1.1 认识特殊平行四边形-【探究在线】2026-2027学年九年级上册数学高效课堂导学案（北师大版·新教材）

温警提示：清做完后再看答案！ :四边形ABCD是菱形，边长为8，且点E为AB边中点， ∴.BF=BE=4,DF=DC=8. ..BD=BF+DF=12,OB=OD=6. 参考答案 又，AC⊥BD, ∴.AO=AB2-OB2=2√7，AC=47」 第一章特殊平行四边形 S美w=2AC,BD=号×4万X12=247 1认识特殊的平行四边形 基础在线 CG-S影D=247-3V万. AB 8 1.B2.90°3.8 拓展在线 4.:四边形ABCD是菱形，∴AD=CD. 14.23 ∠D=∠D,DF=DE,∴.△ADF≌△CDE(SAS). 第2课时菱形的判定 ∴∠1=∠2. 基础在线 5.C 1.C 能力在线 6.B7.1 2.AE⊥BC于点E,CF⊥AB于点F, .∠CFB=∠AEB=90°. 8.:四边形ABCD是正方形，∴.BC=CD,∠BCD=90. 在△ABE与△CBF中， .∠BCE+∠DCF=90°. ∠B=∠B, .CE⊥BG,DF⊥CE,.∠BEC=∠CFD=90° .∠BCE+∠CBE=90°.∴.∠CBE=∠DCF ∠AEB=∠CFB, AE=CF, ∴.△BCE≌△CDF(AAS). .△ABE≌△CBF(AAS)...AB=CB. .BE=CF,CE=DF...CE=CF+EF=BE+EF. ∴.DF=BE+EF 四边形ABCD是平行四边形， ∴.□ABCD是菱形 拓展在线 3.16 9.5 4.(1)AP=AB;射线AQ平分∠BAP 2菱形的性质与判定 (2)证明：：以点A为圆心，AP长为半径画弧，交直线1于 第1课时菱形的性质 点B,∴AP=AB. 基础在线 :射线AQ平分∠BAP,∴∠BAC=∠PAC. 1.A2.A 在△ABC和△APC中， 3.四边形ABCD是菱形，AB=BC. (AB=AP, .AE=CF,..AB-AE=BC-CF, ∠BAC=∠PAC 即BE=BF LAC=AC, '∠B=∠B, .△ABC≌△APC(SAS)..BC=PC ∴.△ABF≌△CBE(SAS).∴.AF=CE 又：以点P为圆心，PA长为半径画弧，交射线AQ于点C, 4.A5.B6.C7.B8.12 .PA=PC.,.AP=AB=BC=PC. 9.(1).菱形ABCD的周长为24， 四边形ABCP是菱形. ∴.AB=AD=BC=CD=6. 5.C 又∠BAD=60°，'.△ABD是等边三角形， 6.AB=5,OA=4,OB=3, ∴BD=AB=AD=6,故对角线BD的长为6. ∴.OB2十OA2=32+42=25,AB2=52=25, (2)由菱形的性质可知，对角线AC与BD互相垂直且平分， ..OB2+OA2=AB2. ∴0B=2BD=2×6=3,∠A0B=90 .∠AOB=90°..AC⊥BD 四边形ABCD是平行四边形，.□ABCD是菱形 又AB=6,AO=√AB-OB=√62-32=3√3， 7.(1)(2)(6)(3)(4)(5)或(3)(4)(6) ∴.AC=2A0=6√3， 能力在线 “菱形ABCD的面积为2AC·BD-之×65X6=185. 8.③9.A10.C 11.(1)由垂直平分线得到AE=CE,AD=CD,又由CF∥AB, 故菱形ABCD的面积是18√3， 得∠EAC=∠FCA,∠CFD=∠AED,利用AAS证得△AED 能力在线 ≌△CFD. 10.2装1.丽12.)4v5(27 (2)由全等，得AE=CF, 再由CF=AF, 13.（1)菱形对角线互相垂直且平分， 从而得到CE=AE=CF=AF, ∴.BO=√/AB2-AOY=√/52-42=3. .四边形AECF是菱形， ∴.对角线BD=2BO=6,AC=2AO=8. 拓展在线 ∴S美影D=合×ACX BD=-合×6X8=24 12.(1)2a (2)当P为BC的中点时，四边形ADPE是 (2)如图②，连接AC交BD于点O, 菱形.理由如下：连接AP,PD∥AC,PE '∠BEF=∠CFD,∠BFE=∠CFD, ∥AB, ∠BEF=∠DCF, .