第三章 1 相似多边形-【新课程能力培养】2026-2027学年九年级上册数学同步练习（北师大版·新教材）

数学 九年级上册（北师大版） 则边BC=70-2x+2=(72-2x)m。根据题意，得x(72- y(1040-20y)+20x200x(1+50%)=13600+4640。整理方 2x)=640。整理方程，得x2-36x+320=0。解得x1=16, 程，得y2-52y+612=0。解得y=18,y2=34。科普类资 x2=20。当x=16时，72-2x=72-32=-40(m),当x=20 料采购单价不超过20元，y=34舍去。.科普类资料 时，72-2x=72-40-=32(m)。答：当羊圈的长为40m、宽 的采购单价为18元。 为16m或长为32m、宽为20m时，能围成一个面积 10.解：(1)由表格数据可知，售价x每增加1 为640m的羊圈。(2)不能。理由：由题意，得 元，销售量y就均匀地减少20个，y与x满足一次 x(72-2x)=650。整理方程，得x2-36x+325=0.4= 函数关系。设y与x的函数表达式为y=-20x+b,将 (-36)P-4×325=-4<0,.一元二次方程没有实数根。 (52,760)代人y=-20x+b,得b=1800。将表格中其 羊圈的面积不能达到650m。 他组x,y的对应值代人，均满足y=-120x+1800。又： 成本价为每个50元，以每个不低于成本价且不超过 4一元二次方程的应用（第2课时） 75元的价格销售，..50≤x≤75。.y与x的函数表达式 1.3000(1+x)2=50002.10%3.B4.D 为y=-20x+1800(50≤x≤75)。(2)根据题意，得 5.解：设增加了x行，则增加的列数为x。根据 (x-50)(-20+1800)=6000。整理方程，得x2-140x+4800= 题意，得(6+x)(8+x)-6×8=51。整理方程，得x2+14x- 0。解得x=60,x2=80(不符合题意，舍去)。∴.当售价 510。解得x=3,=17(舍去)。答：增加了3行3列。 定为60元/个时，每天的利润可达到6000元。 6.解：(1)设进馆人次的月平均增长率为x,则 第三章图形的相似 由题意，得128+128(1+x)+128(1+x)2=608。整理方程， 1相似多边形（第1课时） 得4x2+12x-7=-0。解得x1=0.5=50%,x2=-3.5(舍去)。 答：进馆人次的月平均增长率为50%。 (2)进馆 1.152.号3.1304V了5C6B7.D 人次的月平均增长率为50%，∴.第四个月的进馆人次 为28×1+50%-128×-432<50。答：校图书 8解：2-2，C-m+DC,AB=3em,BC 3 BD 能接纳第四个月的进馆人次。 5.6cm,AC=5cm,号=5.6D。由比例性质，得 7.解：设新品种花生亩产量的增长率为x,则 3(5.6-BD)=5BD。∴BD=2.1cm。DC=BC-BD=3.5cm。 200(1+x)·50%(1+0.5x)=132。整理得x2+3x-0.64=0。解 9解：a1 RCDADEE8,一品-2。AB 得x=0.2,2=-32(舍去)。∴.新品种花生亩产量的增 长率为20%。 12,4D-8,号是46号 Γ3 8.解：(1)设该款车销售量的月平均增长率为 10.解：图1与图2，图1与图3，图2与图3都 x,根据题意，得2.5(1+x)2-=3.6。解得x1=0.2=20%,x2= 不相似。理由：·.·图1中线段BC,FE增加相同的长 -2.2(不符合题意，舍去)。答：该款车销售量的月平 度后得因2，品品产器图1与图2不相 均增长率为20%。(2)设该款车的售价为每辆y万 似。图1变为图3后，六个内角发生变化，如∠A≠ 元，则每辆车的销售利润为(y-6)万元，平均每月可 ∠A2,∠B≠∠B,∠C≠∠C2,∴.图1与图3不相似。 售出150+75Y×15=(1275-150)辆。根据题意， 0.1 :图2的六个内角与图3的六个内角都不相等，图2 得(y-6)(1275-150y)=150×(7.5-6)。整理方程，得 与图3也不相似。 2y2-29y+105=0。解得=7，y2=7.5(不符合题意，舍 11.