25.2.1 配方法-【新课程能力培养】2026-2027学年九年级上册数学同步练习（人教版·新教材）

参考答案 参考答案 第二十五章一元二次方程 解为x1=4,2=-2. 25.1一元二次方程的概念 1.=3,72A3C 1 【知识点1】一个整式21.A2.k≠-2 4.解：(1)一；求9的平方根出错， 【知识点2】a2+bx+c=0(a≠0)aa2a (2)(2x-1)2=9,2x-1=3,2x-1=-3,2=4,2=-2, bx bc1.C2.x2+3x+2=0 x1=2,x2=-1. 【知识点3】1.D2.3 5.(1)x1=4,x2=-4(2)x=4,2=-2 【知识点4)1(-1)-212.+2-24=0 (3)x=7,2=-3(4)x=9,x=-11 6.6 【例1】解：5x2-1=4x化成一元二次方程一般 7.解：(1)5,3,2，-12. 形式为5x2-4x-1=0,它的二次项系数是5，一次 (2)原方程可变形，得[(x+2)-4][(x+2)+4]=4, 项系数是-4，常数项是-1.5x2-1=4x也可化成一 (+2)2-42-4,(x+2)2=4+42,x=-2±2V5,x=-2+2V5, 元二次方程一般形式：-5x+4x+1=0,它的二次项 x2=-2-2V5. 系数是-5，一次项系数是4，常数项是1. 【例2】解：m为方程x2+3x-2024=0的根， 8-9B .m2+3m-2024=0,.∴m2+3m=2024,.原式=m23+ 25.2.1配方法（第二课时） 3m2-m2-3m-2024m=m(m2+3m)-(m2+3m)-2024m= 【知识点】1.11932.C 2024m-2024-2024m=-2024. 【例】解：移项，得32+6=-2.二次项系数 1.D2.30-53.A4.(12+x)(9+x)=12x9+72 5.解：(1)将=1代入原方程，得ax1+bx1+c=0, 化为1，得2=子配方，得2+1=子1， 3 即a+b+c=0. (2)将=-1代入原方程，得ax(-1)2+b×(-1)+c=0, 1号开平方，每浮，=厚 3 即a-b+c-0. (3)将x=0代人原方程，得ax0+bx0+c=0,c=0. 1,=-y3-1 3 6.解：(1)设这个三角形其中一条直角边长 为xcm,则另一条直角边为(14-x)cm,由题意，得 1.(1)42(2)366(3)是 214)-24,化简，可得-14红+48=0 (4)2V2 (2)x2+6x-100=0. 2.B3.3-24.C5.A6.D (3)设竿长为x尺，由题意，得(-2)2+(x-4)2=2 7.(1)x=2+V2,x=2-V2 化简可得X2-12x+200.解得x=2(不符合题意，舍去)， (2)x=95,x2=-105 =10,则竹竿为10尺 7.解：(1)②③ 8,=1- 2 (2)①：号+(m+1x+n-0是关于x的完美方 (4)y1=y2=1(5)x=-1,x2=5 (6)x=V2-V6,x2=V2+V6 程”，m+1=-1 n,m=号n②n是此完类方 8.4 9.解：(1)3；(2-3)2；x=4. 程”的-个根，-之++n1nn=0,rn=0, (2)由2x2-4x-6=0,得2x2-4x=6,即x2-2=3,即 把0，-1代人此方程成立，n的值为0或-1. x(x-2)=3.构造长方形：长为x,宽为x-2,长比宽大 2,面积为3；构造大正方形：四个长方形围成大正方 8.B9.D10.-4 25.2降次—解一元二次方程 形，中间小正方形边长为2，大正方形边长为+(x-2) =2-2,面积为(2x-2)2,列方程为(2x-2)2=3×4+2=16, 25.2.1配方法（第一课时） 整理，得2x-2=4,x=3. 【知识点1刂(1)>(2)相等x==0 (3)由2x2-4x-6=0,得x2-2x=3,令x=-y(y>0), 1V工，-V万2号，=-高 得y2+2y=3,即y(+2)=3,构造长方形：长为y+2,宽 为y,长比宽大2，面积为3；构造大正方形：四个长 【知识点2】1.D2.