第五章 问题解决活动：怎样围面积最大-【新课程能力培养】2026-2027学年九年级上册数学同步练习（北师大版·新教材）

二次函数 第五章 ☆ 问题解决活动：怎样围面积最大 自主导学Q典例精析 例题用总长为60m的篱笆围成矩形场地，矩形面积S(m)随矩形一边长xm的变 化而变化。当x是多少米时，场地的面积S最大？ 【分析】由题意知，矩形的一边长为xm,则另一边长为(30-x)m,根据矩形面积公式 即可写出S关于x的函数表达式，进而由函数表达式即可求出使S最大时x的值。 【解答】：矩形场地的周长是60m,矩形的另一边长为9xm。 ∴.场地的面积S=x(30-x),即S=-x2+30x(0<x<30)。 10,当六2x05时，面积s有银大值，S25。 答：当x是15m时，场地的面积S最大。 【点拨】本题利用二次函数图象顶点的性质，在矩形的周长为定值时，求矩形的最大 面积。 能力提升螂综合拓展 一多多多色修 1.如图，正方形ABCD的边长为a,点E,F,G,H分别在四条边上，连接EF,FG, GH,HE。若四边形EFGH是正方形，则当点E位于何处时，正方形EFGH的面积最小？ 0 第1题图 2.用定长为L的线段分别围成矩形和圆，围成的哪种图形的面积更大？请说明理由。 ④ 口数学 九年级上册（北师大版） 3.某宣传广告牌的示意图如图所示。 素材1：广告牌由抛物线L,L'以及线段CE,DF围成，点C,D在抛物线L上，点E, F在抛物线L'上，且点A,B分别是CE,DF的中点，抛物线L与L'关于AB所在直线对称。 素材2：以直线AB为x轴、AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系。已知AB=8m, CE=DF=2m,抛物线L的最高点G到AB的距离为5m,点G在y轴上，CE∥DF∥y轴 素材3：现需要在广告牌上张贴一幅矩形宣传画PONM,顶点P,Q均在抛物线L上， 顶点M,N均在抛物线L'上。 (1)求抛物线L,L'的函数表达式。 (2)求宣传画的周长l(矩形PQNM的周长)的最大值。 y L' 第3题图 @ 二次函数 第五章 4.春晚舞台上，人形机器人身着喜庆的大红棉袄亮相，随着秧歌舞步灵活扭动，手中的 红手绢在空中划出流畅弧线，这场表演不仅让观众惊叹于机器人动作的精准协调，更因“机 器人舞团”在舞蹈时队形变化的整齐无误，成为社交媒体热议的焦点。研究人员发现，机器 人跳舞时其膝盖处的关节运动轨迹近似一条抛物线。假设机器人单腿抬起时，其膝盖相对于 脚踝的竖直高度h(单位：cm)与时间t(单位：s)之间满足二次函数关系。研究人员测得 三个时刻的高度：当t=0,h=0(脚踝处)；当t=1,h=32;当t=2,h=0。 (1)求高度h与时间t之间的关系式。 (2)求膝盖能达到的最大高度及对应的时间。 (3)若研究人员设定机器人需要在高度等于24cm时触发一次“庆祝成功”的闪光，则 在膝盖上升和下降过程中，分别在哪两个时刻触发闪光？这两个时刻的时间间隔是多少？ 第4题图 ④ 口数学 九年级上册（北师大版） 5.如图1为滑雪大跳台的简化模型：BC段为抛物线形的滑道。滑雪爱好者小华某一次 从台端B点出发，在滑道BC上获得高速度，从跳台区的末端C点飞出后，身体以抛物线轨 迹CD在空中飞行，BC段的抛物线与CD段的抛物线恰好关于点C成中心对称。我们以OC 所在直线为y轴，水平面OA所在直线为x轴建立如图2所示的平面直角坐标系，已知 ABLOA,OC⊥OA,跳台高AB是8m,OA的长度为10m,OC的高度为6m,BC段的抛 物线最低点到y轴的距离为4m。 (1)求小华在空中飞行时的最大高度为多少米。 (2)为了安全着想，利用斜坡CE的角度进行有效的缓冲，若小华落在斜坡上的落点与 飞行过程中最高点的高度差为6.4m,求落点到OC的水平距离。 D E元 图1 图2 第5题图 @ 二次函数 第五章 6.【教材再现】 (1)九年级数学兴趣小组的同学在复习教材内容时，发现这样一个问题：如图1，一个 铝合金型材长6，用它制作一个“日”字形窗户的框架ABCD,如果恰好用完整根铝合金 型材，那么当AB,AD分别为多少米时，窗户的面积最大？请你直接写出答案。 【类比迁移】 (2)兴趣小组的小明同学认为可以把这种解决问题的方法从平面图形迁移到立体图形， 并绘制了如图2所示的长方形硬纸片，其中AB=16,BC=24,现要用它围成一个长方体盒子 的侧面，请你算一下这个盒子的最大体积是多少。 