1.2 菱形的性质与判定一课一练2026-2027学年北师大版九年级数学上册

**基本信息** 初中数学北师大版九年级上册“1.2菱形的性质与判定”同步练，以“基础巩固-综合应用-拓展探究”分层设计，覆盖菱形性质与判定全知识点，通过问题情境培养抽象能力、推理意识与应用意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|菱形定义、性质（边/角/对角线）、判定（邻边等/对角线垂直）|单选1-4直接考查定义与性质，填空9-10通过折叠/添加条件强化基础认知，培养抽象能力| |中档层|性质与判定综合、中位线/坐标几何结合|单选5-8结合平行四边形判定菱形，填空11-12用坐标求边长/面积，解答14-15通过尺规作图/旋转证明，发展推理意识| |提升层|几何变换、实际应用、跨知识综合|填空13利用垂线段最短求最值，解答16-17结合旋转与景观钢架问题，体现数学与现实联系，提升应用意识|

1.2 菱形的性质与判定 一课一练2026-2027学年北师大版 九年级数学上册 一、单选题 1．如图，菱形中，，则（    ） A．60° B．30° C．25° D．15° 2．如图，四边形中，E、F、G、H分别是四边的中点，对角线，则四边形是（    ） A．菱形 B．矩形 C．平行四边形 D．正方形 3．如图，菱形的两条对角线相交于，若，，则菱形的面积是（    ）    A．24 B．48 C． D．12 4．具有四条边都相等的性质的四边形是（    ） A．任意四边形 B．平行四边形 C．矩形 D．菱形 5．如图，，对角线，交于点O，添加下列条件，能使变为菱形的是（    ） A． B． C． D． 6．如图，在菱形中，，分别是，的中点，若，则菱形的周长是（     ） A． B． C． D． 7．如图在平行四边形中，，于点，为中点，连接、，下列结论：①；②；③；④，其中正确的有（    ） A．①② B．②③ C．①②③④ D．①②④ 8．如图3，在中，按如下步骤作图：①以A为圆心，长为半径画弧交于F；②连接，分别以点B，F为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点G；③作射线交于点E，若，则的长为（    ） A．8 B．7 C．6 D．5 二、填空题 9．你还记得做过的剪纸探索吗？如图，将一矩形的纸对折，再对折，然后沿着虚线剪下，打开，你发现这个四边形一定是__________(填形状)． 10．如图，在中，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件________使是菱形． 11．如图，菱形的顶点，的坐标分别为，，点在轴上，则点的坐标为___________． 12．教材在实践栏目窗口设计了一个活动如下：将一张菱形纸片，沿着对角线剪开，得到四个全等的直角三角形，将这四个全等的直角三角形按照图中的方法能拼成正方形，根据图，图中给出的数据，图的菱形面积是__________． 13．如图，E为菱形的对角线上的动点，以，为邻边作平行四边形．若，，则的最小值为__________． 三、解答题 14．如图，小明想用一张锐角三角形纸片折出一个菱形，首先他将对折，得到折痕，点在边上，请你用尺规作图法作出菱形，使得点，分别落在边，上．（保留作图痕迹，不写作法） 15．已知，如图▱ABCD中，，对角线AC、BD交于O点，将直线AC绕点O顺时针旋转，分别交BC、AD于点E、F （1）求证：； （2）在旋转过程中，四边形BEDF可能是菱形吗？如果不能，请说明理由；如果能，说明理由并求出此时AC绕点O顺时针旋转的度数． 16．如图，中，，，，对角线、交于O点，将直线绕点O顺时针旋转，分别交、于点E、F．    (1)求证：； (2)求的度数； (3)猜想：当绕点O顺时针旋转多少度时，四边形是菱形． 17．综合与实践 【问题情境】市政公园休闲区搭建两组菱形镂空景观钢架，两套钢架共用顶部固定支点，大型钢架为菱形，小型钢架为菱形，设计图纸规定两个菱形顶角，、是钢架支撑杆．施工时小型钢架锁死固定不动，大型钢架可绕支点自由旋转调整摆放角度，工程人员需要测算钢架支撑杆长度解决施工用料问题． 【操作发现】 (1)如图，调整大型钢架，使得大型钢架边与小型钢架边重合．请直接写出钢架支撑杆与之间的数量关系． 【探究验证】 (2)按图方式摆放钢架，此时大型钢架的顶点落在小型钢架的侧边上，请问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由． 【拓广探究】 (3)现场实测：图摆放状态下，，大型钢架边长为米． ①求小型菱形钢架的边长． ②旋转调整大型钢架菱形，当、、三点落在同一条直线上时，需增加一条钢架支撑杆，请直接写出的长度． 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B A D D D B C A 1．【答案】B 【知识点】利用菱形的性质求角度 【分析】由菱形的性质可得AB=BC，∠B=∠D=120°，由菱形的性质可求解． 【详解】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB=BC，∠B=∠D=120°， ∴∠1=30°， 故选：B 【点睛】本题考查了菱形的性质，等腰三角形的性质，掌握菱形的性质是本题的关键． 2．【答案】A 【知识点】与三角形中位线有关的证明、证明四边形是菱形 【分析】本题考查的是中点四边形，掌握三角形中位线定理、菱形的判定定理是解题的关键．