第五章 3 二次函数的应用-【新课程能力培养】2026-2027学年九年级上册数学同步练习（北师大版·新教材）

丽数学 九年级上册（北师大版） 二次函数的应用（第1课时） 自主导学Q典例精析 例题 足球训练中球员从球门正前方9m的A处射 Ay/m 门，球射向球门的路线呈抛物线形。当球飞行至与球门水 平距离3m处时，球达到最高点，此时球离地面3m。现 3 .9 x/m 以O为原点建立如图所示的平面直角坐标系。 例题图 (1)求抛物线的表达式。 (2)已知球门OB的高度为2.44m,通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）。 【分析】(1)根据题意可知抛物线的顶点坐标，再结合A(9,0)即可求出抛物线的表 达式。(2)把x=0代入函数表达式求出对应y的值，再将y的值与OB的高度2.44比较即可。 【解答】(1)由题意可知抛物线的顶点坐标为(3,3)， 则可设抛物线的表达式为y=a(x-3)2+3,把点A(9,0)的坐标代入，得36a+3=0。 第得=一方 抛物线的表达式为)-343，即)=b4+。 (2)当=0时，=b943=}-225.22524,球能射进球门。 【点拨】本题是应用二次函数的性质解决抛物线形的实际问题。解这类问题的关键是先 找到问题中的关键条件，如抛物线的顶点（最高点）、起点、终点、水平距离、垂直距离等， 然后根据关键点的特征设适当的函数表达式（顶点式、交点式或一般式），最后用待定系数 法求出抛物线的表达式，进而根据函数表达式解决相应的问题。 基础巩固达标闯关 1.在平面直角坐标系xOy中，二次函数图象的顶点为A(-2,-2),且过点B(0,2), 则此二次函数的表达式为 2.已知抛物线的对称轴为直线=2，且过点(1,4)和(5,0)，则这个二次函数的表 达式是 3.若所求的二次函数的图象与抛物线y=2x2-4x-1有相同的顶点，并且在对称轴的左侧， y随x值的增大而增大，在对称轴的右侧，y随x值的增大而减小，则所求二次函数的表达 式为（) A.y=-x2+2x+4 B.y=-m2-2ax-3(a>0) C.y=-2x2-4x-5 D.y=ax2-2ax+a-3(a<0) 122 二次函数 第五章 4。某广场中心有高低不同的各种喷泉，其中一根高度为子m的喷水 管喷水的最大高度为4m,此时喷水的水平距离为】m, 在如图所示的坐 标系中，这个喷泉的函数表达式是（) 2 A=3x34 B.=-10x+24 第4题图 C.y=-0x2户+4 Dy=324 5.如图，已知二次函数y=x+bx+c的图象经过点A(1,-2)和B(0,-5)。 (1)求该二次函数的表达式及图象的顶点坐标。 (2)当y≤-2时，请根据图象求出x的取值范围。 第5题图 6.某景区大门上半部分的截面示意图如图所示，顶部L1,左、右门洞L2,L,均呈抛物线 形，水平横梁AC=16m,L,的最高点B到AC的距离B0=4m,L2,L3关于B0所在直线对 称。MN,MP,NQ为框架，点M,N在L1上，点P,Q分别在L2,L3上，MN∥AC,MP⊥ AC,NQ⊥AC。以O为原点，以AC所在直线为x轴、B0所在直线为y轴，建立平面直角坐 标系。 (1)求抛物线L,的函数表达式 (2)已知抛物线☑的函数表达式为6-4只，NQ=】m,求MN的长。 第6题图 @ 数学 九年级上册（北师大版） 能力提升螂综合拓展 7.【项目式学习】 【项目背景】 儿童软弹玩具枪是相对安全的弹射类玩具，能够锻炼身体协调性、培养专注力与耐心、 激发儿童的想象力，某综合与实践小组的同学计划研究儿童软弹玩具枪中蕴含的数学知识。 