29.1.1 圆的有关概念-【新课程能力培养】2026-2027学年九年级上册数学同步练习（人教版·新教材）

圆第二十九章 第二十九章 圆 学习路径 圆的有关概念 点与圆的位置关系 过三点的圆 圆的轴对称性 垂径定圆 圆的对称性 圆 圆的有关性质 圆的旋转对称性弧、弦、圆心角之间的关系 同弧所对圆周角和圆心角的关系 孤长 圆的有关计算 圆锥的侧面积和全面积 扇形面积 圆的有关概念 29.1.1 圆的有关概念 知识梳理①形成联系 【知识点1】圆的概念 O如图29.1-1，在一个平面内，线段OP绕它固定的一个端点0旋转 一周，另一个端点P所形成的图形叫作 ·其固定的端点0叫作 ,线段OP叫作 .以点0为圆心的圆，记作 ，读 作“圆0” 图29.1-1 【知识点2】平面内的点与圆的位置关系 ©平面内的点与圆有三种位置关系：点在圆外，点在圆上，点在圆内， ⊙可以用点P到圆心的距离d与半径r的数量关系刻画点在圆内、点在圆上、点在圆外 设⊙0的半径为r,任意一点到圆心的距离为d,则有 点P在圆外今 ;点P在圆上台 点P在圆内台 如图29.1-2，⊙0的半径为r,点A在⊙0内，点B在⊙0上，点 C在⊙0外，则OA r,OB r,OC r.(用“>”、 “<”或“=”填空)》 图29.1-2 105 数学 九年级上册（人教版） 【知识点3】弦、弧及等圆的概念 ©连接圆上任意两点的线段叫作 ， 经过圆心的弦叫作 ，直径长是半径 长的 倍。 ©圆上任意两点间的部分叫作 ，1 简称 圆的任意一条直径的两个端点 把圆分成两条弧，每一条弧都叫作 的孤叫作优孤， 的弧叫作劣弧， O 的两个圆叫作等圆： 的半 径相等；反过来， 的两个圆是等圆.在同圆或等圆中， 能够 的孤叫作等弧 如图29.1-3，AC是⊙0的直径，则图中的半径为 图29.1-3 弦为 ；劣弧为 , 优弧为 例题点拨Q素养导向 【例1】如图29.1-4所示，在四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，求证：A,B,C,D四点 在同一个圆上 【点拨】根据圆的定义，可知到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上，先确定圆心 的位置是AC的中点，然后连接OB,OC,证明OB=OC=OD=OA即可 图29.1-4 【例2】如图29.1-5，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB,CD的延长线交于点E, 已知AB=2DE,若△COD为直角三角形，求∠E的度数. 【点拨】由于AB是⊙O的直径，则AB=2DO,而AB=2DE,可得DO=DE,根据等腰三 角形的性质，得到∠DOE=∠E,又由于△COD为直角三角形，而OC=OD,所以△COD为等 腰直角三角形，于是可得∠CD0=45°，利用三角形外角性质有∠CDO=∠DOE+∠E,则 ∠E=7∠CD0=2.5. 图29.1-5 o 圆第二十九章 夯实四基(U达标闯关 1.在平面直角坐标系中，以原点O为圆心，5为半径作圆，点P的坐标是(4,3)，则 点P与⊙O的位置关系是() A.点P在⊙O内 B.点P在⊙O外 C.点P在⊙0上 D.无法确定 2.已知⊙0的半径为4，若点P在⊙0内，则点P到圆心0的距离可能为() A.4 B.V13 C.5 D.7 3.如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O中非直径的弦，你能判定AB与CD的大小关 系吗？ 0 第3题图 4.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=2,BC=4,CM是AB边上的中线.以点C为圆 心，以V√5为半径作圆，试确定A,B,M三点分别与⊙C有怎样的位置关系，并说明你的 理由 第4题图 5.如图，在△ABC中，CE,BD分别是AB,AC边上的高，求证：B,C,D,E四点在 同一个圆上 第5题图 o 口数学 九年级上册（人教版） 6.如图，在⊙O中，C,D分别是半径OA,B0的中点，求证：AD=BC 第6题图 7.如图，在△ABC中，AB=AC=5,D是BC的中点，现在以D为圆心，以DC长为半径 作⊙D. (1)当BC=8时，试确定点A与⊙D的位置关系. (2)当BC=6时，试确定点A与⊙D的位置关系. (3)当BC=5V2时，试确定点A与⊙D的位置关系. 第7题图 8.如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=2,BC=3,AB的中点为点M. (1)以点C为圆心，2为半径作⊙C,则点A,B,M分别与⊙C有怎样的位置关系？ (2)若以点C为圆心作⊙C,使A,B,M三点中至少有一点在⊙C内，且至少有一点在 ⊙C外，则⊙C的半径r的取值范围是什么？ 第8题图 @ 圆 第二十九章 9.在矩形ABCD中，AB=6cm,AD=8cm. (1)若以A为圆心，6cm长为半径作⊙A(画图)，则B,C,D与圆的位置关系是 怎样的？ (2)若作⊙A,使B,C,D三点至少有一个点在⊙A内，至少有一点在⊙A外.求⊙A 的半径r的取值范围. 第9题图 能力提升螂综合拓展 。多年 10.已知线段AB和点C,⊙C经过点A.