25.2.1配方法 课时同步练习 2026-2027学年人教版数学九年级上册

**基本信息** 聚焦一元二次方程配方法，通过基础巩固、技能提升、综合应用三层设计，实现从概念理解到运算能力再到推理意识的递进，适配新授课知识内化需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|直接开平方法及简单配方|选择题1-3、解答题16等基础题型，强化概念理解| |提升层|配方步骤及参数问题|选择题4-7、解答题17-18等运算题型，培养运算能力| |综合层|实际应用及拓展探究|解答题19-21等探究题型，发展推理意识与应用意识|

第二十五章 一元二次方程 25.2.1 配方法 1、 选择题 1．一元二次方程x2﹣9＝0的解是（　　） A．x＝3 B．x1＝x2＝3 C．， D．x1＝3，x2＝﹣3 2．方程（x+6）2﹣9＝0的两个根是（　　） A．x1＝3，x2＝9 B．x1＝﹣3，x2＝9 C．x1＝3，x2＝﹣9 D．x1＝﹣3，x2＝﹣9 3．如果方程可以用直接开平方求解，那么的取值范围是（    ）. A． B． C． D．任意实数 4．用配方法解一元二次方程，配方正确的是（  　  ） A． B． C． D． 5．将一元二次方程化成的形式，则k等于（   ） A． B． C．5 D．9 6．若关于x的方程（x﹣a）2﹣4＝b有实数根，则b的取值范围是（　　） A．b＞4 B．b＞﹣4 C．b≥4 D．b≥﹣4 7．若是完全平方式，则的值为（    ） A． B． C． D． 8．若一元二次方程ax2＝b（ab＞0）的两根分别是m﹣1和2m+3，则的值为（　　） A． B．16 C．25 D．或25 9．已知．若，，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D． 10．不论x、y取何有理数，x2+y2﹣10x+8y+41的值均为（　　） A．正数 B．零 C．非负数 D．负数 2、 填空题 11．将一个关于x的一元二次方程配方为，若是该方程的两个根，则p的值是 ． 12．一元二次方程配方后得，则的值为 _____． 13．将一元二次方程x2﹣8x﹣5＝0化成（x+a）2＝b（a，b 为常数）的形式，则ab＝　 　． 14．用配方法解一元二次方程，得到，从而解得方程的一个根为1，则 ． 15．代数式的最大值为_____________ ． 3、 解答题 16．用直接开平方法解方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 17．用配方法解下列方程： (1)； (2)； (3)． 18．用配方法解一元二次方程．请结合题意填空，完成本题的解答． 解：方程变形为，.......................第一步 配方，得．.......................................第二步 移项，得．..........................................第三步 两边开平方，得．...................................第四步 即或．................................第五步 所以，．..................................第六步 （1）上述解法错在第 步； （2）请你用配方法求出该方程的解． 19．对于任意两个数a，b的大小比较，有下面的方法：当a﹣b＞0时，一定有a＞b；当a﹣b＝0时，一定有a＝b；当a﹣b＜0时，一定有a＜b．反过来也成立．因此，我们把这种比较两个数大小的方法叫做“求差法”． 请根据以上材料完成下面的题目： （1）已知，A＝x2y+4y，B＝4xy，且A＞B，试判断y的符号； （2）已知a、b、c为三角形的三边，比较a2+c2和2ac+b2的大小． 20．阅读下列材料： 配方法是初中数学中经常用到的一个重要方法，掌好配方法对我们学习数学有很大的帮助．所谓配方，就是将某一个多项式变形为一个完全平方式，变形一定要是恒等的．例如：解方程，则有，，解得，．已知，求x，y的值，则有，，解得，． 根据以上材料解答下列各题： (1)若，求的值； (2)若分别表示的三边长，且满足，试判断的形状，并说明理由． 21．