【实验数据】 当儿童软弹玩具枪发射口距水平地面的高度为0.8m时，软弹最终落在距发射口水平距 离4m处的水平地面上。 【建立模型】 如图1，软弹（大小忽略不计）的飞行路线近似为抛物线，发射口A可随玩具枪竖直上 下移动，发射口即为软弹飞行路线的最高点。过点A作水平地面的垂线与地面交于点O,以 OA所在直线为y轴，过点O且与OA垂直的直线为x轴，建立平面直角坐标系（单位长度 为1m)。 (1)求软弹飞行路线所在抛物线的函数表达式。 【问题解决】 儿童软弹玩具枪竖直上下移动时，软弹飞行路线的形状可视为同一抛物线上下平移后的 一部分。 (2)综合与实践小组的同学在点B(2,0.35)的位置设置了一个目标靶，软弹想要命中 目标靶，儿童软弹玩具枪在竖直方向上应如何移动？ (3)如图2，四边形PQMN是一个无盖长方体盒子的截面图，点Q,M的坐标分别为 (4.4,0),(4.6,0),PQLx轴，MNLx轴，PQ=MN=0.3m,要使软弹能够落在长方体盒子 里，求出儿童软弹玩具枪发射口距地面的高度OA的取值范围（含边界）。 图1 图2 第7题图 必 二次函数 第五章 中考链接©真题演练 卡多多 8.(2025·广东)如图，某跨海钢箱梁悬索桥的主跨长1.7km,主塔高0.27km,主缆可 视为抛物线，主缆垂度为0.1785km,主缆最低处距离桥面0.0015km,桥面距离海平面约 0.09km。请在示意图中建立合适的平面直角坐标系，并求该抛物线的表达式。 .1.7km 主塔 主塔 主缆 0.1785km 桥面 0.27km -0.0015km 0.09km 海平面干 第8题图 9.(2025·辽宁)为方便悬挂电子屏幕，学校需要在校门上方的抛物线形框架结构上增 加立柱。为此，某数学兴趣小组开展了综合与实践活动，记录如下： 主题 为校门上方的抛物线形框架结构增加立柱 1.去学校档案馆查阅框架结构的图纸； 活动准备 2.准备皮尺等测量工具 图1是校门及上方抛物线形框架结构的平面示意图，信息如下： 1.大门形状为矩形（矩形ABCD); 采集数据 2.底部跨度(BC的长)为8m; 3.立柱OE的长为2m,且OE⊥AD于点0，A0=OD 图1 考虑实用和美观等因素，在A,D间增加两根与AD垂直的立 设计方案 柱，垂足分别为M1,M2,立柱的另一端点N,N2在抛物线形框 Efy/mn 架结构上，其中AM=MD=1m D M, x/m 小组成员经过讨论，确定以点O为坐标原点，线段AD所在直 线为x轴，建立如图2所示的平面直角坐标系。点E的坐标为 确定思路 (0,2),设抛物线的表达式为y=x2+2,分析数据得到点A或点 D的坐标，进而求出抛物线的表达式，再利用表达式求出增加立 图2 第9题图 柱的长度，从而解决问题 根据以上信息，解决下列问题： (1)求抛物线的表达式。 (2)现有一根长度为2的材料，如果用它制作这两根立柱，请你通过计算判断这根材 料的长度是否够用（因施工产生的材料长度变化忽略不计）。 12s 数学 九年级上册（北师大版） 二次函数的应用（第2课时） 自主导学Q典例精析 例题如图，用一块长为50cm、宽为30cm的长方形铁片制 作一个无盖的盒子，在铁片的四个角截去四个相同的小正方形，设 小正方形的边长为xcm。 (1)用含x的代数式表示底面矩形的边AB,BC的长。 例题图 (2)当做成的盒子的底面积为300cm时，求该盒子的容积。 (3)x为何值时，盒子的侧面积S有最大值？最大值是多少？ 【分析】(1)根据矩形的四个角截去的小正方形的边长都是x,可用含有x的代数式表 示AB,BC的长。(2)根据S矩形AD=AB·BC=300。建立一元二次方程可求出x的值，进 而求出盒子的容积。