2,则点B在圆外. (2)以点C为圆心作⊙C,使A,B,M三点中至 少有一点在⊙C内时，>3 ,当至少有一点在⊙C 2 外时，r3,故⊙C的半径r的取值范围为厘<3. 例题答图 2 1.D2.C3.A4.C5.D6.B 9.解：(1)如图，连接 7.解：如图所示，分别作弦AB和AC的垂直平 AC..AB=6 cm,AD=8 cm D 分线，交点O即为所求的圆心. AC=10cm,⊙A的半径为 6cm,点B在⊙A上，点C B 在⊙A外，点D在⊙A外. (2):以点A为圆心作 B ⊙A,使B,C,D三点中至少 第9题答图 有一个点在圆内，且至少有一点在圆外，.⊙A的半径 r的取值范围是6cm<<10cm. 10.解：(1)连接AC,BC,如图1所示.⊙C 经过点A,.CA为⊙C的半径，MN是线段AB的 第7题答图 第8题答图 垂直平分线，且点C在MW上，.CB=CA,.点B在 8.(1)证明：AB=AC,AB=AC,由垂径定理 ⊙C上. 的推论，可知AO⊥BC. 60 参考答案 (2)解：延长A0交BC于点D,连接OB,设 2.解：假设点M与点D重 ⊙0的半径为r,ADLBG,BD=DC=2BC=3,由勾 合；延长AM到点N,使AM= MN.连接BN·.AM是BC边上 股定理，得AD=VAB-BD=1V(3V10)2-32=9,则 的中线，.BM=CM,在△AMC和 0D=9-T,在Rt△OBD中，OB2=0D+BD2,即2=(9-r) AM-NM. B +3?,解得=5，即⊙0的半径为5. △NMB中，∠AMC=∠NMB,. MD 9.解：能.理由如下：设直线AB的解析式为y= MC=-MB」 kx+b,把A(1,-1),B(-2,5)代人，得+6=1 △AMC≌△NMB(SAS), -2k+b=5, ∠MAC=∠MNB,BN=AC.AM 解得=2，直线AB的解析式为y=-2x+1,当x=4 (AD)是∠BAC的平分线， 2 lb=1, ∠BAM=∠MAC,∴.∠MNB= 第2题答图 时，y=-2x+1=-8+1=-7,.点C(4,-6)不在直线AB ∠BAM,.BN=AB,AC=AB, 上，即点A,B,C不共线，.过A,B,C这三个点能 与AB>AC相矛盾，点M与点D重合是错误的..点 确定一个圆 M与点D不重合 10.解：连接AB,AC,分别作AB,AC的垂直平 3.解：已知：在△ABC中，∠A,∠B,∠C为其 分线MN,FD,两垂线的交点G就是三角形的外心， 三个内角 点G到点A,B,C的距离相等.故运动员公寓应建 求证：∠A,∠B,∠C中至少有一个角小于或等 立在G处. 于60°. 证明：假设△ABC的三个内角都大于60°，即 M D ∠A>60°，∠B>60°，∠C>60°，则将三个不等式相加 得∠A+∠B+∠C>60°+60°+60°=180°，此结论与“三角 形内角和为180°”的定理相矛盾.因此，假设不成立 G米 原命题成立，即三角形三个内角中，至少有一个内角 小于或等于60° 4.(1)解：以证明V2为无理数为例，过程如 第10题答图 下：假设V2=m(m,n为互质正整数)，平方，得 山.解：①分别以A,B为圆心，以大于子4B为 2=陪，整理，得m-2,m是正整数，m2是偶数， 半径画圆，两圆相交于D,E两点，连接DE; 可得m必为偶数.设m=2k(k为正整数)，代入①所在 ②分别以A,C为圆心，以 的等式，整理，得-四-2=2，也是偶数， 大于号4C为半径画圆，两圆相 2 2 D G 交于G,F两点，连接GF: 可得n也是偶数，这与“m,n互质”矛盾，故V2是 无理数.故答案为①2n2,②2k2. ③直线DE与GF相交于点 0,以0为圆心，以OA的长为半 (2)证明：假设V7=4(a,b为互质正整数)， b 径画圆，则此圆即为花坛的位置。 第11题答图 29.1.2 过三点的圆（第二课时） 平方，得7=答，整理，得心=7心，b是正整数，G 【知识点】与结论相反定义、基本事实、： 是7的倍数，可得正整数a必为7的倍数.设a=7z(z 定理或题设所作假设1.C2.C 为正整数)，代入a2=7b2,整理，得b2-7z2,b2也是7 【例】证明：如图，连 的倍数，可得正整数b也是7的倍数，这与“a,b互 接A0,B0,C0,D0,设 质”矛盾，故V7是无理数. AB,CD相交于点E,连接 5.(1)解：②若LACB=∠ABC,AB=AC,这与 OE.假设AB与CD能互相 已知AC<AB相矛盾，.假设不成立.∠ACB>∠ABC. 