26.3 二次函数与一元二次方程-【新课程能力培养】2026-2027学年九年级上册数学同步练习（人教版·新教材）

二次函数 第二十六章 26.3 二次函数与一元二次方程（第一课时） 知识梳理@形成联系 【知识点1】二次函数与一元二次方程之间的关系 ◎如果抛物线y=ax2+bx+c与x轴有公共点，公共点的横坐标是xo,那么当x=0时，函 数值是0，因此x=是方程ar2+bx+c=0的一个根， 若二次函数y=ar2+bx+c的图象经过点(-1,0)，(2,0)，则关于x的方程ax2+bx+c=0 的解为() A.x1=-1,2=2B.x1=-2,x2=1 C.x1=1,2=2 D.x1=-1,x2=-2 【知识点2】抛物线与x轴的公共点个数与一元二次方程根的情况之间的关系 O二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的位置关系有三种：没有公共点，有一个公共点， 有两个公共点.这对应着一元二次方程ax2+bx+c=0的根的三种情况：没有实数根，有两个相 等的实数根，有两个不相等的实数根 二次函数y=x2-2x+1的图象与x轴的交点个数是() A.0 B.1 C.2 D.不能确定 例题点拨Q素养导向 【例】二次函数y=ax2+bx+c的部分图象如图所示，可知方程ax+bx+ c=0的一个根为x=5,则方程的另一个根为() A.x=-1 B.x=0 12 C.x=1 D.x=2 【点拨】若想确定方程ax+bx+c=0的另一个根，可以利用抛物线的对 图26.3-1 称性得到抛物线与x轴的另一个交点坐标即可.因为抛物线的对称轴为直线x=2,抛物线与x 轴的一个交点坐标为(5,0)，则抛物线与x轴的另一个交点坐标为(-1,0)，.方程ax2+ bx+c=0的根为x=-1,x2=5,即方程的另一个根为x=-1. 夯实四基)达标闯关 1.若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根分别是x1=-4, x2=2,则二次函数y=ax2+bx+c与x轴的交点是 2.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则关于x的方程ax2+bx+c=0 的解为 3.抛物线y=x+2x+a-2与x轴有且仅有一个交点，则a的值为()】 第2题图 A.3 B.2 C.2或-3 D.2或3 数学 九年级上册（人教版） 4.已知抛物线y=x2-x-1与x轴的一个交点为(m,0),则代数式m2-m+2025的值为 5.已知二次函数y=x2+4x+c的图象与x轴的一个交点为(-1,0)，则它与x轴的另一个 交点的坐标是 6.二次函数y=x+4x+a的图象与x轴没有交点，则a的值可以是（) A.-2 B.2 C.4 D.6 能力提升综合拓展 7.如图，以40s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，小球的飞行路线将是 一条抛物线.如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h(单位：m)与飞行时间t(单位：s) 之间具有函数关系h=20t-5,下列说法正确的是() A.小球的飞行高度为15m时，小球飞行的时间是1s B.小球飞行3s时飞行高度为15m,并将继续上升 C.小球的飞行高度可以达到25m D.小球从飞出到落地要用4s 第7题图 8.二次函数y=ax2+bx+c的部分对应值列表如下： -3 0 1 3 5 … … 6 -7 -8 -5 6 … 则一元二次方程ax2+bx+c=-7的解为 9.如图，运动员小铭推铅球，铅球行进高度y(m) 与水平距离x(m)间的关系为y=-1(x-5)2+4,则运动 员小铭将铅球推出的距离为 1m. 第9题图 10.函数y=x2-(m+1)x+m(m为常数)的图象与x轴公共点的个数是() A.0 B.1 C.2 D.1或2 11.已知二次函数y=2x2+bx-1(b为常数). (1)若抛物线经过点(1,2b),求b的值. (2)求证：无论b取何值，二次函数y=2x2+bx-1的图象与x轴必有两个交点 48 二次函数 第二十六章 中考链接©真题演练 12.