(3)利用盒子侧面积S=2x(50-2x)+2x(30-2x),列出盒子的侧面积S 与x之间的函数表达式，进而应用二次函数的性质解决问题。 【解答】(1)根据题意，得AB=(50-2x)cm,BC=(30-2x)cm。 (2)依题意，得(50-2x)(30-2x)=300。整理，得x2-40x+300=0。解得x=10,x2=30。 由题意知，x>0且30-2x>0,.0<<15。.x=30不符合题意，舍去。 ∴.当x=10时，300x10=3000(cm3)。答：盒子的容积为3000cm3。 (3)由题意知，盒子的侧面积S=2x(50-2x)+2x(30-2x)=-8x2+160x。 配方，得S=-8(x-10)2+800。-8<0,且0K<15,∴.当x=10时，S取最大值，S最大=800。 答：当x为10cm时，盒子的侧面积S有最大值，最大值是800cm。 【点拨】此题主要考查了二次函数在几何图形中的应用。解答这类应用题的关键是恰当地 选择几何图形中某个基本元素作为未知数或自变量x,然后用含有x的代数式表示图形中的其 他未知量，最后利用公式或题中给出的等量关系建立方程或函数模型。特别需要注意，利用 二次函数的性质求最大值时，要考虑使函数取得最大值的自变量x是否在自变量的取值范 围内。 基础巩固)达标闯关 -。多 1.将一根长为20cm的铁丝折成一个矩形，试写出矩形的面积y与矩形的一边长x之间 的关系式以及x的取值范围 2.如图，正方形ABCD的边长为2cm,P是AB上任意一点（除去端点 A,B),作PQ⊥DP交BC于点Q,设AP=xcm,BQ=ycm,则y与x之间的 关系式是 自变量x的取值范围是 当 A P 时，y取最大值 第2题图 126 二次函数 第五章 3.如图，△ABC是一块锐角三角形材料，边BC=6cm,高AD= 4cm,要把它加工成一个矩形零件，使矩形的一边在BC上，其余两 个顶点分别在AB,AC上，要使矩形EGHF的面积最大，EG的长应 为 G 4.如图，△ABC是直角三角形，∠A=90°，AB=8cm,AC=6cm, 第3题图 点P从点A出发，沿AB方向以2cs的速度向点B运动，同时点 Q也从点A出发，沿AC方向以1cms的速度向点C运动，其中一 个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，则△AP的最大 B 第4题图 面积是() A.8 cm2 B.16 cm2 C.24 cm2 D.32 cm2 5.如图，杂技团进行杂技表演时，演员从跷跷板右端A处弹跳到人梯顶端椅子B处， 其身体（看成一点）的运动路线是抛物线)=了3x+1的一部分。 (1)求演员弹跳时离地面的最大高度。 (2)已知人梯高BC=3.4m,在一次表演中，人梯到起跳点A的水平距离为4m,则这 次表演是否成功？ Ay/m C xlm 第5题图 6.某市政府要在一块矩形土地ABCD上依靠其两边规划建造一个矩形公园GHCK,为了 使文物保护区△AEF不被破坏，矩形公园的顶点G不能在文物保护区内，如图所示。已知 AB=200m,AD=160m,AE=60m,AF=40m。 (1)当矩形公园的顶点G恰是EF的中点时，求公园的面积。 (2)当G在EF上的什么位置时，公园面积最大？ E 第6题图 @ 口数学 九年级上册（北师大版） 能力提升螂综合拓展 。多 7.如图，在△ABC中，已知BC=4,AC=2V3,∠ACB=60°，在BC边上有一动点P, 过点P作PD∥AB,交AC于点D,连接AP,设BP=x (1)求△APD的面积与x之间的关系式。 (2)当x为何值时，△APD的面积有最大值？求出其最大值。 (3)求x的取值范围。 第7题图 8.如图，有一块矩形地块ABCD,AB=20m,BC=30m,为了美观拟种植不同的花卉。 