第五章 4 二次函数与一元二次方程-【新课程能力培养】2026-2027学年九年级上册数学同步练习（北师大版·新教材）

数学 九年级上册（北师大版） 方，得W=-10(x-2)2+640。-10<0,.当x=2时，W 为原点，即c=0,此时该函数图象与x轴有两个交点， 取得最大值，W大=640，此时售价为38元/件。答： 这两个交点的横坐标是方程2-4x=0的解，此时该函 售价为38元件时，每天的利润最大，最大利润是640元。 数图象与坐标轴的两个交点是(0,0)和(4,0)。 10.解：(1)设A型客车每辆载客量为x人，则 .c=0或c=4。 B型客车每辆载客量为(x-15)人。根据题意，得 10.()2(2)证明：令0，即号r-m+m-l 公0-架：解得-60。经检绘，0是所到方程的 解，且符合题意。x-15=60-15=45(人)。答：A型客 0。这里a=子，b=m,c=m-山，4=(-m)2-4××m 车每辆载客量为60人，B型客车每辆载客量为45人。 1)=m2-2m+2=(m-1)2+1。(m-1)2≥0，.(m-1)2+1>0。 (2)设租用A型客车m辆，则租用B型客车 .该二次函数的图象与x轴有两个不同的公共点。 (10-m)辆。根据题意，得60m+45(10-m)≥530。解 (3)解：由题意，知= 广-m+m-1的对称轴为 1 得m≥普。m取正整数，m≥6。又：租车公司最 直线=m。>0,9,点A(m+1,）到对称 多提供8辆A型客车，：m≤8。m可取6或7或8。 轴x=m的距离小于点B(m+p,2)到对称轴的距离。 设本次研学活动中，学校的租车总费用为W元，则 lm+l-ml<lm+p-ml,即pl>l。p>l或p<-l。 W=(3200-50m)m+3000×0.8(10-m)=-50m2+800m+ 11.解：(1)抛物线y=2+bx+c的顶点坐标为 24000。将函数配方，得W=-50x(m-8)2+27200。.-50< (3,-4),y=(x-3)2-4=x2-6+5。b=-6,c=5。 0,对称轴为m=8,.当m≤8时，W随着m的增大而 (2)存在。理由：对于抛物线 增大。∴.当m=6时，W取得最小值，W最小=-50x(6- y=x2-6x+5,当y=0,即x2-6x+5=0 8)2+27200=27000(元)。答：本次研学活动中，学校 时，解得x=1,2=5。当x=0时， 的最少租车费用是27000元。 y=5。∴.0B=0C=5,AB=5-1=4。 4二次函数与一元二次方程（第1课时） ∠C0B=90°，∴LOBC=∠0CB=45°。 1.(-4,0)和(1,0)2.x=x=-11(-1,0) 如图，过点B作x轴的垂线，在x 3.y=2横5和-14.B5.C6.D 轴上方的垂线上截取BD=BA=4, 7.解：(1)当y=0时，已知函数图象与x轴的两 连接AD与BC交于点E,则D(5, 个交点的横坐标即为方程ax2+bx+c=0的两个根，由图 第11题答图 4)。∴.∠DBC-=90°-∠0BC=45°= 象可知，方程的两个根为x=1,x=3。 ∠OBC。..BC⊥AD,ED=EA。过点D作BC的平行线 (2)由函数图象知，抛物线的开口向下，对称轴为直 线=2。.当2时，y随x的增大而减小，即y随x的 与抛物线的交点即为点P,S=号BCXAE,SAa 增大而减小时，>2。 [5m+n=0, S△Br。设直线BC的表达式为y=mx+n,则 (3)方程ax2+bx+c=k有两个不相等的实数根，即 n=5。 函数y=2+bx+c(a≠0)的图象与直线y=k有两个交 点，k<2。 m1直线BC的表达式为y=+5。BC/PD, n=5。 8.解：(1)：AB长为xm,则BC的长为(34+ 设直线PD的表达式为y=-x+9,将D(5,4)的坐标代 2-3x)m。由题意，得S=(34+2-3x)x=-3x2+36x。 入，得-5+9=4。解得g=9。.直线PD的表达式为y= (2)由题意，知-3x2+36x=60。