将代数式通过配方得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性这一性质解决问题，这种解题方法叫做配方法，配方法在求代数式的最值问题时有广泛的应用． 例如：求多项式的最大值． 解：． ， ， 当时，多项式有最大值，最大值为4． 根据上述材料，解答下列问题． (1)求多项式的最大值． (2)比较多项式与多项式的大小，并说明理由． (3)求多项式的最小值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十五章 一元二次方程 25.2.1 配方法 1、 选择题 1．一元二次方程x2﹣9＝0的解是（　　） A．x＝3 B．x1＝x2＝3 C．， D．x1＝3，x2＝﹣3 【答案】D． 【分析】利用直接开平方法解出方程． 【详解】解：x2﹣9＝0， 则x2＝9， ∴x＝±3， ∴x1＝3，x2＝﹣3， 故选：D． 【点睛】本题考查的是一元二次方程的解法，熟记直接开平方法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键． 2．方程（x+6）2﹣9＝0的两个根是（　　） A．x1＝3，x2＝9 B．x1＝﹣3，x2＝9 C．x1＝3，x2＝﹣9 D．x1＝﹣3，x2＝﹣9 【答案】D． 【分析】直接开平方法求解即可． 【详解】解：∵（x+6）2﹣9＝0， ∴（x+6）2＝9， 则x+6＝±3， ∴x1＝﹣3，x2＝﹣9， 故选：D． 【点睛】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程的常用方法有直接开平方法、公式法、因式分解法，解题的关键是根据方程的特点选择合适、简便的方法求解． 3．如果方程可以用直接开平方求解，那么的取值范围是（    ）. A． B． C． D．任意实数 【答案】B 【分析】根据时方程有实数解，可求出m的取值范围． 【详解】由题意可知时方程有实数解，解不等式得，故选B． 【点睛】形如的一元二次方程当a≥0时方程有实数解． 4．用配方法解一元二次方程，配方正确的是（  　  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用完全平方公式的特征就可以解决本题． 【详解】解： ， 故选：A． 【点睛】本题考查了用配方法解一元二次方程，解题的关键是把握完全平方公式的特征：． 5．将一元二次方程化成的形式，则k等于（   ） A． B． C．5 D．9 【答案】B 【分析】根据配方法化成的形式即可． 【详解】解：， ， ， ， ． 故选：B． 【点睛】此题考查一元二次方程的配方法，解题关键是配方时需在等式两边同时加同一个数才行． 6．若关于x的方程（x﹣a）2﹣4＝b有实数根，则b的取值范围是（　　） A．b＞4 B．b＞﹣4 C．b≥4 D．b≥﹣4 【答案】D． 【分析】利用解一元二次方程﹣直接开平方法，进行计算即可解答． 【详解】解：∵（x﹣a）2﹣4＝b， ∴（x﹣a）2＝b+4， ∵方程（x﹣a）2＝b+4有实数根， ∴b+4≥0， ∴b≥﹣4， 故选：D． 【点睛】本题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法，熟练掌握解一元二次方程﹣直接开平方法是解题的关键． 7．若是完全平方式，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了完全平方式，根据完全平方式的结构特征确定一次项系数与常数项的关系是解题的关键． 根据完全平方式的定义，比较对应项的系数即可求出 ． 【详解】解：∵ 是完全平方式，且常数项为， ∴ 该式可设为 ， ∵展开式的一次项系数为，与原式的一次项系数对应， ∴， 解得 ． 故选：B． 8．若一元二次方程ax2＝b（ab＞0）的两根分别是m﹣1和2m+3，则的值为（　　） A． B．16 C．25 D．或25 【答案】A 【分析】直接开平方得到：，得到方程的两个根互为相反数，所以m﹣1+2m+3＝0，解得，则方程的两个根分别是，，则有，然后两边平方即可得出答案． 