第一章 1 认识特殊平行四边形-【新课程能力培养】2026-2027学年九年级上册数学同步练习（北师大版·新教材）

特殊平行四边形 第一章 第一章 特殊平行四边形 知识网络 定义：有一组邻边相等的平行四边形 轴对称图形和中心对称图形 菱形 性质 四条边都相等 对角线互相垂直，并且每条对角线平分一组对角 四条边都相等的四边形 判定 对角线互相垂直的平行四边形 组邻边相等的平行四边形 定义：有一个角是直角的平行四边形 轴对称图形和中心对称图形 平行四边形 特殊平行四边形 性质 四个角都是直角 矩形 对角线相等 直角三角形斜边上的 中线等于斜边的一半 有三个角是直角的四边形 判定 有一个角是直角的平行四边形 对角线相等的平行四边形 有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形 轴对称图形和中心对称图形 四个角都是直角，四条边都相等 性质 正方形 两条对角线相等，并且互相垂直平分 每条对角线平分一组对角 有一个角是直角的菱形 对角线相等的菱形 判定 对角线互相垂直的矩形 有一组邻边相等的矩形 数学 九年级上册（北师大版） 认识特殊的平行四边形 自主导学Q典例精析 例题如图，在矩形ABCD中，∠B=90°，点E在BC上，AE=AD, DF⊥AE于点F。 (1)求证：DF=AB。(2)若∠ADF=60°，AB=4,求AD的长。 【分析】(I)由矩形的定义及条件AE=AD,DF⊥AE可证△ADF≌ 例题图 △EAB,进而可得DF=AB。 (2)由DF⊥AE,∠ADF=60°可得∠DAF=30°，再由含30°角的直角三角形的性质即可求 出AD的长。 【解答】(1)证明：，四边形ABCD是矩形，AD∥BC。.∠AEB=∠DAF。 又.DF⊥AE,∴∠DFA=90°。.∠DFA=∠B=90°。 又AD=AE,.△ADF≌△EAB(AAS)。.DF=AB。 (2)解：在Rt△ADF,∠ADF=60°，∠AFD=90°，.∠DAF=30°。.AD=2DF。 .DF=AB,AB=4,.AD=2DF=8 【点拨】本题主要考查矩形的概念、全等三角形的判定与性质及直角三角形的性质，灵 活运用相关性质定理是解题的关键。 基础巩固飞U达标闯关 1.如图，在正方形ABCD中，AB=BC,∠ABC=90°，以BC为边在正方形内部作等边三 角形PBC,连接PA,则∠PAD= B C 第1题图 第2题图 第3题图 第4题图 2.如图，在矩形ABCD中，∠BCD=90°，E为DC边上的一点，沿线段BE对折后，若 ∠ABF比∠EBF大18°，则∠DEF的度数是 3.如图，在菱形ABCD中，AB=BC,∠BAD=120°，AC=6,则菱形ABCD的周长为() A.36 B.30 C.24 D.18 4.如图，在矩形ABCD中，∠B=90°，过点D作对角线AC的垂线，垂足为E,若AB= 6,AD=8,则DE的长为() A.5 B.10 C.12 D.24 5 ② 特殊平行四边形 第一章 5.如图，在正方形ABCD中，AB=AD,∠A=90°，点E,F分别在边AD,AB上，连接 BE,DF,且BE=DF。求证：∠BED=∠BFD。 第5题图 能力提升坤综合拓展 6.如图，在矩形ABCD中，∠ABC=90°，P为矩形ABCD内一点，PB=PC。求证：PA= PD。 B 第6题图 7.如图，在菱形ABCD中，AB=BC,∠BAC=30°，连接AC,E,F分别是AC,BC上的 点，且EF垂直平分BC,若CE=4,求AB的长。 0 第7题图 中考链接⊙©真题演练 8.(2024.长春)如图，在四边形ABCD中，∠A=∠B=90°，O是边AB的中点，∠AOD= ∠BOC。求证：四边形ABCD是矩形。 A日 第8题图参考答案与提示 参考答案与提示 第一章特殊平行四边形 90°。EF∥BD。.四边形BDEF是平行四边形。BF= 1认识特殊的平行四边形 DE。E是AD的中点，，AE=DE=BF。AD∥FC, 1.15°2.48°3.C4.D ∠F=∠AEG。