解：(1)设矩形ABCD的边AB=CD=a,AD= BC=b,则正方形ABEF的边长是a,矩形ECDF的边 去)。.该款车的售价应为每辆7万元。 EF=DC=a,EC=FD=b-a。·:矩形ECDF∽矩形ABCD, 9.解：(1)设第一批采购的艺术类资料为x本， 则科普类资料为(3x+200)本。由题意得20x+12(3x+ 胎品，即名0，解方程，得 200)=13600。解得x=200。.3x+200=3×200+200=800 b=+50,b=-Y54(不符合题意，舍去)。 (本)。第一批采购的艺术类资料为200本，科普类 2 2 资料为800本。(2)设第二批科普类资料的采购单 矩形ABCD的长和宽的比b=1+V至 价为y元，则第二批科普类资料的采购数量为 2 800-y-12×40=(1040-20y)本。根据题意，得 (2)由(1)得BC=1+Y5,AB=4,BC=21+ 2 AB 2 参考答案与提示 V5)。.S矩形ABQ=A BXBC=-4×2(1+V5)=8+8V5。 2探索三角形相似的条件（第1课时） 12.解：·.·四边形ABCD是矩形，..∠ADC=90° 1.80°2.∠CAD=∠B(答案不唯一)3.D .AC=VAD+CD=V2+平=V5。 4.A5.A6.C ·矩形ABCD∽矩形ABCC∽矩形AB,CC1∽· 7.解：在Rt△ABC中，AB=20,AC=12,由勾股 矩形AB.C,C,46=4C=4C==AC=V5 定理，得BC=16。DE垂直平分AB,AD=BD=10。 AD ACAC 2 :∠C=LBDE=90°，∠B=∠B,∴△ABC∽△EBD。 Cg-CC=CC==C-C=V5。 CD CC C C2 CC 2 品品小品88E125, 4C=V5,4G=5V5,AG=5 8.解：相似。理由：，∠ACB=90°，CD⊥AB,∴. 2 ∠BCD+∠ACD=90°，∠A+∠ACD=90°。.∠BCD=∠A。 (V5)C.5 :∠ACB=90°，MW⊥BM,∴.∠CBE+∠BMC=90°， 2 2m-2 ∠AMN+∠BMC=90°。.∠CBE=∠AMN。.△AMWN cG-V5.cc.v5.v5.cc.V. △CBE 2 9.(1)证明：：四边形ABCD是正方形，△EDF 5Y,,CC=5.5P 22 2 21 是等腰直角三角形，：AD=CD,DE=DF,∠ADC= 矩形AB.CCn的周长=24Cn+CC)=3xY5Y ∠EDF=90°。.∠ADE+∠ADF=∠ADF+∠CDF。 2, ∠ADE=∠CDF。∴.△ADE≌△CDF(SAS)。(2)解： 矩形AB,C.C.1的面积=4CCC,=5 相似。理由：△EDF是等腰直角三角形，∠E= ∠DFE=45°，又由(1)知∠CFD=∠E=45°，∴.∠EFC V5四.5.V5-5产-5" ∠DFE+∠CFD=90°。.'∠B=90°，.∴.∠B=∠EFC。又. 2 2 2- 22 =220 ∠AGB=∠CGF,.·.△ABG∽△CFG。 13.414.C15.D 10.解：(I)DB平分∠ADC,.∠ADB=∠CDB。 16.解：由题意，得AB=(1.2+c+d)m,AD=(0.8+ a+b)m,a=b,c=d,c=2a,.AB=(1.2+c+d)m= 叉：LABD=∠BCD=90,△ABD△BCD。4D= BD (1.2+4a)m,AD=(0.8+a+b)m=(0.8+2a)m。.AB与 。BD°=AD:CD。 BD (2)BM∥CD,.∠MBD= AD的比是16：10，∴.(1.2+4a):(0.8+2a)=16:10。∴.a= 0.1。.b=0.1,c=d=0.2。答：上、下、左、右边衬的宽 ∠BDC。.∠ADB=∠MBD,且∠ABD=90°。：BM=MD, 度分别是0.1m,0.1m,0.2m,0.2m。 ∠MAB=∠MBA。∴.BM=MD=AM=4。BD2=AD·CD, 1相似多边形（第2课时）】 CD=6,AD=8,.BD=48。∴.BC=BD2-CD=12。MC= 1号2.背32或-14号5B6C MB+BC=28。.MC=2V7。∠MBD=∠BDC,∠BNM= 7.D8.D ∠cD,△aMB△GD,8别--子，即 9.解：()令a=3k,b=5k,c=7k,则3x5-23k 号n子号7 MN 2 7k 号 (2)由(1)和△ABC的周长为30，可得a+ 11.312.B13.D 14.