第一章 问题解决活动：作内嵌于正方形的正八边形-【新课程能力培养】2026-2027学年九年级上册数学同步练习（北师大版·新教材）

数学 九年级上册（北师大版） 问题解决活动：作内嵌于正方形的正八边形 自主导学Q典例精析 例题如图，在矩形ABCD中，点E,F,G,H分别在边AB,BC, CD,AD上。如果四边形EFGH是平行四边形，应该满足什么条件？请用 尺规作出满足条件的平行四边形EFGH,并证明四边形EFGH是平行四边 例题图 形。这样的平行四边形有多少个？为什么？ 【分析】先画出草图，根据草图分析知四边形EFGH是平行四边形时满足的条件为CG= AE,DH=BF。再根据得到的条件即可作出平行四边形EFGH。根据平行四边形的性质和作图 条件即可证四边形EFGH是平行四边形，再根据点E,F在边AB,BC上的特点即可判断符 合条件的平行四边形的个数。 【解答】作出的平行四边形EFGH如图所示。 满足条件：CG=AE,DH=BF。·点E,F在边AB,AD上的位置有无 数个，.平行四边形EFGH也有无数个。 证明：·四边形ABCD是矩形， 例题答图 .∴AB=CD,AD=BC,∠A=∠B=∠C=∠D=90°。 由作图知，CG=AE,DH=BF,∴AB-AE=CD-CG,AD-DH=BC-BF,即BE=DG,AH=CF。 ∴.△BEF≌△DGH,△AEH≌△CGF。.∴EF=GH,EH=FG。∴.四边形EFGH是平行四边形。 【点拨】用尺规作一个多边形的内接多边形时，一般根据题意先画出草图进行分析，通 过分析与推理确定作图的基本条件，再依据条件用尺规正确作出图形。 基础巩固飞)达标闯关 -s多s 1.【深入探究】 上述【例题】中，如果要求作出的四边形是菱形，请在图1中作出菱形EFGH。这样的 菱形满足什么条件？请给出证明。这样的菱形E℉GH有多少个？为什么？ 【思维拓展】 如图2，如果将矩形ABCD改为正六边形ABCDEF,怎么在正六边形ABCDEF的内部作 一个正六边形，使得该正六边形各顶点分别在正六边形ABCDEF的六条边上？请你用尺规画 出图形。这样的内嵌正六边形有多少个？为什么？ 图1 图2 第1题图 特殊平行四边形 第一章 2.【问题情境】 在四边形ABCD中，对角线AC,BD交于点O,E,F,G,H分别是边AB,BC,DC, AD的中点，连接EF,FG,GH,EH,我们称四边形EFGH是中点四边形。之前我们通过探 究与证明知道，当AC=BD时，中点四边形EFGH是菱形（如图1）；当AC⊥BD时，中点四 边形EFGH是矩形（如图2）。 图2 图3 第2题图 【深入探究】 (1)当中点四边形EFGH是正方形时，四边形ABCD应该满足什么条件？请画出图形， 并说明理由。 (2)请根据【问题情境】中的结论及(1)的结论，总结一下中点四边形的一些基本 规律。 (3)如图3，如果改变【问题情境】中点E,F,G,H的位置，使E,F,G,H分别是 AD,BD,BC,AC的中点。请你继续探究下列问题： ①四边形ABCD满足什么条件时，四边形EFGH是菱形？请证明你的结论。 ②四边形ABCD满足什么条件时，四边形EFGH是矩形？（请画出图形，直接写出结论 即可) ③四边形ABCD满足什么条件时，四边形EFGH是正方形？请画出图形，并证明。 25数学 九年级上册（北师大版） AP=EP。.△APE是等腰直 0 【思维拓展】如图2，在大正六边形ABCDEF的边 角三角形。 (3)△APE仍 AB,BC,CD,DE,EF,FA上，分别取点P,P2,P, 然是等腰直角三角形。理由： P4,P,P6,使AP=BP=CP=DP4=EP=FP6,顺次连接 如图3，延长EP至点Q,使 P,P,P,P4,P,P。这6个点，即可得到正六边形 PQ=PE,连接DQ,延长DA PPPPPP。:点D是任意的，这个内嵌正六边形 和FE,交于点N。.DP=PF, 有无数个。 ∠DPO=∠EPF,PQ=PE,. 2.解：(1)当AC⊥BD,且 △PDQ≌△PFE(SAS)。 AC=BD时，四边形EFGH为正方 DQ=EF,∠PQD=∠PEF。 形。理由：E,F,G,H分别是 :.QD∥NF。.∠N+∠ADQ= 边AB,BC,DC,AD的中点， 180°。四边形ABCD和四 边形BEFG是正方形， EF∥AC,GHAC,EF=AC 图1 N ∠BAN=∠DAB=90°，∠BEN= GH=AC。EF=-CH,EF∥GH。四边形EFGH是平 ∠BEF=90°，AB=AD.BE= 图3 第11题答图 行四边形。AC⊥BD,GH∥AC,.GH⊥BD。F,G EF。.∠N+∠ABE=360°- ∠BAN-∠BEN=180°，DQ=BE。.∠ABE=∠ADQ。. 分别是BC,DC的中点，GF∥BD.GF=BD. △ADQ≌△ABE(SAS)。.AE=AO,∠DAO=∠BAE。 .GH⊥GF。.∠HGF=90°。.四边形EFGH为矩形。又 ∴.∠BAE+∠BAQ=∠DAQ+∠BAQ=∠BAD=90°，即 EF=号AC,BD=AC,GF=EF。四边形EFGH是正 LQHE=0。AP⊥EQ,AP=PE=号EQ。∴△APE是 方形。 (2)①不论原四边形ABCD是什么样的四边 等腰直角三角形。 形（任意四边形、平行四边形、矩形、菱形、正方形、 ☆问题解决活动：作内嵌于正方形的 梯形)，它的中点四边形一定是平行四边形。②中点四 正八边形 边形的形状只与原四边形的对角线有关。③常见的特 1.解：【深入探究】如图1 殊情况：当原四边形是平行四边形时，中点四边形还 所示即为所求作的菱形。作法如 是平行四边形；当原四边形是矩形时，中点四边形是 下：连接AC,BD交于点O,在 菱形；当原四边形是菱形时，中点四边形是矩形；当 AB上任意取点E,连接EO并延 原四边形是正方形时，中点四边形是正方形。(3) 长交CD于点G,过点O作FH⊥ ①当四边形ABCD满足AB=CD时，四边形EFGH是菱 EG分别交BC,AD于点F,H, 形。证明：E,F分别是AD,BD的中点，EF∥ 图1 连接EF,FG,GH,EH,则四边 AB,EFAB。同理GH/AB,CH=AB。GH∥ 形EFGH即为所求。满足的条件：EG过矩形ABCD两 EF,GH=EF。∴.四边形EFGH是平行四边形。同理 条对角线的交点O,且EG⊥FH于点O。证明：四 边形ABCD是矩形，AO=CO,AD∥BC。∠OAH= EH∥CD,EH=CD。 2 ∠OCF,∠AH0=∠CF0。∴.△AHO≌△CF0。HO= .AB=CD,∴EF=EH。. FO。同理可证EO=GO。∴.四边形EFGH是平行四边 平行四边形EFGH是菱 形。由作图知FH⊥EG于点O,.四边形EFGH是菱 形。②当四边形ABCD满 G 形。满足该条件的四边形EFGH有无数个。：点E在 足AB⊥CD时，四边形 图2 边AB上的位置有无数个，EG只 EFGH是矩形，如图2所 要过AC,BD的交点O即可，故点 示。③当四边形ABCD满 E G的位置也有无数个，所以它的垂 足AB⊥CD,且AB=CD 直平分线与AD,BC的交点也有无 CP D 时，四边形EFGH是正方 数个。.满足该条件的四边形EFGH 图2 形。如图3所示。证明： 图3 有无数个。 第1题答图 如图3，延长BA,CD交 第2题答图 参考答案与提示 于点M,当AB=CD时，四边形EFGH是菱形。AB⊥于x的“有爱方程”，-m=3+。原方程转化为32 CD,.∠M=90°。EF∥AB,EH∥CD,.∠FEH=∠M= mc-(m+3)=0。m是该“有爱方程”的一个根， 90°。..四边形EFGH是正方形。 2m2-m-3=0。..2m4-m3-5m2+m+2026=m2(2m2-m- 第二章。一元二次方程 3)-2m2+m+2026=2023. 1认识一元二次方程（第1课时） 9.310.