【深入思考】 (3)兴趣小组的小亮同学认为，将(2)中的长方形硬纸片按照图3的方式围成长方体 盒子的侧面会让这个长方体的体积更大，你认可小亮的观点吗？请说明理由。 (4)若用一张长为a、宽为b(a>b)的长方形纸片围成一个长方体盒子的侧面，求这个 盒子的最大体积。 D H C BE 图1 图2 图3 第6题图 s参考答案与提示 代人y=-x2+2x+3,得-m2+2m+3=2m。解得m=±V3。 .“倍值点”的坐标是(V3,2V3)和(-V3, -2V3)。 (3)①对于y=-x2+2x+3,当y=0时，-x2+2x+3=0, 解得=-1，x2=3。点B(3,0)。y=-x2+2x+3=-(x- 1)2+4,.原函数图象的顶点坐标为(1,4)。.已知抛 物线P关于x轴对称的抛物线L的顶点坐标为(1,4)。 新函数图象M由两部分组成： 第一部分：将抛物线P在x轴下方的图象沿x轴 第7题答图 折叠到x轴上方得到，即当x<-1或x>3时，该部分图 象即为抛物线L在x轴上方的部分，其函数表达式为 (3):二次函数y=x2-4x+3的图象与x轴的交点为 y=(x-1)2-4=x2-2-3; (1,0),(3,0),.方程x2-4x+3=0的根为x=1或x= 第二部分：当-1≤x≤3时，该部分图象对应的函 3。(4)x>x2>2,二次函数图象的对称轴为直线 数表达式为y=-x2+2x+3。 x=2,根据图象知，当>2时，y随着x值的增大而增 综上所述，新函数图象M对应的函数表达式为y= 大，y1>y2o -x2+2x+3,-1≤x≤3 8.解：(1)由题意知，镜子的宽度为xm,则长 x2-2-3,x<-1或x>3 度为2xm,∴y=120×2x2430x6x+45=240x2+180x+45。 y ②由①得B(3,0) (2)由题意，得240x2+180x+45=195。整理，得 -x2+2x+3,-1≤x≤3， 8x246x-5=0。解得1=0.5，=-1.25（不符合题意，舍 y= 去)。这面镜子的宽为0.5m、长为1m。 x2-2x-3,x<-1或>3。 如图所示，当0≤x≤1时， a+2+c=0, =2, 0 1 9.解：(1)由题意，得 4a-4+c=0。 解得 y随x的增大而增大；当1<<3 c=-4。 .二次函数的表达式为y=2x2-2x-4。 时，y随x的增大而减小； 第10题答图 当x≥3时，y随x的增大而增大，且当x=3时，y (2)22-42号-号，题物线的对称 取得最小值0。当0≤x≤m时，图象M上函数的最 轴为直线x=了。①：点Q在二次函数的图象上，且点 小值是2}，2-0.3。此时，图象M上函 t Q(-2n,m)是由点P(n,m)沿x轴方向平移得到的， 数的最大值是91=4。在y=2-2x-3中，令y=4,得 点八0美于直线=号对称。-分。=-1， x2-2x-3=4。解得x=1+2V2,2=1-2V2（舍去)。 ②当线段PQ与二次函数的图象有两个交点时，设点P .m的取值范围是3≤m≤1+2V2。 关于对称轴x=了的对称点的横坐标为。？点P的横 11.812.①②④⑤ ☆问题解决活动：怎样围面积最大 坐标为m,空=号。1-nP0x销，线段 1.解：四边形ABCD是正方形，∠A=∠D= PQ与二次函数的图象有两个交点，则有下列两种情 90°，AB=AD=a。∴.∠DGH+∠GHD=90°。：四边形EFGH 况：当n<)时，则-2n≥1-，解得n≤-1；当n>2 1 是正方形，∴.HE=GH,∠GHE=90°。∴.∠AHE+∠GHD= 90°。.∠DGH=∠AHE。.△DGH≌△AHE(AAS)。.AE= 1 时，则-2n≤1-，解得n≥-山，>2。n的取值范 DH。设正方形EFGH的面积为S,AE=x,则AH=a-xo 在Rt△AEH中，由勾股定理，得E=(a-x)2+x。S= 图是n≤-1或心 Bm-2-2d。彩国数配方，得s2号+号 10.解：(1)把A(-1,0)代入y=a2+2x+3,得 a-2+3=0,∴=-1。 2>0,当=号，即点E位于AB的中点时，S取得 (2)由(1)得该抛物线的表达式为y=-x2+2x+3, 设这个“倍值点”的坐标为(m,2m),将(m,2m) 最小值，S最小=20 39 数学 九年级上册（北师大版） 2.