整理，得x2-12x+ -x+9。∴.由题意，得x2-6x+5=-x+9。整理，得x2-5x 20=0。解得x=2,x2=10。当x=2时，34+2-3x=30>12, 不符合题意，舍去。当x=10时，34+2-3x=6<12,x= 40。解得54Y百，Y,点P的横垫标 10。.AB的长为10m。 为5+y④或5-YV④年 2 2 9.解：由二次函数图象的性质可知，y=x2-4x+c 的图象与y轴有且只有一个交点(0，c)。分两种情 4二次函数与一元二次方程（第2课时)】 况：①如果(0，c)仅在y轴上，即c≠0时，那么该 1.-132.0.23.C4.A5.B6.A 函数图象与x轴有唯一交点，则方程x2-4x+c=0有两 7.解：(1)y=x2-4x+3=(x-2)2-1,二次函数图 个相等的实数根，此时b2-4ac=(-4)2-4c=0。解得c=4。 象的顶点是(2，-1)。 ②如果(0，c)既在y轴上，又在x轴上，则(0，c) (2)如图所示。 参考答案与提示 代人y=-x2+2x+3,得-m2+2m+3=2m。解得m=±V3。 .“倍值点”的坐标是(V3,2V3)和(-V3, -2V3)。 (3)①对于y=-x2+2x+3,当y=0时，-x2+2x+3=0, 解得=-1，x2=3。点B(3,0)。y=-x2+2x+3=-(x- 1)2+4,.原函数图象的顶点坐标为(1,4)。.已知抛 物线P关于x轴对称的抛物线L的顶点坐标为(1,4)。 新函数图象M由两部分组成： 第一部分：将抛物线P在x轴下方的图象沿x轴 第7题答图 折叠到x轴上方得到，即当x<-1或x>3时，该部分图 象即为抛物线L在x轴上方的部分，其函数表达式为 (3):二次函数y=x2-4x+3的图象与x轴的交点为 y=(x-1)2-4=x2-2-3; (1,0),(3,0),.方程x2-4x+3=0的根为x=1或x= 第二部分：当-1≤x≤3时，该部分图象对应的函 3。(4)x>x2>2,二次函数图象的对称轴为直线 数表达式为y=-x2+2x+3。 x=2,根据图象知，当>2时，y随着x值的增大而增 综上所述，新函数图象M对应的函数表达式为y= 大，y1>y2o -x2+2x+3,-1≤x≤3 8.解：(1)由题意知，镜子的宽度为xm,则长 x2-2-3,x<-1或x>3 度为2xm,∴y=120×2x2430x6x+45=240x2+180x+45。 y ②由①得B(3,0) (2)由题意，得240x2+180x+45=195。整理，得 -x2+2x+3,-1≤x≤3， 8x246x-5=0。解得1=0.5，=-1.25（不符合题意，舍 y= 去)。这面镜子的宽为0.5m、长为1m。 x2-2x-3,x<-1或>3。 如图所示，当0≤x≤1时， a+2+c=0, =2, 0 1 9.解：(1)由题意，得 4a-4+c=0。 解得 y随x的增大而增大；当1<<3 c=-4。 .二次函数的表达式为y=2x2-2x-4。 时，y随x的增大而减小； 第10题答图 当x≥3时，y随x的增大而增大，且当x=3时，y (2)22-42号-号，题物线的对称 取得最小值0。当0≤x≤m时，图象M上函数的最 轴为直线x=了。①：点Q在二次函数的图象上，且点 小值是2}，2-0.3。此时，图象M上函 t Q(-2n,m)是由点P(n,m)沿x轴方向平移得到的， 数的最大值是91=4。在y=2-2x-3中，令y=4,得 点八0美于直线=号对称。-分。=-1， x2-2x-3=4。解得x=1+2V2,2=1-2V2（舍去)。 ②当线段PQ与二次函数的图象有两个交点时，设点P .m的取值范围是3≤m≤1+2V2。 关于对称轴x=了的对称点的横坐标为。？点P的横 11.812.①②④⑤ ☆问题解决活动：怎样围面积最大 坐标为m,空=号。1-nP0x销，线段 1.解：四边形ABCD是正方形，∠A=∠D= PQ与二次函数的图象有两个交点，则有下列两种情 90°，AB=AD=a。