将矩形ABCD分割成四个等腰梯形及一个矩形，其中梯形的高相等，均为xm。现决定在 等腰梯形AEHD和BCGF中种植甲种花卉，在等腰梯形ABFE和CDHG中种植乙种花卉， 在矩形EFGH中种植丙种花卉。甲、乙、丙三种花卉的种植成本分别为20元/m2、60元/m2、 40元/m,设三种花卉的种植总成本为y元。 (1)当=5时，求种植总成本y。 (2)求种植总成本y与x之间的关系式，并写出自变量x的取值范围。 (3)若甲、乙两种花卉的种植面积之差不超过120m,求三种花卉的最低种植总成本。 x H F G 第8题图 @ 二次函数 第五章 中考链接©真题演练 9.(2025·南通)综合与实践：学校数学兴趣小组围绕“校园花圃方案设计”开展主题 学习活动。已知花圃一边靠墙（墙的长度不限），其余部分用总长为60m的栅栏围成。兴趣 小组设计了以下两种方案： 方案一：如图1，围成一个面积为450m的矩形花圃： 方案二：如图2，围成矩形花圃时，用栅栏（栅栏宽度忽略不计）将该花圃分隔为两个 小矩形区域，用来种植不同花卉，并在花圃两侧各留一个宽为3的进出口（此处不用 栅栏)。 墙 (1)求方案一中与墙垂直的边的长度。 花圃 (2)要使方案二中花圃的面积最大，与墙平行的边的长度 为多少米？ 图1 墙 花圃 区域1 区域2 3 m 图2 第9题图 10.(2025·武汉)某校数学小组开展以“羽毛球飞行路线”为主题的综合实践活动。 【研究背景】羽毛球飞行路线所在的平面与球网垂直。 【收集数据】某次羽毛球飞行的高度y(单位：m)与距发球点的水平距离x(单位： m)的对应值如下表（不考虑空气阻力）。 水平距离xm 0 2 3 5 6 高度ylm 1.1 2.3 2.6 2.6 2.3 【探索发现】数学小组借助计算机画图软件，建立平面直角坐标系、描点、连线（如 图)，发现羽毛球飞行路线是抛物线y=a2+bx+1.1的一部分。 【建立模型】(1)求y与x之间的关系式（不要求写自变量取值范围）。 (2)羽毛球在此次飞行过程中，飞行的高度能否达到2.8m?请说明理由。 (3)保持羽毛球飞行路线对应的抛物线的形状不变，改变发球方式，使其表达式变为 y=ax+kx+1.1,发球点与球网的水平距离是5m。若羽毛球飞过球网正上方时，飞行的高度 超过2.1m,且球的落地点与球网的水平距离小于6m,求k的取值范围。 y/m 发球点 x/m 第10题图 数学 九年级上册（北师大版） 二次函数的应用（第3课时） 自主导学Q典例精析 例题九年级(1)班数学兴趣小组经过市场调查，整理出某种商品在第x(1≤x≤90) 天的售价与销量的相关信息如下表： 时间x天 1≤x<50 50≤x≤90 售价1（元/件） x+40 90 每天销量/件 200-2x 已知该商品的进价为每件30元，设销售该商品每天的利润为y元。 (1)求出y与x之间的关系式。 (2)销售该商品第几天时，当天的销售利润最大？最大利润是多少？ 【分析】(1)根据公式：利润=（售价-进价）×数量，可得出y与x之间的关系式，观察 表格可知，时间x的取值分为两段，两段的售价分别为(x+40)元/件、90元/件，因此得出 的函数是分段函数。 (2)根据分段函数的特点，可分别讨论每段函数的最大值，然后比较两段函数的最大值 哪个更大，最后得出整个函数的最大值。 【解答】(1)当1≤x<50时，y=(200-2x)(x+40-30)=-2x2+180x+2000;当50≤x≤90 1-2x2+180x+2000(1≤x<50), 时，y=(200-2x)(90-30)=-120x+12000。综上所述，y= -120x+12000(50≤x≤90)。 