解：围成的圆的面积更大。理由：设围成的矩 轴的距离为4m,.设BC段的抛物线的表达式为y= 形长为x,矩形的面积为S,:矩形的周长为L,矩 a(x+4)2+c。点B,C在BC段的抛物线上，则 形的另一边长为（台列。S=号，即= 6=a(0+4)2+c, 解得 8=a(-10+4)2+c。 c=4,4。BC段的抛物线的表达 a=0.1, L 。-1<0,当x=- L 2 式为y=0.1(x+4)2+4.4。BC段的抛物线与CD段的抛 2a 2×(-1)4 时，S,取得最 物线关于点C(0,6)成中心对称，BC段的抛物线 的顶点(-4,4.4)与CD段的抛物线的顶点关于点 大值，S1最大= 4ac-b2 C(0,6)成中心对称。.CD段的抛物线的顶点坐标为 4a 4x(仁16。设圆的半径为， (4,6-4.4+6),即(4,7.6)。.CD段的抛物线的函数 圆的面积为S,~圆的周长为L,L=2r。2元 表达式为y=-0.1(x-4)2+7.6。.a=-0.1<0,.当x=4时 y取得最大值，y最大=7.6。.小华在空中飞行时的最大 高度为7.6m。 所围成的圆的面积更大。 (2)小华落在斜坡上的落点与飞行过程中最高 3.解：(1)由题意，设抛物线L的表达式为y= 点的高度差为6.4m。∴.小华在斜坡上的落点高度为 ax2+5..DF=2 m.AB=8 m...DB=DF=1 m.OB=OA= 7.6-6.4=1.2(m)。令y=-0.1(x-4)2+7.6=1.2,解得x= 4m。.点D的坐标为(4,1)。将D(4,1)的坐标代 12,x=4(舍去)。答：落点到0C的水平距离是12m。 1 人)=+5，得16a+5=l。解得=4。抛物线L的 6解：（)当AB=子m,AD1m时，窗户的面 函数表达式为)=子+5。抛物线L与工关于x轴 积最大。 对称，心抛物线L的函数表达式为y}5。 (2)设BE=m,则EF=242m=12-m。由题意，得 2 这个盒子的体积V=16m(12-m)=16m2+192m。配方， (2)设Qm,子m45,由对称性可知，点P的 得V=-16(m-6)2+576。-16<0,.当m=6时，V取得最 坐标为-m,子㎡+5)，点N的坐标为m,子m㎡-5， 大值，V最大=576。 (3)不认可。理由：设AG=n,则GH=16-2血=8- 2 PQ=2m,QN=-号m+10。矩形PONM的周长1 n。由题意，得盒子的体积V=24n(8-n)=-24n2+192n= 22m+之mi410j=-m+4n+20-0m-2y424。-10. -24(n-4)2+384。-24<0,.当n=4时，V取得最大 值，V最大=384。·384<576，.按照题图3的方式围成 ∴.当m=2时，1取得最大值，1最大=24。答：宣传画的 长方体盒子的侧面会使得这个长方体的体积更小。 周长1的最大值为24m。 不认可小亮的观点。 4.解：(1)当t=0时，h=0,.设二次函数关 (4)如图，由题意得，BC=a, 系式为h=a2+bt。由题知，该函数图象经过点(1,32)， a+b=32, a=-32 AB=b,设BE=d,则EF=-24。由 2 (2,0),则 解得 ..函数表达式为h= 4a+2b=-0. b=64。 题意，得盒子的体积为V=bd24 2 BE -32t2+64t。 (2)h=-322+64t=-32(t-1)2+32,a=-32<0,∴.当 -学=ba-号+ +6。b< 第6题答图 t=1时，h取得最大值，h大=32。.膝盖能达到的最 大高度为32cm,对应的时间为t=1s。 0,当号时，V取得最大值，V- (3)当h=24时，-32P+64t=24,解得t1=0.5,t2= 第六章概率的进一步认识 1.5。其中=0.5s对应上升过程，t=1.5s对应下降过 1用树状图或表格求概率（第1课时）】 程，时间间隔为2-t=1s。答：在上升过程中0.5s时 和下降过程中1.5s时触发闪光，时间间隔为1s。 1.解：(1)用表格列出所有可能出现的结果 如下： 5.解：(1)0C的高度为6m,.点C的坐标为 (0,6)。AB⊥0A,0C⊥0A,OA=10m,AB=8m, 点B的坐标为(-10,8)。BC段的抛物线最低点到y