∴.∠DGH+∠GHD=90°。：四边形EFGH 况：当n<)时，则-2n≥1-，解得n≤-1；当n>2 1 是正方形，∴.HE=GH,∠GHE=90°。∴.∠AHE+∠GHD= 90°。.∠DGH=∠AHE。.△DGH≌△AHE(AAS)。.AE= 1 时，则-2n≤1-，解得n≥-山，>2。n的取值范 DH。设正方形EFGH的面积为S,AE=x,则AH=a-xo 在Rt△AEH中，由勾股定理，得E=(a-x)2+x。S= 图是n≤-1或心 Bm-2-2d。彩国数配方，得s2号+号 10.解：(1)把A(-1,0)代入y=a2+2x+3,得 a-2+3=0,∴=-1。 2>0,当=号，即点E位于AB的中点时，S取得 (2)由(1)得该抛物线的表达式为y=-x2+2x+3, 设这个“倍值点”的坐标为(m,2m),将(m,2m) 最小值，S最小=20 39数学 九年级上册（北师大版） 二次函数与一元二次方程（第1课时） 自主导学Q典例精析 例题 已知m,n(m<n)是关于x的方程(x-a)(x-b)=1的两根，且a<b,试比较a,b,m, n的大小。 【分析】根据题意知，二次函数y=(x-a)(x-b)的图象的开口向上，且与x轴的两个交点的 横坐标为a,b,即a,b是方程(x-a)(x-b)=0的两个根。于是已知方程可转化为二次函数y= (x-a)(x-b)的函数值y=1的特殊情形，即1=(x-a)(x-b),进而由m,n(m<n)是该方程的两 根，可推出当x=m或x=n时，y=1,故m,n是函数y=(x-a)(x-b)的图象与直线y=1的两个交 点的横坐标。 【解答】m,n是关于x的一元二次方程(x-a)(x-b)=1的两个根， 由题意知，点(a,0)和(b,0)是二次函数=(x-a)(x-b)与x轴的交点， 点(m,1)和(n,1)是二次函数y=(x-a)(x-b)与直线y=1的交点。 ?二次函数)=(-)(-b)的对称轴为直线x=学，且m,b,由函数图象的对称 性知，点(m,1),(a,0)在函数图象对称轴的左侧，点(b,0),(n,1)在函数图象对 称轴的右侧。 又函数图象开口向上，.在对称轴左侧，y随x的增大而减小， 在对称轴右侧，y随x的增大而增大，m<a<b<n。 【点拔】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系。解答函数及函数图象的相关问题 时，必要时可以画出函数的图象，然后借助函数图象的直观性去解决问题。 基础巩固飞达标闯关 1.二次函数y=x2+3x-4的图象与x轴交点的坐标是 2.一元二次方程x2+2x+1-0的根为 ,二次函数y=x2+2x+1的图象与x轴有 个交点，其交点坐标为 3.一元二次方程x2-4x-3=2的根就是二次函数y=x2-4x-3的图象与直线 的 交点的 坐标，其值为 4.已知二次函数y=x2-3x+m(m为常数)的图象与x轴的一个交点为(1,0)，则关于x 的一元二次方程x2-3x+m=0的两个实数根是() A.x1=1,x2=-1 B.x1=1,x2=2 C.x1=1,x2=0 D.x1=1,x2=3 134 二次函数 第五章 5.如图是二次函数y=ax2+bx+c的部分图象，由图象可知不等式ax+ bx+c≥0的解集是() A.1<x<5 B.x≤5 2 5 C.-1≤x≤5 D.x<-1或x>5 第5题图 6.抛物线y=-x2-4x+c(c<0)与x轴交于点A和点B(n,0),点A在点B的左侧，则 点A的横坐标为() A.-2n B.4-n C.-4+n D.-4-n 7.二次函数y=a2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，根据图象解答下列问题。 (1)写出方程ax2+bx+c=0的两个根。 3 (2)写出y随x的增大而减小时的自变量x的取值范围。 (3)若方程ax2+bx+c=k有两个不相等的实数根，求k的取值范围。 