180 (2)当1≤c50时，=-24180+2000，a=-2<0,·当x=2X2)=45时，y取得最大 值，y最大=-2×453+180x45+2000=6050;当50≤x≤90时，y=-120x+12000,k=-120<0,y 随x的增大而减小，当x=50时，y最大=6000。.6050>6000，∴.销售该商品第45天时，当 天的销售利润最大，最大利润是6050元。 【点拨】本题考查了二次函数在市场营销中的应用。利用单价乘以数量求函数表达式时， 要注意自变量的取值范围：利用函数的性质求最值时，需要分清求最大值时涉及的是一次函 数的增减性问题，还是二次函数的最值问题。特别注意：求完每段函数的最值后，一定要验 证取得最值的自变量是否落在本段函数的自变量取值范围内。 基础巩固飞)达标闯关 1.便民商店经营一种商品，在销售过程中，发现一周的利润y(元)与每件的销售价 x(元)之间的关系满足y=-2x+80x+750。由于某种原因，售价只能满足15≤x≤22，那么一 周可获得的最大利润是 元。 130 二次函数 第五章 2.某种商品每件的进价为20元，调查表明：在某段时间内，若以每件x元(20≤x≤ 30,且x为整数)出售，可卖出(30-x)件。若使利润最大，每件的售价应为 元。 3.将进货价格为35元/个的商品按单价40元售出时，能卖出200个。已知该商品单价 每上涨1元，其销售量就减少5个。设这种商品的售价上涨x元时，获得的利润为y元，则 下列关系式正确的是() A.y=(x-35)(200-5x) B.y=(x+40)(200-10x) C.y=(x+5)(200-5x) D.y=(x+5)(200-10x) 4.某公司在甲、乙两地同时销售某种品牌的汽车。已知该品牌汽车在甲、乙两地的销售 利润y(万元)与销售量x(辆)之间分别满足：y=-x2+10x,y2=2x,若该公司在甲、乙两地 共销售15辆该品牌的汽车，则能获得的最大利润为() A.30万元 B.40万元 C.45万元 D.46万元 5.某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现，这种商品每天的销售量 m(件)与每件的售价x(元)之间的关系满足一次函数m=162-3x。 (1)写出商场卖这种商品每天的销售利润y(元)与每件的售价x(元)之间的关系式。 (2)如果商场要想每天获得最大的销售利润，每件商品的售价定为多少元最合适？最大 销售利润为多少？ 6.某产品每件的成本为10元，试销阶段每件产品的售价x(元)与产品的日销售量y (件)之间的关系如下表： 售价/元 15 20 30 35 日销售量y件 25 20 10 5 … 若日销售量y是每件产品的售价x的函数。 (1)求出日销售量y(件)与每件产品的售价x(元)之间的关系式，并写出自变量x的 取值范围。 (2)要使每日的销售利润最大，每件产品的售价应定为多少元？此时每日的销售利润是 多少元？ 数学 九年级上册（北师大版） 能力提升螂综合拓展 7.某大学毕业生响应国家“自主创业”的号召，投资开办了一家装饰品商店。该店购进 一种新上市的饰品进行了30天的试销售，购进价格为20元/件。试销售结束后，得知日 销售量P(件)与销售时间x(天)之间有如下关系：P=-2x+80(1≤x≤30，且x为整数)。 又知前20天的销售价格Q.(元件)与销售时间x(天)之间有如下关系：Q,=号x+30(1≤x≤ 20,且x为整数)，后10天的销售价格Q2(元/件)与销售时间x(天)之间有如下关系：Q2= 45(21≤x≤30，且x为整数)。（销售利润=销售收入-购进成本） (1)分别写出该商店前20天的日销售利润R1(元)、后10天的日销售利润R2(元)与销 售时间x(天)之间的关系式。 (2)在这30天的试销售中，哪一天的日销售利润最大？请求出最大利润。 *8.某公司计划购进一批原料进行加工销售。已知该原料的进价为6.2万元，加工过程 中原料的质量有20%的损耗，加工费m(万元)与原料的质量x(t)之间的关系为m=50+ 0.2x,销售价y（万元)与原料的质量x(t)之间的关系如图所示。 (1)求y与x之间的关系式。 (2)设销售收人为P(万元)，求P与x之间的关系式。 (3)原料的质量x为多少吨时，所获销售利润最大？最大销售利润是多少万元？ (销售利润=销售收入一总支出) 4y/(万元) 15 12.5 2030x/ 第8题图 @ 二次函数 第五章 中考链接©真题演练 9.(2025·达州)为弘扬达州地方文化，让更多游客了解巴人故里，某文旅公司推出多 款文创产品。已知某款巴小虎吉祥物的成本价是30元/件，当售价为40元/件时，每天可以 售出60件。经调查发现，每件售价每降价1元，每天可以多售出10件。 (1)设该款巴小虎吉祥物每件降价x元，则每天售出的数量是 件。 (2)为让利于游客，该款巴小虎吉祥物每件应该降价多少元，能使该文旅公司每天的利 润是630元？ (3)该文旅公司每天售卖该款巴小虎吉祥物的利润为W元，当每件售价为多少元时， 每天的利润最大？最大利润是多少？ 10.(2025·南充)学校计划租用客车送师生到某红色基地，参加主题为“缅怀先烈，强 国有我”的研学活动。请阅读下列材料，并完成相关问题 租车公司有A,B两种型号的客车可供租用，在每辆车满员的情况下，每辆A型客车比每辆 材料 B型客车多载客15人；A型客车载客600人与B型客车载客450人所用的车辆数相同 A型客车租车费用为3200元/辆，B型客车租车费用为3000元/辆。 材料二 优惠方案：租用A型客车m辆，租车费用为(3200-50m)元/辆； 租用B型客车，租车费用打八折 租车公司最多提供8辆A型客车。 材料三 学校参加研学活动的师生共有530人，租用A,B两种型号客车共10辆 (1)A,B两种型号的客车每辆载客量分别是多少人？ (2)本次研学活动中，学校的最少租车费用是多少？参考答案与提示 轴为直线x=3。抛物线的开口向下，且1<2，抛 交点分别为A,R,A是，0，B0,2。当0时， 物线上的点C(m,y2)离对称轴的距离小于点B离对 称轴的距离，即lm-31<5-2。.1<m<5。 有0≤m≤-是。n=m+hm+2,该函数图象的对称 9.解：(1)当m=时，点A(1,m),B(3,n)的 纵坐标相等，由抛物线的对称性可得，抛物线的对称 轴为直线m=专0。当m>号，即m≥0>专时，n随 轴为直线=1+3=2.1=2。c=2,抛物线与y轴交 2 n的增大而减小。当0时，有是≤m≤0。n=m+ 点的坐标为(0,2)。(2)点(1，m),(3,n)! m+2,该函数图象的对称轴为直线m=号0。当 在抛物线y=ac2+bx+c(心0)上，'.a+b+c=m,9a+3b+c= n。,m<n<c,∴.a+b+c<9a+3b+e<c。解得-4a<b<-3a。 m<今，即m≤0<气，n随m的增大而增大。 3xk品品即是2，点1，m 3二次函数的应用（第1课时）】 点(xo,m)(o≠1)在抛物线上，由抛物线的对称性 1)422y+2+3 3.D4.C 可得，对称销为直线空。心号<学2。解得 5.解：(1)把A(1,-2)和B(0,-5)代人y=x 2<xK3。∵6的取值范围为2<o<3。 1+b+c=-2, b=2, +bx+c,得 解得 .二次函数的表达 10.解：(1)：抛物线y=-x2+bx的顶点横坐标为 c=-5。 c=-5。 