【详解】解：∵一元二次方程ax2＝b的两个根分别是m+1与2m﹣13， 且， ∴m﹣1+2m+3＝0， 解得：， 即方程的根是：，， ∴， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了解一元二次方程﹣直接开平方，灵活运用一元二次方程ax2＝b（ab＞0）的两根互为相反数是解题关键． 9．已知．若，，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了配方法的应用，非负数的性质，利用作差法比较大小是解题的关键．根据配方法把的结果写出平方和的形式，根据偶次方的非负性解答即可． 【详解】， ， ， 即， 故选：A 10．不论x、y取何有理数，x2+y2﹣10x+8y+41的值均为（　　） A．正数 B．零 C．非负数 D．负数 【答案】C． 【分析】根据完全平方公式对代数式整理，然后再根据平方数非负数的性质进行判断． 【解答】解：x2+y2﹣10x+8y+41 ＝x2﹣10x+25+y2+8y+16 ＝（x﹣5）2+（y+4）2， ∵（x﹣5）2≥0，（y+4）2≥0， ∴（x﹣5）2+（y+4）2≥0． 故选：C． 【点睛】此题主要考查完全平方式和平方数非负数的性质，比较简单． 2、 填空题 11．将一个关于x的一元二次方程配方为，若是该方程的两个根，则p的值是 ． 【答案】3 【分析】本题考查了解一元二次方程，掌握直接开平方法是解题的关键． 运用直接开平方法求解即可． 【详解】解：将一个关于x的一元二次方程配方为， ∴， ∴， 故答案为：3． 12．一元二次方程配方后得，则的值为 _____． 【答案】11 【分析】移项后，方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方，然后可得m、n的值，再进行计算即可． 【详解】解：移项得， 配方得，即， ∴，， ∴， 故答案为：11． 【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法的步骤是解题的关键． 13．将一元二次方程x2﹣8x﹣5＝0化成（x+a）2＝b（a，b 为常数）的形式，则ab＝　 　． 【答案】﹣84． 【分析】先移项，再两边都配上16，然后写成完全平方公式即可得出答案． 【详解】解：∵x2﹣8x＝5， ∴x2﹣8x+16＝5+16， 即（x﹣4）2＝21， ∴b＝21， ∴a＝﹣4， ∴ab＝﹣84， 故答案为：﹣84． 【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 14．用配方法解一元二次方程，得到，从而解得方程的一个根为1，则 ． 【答案】3 【详解】由，得，即．∵方程的一个根为1，且，，∴原方程为．整理，得 ， ． 15．代数式的最大值为_____________ ． 【答案】 【分析】本题考查了配方法的应用；完全平方公式，利用完全平方公式配方后判断即可． 【详解】， ∵， ∴， ∴当时，代数式的最大值为， 故答案为：． 3、 解答题 16．用直接开平方法解方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)，； (2)，； (3)，； (4)，． 【分析】本题主要考查了利用直接开平方法解一元二次方程. （1）利用利用直接开平方法求解即可； （2）利用利用直接开平方法求解即可； （3）利用利用直接开平方法求解即可； （4）利用利用直接开平方法求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， ，； （2）解：， ， ， ， ，； （3）解：， ， ， ， ，； （4）解：， ， ， ， ，． 17．用配方法解下列方程： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)， (2)， (3)， 【分析】本题考查了用配方法解一元二次方程，掌握配方法的步骤是解题的关键． （1）方程二次项系数化为1，常数项移到右边，两边加上一次项系数一半的平方，利用完全平方公式变形后，开方即可求出解． （2）方程二次项系数化为1，常数项移到右边，两边加上一次项系数一半的平方，利用完全平方公式变形后，开方即可求出解． （3）将方程化为一般式，方程二次项系数化为1，常数项移到右边，两边加上一次项系数一半的平方，利用完全平方公式变形后，开方即可求出解． 