又：∠AGE=∠FGB,∴.△AEG≌△BFG 5.证明：：∠A=90°，△ABE和△ADF是直角三 (AAS)。AG=BG,EG=FG,即AB与EF互相平分。 角形。在Rt△ABE和Rt△ADF中，AB=AD,BE=DF, 9.解：：四边形ABCD是菱形，AB=BC=CD= Rt△ABE≌Rt△ADF(HL)。.∠AEB=∠AFD。.180° AD。又AC=AC,.△ABC≌△ADC。.∠ACB= ∠AEB=180°-∠AFD。.∠BED=∠BFD。 ∠ACD。∠B=∠EAF=6O°，.AC=AB=BC。.∠ACD= 6.证明：四边形ABCD是矩形，AB=DC, ∠BAC=∠ACB=∠B=60°。∠BCD=120°。∠FAC+ AB∥DC。∠ABC=90°，.∠DCB=180°-∠ABC=90°。 ∠CAE=∠BAE+∠CAE=6O°，.∠FAC=∠BAE。∴ ,PB=PC,.∠PBC=∠PCB。∠ABP=∠ABC-∠PBC, △ABE≌△ACF(ASA)。AE=AF。.∠AEF=∠AFE= ∠DCP=∠DCB-∠PCB,.∠ABP-=∠DCP。在△ABP和 ∠EAF=60°。.∠BAE+∠AEB=∠AEB+∠FEC=120°。 △DCP中，AB=DC,∠ABP∠DCP,PB=PC,..△ABP≌ ∠CEF=∠BAE=18°。.∠CFE=18O°-∠CEF-∠BCD= △DCP。∴PA=PD。 180°-120°-18=42°。 7.解：四边形ABCD是菱形，AB=BC,∠BAC= 10.证明：(1)，四边形ABCD是菱形，AC⊥ 30°，∠ACB=∠BAC=30°。EF垂直平分BC,.BF= BD,即∠A0D=90°。AC⊥CQ,.∠0CQ=90°。 ∠AOD=∠OCQ。∴.BD∥CQ。∴∠BDC=∠DCQ。AD∥ CF=)BC。在Rt△CEF中，∠EFC=90,∠ACB=30, PQ,.∠ADP=∠DPQ。∠DPQ=∠DCQ+∠PQC,. CE=4,EF=CE-2。CF=VCE-EP=2V3。 ∠ADB+∠BDC=∠DCQ+∠PQC。.∠ADB=∠PQC。: 四边形ABCD是菱形，AD=CD,AO=CO。∴.∠ADB= .AB=BC=4V3。 ∠BDC。又∠BDC=∠DCQ,∴.∠PQC=∠DCQ。.PC= 8.证明：0是边AB的中点，.OA=OB。在 PQ。 △AOD和△BOC中，∠AOD=∠BOC,OA=OB,∠A= (2)如图，连接 ∠B,.△AOD≌△B0C(ASA)。AD=BC。:∠A= CE,四边形ABCD ∠B=90°，.∠A+∠B=180°。AD∥BC。.四边形 是菱形，AC⊥BD ABCD是平行四边形。又∠A=90°，.四边形ABCD OA=OC。.BD是线段 是矩形（矩形的定义）。 AC的垂直平分线。 第10题答图 2菱形的性质与判定（第1课时） AE=CE。∠EAC=∠ECA。又AC⊥CQ,∴.∠ACQ= 1.96cm22.C3.2V34.D5.B6.C 90°。.∠EAC+∠CQA=90°，∠ECA+LECQ=90°。 7.证明：四边形ABCD是菱形，.AD=AB,BO= ∠CQA=∠ECQ。.EC=EQ。由(1)可知，PC=PQ, DO。∠EB0=∠FDO。E,F分别是AB,AD的中 .EM是CQ的垂直平分线，即EM⊥CQ。 点，BE=号AB,DF=号AD。BE=DF。△B0E≌ 11.112.V1313.V7 14.证明：·四边形ABCD是菱形，.AB=BC。 △DOF。.OE=OF。 AE=CF,.AB-AE=BC-CF,即BE=BF。在△ABF和 8.证明：如图，连接 △CBE中，AB=CB,∠B=∠B,BF=BE,.△ABF≌ BD,交AC于点O。四 △CBE(SAS)。.∴AF=CE。 边形ABCD是菱形，.AC⊥ 2菱形的性质与判定（第2课时） BD,AD∥BC。又EF⊥ AC,.∠AOB=∠AHG= 第8题答图 1.AC⊥BD或AB=BC(答案不唯一)2.AB=AC 209