分，2的厦点微坐标为1，冷1l。-4 式为y=x2+2x-5。将其配方，得y=(x+1)2-6。.顶点坐 标为(-1，-6)。(2)y≤-2，.满足该条件的抛 (2)点A(x1,）在抛物线y=-x2+2x上，·y=-x2+ 物线上的点在过点(0，-2)且平行于x轴的直线y=-2 21。由(1)可得抛物线y=-x2+bx=-x2+4x。B(x1+t, 的下方（包括直线y=-2与抛物线的交点）。：点 y1+h)在抛物线y=-x2+4x上，y1+h=-(x1+t)P+4(x1+t)。 A(1,-2)关于对称轴直线x=-1的对称点为C(-3,-2), 整理，得h=1-x子-2xt-件4+4。将1=-x42,代人，.当y≤-2时，x的取值范围是-3≤x≤1。 得h=x2-2x1-x2-2xt-f+4x+4t。h=--2xt+2x+4t。① 6.解：(1)B0=4m,.抛物线L,的顶点B的 :h=3t,3t=-f-2xt+2x+41。t(t+2)=t+21。x1≥0，坐标为(0,4)。设抛物线L1的函数表达式为y=2+ t>0,t+2x>0。t=1。:∵h=3。②将x=t-1代人h=-- 4,AC=16m,点A,C关于y轴对称，A(-8,0), 2+2巾，得h=-348-2-3号+9-3 C(8,0)。将C(8,0)代人y=2+4,得0=64a+4。 0,小该两数图象的开口向下，六当=号即专 6。e64。 (2)由(1)得抛物线L, 1号时，么有最大值 的函数表达式=64，MN/AC,MPLAC.NOL 39 是 12.y=-x2+x+2(答案不唯一)13.-4≤ AC,NQ=号m,且地物线L的函数表达式为y y≤514.C15.A16.A -6(x-4,设点N,Q的坐标分别为(m,1,m, 17.解：(1)-2(2)：平移函数y=-x2+2的图 象，在这个过程中，它的顶点都在一次函数y=k+2的 以，是.即名4m4,垫建， 图象上，设平移后的函数图象的顶点P的横坐标为m, 得m2-12m+36-0。解得m=m2=6。.MN=2×6=12(m)。 则平移后的顶点为(m,km+2),∴.平移后的函数表达 7.解：(1)设抛物线的函数表达式为y=a(x-h)+ 式为y=-(x-m)2+hm+2。当x=0时，该抛物线与y轴交 k,由题意知，A(0,0.8)是抛物线的顶点，h=0,= 点的纵坐标n=-m+km+2。 0.8,即y=x2+0.8。由题意知，点(4,0)在抛物线y= ①若k=2,则n=-m2+2m+2=-(m-1)2+3。.n是关 a2+0.8上，将x=4,y=0代人y=a2+0.8,得16a+0.8= 于m的二次函数，二次函数的开口向下，对称轴为直 0。解得a=-0.05。∴.抛物线的函数表达式为y=-0.05x2+ 线m=1。当m=3时，n=-(3-1)2+3=-1,当m=1时， 0.8。 n=3,.当0≤m≤3时，n的取值范围是-1≤n≤3。② (2)设平移后的函数表达式为y'=0.052+0.8+m,将 (a)(b)提示：：函数y=kx+2的图象与x轴、y轴的 点B(2,0.35)的坐标代入y'=0.052+0.8+m,得-0.05× 23 数学 九年级上册（北师大版） 22+0.8+m=035。解得m=0.25。∴.儿童软弹玩具枪在 6.解：如图，延长HG,KG分别交AD,AB于点 竖直方向应该向下平移0.25m。 M,N。 (3)设0A=式，则抛物线的函数表达式为y=0.05x2+ (1).四边形ABCD和四 t。由题意知，点P的坐标为(4.4,0.3)，点V的坐标 边形GHCK是矩形，.MH∥ 为(4.6,0.3)，要使软弹能够落在长方体盒子里，即抛 DC,KN∥AD。