【详解】（1）解：方程变形得：， 配方得：， 即， 开方得：， ，； （2）解：方程变形得：， 配方得：， 即， 开方得：， 解得：； ，； （3）解：整理得：， 配方得：， 即， 开方得：， ，． 18．用配方法解一元二次方程．请结合题意填空，完成本题的解答． 解：方程变形为，.......................第一步 配方，得．.......................................第二步 移项，得．..........................................第三步 两边开平方，得．...................................第四步 即或．................................第五步 所以，．..................................第六步 （1）上述解法错在第 步； （2）请你用配方法求出该方程的解． 【答案】（1）一；（2），． 【详解】试题分析：将方程二次项系数化为1，常数项移动右边，两边都加上，左边化为完全平方式，右边合并，开方转化为两个一元一次方程，求出一次方程的解即可得到原方程的解． 试题解析：变形得：，变形得：，配方得：，即，开方得：，则，． 19．对于任意两个数a，b的大小比较，有下面的方法：当a﹣b＞0时，一定有a＞b；当a﹣b＝0时，一定有a＝b；当a﹣b＜0时，一定有a＜b．反过来也成立．因此，我们把这种比较两个数大小的方法叫做“求差法”． 请根据以上材料完成下面的题目： （1）已知，A＝x2y+4y，B＝4xy，且A＞B，试判断y的符号； （2）已知a、b、c为三角形的三边，比较a2+c2和2ac+b2的大小． 【分析】（1）根据题意得到x2y+4y﹣4xy＞0，因式分解得到y（x﹣2）2＞0，进而得到y的符号即可； （2）将a2+c2和2ac+b2作差，结合已知及三角形的两边之和大于第三边可求． 【详解】解：（1）∵A＞B， ∴A﹣B＞0， 即x2y+4y﹣4xy＞0， ∴y（x2+4﹣4x）＝y（x﹣2）2＞0， ∴（x﹣2）2＞0，y＞0； （2）∵a、b、c为三角形的三边， ∴a+b＞c，a＜b+c， ∵a2﹣b2+c2﹣2ac＝a2+c2﹣2ac﹣b2＝（a﹣c）2﹣b2＝（a﹣c﹣b）（a﹣c+b）， ∴（a﹣c﹣b）（a﹣c+b）＜0， 所以a2﹣b2+c2﹣2ac的符号为负． ∴a2+c2＜2ac+b2． 20．阅读下列材料： 配方法是初中数学中经常用到的一个重要方法，掌好配方法对我们学习数学有很大的帮助．所谓配方，就是将某一个多项式变形为一个完全平方式，变形一定要是恒等的．例如：解方程，则有，，解得，．已知，求x，y的值，则有，，解得，． 根据以上材料解答下列各题： (1)若，求的值； (2)若分别表示的三边长，且满足，试判断的形状，并说明理由． 【答案】(1) (2)为等腰三角形，理由见解析 【分析】本题主要考查了配方法，完全平方公式，代数式求值，非负数的性质，将多项式变形为完全平方式是解题的关键． （1）应用配方法将方程变形为，解方程得到，，代入计算即可； （2）为等腰三角形，理由：先将方程变形为，解方程得到，，进而得出，即可得到结论． 【详解】（1）解：， ， ， ，， . （2）解：为等腰三角形. 理由：， ， ， ，， ，， . 为等腰三角形. 21．将代数式通过配方得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性这一性质解决问题，这种解题方法叫做配方法，配方法在求代数式的最值问题时有广泛的应用． 例如：求多项式的最大值． 解：． ， ， 当时，多项式有最大值，最大值为4． 根据上述材料，解答下列问题． (1)求多项式的最大值． (2)比较多项式与多项式的大小，并说明理由． (3)求多项式的最小值． 【答案】(1) (2)，理由见详解 (3) 【分析】本题主要考查配方的运用，掌握完全平方公式，配方法的计算方法是关键． （1）找出一次项系数，运用配方法得到，即可求解； （2）运用作差法得到，再运用配方法比较结果的正负，即可求解； （3）运用配方法分别求出最值即可求解． 【详解】（1）解：， ∵， ∴， ∴当时，多项式有最大值，最大值是； （2）解：，理由如下， ， ∵， ∴，即， ∴； （3）解： ， ∵， ∴， ∴多项式的最小值为． 学科网（北京）股份有限公司 $