连接、，根据三角形中位线定理得到，，，，进而证明，根据菱形的判定定理得出结论． 【详解】解：连接、， ∵E、F、G、H分别是四边的中点， ∴，，，， ∵， ∴， ∴四边形为菱形， 故选：A． 3．【答案】D 【知识点】利用菱形的性质求面积 【分析】根据菱形的性质可进行求解． 【详解】解：∵四边形是菱形，且，， ∴，， ∴； 故选D． 【点睛】本题主要考查菱形的性质，熟练掌握菱形的性质是解题的关键． 4．【答案】D 【知识点】利用菱形的性质证明 【分析】本题考查了菱形的性质，根据“菱形的四边相等”即可求解． 【详解】解：具有四条边都相等的性质的四边形是菱形， 故选：D． 5．【答案】D 【知识点】添一个条件使四边形是菱形 【分析】本题考查了菱形的判定方法，熟练掌握菱形的判定方法是解题的关键．根据一组邻边相等或对角线互相垂直的平行四边形为菱形，逐一进行分析即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴当的一组邻边相等或对角线互相垂直时，能使变为菱形， 逐一对比选项，其中选项D符合对角线相互垂直，A、B、C均不符合． 故选：D． 6．【答案】B 【知识点】与三角形中位线有关的求解问题、利用菱形的性质求线段长 【分析】根据三角形中位线的性质求出，再根据菱形的性质解答即可求解． 【详解】解：∵，分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵四边形是菱形， ∴菱形的周长是． 7．【答案】C 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、利用平行四边形的性质证明、根据菱形的性质与判定求角度 【分析】延长EF交BC的延长线于G，取AB的中点H连接FH．想办法证明EF=FG，BE⊥BG，四边形BCFH是菱形即可解决问题． 【详解】解：如图，延长EF交BC的延长线于G，取AB的中点H，连接FH． ∵CD=2AD，DF=FC， ∴CF=CB， ∴∠CFB=∠CBF， ∵CD∥AB， ∴∠CFB=∠FBH， ∴∠CBF=∠FBH， ∴∠ABC=2∠ABF．故①正确， ∵DE∥CG， ∴∠D=∠FCG， 在△DFE和△CFG中， ， ∴△DFE≌△FCG（ASA）， ∴FE=FG， ∵BE⊥AD， ∴∠AEB=90°， ∵AD∥BC， ∴∠AEB=∠EBG=90°， ∴BF=EF=FG，故②正确， ∵S△DFE=S△CFG， ∴S四边形DEBC=S△EBG=2S△BEF，故③正确， ∵AH=HB，DF=CF，AB=CD， ∴CF=BH，∵CF∥BH， ∴四边形BCFH是平行四边形， ∵CF=BC， ∴四边形BCFH是菱形， ∴∠BFC=∠BFH， ∵FE=FB，FH∥AD，BE⊥AD， ∴FH⊥BE， ∴∠BFH=∠EFH=∠DEF， ∴∠EFC=3∠DEF，故④正确， 故选：C． 【点睛】本题考查平行四边形的性质和判定、菱形的判定和性质、直角三角形斜边中线的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 8．【答案】A 【知识点】作角平分线(尺规作图)、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、根据菱形的性质与判定求线段长 【分析】如图，设AE交BF于点O，证明四边形ABEF是菱形，利用勾股定理求出OA即可解决问题． 【详解】解：如图，设AE交BF于点O． 由作图可知：AB＝AF，∠BAE＝∠EAF， ∴OB＝OF，AE⊥BF， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠EAF＝∠AEB， ∴∠BAE＝∠AEB， ∴AB＝BE＝AF， ∵AF∥BE， ∴四边形ABEF是平行四边形， ∵AB＝AF， ∴四边形ABEF是菱形， ∴OA＝OE，OB＝OF＝3， 在Rt△AOB中，∠AOB＝90°， ∴OA＝， ∴AE＝2OA＝8． 故选：A． 【点睛】本题考查作图−复杂作图，等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，平行四边形的性质，菱形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 9．【答案】菱形 【知识点】证明四边形是菱形、折叠问题 【分析】本题主要考查了剪纸问题以及菱形的判定，直接利用折叠方法结合菱形的判定方法分析得出答案． 【详解】解：最后从两次折叠的交点处剪去一个直角三角形，由于是两次折叠得到的图形， 那么所得到图形的4条边都是所剪直角三角形的斜边，即四条边都相等， 故此四边形是菱形． 故答案：菱形 10．【答案】（答案不唯一） 【知识点】添一个条件使四边形是菱形 【分析】已知四边形是平行四边形，根据菱形的判定定理，添加一组邻边相等或对角线互相垂直都可使平行四边形成为菱形． 【详解】解：已知四边形是平行四边形． 根据一组邻边相等的平行四边形是菱形． 因此添加条件，即可得到是菱形． 根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形． 因此添加条件，即可得到是菱形． 其他符合要求的条件还有、等，本题答案不唯一． 11．【答案】 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、利用菱形的性质求线段长、已知两点坐标求两点距离 【分析】首先根据菱形的性质得到，，推出轴，然后利用勾股定理求出，进而求解即可． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，， ∵点在轴上， ∴轴，即轴， ∵点的坐标为， ∴，点B的横坐标为3， ∴点B的纵坐标为， ∴点的坐标为． 12．【答案】 【知识点】几何问题(二元一次方程组的应用)、利用菱形的性质求面积 【分析】设直角三角形的短直角边为，长直角边为，根据题意列出二元一次方程组，求出，再根据菱形的面积公式求解即可． 【详解】∵如图，根据裁剪，得到四个全等的直角三角形，设直角三角形的短直角边为，长直角边为， 据题意，，解得， ∴菱形面积为． 13．【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、利用平行四边形的性质求解、利用菱形的性质求线段长、垂线段最短 【分析】连接，，与交于点，根据可得当，最小，据此即可求解． 【详解】解：如图，连接，，与交于点， ∵菱形， ∴，， ， ， 四边形是平行四边形， ∴， 当，即时，最小， 此时，的最小值为． 14．【答案】 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、作已知线段的垂直平分线、证明四边形是菱形 【分析】以点为圆心，以大于长的一半为半径画圆，保持半径不变以点为圆心画圆，连接两个圆的交点，所连成的直线交于点，于点，于点，即可解答． 【详解】解：如图所示，菱形即为所求． 以点为圆心，以大于长的一半为半径画圆，保持半径不变以点为圆心画圆，连接两个圆的交点，所连成的直线交于点，于点，于点，此时垂直平分． 平分 在和中 与互相垂直平分 四边形为菱形． 15．【答案】（1）证明见解析；（2）绕点O顺时针旋转时四边形BEDF是菱形．理由见解析． 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、利用菱形的性质证明、旋转综合题(几何变换) 【分析】（1）证明≌即可； （2）根据菱形的性质求解即可． 【详解】（1）证明：四边形ABCD是平行四边形， ，， ， 在和中， ， ≌， ； （2）≌， ，又， 四边形BEDF是平行四边形， 当时，四边形BEDF是菱形， ， ，， 由勾股定理，， 则， 又，， ， 绕点O顺时针旋转时，四边形BEDF是菱形． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，三角形全等的判定与性质，菱形的性质，勾股定理，熟悉以上知识点是解题的关键． 16．【答案】(1)见解析 (2) (3)当旋转角时，四边形是菱形 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、用勾股定理解三角形、利用平行四边形的性质求解、证明四边形是菱形 【分析】（1）根据定理得出，由此可得出结论； （2）在中由勾股定理求的长，再利用求出的长，即可得出结论； （2）连接，，与互相平分可知，当时四边形是菱形，即可得出结论． 【详解】（1） 证明：∵平行四边形中，， ， 在和中， ，； （2）解：在中，，， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ； （3）当旋转角时，四边形是菱形，理由如下： 连接，，   四边形平行四边形， ， 由（1）知，， ， 四边形是平行四边形， 由（2）知，， 又， ， ， 四边形是菱形， 即在旋转过程中，四边形能是菱形，此时绕点O顺时针旋转的度数是． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，菱形的判定等知识，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 17．【答案】(1) (2)解：仍然成立，理由如下： ∵四边形和均为菱形， ∴， ∵， ∴，即， 在和中， ∵， ∴， ∴； (3)①米；②6米或米 【知识点】用勾股定理解三角形、含30度角的直角三角形、二次根式的加减运算、利用菱形的性质求线段长、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】（1）证明，即可解答； （2）证明，即可解答； （3）①过点E作于点H，则，根据直角三角形的性质以及等腰三角形的性质，可得，，再由，米，即可求解； ②连接，过点B作于点M，则，根据菱形以及直角三角形的性质可得，然后分两种情况：当点G在线段上时， 当点G在线段的延长线上时，即可求解． 【详解】（1）解：∵四边形和均为菱形， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴； （2）略 （3）解：①如图，过点E作于点H，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，米， ∴， ∴米， 即菱形的边长为米； ②如图，连接，过点B作于点M，则， 在菱形中，，， ∴， ∴，， ∴， ∴， 由①得：菱形的边长为米， ∴， 当点G在线段上时，如图， ∵A，B，F三点在同一条直线上， ∴， ∴， ∴A，G，C三点也在同一条直线上， ∴； 当点G在线段的延长线上时，连接，如图， ∵四边形为菱形， ∴， ∵A，B，F三点在同一条直线上， ∴， ∴A，G，C三点也在同一条直线上， ∴； 综上所述，的长为6米或米． 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