四边形ADPE为平行四边形 ..BE=BF,DC=DF. AB=AC,P为BC的中点， 一探究在线·九年 ∴∠PAD=∠PAE. :AC=2OB,∴AC=BD. PE∥AB,∴∠PAD=∠APE. ∴.□ABCD是矩形. ∠PAE=∠APE.EA=EP 7.A .四边形ADPE是菱形. 能力在线 (3)点P运动到∠A的平分线与BC的交点时，四边形 8.B9.D ADPE是菱形. 10.(1)证明：，D,E分别是AC,AB的中点， 3矩形的性质与判定 DE是△ABC的中位线.DE∥BC. 第1课时矩形的性质 ∴.∠FDC+∠ACB=180° 基础在线 :∠ACB=90°，∴∠CDF=90° 1.B2.C3.D BF⊥DF,.∠F=90° 4.(1)证明：，四边形ABCD是矩形 ∴∠BCD=∠CDF=∠F=90. .AB=CD,∠B=∠C=90°. 四边形BCDF是矩形. :∠BAE=∠CDF,∴△ABE≌△DCF(ASA). (2)∠ACB=90°，E为AB的中点，CE=2, (2)△ABE≌△DCF,.AE=DF=13. .AB=2CE=4. ∠B=90°，AB=12,.BE=√AE-AB=5. :∠A=30,BC=2AB=2. 5.B6.D 7.(1)证明：在矩形ABCD中，AD∥BC,∴.AD∥CE AC-AB-BC=2/3.:CD-AC-/. DE∥AC,.四边形ACED是平行四边形. .四边形BCDF的面积为CD·BC=√3X2=2√3. (2)DE∥AC,∠E=35°，∠OCB=∠E=35. 11.(1)证明：.点O为AB的中点，.OA=OB, 在矩形ABCD中，OB=OC, :AE∥BC,∠EAO=∠OBD,∠AEO=∠BDO. ∴∠OBC=∠OCB=35. △AEO≌△BDO(AAS).∴.AE=BD. 在△OBC中，∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB)=110°. :AE∥BD,∴四边形AEBD是平行四边形 8.49.C (2)当AB=AC时，四边形AEBD是矩形. 能力在线 证明如下： 10.B11.D12.(2,4)13.30°14.4 15.(1)如图，△BED即为所求作的三角形. AB=AC,点D是BC边的中点， ∴.AD⊥BC,即∠ADB=90°. (2)四边形ABCD为矩形 ..AD=BC=2,AB=CD=1,AD//BC, 由(1)得四边形AEBD是平行四边形， 四边形AEBD是矩形. ∠A=90°. 拓展在线 .∠ADB=∠CBD. 12.(1)证明：，四边形ABCD为平行四边形， :∠EBD=∠CBD,∴∠FBD=∠FDB. ∴.AD∥BC,AD=BC.∴.∠FAG=∠ECH .BE=DE. :E,F分别是边BC和AD的中点， 设AF=x,则DF=BF=2-x, 在Rt△ABF中，12+x2=(2-x)2, CE=合BC,A=合AD.∴AF=CE, 解得x=是AF的长为子 .AG=CH,∴.△AFG≌△CEH(SAS). 4 (2)当AC=2AB时，四边形EHFG是矩形. 拓展在线 证明：连接EF交AC于点O,如图. 16.130 由(1)知，△AFG≌△CEH, 2 ∴.FG=EH,∠AGF=∠CHE. 第2课时矩形的判定 ∴.∠FGH=∠EHG.∴.FG∥EH. 基础在线 .四边形EHFG是平行四边形 1.90 ..OG=OH. 2.点O是边AB的中点，.OA=OB. :∠A=∠B,∠ADO=∠BCO, AG-CH-AC,.GH-AC-AG-CH-AC. .△AOD≌△BOC(AAS)..AD=BC ∠A=∠B=90°，∴.∠A+∠B=180°. 0G=0H=AG=CH=子AC.:OA=0C=号AC .AD∥BC..四边形ABCD是平行四边形， ,∠A=90°，.平行四边形ABCD是矩形. CE-BE.OE-AB. 3.∠A=90(答案不唯一) “AC=2AB,0E=4AC 4..AB=AC,AD是∠BAC的平分线 .AD⊥BC,∠BAD=∠CAD.∴.∠ADC=90. ∴.OE=OG=OF=OH. ,AN为△ABC的外角∠CAM的平分线， EF=GH.平行四边形EHFG是矩形 ∴.∠MAN=∠CAN.∴.∠DAE=90°. 4正方形的性质与判定 CE⊥AN,∠AEC=90°. 第1课时正方形的性质 ∴四边形ADCE为矩形. 