第7题图 能力提升坤综合拓展 8.如图，有一段长为34m的篱笆，利用一面长为12m的墙围成两个面积相等的鸡栏， 每个鸡栏都有一个用其他材料做成的宽1的小门，如果设鸡栏垂直于墙的一边AB为xm, 两个鸡栏的总面积为Sm。 ∠∠∠∠∠2 4 (1)求鸡栏的总面积S(m)与x(m)之间的关系式。 \c (2)如果每个鸡栏的面积为30m,那么AB的长是多少？ 第8题图 9.若二次函数y=x2-4x+c的图象与坐标轴有两个交点，求c应满足的条件。 ③s 口数学 九年级上册（北师大版） 中考链接⊙真题演练 -sg多卡P 10.(2025:准安)已知二次函数y号-mm-1(m为常数)。 (1)若点(2，-1)在该函数图象上，则m= (2)求证：该二次函数的图象与x轴有两个不同的公共点。 (3)若该函数图象上有两个点A(m+1,y1),B(m+p,y2),当y<y时，写出p的取值 范围。 11.(2025·黑龙江)如图，抛物线y=x+bx+c交x轴于点A,B,交y轴于点C,且点A 在点B的左侧，顶点坐标为(3，-4)。 (1)求b与c的值。 (2)在x轴上方的抛物线上是否存在点P,使△PBC的面积与△ABC的面积相等？若存 在，请求出点P的横坐标：若不存在，请说明理由。 第11题图 @ 二次函数 第五章 二次函数与一元二次方程（第2课时） 自主导学Q典例精析 例题已知二次函数y=a(x-4)2-4(a≠0)的图象在2<x<3这一段位于x轴的下方，在 6<x<7这一段位于x轴的上方，求二次函数的表达式。 【分析】首先根据二次函数y=a(x-4)2-4(a≠0)，得到该函数图象的对称轴为直线x=4, 顶点坐标为(4，-4)，顶点在x轴的下方，再根据该函数图象在2<<3这一段位于x轴的下 方，在6<x<7这一段位于x轴的上方的条件推出a>0。进而结合该函数图象的对称性，得出 函数图象在6<x<7这一段关于对称轴x=4对称的1<x<2这一段也位于x轴的上方，再结合抛 物线在2<x<3这一段位于x轴的下方的条件，可确定二次函数图象与x轴的一个交点为 (2,0),将交点坐标代入表达式即可求出α的值，从而求出二次函数表达式。 【解答】·函数y=a(x-4)2-4,∴.该函数图象的顶点为(4，-4)，对称轴为直线x=4。 又该函数图象在2<<3这一段位于x轴的下方，在6<x<7这一段位于x轴的上方， ·.该函数图象与x轴有交点，且a心0。 .·函数图象的对称轴为x=4,.6<x<7这一段关于对称轴x=4对称的是1<x<2这一段。 1<x<2这一段的图象也位于x轴的上方。又，函数图象在2<x<3这一段位于x轴的下 方，=2是函数值正、负的分界点。 .该二次函数的图象与x轴的一个交点为(2,0)。 将点(2,0)的坐标代入表达式，得4a-4=0。解得a=1。∴.二次函数为y=(x-4)2-4。 【点拨】此题考查二次函数图象与x轴的交点，以及二次函数图象上的点与对称轴的关 系。解题的关键是先根据函数表达式确定二次函数图象的顶点、开口方向和对称轴，再结合 抛物线的对称性确定二次函数图象与x轴的交点。 基础巩固（达标闯关 1.已知二次函数y=2x2-4x-1的图象如图所示，则关于x的一元二次方程2x2-4x-1=0的 两个近似根在 和 之间。 3-2 45 x=-1 第1题图 第2题图 2.二次函数y=2x2+4x-1的图象如图所示，若方程2x2+4x-1=0的一个近似根是x=-2.2, 则方程的另一个近似根为 。(结果精确到0.1) 数学 九年级上册（北师大版） 3.小强利用二次函数图象估计一元二次方程x2-2x-2=0的近似解，下表是小强探究过程 中的一些数据，根据表中数据可得，方程必有一个实数根在() 1.5 2 2.5 3.5 y=x2-2x-2 -2.75 -2 -0.75 1 3.25 A.1.5和2之间 B.2和2.5之间 C.2.5和3之间 D.3和3.5之间 4.