25.2.4 一元二次方程的根与系数的关系（第1课时） 同步练习· 2026--2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 分层清晰，从基础公式应用到综合拓展，适配新授课知识巩固与差异化教学，培养运算能力、推理意识与应用意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|核心公式直接应用、简单对称式变形|直接求两根和积，如方程x²-4x+3=0的x₁+x₂| |能力提升|公式综合应用、判别式结合几何|等腰三角形边长与方程根关系，需推理计算| |拓展探究|创新应用、跨情境问题|构造新方程、直角三角形边长与方程根关联|

25.2.4 一元二次方程的根与系数的关系（第1课时） 分层同步练习·反思性作业单 （自习课｜家庭作业 专用） 完成场景 □自习课独立完成 □家庭自主完成 预估用时：________分钟 完成状态 □完全独立 □少量翻书 □略有卡点 教学环节 内容要点与习题 一、自习前置速忆 （30秒唤醒） 1. 本节课核心知识点： ①若一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两根为x₁、x₂，则x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a。 ②这个关系称为一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）。 ③使用前提：方程必须有实数根（即Δ≥0）。 2. 与本节课相关的旧知识：求根公式、代数式的变形（对称式）。 3. 预习时遇到的疑问：韦达定理为什么要求a≠0且Δ≥0？x₁²+x₂²怎么用两根之和与积表示？。 4. 本节课最大陷阱（必考易错）： ①忘记x₁+x₂=-b/a中的负号。 ②变形对称式时出错，如x₁²+x₂²=(x₁+x₂)²-2x₁x₂。 二、基础随堂自检 （当堂清零） 【自我卡点标记】不确定题号：________ 1. 方程x²-3x+2=0的两根之和为____，两根之积为____。 2. 方程x²+5x-6=0的x₁+x₂=____，x₁x₂=____。 3. 方程2x²-4x+1=0的两根之和为____。 4. 方程x²-px+q=0的两根之和为____，两根之积为____。 5. 若x₁、x₂是方程x²-2x-1=0的两根，则x₁+x₂=____。 6. 方程3x²=2x的两根之积为____。 三、分层自主作业 （分层落实） ━━━━━ ★ 基础巩固（全员必做） ━━━━━ 1. 若x₁、x₂是方程x²-4x+3=0的两根，则x₁+x₂=（　）A.4　B.3　C.-4　D.-3 2. 已知方程x²-2x-1=0的两根为x₁、x₂，则x₁·x₂=（　）A.2　B.-1　C.1　D.-2 3. 方程2x²+3x-1=0的两根之和为____。 4. 设x₁、x₂是方程x²-3x-2=0的两根，求x₁²+x₂²。 5. 方程x²-6x+k=0的一根为2，则另一根为____，k=____。 6. 若方程x²+mx-7=0的两根互为相反数，则m=____。 7. 设x₁、x₂是方程2x²-3x-1=0的两根，求1/x₁+1/x₂。 8. 方程x²-5x+2=0的两根为x₁、x₂，求(x₁-x₂)²。 9. 若关于x的方程x²+3x+m=0的一个根是另一个根的2倍，求m。 10. 方程3x²-2x-2=0的两根之和为____。 11. 已知x₁、x₂是方程x²-2x-1=0的两根，求(x₁+1)(x₂+1)。 12. 若方程x²-2(m+1)x+m²=0的两根互为倒数，求m。 ━━━━━ ★★ 能力提升（自主选做） ━━━━━ 1. 已知关于x的方程x²-(2k+1)x+k²+k=0。(1)求证：方程有两个不相等的实数根；(2)若△ABC的两边AB、AC的长是方程的两根，第三边BC=5，当△ABC为等腰三角形时，求k。 解： 2. 已知x₁、x₂是方程2x²-4x+1=0的两根，求(1)x₁³x₂+x₁x₂³；(2)|x₁-x₂|。 解： 3. 已知一元二次方程x²-4x+m=0。(1)若方程有两个实数根，求m的取值范围；(2)若方程的两根x₁、x₂满足3x₁x₂+x₁+x₂>0，求m的范围。 解： 4. 已知方程x²+px+q=0的两根之比为2:3，两根之和为10，求p、q。 解： 5. 关于x的方程x²-(k+1)x+k=0。(1)求证：无论k取何值，方程总有实数根；(2)若等腰△ABC一边a=4，另两边b、c恰为方程的两根，求△ABC的周长。 解： ━━━━━ ★★★ 拓展探究（学优挑战） ━━━━━ 1. 已知关于x的方程x²-(2k+3)x+k²+3k+2=0的两根恰好是Rt△ABC的两边长，第三边长为5，求k的值。 解： 2. 阅读：利用韦达定理不解方程可构造新方程。已知方程x²-3x-2=0，求作一个一元二次方程，使它的两根分别是已知方程两根的倒数。 解： 3. 若一元二次方程x²+px+q=0的两根均为正整数，且p+q=5，求这个一元二次方程。 解： 四、自习后置复盘 （2-3分钟） 复盘项目 我的记录 改进措施 本节课最大收获 做错/不会的题 需要请教的问题 五、学以致用 （可选·素养） 1. 某农户利用一面墙围矩形菜地，用30m篱笆围三边，设垂直于墙的一边长为x m，菜地面积为S。(1)写出S与x的关系式；(2)若菜地面积为108m²，求x。 解： 2. 某商品进价40元，售价50元时月销500件，售价每涨1元少卖10件。设涨价x元，月利润为y元。(1)写出y与x关系式；(2)若月利润达到8000元，求x。 解： 3. 一个直角三角形的两条直角边的长是方程x²-7x+12=0的两根，求这个直角三角形的斜边长和面积。 解： 六、自主学习评价 学生自评：□基础扎实 □做题稳定 □规避陷阱 □思维有提升 教师等级：□A □B □C □D 教师评语： ________________________________ ________________________________ 25.2.4 一元二次方程的根与系数的关系（第1课时）参考答案 一、自习前置速忆 韦达定理：x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a（Δ≥0）。 二、基础随堂自检 1.3，2　2.-5，-6　3.2　4.p，q　5.2　6.0 三、分层自主作业 ★ 基础巩固 1.A　2.B　3.-3/2　4.13　5.4，8　6.m=0　7.-3　8.17　9.m=2　10.2/3　11.0　12.m=-1 ★★ 能力提升 1.(1)Δ=1>0；(2)k=4或5　2.(1)3/4；(2)√2　3.(1)m≤4；(2)m>-4/3　4.p=-10,q=24　5.(1)Δ=(k-1)²≥0；(2)周长10 ★★★ 拓展探究 1.k=3或4　2.2x²+3x-1=0　3.x²-5x+4=0 五、学以致用 1.(1)S=x(30-2x)；(2)x=6或9　2.(1)y=-10x²+400x+5000；(2)x=10或30　3.斜边5，面积6 学科网（北京）股份有限公司 $