=V3-1,x=-V3-1 方形围成大正方形，中间小正方形边长为2，大正方 【例】解：原方程变形为(x-1)2=9,两边开平 形边长为y+(y+2)=2y+2,面积为(2y+2)2,列方程为 方，得x-1=±3，即x-1=3,-1=-3,∴，原方程的 (23+2)2-3×4+22=16,整理，可得2+2=4，y=1,x=y=-1. 10.D11.212.D 45一元二次方程 第二十五章 25.2 降次一解一元二次方程 25.2.1配方法（第一课时) 知识梳理@形成联系 【知识点1】一元二次方程x2=p的解法 ◎一般地，对于方程x2=p, (1)当p 0时，根据平方根的意义，方程有两个不相等的实数根x1=Vp，x2 -Vp (2)当p=0时，方程有两个 的实数根 (3)当p<0时，因为对任意实数x,都有x2≥0，所以方程无实数根 1.一元二次方程x2=2的解为 2.一元二次方程4x2-25=0的解为 【知识点2】一元二次方程(x+q)2=p(p≥0)的解法 O由方程(x+9)=p得到x+q=±Vp,实质上是根据平方根的意义，把一个一元二次方 程“降次”，转化为两个一元一次方程，这样就把方程(x+gP=p(p≥0)转化为我们会解的 方程了 1.方程(x-3)2=16的根为() A.x1=x2=7 B.=7,x2=1 C.x1=x2=-1 D.x=7,x=-1 2.方程3(x+1)2=9的根是 例题点拨Q素养导向 【例】解方程：2(x-1)2-18=0. 【点拨】本题考查利用直接开平方法解一元二次方程，一般步骤是：一化，将原方程变 形为x2=p(p≥0)[或(mx+n)2=p(p≥0)]的形式；二开，直接开平方，得x=±Vp (或mx+n=±Vp);三写，写出原方程的解。 口数学 九年级上册（人教版） 夯实四基U达标闯关 1.一元二次方程4x2=1的解是 2.将一元二次方程(x-6)2=25转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是 x-6=5,则另一个一元一次方程是() A.x-6=-5 B.x-6=5 C.x+6=-5 D.x+6=5 3.如图，这是一个简单的数值运算程序，则输入x的值为（) 输入x (x-1)2 大2 输出8 第3题图 A.x1=2,x2=-2 B.x1=3,x2=-3 C.x1=3,x2=-1 D.x1=-3,x2=1 4.已知(2x-1)2=9. 解：(2x-1)2=9, 2x-1=3…第一步， 2x=4…第二步， x=2…第三步. (1)以上解方程的过程中从第 步开始出现错误，错误的原因是 (2)请写出正确的解方程过程. 5.解下列方程： (1)22-5=3 (2)2(x-1)2-18=0; (3)x2-4x+4=25. (4)4(x+1)2-25. 0 一元二次方程 第二十五章 能力提升螂综合拓展 一卡多 6.若x2-6x+m=(x-n)2,则m-n的值为 7.在解一元二次方程时，发现有这样一种解法： 如解方程x(x+8)=4. 解：原方程可变形，得[(x+4)-4][(x+4)+4]=4, (x+4)2-42=4, (x+4)2=20, 直接开平方，得x=-4+2V5,2=-4-2V5. 我们称这种解法为“平均数法”· (1)下面是小明用“平均数法”解方程(x+2)(x+8)=40时，写的解题过程： 解：原方程可变形，得[(x+a)-b][(x+a)+b]=40, (x+a)2-b2=40, (x+a)2=40+b2, 直接开平方，得x=c,=d.(设dkc) 上述解题过程中的a,b,c,d所表示的数分别是 (2)请用“平均数法”解方程：(x-2)(x+6)=4. 中考链接©真题演练 8.(2026~连云港)若a,6,c是三个不为零的实数，且-c,则产的最小值为 9.(2024.德州)把多项式x2-3x+4进行配方，结果为（) A.(x-3)2-5 B.x3+☑ c. 327 D.