(1)证明：由作图得∠CAD=∠B,又：∠C= b+c=3k+5k+7k=30,解得k=2。.'.a=3h=6,b=5k=10,c= ∠C,.△ACD△BCA。(2)解：AB=AC, 7k=14 ∠B=∠C。∠B+∠C+∠BAC=180°，∠BAC=108°， 10.解：(1)4D=AE, DRAD+DB-AE+EC DB EC .2∠C+108°=180°。∴∠B=∠C=36°。.∠CAD=∠B= :AB=AC。BD-EC 36°。∴∠BAD=∠BAC-∠CAD=72°，∠BDA=∠C+ BD=EC。ABAC。 (2)AD=4。 ∠CAD=72°。∴.∠BAD=∠BDA。.DB=AB=AC=4 11.解：A5=AM=AC,AB+4C-AB+AC BE=MECE,…BE+CE BC Dc-Bc-4。aAD△B0A。-。c -0.1B48C1C-4E-E BC ME ME DC=AC,即BC(BC-4)=16。解得BC=2+2V5或BC= 219图形的相似 第三章 第目章 图形的相似 知识网络 两条线段的比（注意：单位要统一） 成比例线段 成比例线段→比例线段的有关性质 平行线分线段成比例事实及推论 定义：各角对应相等、各边对应成比例的两个多边形叫相似多边形 相似多边形 性质：相似多边形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方 定义：三个角分别相等、 三边对应成比例的两 个三角形叫相似三角形 两角分别相等的两个三角形相似 图形的相似 相似三角形 判定 两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似 三边对应成比例的两个三角形相似 对应角相等、对应边成比例 性质 对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比都等于相似比 周长的比等于相似比、面积的比等于相似比的平方 黄金分割 利用相似三角形测高 应用 定义：两个相似多边形的对应点所在的直线相交于一点， 这两个多边形叫作位似多边形 图形的位似 位似变换：在平面直角坐标系中，将一个多边形每个顶点 的横、纵坐标都乘以同一个数k(k≠O),所对应的图形与 原图形相似，位似中心是坐标原点，它们的相似比为( 西 数学 九年级上册（北师大版） 相似多边形（第1课时） 自主导学Q典例精析 例题如图，依次连接正方形ABCD各边的中点E,F,G,H所得的 四边形与正方形ABCD相似吗？若相似，求出相似比。 【分析】先证明四边形EFGH是正方形，再根据相似多边形的定义判定 四边形EFGH与正方形ABCD相似，进而求出相似比。 【解答】E,F,G,H是正方形ABCD各边的中点， 例题图 .AE=EB=BF=FC=CG=GD=DH=HA,∠A=∠B=∠C=∠D=90°。 ∴.△AEH≌△BEF≌△CFG≌△DGH,∠AEH=∠BEF=45°。 ∴.EH=HG=GF=FE,∠HEF=90°。∴.四边形EFGH是正方形。 ∠A=LB-LC=/n=LH能LF=∠PGH-∠BMG-0,器-%-8出张正方 形EFGH∽正方形ABCD。设AE=x,则AB=2x,EH=V2x。∴.正方形EFGH与正方形ABCD 的相似比为V2 29 【点拨】判定两个多边形是否相似，既要判断所有对应角是否相等，又要判断所有对应 边是否成比例，两者缺一不可。 基础巩固达标闯关 1.若a,b,c,d依次是成比例线段，且a=1cm,b=5cm,c=3cm,则d= cm 2已知号=号那么 b 3.如图，四边形ABCD∽四边形A'B'C'D',若∠B=50°，∠C=80°，∠A=100°，则∠D'= 第3题图 第4题图 4.如图，矩形ABCD被分割为3个面积相等的小矩形，已知矩形AFED与原矩形ABCD 相似，则原矩形的较长边与较短边的比值是 5.下列四组线段（单位：cm)中，是成比例线段的一组是（） A.1,2,3,4B.2,4,6,8 C.1,2,5,10D.2,3,5,8 56 图形的相似 第三章 6.已知3x-4y=0(xy≠0)，那么下列比例式中成立的是（) A音= B4号 C.龙=3 D.七=4 3 y 7.下列说法正确的是() A.