-411.A 1.3a2-5x-6=03x2-5x-62.x+2x(x+2)= 2一元二次方程的解法（第1课时） 2283.k≠-24.C5.D6.C7.2x2+3x-5=02 1.(1)42(2)93(3)366 3-5;4x2-6=040-6;x2-5x+10=01-510 (4空多)器享6告号2A 42 8.解：(1)若该方程是一元二次方程，则二次项 3.B4.D 系数(k+3)(k-1)≠0，即k≠-3，k≠1，.当k≠-3且 5.解：(1)(x-1)2=4,x1=-1,2=3。 (2)(e+2)2= k≠1时，该方程是一元二次方程。(2)若该方程 是一元一次方程，则二次项系数(k+3)(k-1)=0,一次 11,x=-2+V1,2=-2-V11。 3)+ 项系数k-1≠0，.当k=-3时该方程是一元一次方程。 25 (4)(x-6)2=64,x1=14, 9.解：设这个三角形最短的边长为x,则另两边 ,1=1,32=-4。 长为x+1,x+2,根据题意，得x2+(x+1)=(+2)尸。整理 x2=-2。 (5)(-V3)2=2,x=V3+V2,=V3 这个方程，得x2-2x-3=0。 -2。 10.解：由题意知，空白部分的面积相当于一个长 o5lo,头，yT 2 为(100-x)m、宽为(80-x)m的长方形面积。根据 s5-V21 2 题意，得(100-x)(80-x)=3500。方程化成一般形式 6.解：解不等式5(a-2)+8<6(a-1)+7,得a>-3。 为x2-180x+4500=0。 .a的值为-2。将a=-2代人方程x2+2ax+a+1=0中，得 11.解：若设周瑜逝世时年龄的个位数字为x,则 周瑜逝世时年龄的十位数字为(x-3)。这个两位数可 x2-4x-1=0。配方，得(c-2)2-5。两边开平方，得x-2= 表示为10(x-3)+x,根据题意，得10(x-3)+x=x2。将方 ±V5,即x-2=-V5或x-2=V5。解得=2+V5, 程化成一般形式为x2-11x+30=0。 x=2-1V5。 12.200(1+x)2=40113.A14.B 7.28.B9.D10.C 1认识一元二次方程（第2课时） 2一元二次方程的解法（第2课时）】 1.142.20293.20244.B5.C 1.D 6.解：根据题意，得x+x+1+x+2+x+3=x(x+3),整 2解：-登户智，写，=5。 理得x2-x-6=0。可利用列表方法估算出x=3,则这四 个数为3,4,5,6。 2-2}户-，=3y5,=3Y 2 2 7.解：由题意知，涨价后商品的单价为(50+x) 元，则每个商品的利润是[(50+x)-40]元，销售量是 (4)将方程 (500-10x)个。由题意，可得方程[(50+x)-40](500- 10x)=8000。整理得x2-40x+300=0。利用列表法估算 变形，得2-3x1-0,配方后得子户之+子月 出x=10。 则=±7，即3y亚，3V亚 4 (5) 4 4 8.(1)解：一元二次方程(2x+1)2=1是“有爱方 程”。理由：(2x+1)2=1,.4x2+4x+1=1。.4x2+4x=0。 0+号月号，=54y2D,g5-2亚。 (6) 3 a=4,b=4,c=0,.b=a+c。.一元二次方程(2x+1)2= 1是“有爱方程”。(2)证明：关于x的一元二次 -V5户}+(V3只则=V3±26，即= 方程a2+bx+c=0为“有爱方程”，：.b=a+c。∴.原方程 转化为ac2+(a+c)x+c=-0。当x=-1时，方程左边=a-(a+ 3V32V6,3V32V6 3 3 c)+c=-a-c+c=0。方程右边=0，.左边=右边。∴x=-1 3.解：设三个连续整数中间的一个数为x,则另 为“有爱方程”的根。(3)解：32-mx+n=0是关 外两个数分别为(x-1),(x+1)。依题意，得x(x-1)+