25.2.2 公式法-【新课程能力培养】2026-2027学年九年级上册数学同步练习（人教版·新教材）

一元二次方程 第二十五章 25.2.2公式法 知识梳理@形成联系 【知识点1】根的判别式 ©可以发现，式子b2-4c可以判别一元二次方程的根的情况，因此把它叫作一元二次 方程ax2+bx+c=0的根的判别式，通常用希腊字母“4”表示，即△=b2-4ac. ©对于方程ax2+bx+c=0(a≠0)，当△>0时，方程有 的实数根； 当△=0时，方程有 的实数根；当△<0时，方程无实数根 1.关于x的一元二次方程x2-3x-5=0的根的情况是() A.没有实数根 B.有两个不相等的实数根 C.有两个相等的实数根 D.无法确定 2.若关于x的一元二次方程x2-4x+2a=0没有实数根，则a的取值范围是() A.a<2 B.a>2 C.a≤2 D.a≥2 【知识点2】用公式法解方程 ⊙当△≥0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)的实数根可写为 的形式，这个式子叫作一元二次方程ax2+bx+c=0的求根公式. 1.用求根公式解方程2x2-3=x时，a,b,c的值是（) A.a=2,b=1,c=-3 B.a=2,b=-1,c=-3 C.a=2,b=-1,c=3 D.a=2,b=1,c=3 2.用公式法解方程2x+5x-1=0,所得解正确的是() A.x=-5±V33 B.x=-5±V33 C.x=5±V33 D.x=5±V33 4 2 4 2 例题点拨Q素养导向 【例1】用公式法解方程：3x2=x+2. 【点拨】求根公式是与一元二次方程一般形式相对应的，因此使用求根公式之前应先将 方程化为一般形式，确定a,b,c的值时，要注意它们的符号. 数学 九年级上册（人教版） 【例2】若关于x的一元二次方程x2+(2k+1)x+k2+1=0有两个不相等的实数根，求实数k 的取值范围。 【点拨】根据一元二次方程有两个不相等实数根的条件，计算出根的判别式△=b2-4ac>0, 解不等式得到飞的取值范围即可. 夯实四基达标闯关 1.一元二次方程2x2-3x-1=0根的判别式的值是（) A.0 B.1 C.17 D.-13 2.下列方程中，没有实数根的是() A.x2+1=0 B.x2-2x+1=0 C.x2-2x-3=0 D.x2-2x=0 3.一元二次方程x+5x+1=0根的判别式的值是 4.方程x2-kx-1=0的根的情况为() A.有两个不相等的实数根 B.有一个实数根 C.无实数根 D.有两个相等的实数根 5.若关于x的一元二次方程x2+5x+k=0有两个相等的实数根，则k= 6.给出下列方程：①x+6x-2=0:②3x2-4=0;③2y2-3y-1=0.你认为选用哪种方法解方程 较简便？（填序号） 开平方法： ,配方法： 公式法： 7.用公式法解下列方程. (1)x2-x-4=0: (2）2x2+3=7x; (3)(x-2)2=x-3; (4)4x2+2x-1=0: 一元二次方程 第二十五章 (5)x2+3x+1=4; (6)x(2x-V6)=V6x-3. 能力提升坤综合拓展 -。多多 8.等腰三角形的一边长是3，另两边的长是关于x的方程x2-4x+k=0的两个整数根，则 三角形的周长为() A.7或8 B.8 C.15 D.7 9.已知关于x的一元二次方程x2-(m+3)x+2+m=0. (1)求证：对于任意实数m,该方程总有实数根 (2)若这个一元二次方程的一个根大于2，求m的取值范围. 中考链接©真题演练 卡多与 10.(2026·广元)若关于x的一元二次方程x2+bx+3=0有两个相等的实数根，则b的值 为() A.2V3 B.±2V3 C.V3 D.±V3 11.(2026·遂宁)关于x的一元二次方程x2+mx-1=0的根的情况是（) A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.没有实数根 D.无法确定 12.(2025·上海)一元二次方程2x+x+m=0没有实数根，那么m的取值范围是 13.(2025·镇江)关于x的一元二次方程x2+mx+1=0有两个相等的实数根，则m的值为 73数学 九年级上册（人教版） 25.2.2公式法 【例】解：因式分解，得x(2x-5)=2(2x-5) 【知识点1】两个不相等两个相等1.B 移项，得x(2x-5)-2(2x-5)=0.因式分解，得(x 2.B 2)(2x-5)=0,x-2=0或2x-5=0,解得1=2， 【知识点2】x==b土V4@ -1.B2.A -2a x 2 【例1】解：方程化为3x2-x-2=0,a=3,b= 1.D2.A3.A4.x=-1,x2=35.15 -1,c=-2.4=b2-4ac=(-1)2-4x3×(-2)=25>0,方 6.