二次函数y=ax2-2ax+c的图象及局部细节如图中所示，则 关于x的方程ax2-2ax+c=0的较大的根的取值范围是（) A.2.4<x<2.5 B.2.5<x<2.6 C.0.4<x<0.5 D.0.5<x<0.6 第4题图 5.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过(-3,0)与(1,0)两点，关于x的方程ax2+ bx+c+m=0(m>0)有两个根，其中一个根是3，则关于x的方程ax2+bx+c+n=0(0<n<m)有 两个整数根，这两个整数根是() A.-2或0 B.-4或2 C.-5或3 D.-6或4 6.如图，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象的对称轴是直线x= 1,图象与y轴交点的纵坐标是2。有下列结论：①2a+b=0;②方程 mr+hx+c-=0有两个不相等的实数根：③b-n2:④方程a2+bx+e=0 一定有一个根在-2和-1之间。其中正确的结论是( 第6题图 A.①② B.①③ C.①④ D.②④ 7.已知二次函数y=x2-4x+3。 (1)求二次函数图象的顶点坐标。 (2)在如图所示的平面直角坐标系内描点，画出该函数图象。 (3)结合该二次函数图象，写出方程x2-4x+3=0的根。 (4)若该抛物线上两点A(x1,),B(x2,y2)的横坐标满足x1>>2,判断与y2的大 小关系。 -r-+3- -21Q 5 第7题图 二次函数 第五章 能力提升螂综合拓展 卡多与 8.在一块长方形镜面玻璃的四周镶上与它的周长相等的边框，制成一面镜子，镜子的长 与宽的比是2：1。已知镜面玻璃的价格是每平方米120元，边框的价格是每米30元，另外 制作这面镜子还需加工费45元。设制作这面镜子的总费用是y元，镜子的宽度是xm。 (1)求y与x之间的关系式。 (2)如果制作这面镜子共花了195元，求这面镜子的长和宽。 9.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2-2x+c的图象交x轴于A(-1,0),B(2, 0)两点，交y轴于点C。 (1)求这个二次函数的表达式。 (2)点P(n,m)在该二次函数图象上，将点P沿x轴方向平移得到点Q(-2n,m)。 ①当点Q也在二次函数的图象上时，求n的值； ②当线段PQ与二次函数的图象有两个交点时，求n的取值范围。 第9题图 @ 数学 九年级上册（北师大版） 10.综合与探究 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线P:y=ax2+2x+3与x轴相交于点A(-1,0)和点B。 (1)求a的值。 (2)定义：在平面直角坐标系中，如果一个点的纵坐标等于其横坐标的2倍，我们称这 个点为“倍值点”，求抛物线y=ax2+2x+3上的“倍值点”的坐标。 (3)如图2，将抛物线P在x轴下方的图象沿x轴折叠到x轴上方，这部分图象与抛物 线P剩余部分的图象组成新函数的图象记为M。 ①求出新函数图象M对应的函数表达式： ②当0≤x≤m时，图象M上函数的最小值是2-}，最大值是)4，求m的取值范围。 图 第10题图 中考链接©真题演练 一年参修修 11.(2025·连云港)如图，小亮同学掷铅球时，铅球沿抛物 线y=a(x-3)2+2.5运行，其中x是铅球离初始位置的水平距离，y 是铅球离地面的高度。若铅球抛出时离地面的高度OA为1.6m, B 则铅球掷出的水平距离OB为 m。 第10题图 12.(2025·武汉)已知二次函数y=ax2+(a-2)x-2(a为常数，且a≠0)。有下列五个结 论：①该函数图象经过点(-1,0)；②若a=-1,则当x>-1时，y随x的增大而减小；③该 函数图象与x轴有两个不同的公共点；④若a>2,则关于x的方程ax2+(a-2)x-2=0有一个根 大于0且小于1；⑤若a>2,则关于x的方程1ax2+(a-2)x-21=2的正数根只有一个。其中正确 的是 (填序号)。 @