+2+4 数学 九年级上册（人教版） 25.2.1配方法（第二课时) 知识梳理@形成联系 【知识点】用配方法解方程 ©通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫作配方法 1.填空：①x2-2x+ =(x- )2;②x2+6x+ =(x+ )2 2.用配方法解方程x24x-1=0时，配方后正确的是() A.(x+2)2=3 B.(x+2)2-17 C.(x-2)2=5 D.(x-2)2=17 例题点拨Q素养导向 【例】用配方法解方程：3x2+6x+2=0. 【点拨】一般地，如果一个一元二次方程通过配方转化成(x+)2=p的形式，那么就有： (1)当p≥0时，可通过开方降次得到方程的两个实数根；(2)当<0时，根据乘方的意 义，原方程无实数根 夯实四基LU)达标闯关 1.将下列各式配方： (1)x2-4x+ )2； (2)x2+12x+ =(x+ ； (3）x2-3x+ =(x- )2； (4)x2+2V2x+ =（x+ 2.用配方法解一元二次方程+2x-2=0,配方正确的是() A.(x+1)2=1 B.(x+1)2=3 C.(x-1)2=2 D.(x-1)2=3 3.若一元二次方程x246x+7=0可以配成(x+p)2+q=0的形式，则p= 4.用配方法解方程x24x=2时，左右两边需同时加上常数是()】 A.2 B.-2 C.4 D.-4 8 一元二次方程 第二十五章 5.用配方法解方程时，下列配方错误的是() A.x2+6x-7=0化为(x+3)2=0 B-540化为-2-9 C.x2+2x-99=0化为(x+1)2=100 D.34-2=0化为-号-号 6.老师设计了接力游戏，用合作的方式完成配方法解方程.规则：每人只能看到前一人 给出的方程，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后解出方程，过程如图所示.接 力中，自己负责的一步出现错误的是() 原方程 分 乙 内 x2+4x+2=0 →x2+4x=2 x2+4x+4=6 (x+2)2=6 →=V6-2 第6题图 A.只有甲 B.只有丁 C.乙和丁 D.甲和丁 7.用配方法解下列方程： (1)x2-4x+2=0: (2）x2410x-9975=0: (3)2x2-4x-1=0; (4)y(y-4)=-1-2y; (5)(x-1)(x-3)=8; (6)x2=2V2x+4. 数学 九年级上册（人教版） 能力提升睡综合拓展 8.当x= 时，x(x-8)的值为-16： 9.你知道可以用几何图形求部分一元二次方程的正解吗？ 以x2-3x-4=0为例，大致过程如下： 第一步：将原方程变形为x2-3x=4,即x(x-3)=4. 第二步：构造一个长为x、宽为(x-3)的长方形，长比宽大3，且面积为4，如图1所示. 第三步：用四个这样的长方形围成一个大正方形，中间是一个小正方形，如图2所示 小正方形的边长为 第四步：计算大正方形面积，用含x的代数式表示为 第五步：用大正方形面积等于四个长方形与小正方形面积之和，列方程，得(2x-3)2= 16+9,因为x为边长，所以>0，可求得方程的正解为 (1)将横线上的内容补充完整. (2)请利用上述的思考过程，设计求方程2x2-4x-6=0正解的过程 (3)仿照上述的思考过程，请你写出求方程2x2-4x-6=0负解的过程. 图1 图2 第9题图 中考链接©真题演练 10.(2024·东营)用配方法解一元二次方程x2-2x-2023=0,将它转化为(x+a)2=b的形 式，则a的值为() A.-2024 B.2024 C.-1 D.1 11.(2025·南京)设方程x2+2x-9=0的正根介于整数m与m+1之间，则m= 12.(2023·新疆)用配方法解一元二次方程x2-6+8=0,配方后得到的方程是（)》 A.(x+6)2=28 B.(x-6)2=28 C.(x+3)2=1 D.(x-3)2=1 10