平分，则AE=BE,CE=DE, (2)解：三角形的三个内角中，三个内角都大于 .A0=B0=C0=D0,AB 60°. CD是⊙O内非直径的两 例题答图 (3)证明：假设线段EC与FD垂直，：点D,E, 弦，.OE⊥CD,OE⊥AB,这与“过一点有且只 F分别是AC,AB,BC的中点，DE,EF都是△ABC 有一条直线与已知直线垂直”相矛盾，.假设 的中位线，DE∥CF,DE=弓BC,EF∥AC,EF= AB与CD能互相平分不成立，.AB,CD是⊙O 内非直径的两条弦，AB与CD不能互相平分. 号AC,四边形DEFC是平行四边形，：线段EC与 1.证明：假设a,b都不大于零，即a≤0，b≤0， FD垂直，·四边形DEFC是菱形，DE=EF,BC= :两个非正数相加还是非正数，a+b≤0，这与已知条 AC,这与AB,BC,AC均不相等矛盾，假设不成 件a+b>0矛盾，∴.假设不成立，：a,b中至少有一个 立，.线段EC与FD不垂直. 大于零数学 九年级上册（人教版） 29.1.2过三点的圆（第一课时) 知识梳理@形成联系 【知识点1】圆的作法 ©作圆的关键是确定 和 对于经过已知点作圆的问 题，当圆心确定后， 也就随之确定，因此作圆的问题又转化为 的 问题 ©如图1，过点A可以作 个圆，它们的圆心可以是平面内异于A的任何点.如 图2，过点A,B可以作 个圆，它们的圆心在 ©过不在同一条直线上的三个点A,B,C可以作一个并且只可以作一个圆，即“ 确定一个圆” 03 01 E 图1 图2 AB七D 图29.1-6 图29.1-7 如图29.1-7，点A,B,C,D在同一条直线上，点E在直线AB外，过这5个点中的任 意三个，能画的圆有（) A.3个 B.4个 C.5个 D.6个 【知识点2】三角形的外接圆 ©如图29.1-8，经过三角形的三个顶点可以作一个圆，这个圆叫作 外 接圆的圆心是 的交点，叫作这个 这个三角形叫 作 ② ③ 图29.1-8 图29.1-9 小明不慎把家里的圆形镜子打碎了，其中三块碎片如图29.1-9所示，利用三块碎片中 的哪一片最有可能配到与原来一样大小的圆形镜子() A.① B.② C.③ D.均不可能 110 圆 第二十九章 例题点拨Q素养导向 【例】如图29.1-10，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，⊙D的一条圆弧经过 格点A,B,C,现在以格点O为原点、竖直和水平方向为坐标轴建立平面直角坐标系， (1)圆心D的坐标为 (2)求⊙D的半径. (3)若点E的坐标是(-1,3)，试判断点E与⊙D的位置关系，并说明理由 【点拔】(1)过AB两点的圆的圆心在AB的垂直平分线上，过B,C两点的圆的圆心 在BC的垂直平分线上，由此可以确定点D的坐标；(2)找到BD所在的直角三角形，根据 网格的特点，利用勾股定理即可求解；(3)利用勾股定理求出DE的长，与圆的半径比较 即可判定位置关系. 图29.1-10 夯实四基达标闯关 1.下列命题正确的是( A.三点确定一个圆 B.圆有且只有一个内接三角形 C.三角形的外心是三角形三个角的平分线的交点 D.三角形的外心是三角形任意两边的垂直平分线的交点 2.已知线段AB=7,经过A,B两点且半径为5的圆有() A.0个 B.1个 C.2个 D.无数个 3.如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点A,B,C,D,E, F,G在小正方形的顶点上，则△ABC的外心是() A.点D B.点E C.点F D.点G 第3题图 4.如图，点0是△ABC的外心，则∠1+∠2+∠3=( A.60° B.75° C.90 D.1059 5.三角形的外心一定在该三角形外面的三角形是( 0 A.等腰三角形 B.锐角三角形 C.直角三角形 D.钝角三角形 第4题图 111 口数学 九年级上册（人教版） 6.下列说法正确的是() A.过一点A的圆的圆心可以是平面上任意点 B.同一平面内，过A,B两点的圆的圆心在一条直线上 C.过A,B,C三点可确定一个圆 D.过A,B,C,D四点的圆不存在 能力提升睡综合拓展 一6多多年 7.想要将图中的圆形镜子复原，已知弧上三点A,B,C.画出该镜子的圆心 B 第7题图 8.如图，在⊙O的内接△ABC中，AB=AC,连接AO. (1)求证：AOLBC. (2)若AB=310,BC=6.求圆0的半径. 第8题图 9.已知平面直角坐标系中的三个点A(1,-1),B(-2,5),C(4,-6),判断过A,B,C 这三个点能否确定一个圆，并说明理由. 企 圆 第二十九章 10.