基础在线 5.D 1.D2.B3.C4.B5.2 6.AD∥BC,AB∥CD, 6.:四边形ABCD是正方形， .四边形ABCD是平行四边形. .AB=BC=DC=AD,∠B=∠D, ∴.OB=OD..BD=2OB. I∠BAE=∠DAF, 级数学（上）·BS一 17第一章{ 特殊平行四边形 ©1认识特殊的平行四边形 ⑦基础在线> 知识要点分类练 陈述一：正方形的每一条对称轴都过它的对称 …0 中心 知识点1特殊平行四边形的定义 陈述二：正方形的对角线就是它的对称轴 1.(中考·贵州)如图，小红想将一张矩形纸片沿 陈述三：有且仅有4条直线同时平分正方形的 AD,BC剪下后得到一个□ABCD,若∠1= 周长和面积 70°，则∠2的度数是 () 陈述四：任意一条过正方形对称中心的直线均 A.20° B.70 C.80° D.110° 将它分为两个全等的图形 A.1 B.2 C.3 D.4 7.(中考·福建)如图，菱形ABCD的对角线相 交于点O,EF过点O,且与边AB,CD分别相 第1题图 第2题图 交于点E,F.若OA=2,OD=1,则△AOE与 2.(教材P15T4变式)如图，在△ABC中，AD为 △DOF的面积之和为 BC边上的中线，延长AD至点E,使DE= AD,连接BE,CE.当∠BAC的度数为 时，四边形ABEC为矩形， 3.如图，已知阴影部分是一个 8.如图，已知四边形ABCD是正方形，G为线段 正方形，AB=4,∠B=45°， AD上任意一点，CE⊥BG于点E,DF⊥CE 则此正方形的面积为 于点F.求证：DF=BE十EF. 4.如图，在菱形ABCD中，E,F分别为AD,CD 边上的点，DE=DF.求证：∠1=∠2. 3拓展在线 、培优拔尖提升练 知识点2特殊平行四边形的轴对称性 5.下列图形中，对称轴数量最多的是 9.(中考·内江改编)如图，在 A.菱形 B.矩形 矩形ABCD中，∠C=90°， C.正方形 D.平行四边形 AB=8,AD=6,E,F分别是 边AD,CD上的一动点，连接BE,EF,G为 ②能力在线沙方法规律除合然 BE的中点，H为EF的中点，连接GH,则 6.下列陈述中错误的数量为 GH的最大值是 ( 1探究在线九年级数学（上）·BS 2 菱形的性质与判定 第1课时 菱形的性质 ①基础在线 知识要点分类练 5.(中考·常州)如图，在菱形ABCD中，AC,BD 是对角线，AB=5.若∠ABD=30°，则AC的 知识点1菱形的边的性质 长是 ( ) 1.如图，在菱形ABCD中，连接BD,点E,F分 A.4 B.5 C.6 D.10 别是AD,BD的中点，连接EF,若EF=1,则 菱形ABCD的周长为 ( ) A.8 B.6 C.4 D.2 手柄 第5题图 第6题图 6.(新考向·情境素材)如图为汽车常备的一种千 D O 4 斤顶的原理图，其基本形状是一个菱形ABCD, 中间通过螺杆连接，转动手柄可改变∠BCD 第1题图 第2题图 的大小（菱形的边长不变）.当∠BCA=26时， 2.如图，菱形ABCD在平面直角坐标系中的位 ∠ADC的度数为 () 置如图所示，若A(3,0),B(0,4),则点C的坐 A.26 B.52° C.128° D.154° 标为 ( ) 7.如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相 A.(-5,4) B.(-5,-4) 交于点O,OE⊥AB,垂足为E,若∠BOE= C.（-4,-4) D.(-4,3) 30°，BO=2,则AO的长为 () 3.(中考·泸州)如图，在菱形ABCD中，E,F分 A.2 B.23 C.4 D.4√3 别是边AB,BC上的点，且AE=CF.求证：AF =CE. 第7题图 第8题图 知识点3菱形的面积 8.(中考·青海)如图，在菱形ABCD中，BD 6,E,F分别为AB,BC的中点，且EF=2,则 菱形ABCD的面积为 9.如图，菱形ABCD的对角线相交于点O, ∠BAD=60°，菱形ABCD的周长为24. 知识点2菱形的对角线的性质 (1)求对角线BD的长； 4.(中考·泸州)矩形具有而菱形不具有的性质 (2)求菱形ABCD的面积. 是 ( A.对角线相等 B.对角线互相平分 C.对角线互相垂直 D.对角相等 第一章