解：(1)32-4x=0,x(3x-4)=0,x=0或(3x-4) 程有两个不相等的实数根，即x=b±V4c 0,0,5号 2a (2)x243-0,x(+3)=0,x0或+3-0，x-0,x-3. 爱岩即l.=号 (3)(2x-1)2-0,2x-1=0,x=xF2 1 【例2】解：方程x2+(2k+1)x+k2+1=0有两 (4)3x(x-2)-(x-2)=0,(x-2)(3x-1)=0,x-2=0 个不相等的实数根，.△=b2-4ac=(2h+1)2-4×1× 或3x-1=0,1=2,x2=3 (k2+1)=4h2+4h+1-4h2-4=4-3>0,.4h-3>0,解 (5)x(3x+1)-(3x+1)=0,(3x+1)(x-1)=0,3x+ 得>3 4 10或l0,=写l 1C2A3214A52空6②①③ (6)(2-1)2=(3-x)2,(2-12-(3-x)2=0,(2x1+3- x)(2x-1-3+x)=0,2x-1+3-x=0或2x-1-3+x=0,1=-2, 7.解：(1)a=1,b=-1,c=-4,△=b2-4ac=(-1)2- 4×1×(-4)=1+16=17>0,方程有两个不相等的实数根， y亚.y亚，1yD 7.解：(1)x2+2x=1,x2+2x+1=1+1,(x+1)2=2, 2a 2 2 x+1=±V2,x+1=V2或x+1=-V2,x=-1+V2, (2)原方程化为2x2-7x+3=0,a=2,b=-7,c=3 △=b2-4c=(-7)2-4x2×3=25>0,方程有两个不相等的实 x=-1-V2. (2)x2-3=0,x(-3)=0,x=0或x-3=0,x=0,x=3. 数根，即7X7要，3，分 (3)a=5,b=-6,c=1,△=b2-4ac=(-6)2-4×5×1= (3)原方程化为x2-5x+7=0,a=1,b=-5,c=7, 160,方程有两个不相等的实数根，即=±V6-64 2x510 △=b2-4ac=25-28=-3<0,方程无实数根. 1 (4)a=4,b=2,c=-1,4=b2-4ae=22-4×4×(-1)= x=1,g5 4+16=20>0,方程有两个不相等的实数根，即x= (4)2x2-4x=-8x-2,2x2+4x+2=0,x2+2x+1=0 t4ac-22V5,x=+y5,Y5 (x+1)2=0,x=2=-1. 2a 4 4 8.B9.C10.A (5)整理，得2+3x-3=0,4=32-4×1×(-3)=9+ 25.2.4一元二次方程的根与系数的关系 12=210,.方程有两个不相等的实数根，x= 4.3y2,=3y2,=3-) 〔知识点】合台1号42 2a 2 2 2 【例】解：(1).关于x的一元二次方程 (6)原方程化为2x2-2V6x+3-0,a=2,b=-2V6, x2-2x+m-2=0有两个不相等的实数根，4=b2 c=3,△=b2-4ac=24-24=0,方程有两个相等的实数根， 4ae=(-2)2-4×1×(m-2)>0,12-4m>0,解得m< 即x=2Y6V0,==6 3,m的取值范围为m<3. 4 2 (2).关于x的一元二次方程x2-2.x+m-2=0有 8.D 9.(1)证明：关于x的一元二次方程x2-m+3x+ 两个不相等的实数根1,2，x1+2=2.又= 2+m=0,a=1,b=-(m+3),c=2+m,△=b2-4ac=[-(m+ -1,-1+2=2,2=3,.另一个根2的值为3. 3)]2-4×1×(2+m)=(m+1)2≥0，对于任意实数m,该方 1.-32.63.D4.C5.D6.C7.4 程总有实数根 8.-29.7 (2)解：设方程的两个实数根为x1,2,x= 10.解：(1)3；-2；-6. 2)3:2 1 -b±V-4ae=m+3±(m+l,=m+2,x=l.这个 2a (3)设方程x2+(2m+1)x+m2-2-0有两个实数根为 一元二次方程的一个根大于2，.∴m+2>2,解得m>0, m的取值范围为m>0. x,2,x+x2=-(2m+1),x2=m2-2.这两个实数根的 平方和是21，x+x=21=(x+x2)2-2xw,∴[-(2m+1)]P 10B11A12.m心g1B2 2(m2-2)=21,解得m=-4,m2=2.4=b2-4ac=(2m+1)2 25.2.3因式分解法 4m-2)=4m9≥0，m≥-？，m=-4不符合题意】 【知识点】1.=1，=22.B 则m=2. 46