(2026·陕西)已知二次函数y=ax+bx+c的自变量x与函数y的几组对应值如表： -2 -1 0 人 4 5 0 -3 -4 5 (1)在给定的平面直角坐标系中画出该二次函数的图象， (2)下列关于该二次函数的说法中，正确的是 (填序号) ①a>0: ②b2-4ac>0: ③当x=1时，y有最小值为-4； ④当x>0时，y的值随x值的增大而增大. (3)若将该二次函数的图象沿y轴向下平移6个单位长度，交x轴于A,B两点，求AB 的长 第12题图 49 数学 九年级上册（人教版） 二次函数与一元二次方程（第二课时） 知识梳理@形成联系 【知识点1】利用二次函数的图象解一元二次方程 ©在理解了二次函数图象和一元二次方程关系的基础上对方程的解进行正确的估算 已知二次函数y=ax+bx+c(a≠0，a,b,c为常数)的y与x的部分对应值如下表： 1.23 1.24 1.25 1.26 -0.06 -0.08 -0.03 0.09 判断方程ax2+bx+c=0.05的一个解x的取值范围是( A.1<x<1.23 B.1.23<x<1.24 C.1.24<x<1.25 D.1.25<x<1.26 【知识点2】利用二次函数的图象解不等式 ©利用二次函数的图象解不等式的步骤是先将二次函数化成顶点式，再利用二次函数图 象和性质准确且完整地写出自变量的取值范围 抛物线y=ax2+bx+c(a<0)与x轴的一个交点坐标为(-1,0)，对称轴是直线x=1,其部 分图象如图所示。 (1)此抛物线与x轴的另一个交点坐标是 (2)x取什么值时，函数值大于0？ (3)当y≤0时，求自变量x的范围. 图26.3-2 例题点拨Q素养导向 【例】二次函数y=ax2-2ax+c的图象及局部细节如图中所示， 则关于x的方程ax2-2ax+c=0的较大的根的取值范围是() 0 A.0.4<x<0.5 B.0.5<x<0.6 -0.5 -0.4 C.2.4<<2.5 D.2.5<x<2.6 图26.3-3 50 二次函数 第二十六章 夯实四基达标闯关 L.抛物线y=ax2+bx+c的部分图象如图所示，对称轴为直线x=-1，则当 y<0,x的取值范围是() A.x<1 B.x>-1 C.-3<x<1 D.-4≤x≤1 2.根据下列表格，判断方程8x+9x-1=0的一个近似解（结果精确到 第1题图 0.01)是(） -1.5 -1.4 -1.3 -1.2 -1.1 8x2+9x-1 3.5 2.08 0.82 -0.28 -1.22 A.-1.43 B.-1.33 C.-1.23 D.-1.13 3.利用抛物线图象求解一元二次方程及二次不等式（如图）· (1)方程ax2+bx+c=0的根为 (2)方程ax2+bx+c=-3的根为 x+bx+c (3)方程ax2+bx+c=-4的根为 (4)方程ax2+bx+c=-5的根为 (5)不等式ax2+bx+c>0的解集为 (1,-4) (6)不等式y<0的解集为 第3题图 (7)不等式y≥-3的解集为 y 4.已知y=ax2+bx+c的图象如图所示，则a0,b0, c 0,a-b+c 0,b2-4ac 0.(均填“>”或“<”) -1 B(n,0) 5.如图，二次函数图象的顶点坐标为(-1，-4)，与x轴的一个 A(m,0)0 x 交点坐标为(1,0)· (1)求该函数图象与x轴的另一个交点坐标. 第4题图 (2)求这个二次函数的表达式 (3)当-4<x<0时，求y的取值范围. 10 第5题图 口数学 九年级上册（人教版） 能力提升睡综合拓展 6.下表中列出的是二次函数y=ax2+bx+c中x与y的几组对应值： … -2 0 1 3 y 6 -4 -6 -4 下列各选项中，说法正确的是() A.这个函数的图象开口向下 B.这个函数的图象与x轴有两个交点，且都在y轴同侧 C.当>1时，y的值随x值的增大而增大 D.方程a2+(b+2)x+c=-4的解为x1=0,x2=1 中考链接©真题演练 卡多与 7.(2025:淮安)已知二次函数)广号之-m+m-1(m为常数)， (1)若点(2，-1)在该函数图象上，则m= (2)证明：该二次函数的图象与x轴有两个不同的公共点， (3)若该函数图象上有两个点A(m+l,y),B(m+p,2),当y<y2时，直接写出p的取 值范围.数学 九年级上册（人教版） 26.2.3 二次函数y=ax+bx+c的图象和性质 (2)由函数图象，可得抛物线开口向上，故a>0 (第二课时) ①正确：抛物线与x轴有两个交点，故b2-4ac>0.