任意两个等腰三角形相似 B.任意两个菱形相似 C.任意两个矩形相似 D.任意两个正六边形相似 8,如图.在△ABC中，A=C,且AB3cm,BC=5.6cm,AC=5cm,求BD,D0 的长。 D 第8题图 9.如图，在□ABCD中，AB=12,AD=8,点E,F分别在AB,DC上，且EF∥AD。若 □ABCD∽口ADFE,求AE的长。 D F 第9题图 能力提升坤综合拓展 10.如图，图1是一个正六边形ABCDEF,使线段BC,E增加相同的长度，得图2；若 将图1中的点A,D分别向两边拉长相同的量，得图3。那么图1与图2相似吗？图1与图 3相似吗？图2与图3呢？为什么？ B 图1 图2 图3 第10题图 11.如图，在把矩形ABCD(AB<BC)剪去一个正方形ABEF后，剩余的矩形ECDF∽矩 形ABCD。 (I)求矩形ABCD的长和宽的比。 (2)若AB=4,求矩形ABCD的面积。 E 第11题图 数学 九年级上册（北师大版） 12.如图，在矩形ABCD中，AD=2,CD=1,连接AC,以对角线AC为边，按逆时针方 向作矩形ABCD的相似矩形ABCC,再连接AC1,以对角线AC1为边作矩形ABC,C的相似 矩形ABC2C1,…,按此规律继续下去，求矩形AB.C.C1的周长和面积。 C. B3 第12题图 中考链接©真题演练 ·色多多色色 13.(2025·成都)名=3，则的值为 14.(2025·贵州)如图，已知△ABC∽△DEF,AB:DE=2:1,若 DF=2,则AC的长为() A.1 B.2 C.4 D.8 第14题图 15.(2024·连云港)下列网格中各个小正方形的边长均为1，阴影部分图形分别记作甲、 乙、丙、丁，其中是相似形的为() 甲 丙 第15题图 A.甲和乙 B.乙和丁 C.甲和丙 D.甲和丁 16.(2024.常州)书画装裱，是指为书画配上衬纸、卷轴以便张贴、欣赏和收藏，是我 国具有民族传统的一门特殊艺术。如图，一幅书画在装裱前的大小是1.2mx0.8m。装裱后， 上、下、左、右边衬的宽度分别是am,bm,cm,dm。若装裱后AB与AD的比是16：10， 且a=b,c=d,c=2a,求四周边衬的宽度。 a m 0.8m -亚m 1.2m B 第16题图 58 图形的相似 第三章 相似多边形（第2课时） 自主导学Q典例精析 -，多多多 例题 已知登者=年，求22 3y-z 【分析】对丁这种连比问题，通常设亭=青=号化≠0)，分别用含k的式子表示x,, z,然后代入所求的式子求解，也可以利用比例的等比性质求解。 【解答】设5=}水k≠0)， 则x=2k,y=3k,z=4k, .2x+2+_4h+6k+4=14h-14 3y-z 9k-4h-5k5 【点拨】等比性质是利用引入比值k的方法推导出来的，所以需用等比性质求解的问题 均可利用引入比值k的方法求解。此外，比例的性质不仅适用于有关线段的比例，也适用于 有关数的比例。 基础巩固飞)达标闯关 1者名号，则 atb 2.已知实数x,y满足x:y=1:2,则3x-Y= x+y 3.已知实数a,b,c满足a+b-b+c=c+=k,则k= c ab 已知号-分号号若6-2时30，则23 b-2d+f-3 5若2分，则g=() n A号 B.2 2 D多 6若营行，则的值为（ x+y-2 A.-9 B.3 C.6 D.9 7已知分片，则下列等式中不成立的是（) A.b=d B.a-b=c-d C.a=c a c b=d ·a+bc+d D8号 59 数学 九年级上册（北师大版） 8.如图是一个三层楠竹阶梯花架，它的侧面可以抽象为图2。 已知最上层与中间层的垂直距离为BD=30cm,中间层与最下层 的垂直距离为=45cm,且器=即， CE=50cm,则线段CG 的长为() 图1 图2 A.75 cm B.105 cm 第8题图 C.120 cm D.125 cm g已知a,,c是A4nc的三边长，且号专-号 (1)求36-2a的值。 (2)若△ABC的周长为30，求a,b,c的值。 能力提升螂综合拓展 -多多 10.如图，已知4AD=AE DB EC (I)试说明：BD=EC AB AC (2)若AB=10,AE=2,EC=3,求AD的长。 第10题图 山如图，已知据-批伦试说明：1+船1C-胎 BC ME 第11题图 60