根据如下所给点C的位置，判断点B与⊙C的 位置关系！ (1)如图1，点C在线段AB的垂直平分线MN上. (2)如图2，点C在线段AB上，且0<AC<?AB. M A 图1 图2 第10题图 @参考答案 7.解：(1)旋转中心点M,如图1即为所求. 6 C 图2 -7-6-5 -2 0 23 4 (3)n=4.如图3，△ABC向右平移4个单位长度， M 再绕点O逆时针旋转90°可以得到△A'BC 图1 (2)将△ABC绕原点0旋转180°，得到△AB,C2, 如图2即为所求. 图3 第8题答图 9.B10.C 第二十九章圆 29.1圆的有关概念 29.1.1圆的有关概念 【知识点1】圆圆心半径⊙0 【知识点2】dbrd=rd<r<=> 71-6 1516 【知识点3】弦直径2圆弧弧半圆 大于半圆小于半圆能够重合同圆或等圆 半径相等互相重合OA,OB,OCAB,AC AB,BC ACB.BAC 【例1】证明：连接AC 取AC的中点O,连接OB 、0- OD,:∠ABC=∠ADC=90° 图2 0B=号AC,0D=AC.即 例1答图 第7题答图 OB=OA=OC=OD,A,B,C,D四点在同一圆上 8.解：(1)图形如图1所示.性质：变换前后图 【例2】解：AB是⊙0的直径，AB=2DE 形全等，对应边相等，对应角相等.（答案不唯一） 又AB=2D0,.DO=DE,.∠DOE=∠E,△COD 为直角三角形，0C=OD,∴.△COD为等腰直角三 角形，.∠CD0=45°，∠CD0=∠D0E+∠E= 2L,LE号∠C0=号x45=2.5 2 1.C2.B 3.解：AB是⊙0的直径，CD是⊙0中非直径 的弦，AB>CD. 4.解：在△ABC中，∠ACB=90°，AC=2,BC=4, 图1 AB=VAC+BC=V244=2V5.CM是AB边上的 (2)如图2，把三角形乙轴对称变换得到三角形 ①，三角形①绕点Q逆时针旋转90°得到三角形甲. 中线，C=2AB=2×2V5=V5,~以点C为圆 心，以V5为半径作圆，∴⊙C的半径r=V5,AC= 59 数学 九年级上册（人教版） 2,r>AC,点A在⊙C内.BC=4,<BC,.点B 在⊙C外..CM=V5,=CM,∴.点M在⊙C上 5.证明：如图所示，取 BC的中点F,连接DF,EFBD CE是△ABC的高，△BCD和 △BCE都是直角三角形..DF, EF分别为Rt△BCD和Rt△BCE 斜边上的中线，DF=EF=BF= CF.E,B,C,D四点在以点 B F为圆心，BC为半径的园上. 第5题答图 图1 图2 第10题答图 6.证明：0A,0B是⊙0的两条半径，.A0= (2)⊙C经过点A,.CA为⊙C的半径，：点C B0,C,D分别是半径OA,B0的中点，.OC=OD, AO=BO, 在线段AB上，且0<AC<3AB,CBAB,BC 在△OCB和△ODA中， ∠O=LO,∴.△OCB≌△ODA CA,点B在⊙C外，如图2所示 0D=0C, 29.1.2过三点的圆（第一课时） (SAS),.AD=BC. 【知识点1】圆心的位置半径的大小半径 7.解：(1)连接AD,:在 确定圆心无数无数线段AB的垂直平分线 △ABC中，AB=AC=5,BC=8, 上 不在同一条直线上的三个点D 点D是BC的中点，.CD=4, 【知识点2】三角形的外接圆三角形三条边 AD=3,43,点A在⊙D内 的垂直平分线三角形的外心圆的内接三角形 (2)在△ABC中，AB= D AC=5,BC=6,点D是BC的中 第7题答图 【例】解：(1)如图所示，圆心D的坐标为 点，.CD=3,AD=4,4>3,.点A在⊙D外 (2,0).故答案为(2,0). (3)在△ABC中，AB=AC=5,BC=5V2,点D (2)由勾股定理，得⊙D的半径=V4+2 是c的中点，D-5Y5,M05,5Y5 2 2 2 2V5. 5V5,点A在⊙D上. (3)点E在⊙D内，理由如下：如图，由勾 2 股定理，得点E到圆心D的距离d=DE=V3+3?= 8.解：(1)在△ABC中，∠C=90°，AC=2, 32,dkr,.点E在⊙D内. BC=3,AB的中点为点M,:AB=VAC+BC=V2+3= V厘，CM4B=Y5,以点C为圆心，2为半径 作⊙C,AC=2,则点A在圆上，CM=E2,则点 2 M在圆内，BC=3>2,则点B在圆外. (2)以点C为圆心作⊙C,使A,B,M三点中至 少有一点在⊙C内时，>3 ,当至少有一点在⊙C 2 外时，r3,故⊙C的半径r的取值范围为厘<3. 例题答图 2 1.D2.C3.A4.C5.D6.B 9.解：(1)如图，连接 7.解：如图所示，分别作弦AB和AC的垂直平 AC..AB=6 cm,AD=8 cm D 分线，交点O即为所求的圆心. AC=10cm,⊙A的半径为 6cm,点B在⊙A上，点C B 在⊙A外，点D在⊙A外. (2):以点A为圆心作 B ⊙A,使B,C,D三点中至少 第9题答图 有一个点在圆内，且至少有一点在圆外，.⊙A的半径 r的取值范围是6cm<<10cm. 10.解：(1)连接AC,BC,如图1所示.⊙C 经过点A,.CA为⊙C的半径，MN是线段AB的 第7题答图 第8题答图 垂直平分线，且点C在MW上，.CB=CA,.点B在 8.(1)证明：AB=AC,AB=AC,由垂径定理 ⊙C上. 的推论，可知AO⊥BC. 60