② 【知识点】A 正确；由图象可得，当x=1时，y有最小值为-4，③ 【例】解：(1)点A(-1,0),B(2,-3) 正确；由图象可得，当x>1时，y的值随x值的增大而 都在二次函数y=2+bx-3的图象上 增大，④错误，·.正确的有①②③.故答案为①②③. (3)根据函数图象，可得顶点坐标为(1，-4) b-3=0解得2∴.a=1,b=-2. 4a+2b-3=-3, 故设表达式为y=(x-1)2-4,将点(0，-3)代人，得 a-4=-3,解得a=1,.抛物线表达式为y=(x-1)2-4, (2)a=1,b=-2,y=2-2x-3=(x-1)2-4,. 沿y轴向下平移6个单位长度后的抛物线表达式为y= 对称轴为直线x=1.:a=1>0,在对称轴的右侧y (x-1)2-4-6,即为y=(x-1)2-10,令y=0,则(x-1)2 随x的增大而增大，又(-2，y)关于对称轴 10=0,解得1=V10+1,2=-V10+1,∴.抛物线y=(x 的对称点为(4)，(0,2)关于对称轴的对 1)2-10与x轴的交点为(V10+1,0),(-V10+ 称点为(2，，2<号<4， 1,0),:AB=V10+1-(-V10+1)=2V10. 1.C2.C3.y=-x2-2x+34.5 26.3二次函数与一元二次方程 5.解：(1)将点(1,4)，(2,7)，代人y=2+ (第二课时) bx+5,得4+b+5,.ja=2, 7=4a+2b+5,0=3,-22-3+5. 【知识点1】D 【知识点2】(1)(3,0) (2)-1<x<3 2)y-2r3*524 ，这条抛物线的 (3)x≤-1，x≥3 【例】C 对称销为直线x一子，顶点坐标为子，裂 1.C2.C 6.解：(1)设二次函数的解析式为y=a(x-h)2+h, 3.(1)x=-1,x2=3(2)x=0,x2=2 由二次函数的图象，可知抛物线的顶点坐标是(2，-2)， (3)x==1(4)方程无解(5)x<-1或>3 (6)-1<x<3(7)x≤0或x≥2 ∴y=a(x-2)2-2,把坐标(3,0)代人解析式，得a(3- 2)2-2=0,解得a=2,.二次函数的解析式为y=2(x-2)2 4.<<>>> 2=2x2-8x+6,即二次函数的解析式为y=2x2-8x+6. 5.解：(1)，二次函数图象的对称轴为直线x= -1,与x轴的一个交点坐标为(1,0)，.二次函数图 (2)由图象，可知Y随x的增大而减小的自变量x 的取值范围是x<2, 象与x轴的另一交点为(-3,0)· 7.26 (2)设二次函数的表达式为y=a(x+1)2-4,把 26.3二次函数与一元二次方程 (1,0)代入解析式，得4a-4=0,解得a=1,.二次 函数的表达式为y=(x+1)2-4. （第一课时) (3)抛物线开口向上，顶点坐标为(-1，-4)， 【知识点1】A .抛物线的最小值为-4.-1-(-4)=3>0-(-1)=1，.当 【知识点2】B x=-4时，y=5,.当-4<x<0时，y的取值范围为 【例】A -4≤y<5. 1.(-4,0),(2,0)2.x=-3,x2=13.A 6.D 4.20265.(-3,0)6.D7.D 8.x=0,2=29.1110.D 7.(解：将(2，-1)代人y=-m+m-l, 11.(1)解：把点(1,2b)代人抛物线y=2x2+ 得-1=222-2m+m-l,解得m=2放答案为2 bx-1中，得2+b-1=2b,解得b=1. (2)证明：△=b2-4x2×(-1)=b2+8,无论b取何 (2)证明：由题意，可知4=(-m)2-4× 2×(m-1) 值，b2≥0，b2+8>0,.二次函数y=2x2+bx-1的图象 与x轴必有两个交点. m2-2m+2=(m-1)2+1,(m-1)2≥0，∴.(m-1)2+1>0, 12.解：(1)如图，二次函数图象即为所求」 :△>0，该二次函数的图象与x轴有两个不同的公共点」 (3)解：y=)-mm-1的对称轴为直线x= =m,:二次项系数0，二次函数图象开口 2x 向上，y<2,.点A(m+1,y)到对称轴的距离小于 点B(m+p,y2)到对称轴的距离，lm+l-ml<lm+p-ml, 即pl>1,p>1或p<-1. 26.4实际问题与二次函数（第一课时) 【知识点】12 【例】解：(1)由题意，可知CD=AB=xm, 则BC=(62-2x)m,∴y=x(62-2x)=-2x2+62x, 第12题答图 ,墙体的最大可用长度为30m,AB<BC≤30 50