某市承办一项大型比赛，在市内有三个体育馆承接所有比赛，现要修建一个运动员 公寓，使得运动员公寓到三个体育馆的距离相等，若三个体育馆的位置如图所示，那么运动 员公寓应建立在何处？ B。 6 第10题图 中考链接©真题演练 11.(2024沈阳模拟)小明家的房前有一块矩形的空地，空地上有三棵树A，,B,C,小 明想建一个圆形花坛，使三棵树都在花坛的边上.请你帮小明把花坛的位置画出来.（尺规作 图，不写作法，保留作图痕迹) 第11题图 企 数学 九年级上册（人教版） 29.1.2过三点的圆（第二课时) 知识梳理@形成联系 【知识点】反证法的概念 ©不是直接去证明命题的结论，而是先提出 的假设，再推导出 和 等相矛盾的结果，然后由矛盾断定 不正确，从而得到原命题成立，这种方法叫作反证法 1.用反证法证明：若Rt△ABC中，∠C=90°，∠B>∠A,则∠A<45°，第一步应假设 ( A.∠B≤∠A B.∠B≥∠A C.∠A≥45 D.∠A>45 2.已知在△ABC中，AB=AC,求证：∠B<90° 下面写出了用反证法证明过程中的四个步骤：①.：∠B+∠C+∠A>180°，这与三角形内角 和定理相矛盾；②.∠B<90°；③假设∠B≥90°；④那么由AB=AC,得∠B=∠C≥90°，即 ∠B+∠C≥180°.这四个步骤正确的顺序是() A.①②③④ B.③④②① C.③④①② D.④③②① 例题点拨Q素养导向 【例】如图291-11，AB,CD是⊙0内非直径的两条弦，用反证法证明：AB与CD不能 互相平分 【点拨】先提出与结论相反的假设：AB与CD互相平分.以假设为条件推导发现，过点 E有两条直线(AB,CD)与OE垂直，这与“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”相 矛盾，由此判定所作的假设不正确，从而得到原命题正确 0 图29.1-11 在 圆 第二十九章 夯实四基L达标闯关 -e多 1.用反证法证明：如果a+b>0,那么a,b中至少有一个大于零 2.如图，在△ABC中，AB>AC,AD是∠BAC的平分线，AM是BC边上的中线.用反证 法说明点M与点D不重合. B MD 第2题图 3.反证法是数学中一种常用的证明方法，请你用反证法证明“三角形三个内角中，至少 有一个内角小于或等于60°”.（提示：先根据题意写出已知、求证，再给予证明）》 第3题图 企 数学 九年级上册（人教版） 能力提升钟综合拓展 。多年 4.阅读下列材料，完成相应问题， 我们知道，有理数都可以写成卫(p,q为互质整数，q≠0)的形式；不能写成这种形 0 式的实数称为无理数 下面给出证明“某数是无理数”的一种经典思路（反证法）· 先假设它是有理数，再推出与“，q互质”矛盾，从而假设不成立. 以证明√2为无理数为例，过程如下： 假设V2=m(m,n为互质正整数)， n 平方，得2=停，整理，得m-0① .n是正整数， m2是偶数，可得m必为偶数， 设m=2k(k为正整数)，代入①所在的等式，整理得n2=② ∴n2也是偶数，可得n也是偶数， 这与“m,n互质”矛盾，故V2是无理数. (1)填空：写出①，②对应的式子：① ② (2)类比应用：请运用上述思想方法，证明：√7是无理数. 企 圆 第二十九章 5.当直接证明一个命题为真命题有困难时，我们可以先假设求证的结论不成立，然后利 用命题的条件或有关的结论，通过推理导出矛盾，从而得出假设不成立，即所证明的结论正 确，这种证明方法称为反证法.反证法是数学中一种常用的证明方法，它的一般证明思路是： 第一步：假设求证的结论不成立； 第二步：基于假设进行逻辑推理； 第三步：推导出与条件、公理、定理等相矛盾的结果： 第四步：从而假设不成立，求证的结论正确。 (1)阅读下列材料并解答问题： 如图1，已知在△ABC中，AB>AC,求证：∠ACB>∠ABC. 证明：假设∠ACB≤∠ABC. ①若∠ACB<∠ABC 如图2，在∠ABC内部作∠DBC=∠C,交AC于点D. .∠DBC=∠C, ..DB=DC, .∴AC=AD+DC=AD+DB, .AD+DB>AB, 图 即AC>AB, 这与已知AC<AB相矛盾， 假设不成立。 ②若∠ACB=∠ABC, … 图3 综上，∠ACB>∠ABC 第5题图 请你补充②中所缺失的部分， (2)用反证法证明命题：“三角形的三个内角中，至少有一个内角小于或等于60°.”第 一步应先假设 (3)如图3，在△ABC中，AB,BC,AC均不相等，点D,E,F分别是AC,AB,BC 的中点.用反证法证明：线段EC与FD不垂直.