G是EF的中 物线与线段PV相交。∴.将点P(4.4,0.3)的坐标代人 点，器别1。M是A6 y=-0.05x2+t,得-0.968+1=0.3。解得t=1.268。将点N (4.6,0.3)的坐标代人y=-0.05x2+t,得-1.058+t=0.3, 的中点。MG=7AE=30m。 第6题答图 解得t=1.358。∴.要使软弹能够落在长方体盒子里，儿 童软弹玩具枪发射口距地面的高度OA的取值范围为 同理，G=分1=20m。Sea=G-kG=(200-30) 1.268≤0A≤1.358。 ×(160-20)=23800(m2)0 8.解：以桥面横截面为x轴，以主缆垂度所在的 (2)设MG=xm,则GH=(200-x)m。:MG∥AE, 直线为y轴建立平面直角坐标系，则抛物线顶点坐标 易得△MG△AE。兴-形即兴-六 40=609 为(0,0.0015)，可设该抛物线的表达式为y=2+ 0.0015。由题意，知抛物线经过点(0.85,0.18)，则 W=号，M=40号。KG=160-40-号x=I20t 018=-085a40015。解得a。该抛物线的表达式 号。See-6HKG=(20-)120+号-号 为0015。 9+2400。当=名2=10，即MG=I0时，Sea取 9.解：(1)由条件可得AD=8,OA=0D=4, A(-4,0)。将点A的坐标代人表达式y=a2+2,得 得最大值，此时M:号×0=9。fG=VmwC 0=16a+2。a日。抛物线的表达式为)=g242 10V13 3 。当点G在EF上且到点F的距离为10y3m 3 (2)AM=MD=1m,.OM=OM,=3。∴.点N,N, 时，公园面积最大。 关于y轴对称。.点N2的横坐标为3。点N2在抛 7.解：(1)如图，过 物线y=g42上，当x3时，y=g×32=3 点P作PE⊥AC于点E, 89 .BP=x,BC=4,.PC=4-x。 =M,N令。2x子=子2，这根材料的长度够 用。 PD∥AB,光=BC CD CP B 第7题答图 3二次函数的应用（第2课时）】 4C=2V3,CD=Y(4-x)。4D=AC-CD=2V3- 2 1.y=-x2+10x(0Kx<10) Y3(4-x)=V3x。在△DCE中，PC=4-x,∠ACB= 2=2w0k21号 2 2 3.2提示：设EF=xcm,EG=ycm,由三角形相 60,m∠ACB=偎，E0sn60Y 2 (4-x)。 似的性质，得)4号。Seea=BG-EF=4-号到 5wp限}Yg4 2 2 2 一子4。当x3时，S取得最大值，此时)2。 （②)由（①得，Sam-音+子=音-2 4.B 3 5.解：0y-号41引39。 之，当时，Sam取得最大值，最大值为号。 (3)0Kx<4。 0,当=多时，函数有最大值是？。演员弹跳时 8.解：(1)x=5时，EF-20-2x=10,EH=30-2x=20。 离地面的最大高度是9m。 (2)当x=4时，y= 3 -2x(EHD)0:xGHCD)-0EFEH-40- (20+30)×5×20+(10+20)×5×60+20x10x40=22000(元)。 4243×4+1=3.4。BC=3.4,.这次表演是成功的。 32 参考答案与提示 (2)EF=20-2x,E=30-2x,=2x2(EH+MD) 天获得的销售利润最大，最大利润为432元。 6.解：(1)观察表中数据可知，每件产品的售价 x20+2xGH+0D)x60+EF-EH40,得y=(30+30- x每增加1元，日销售量均匀地减少1件，故y与x之 2x)·x·20+(20+20-2x)·x·60+(30-2x)(20-2x)·40=400x+ 间是一次函数的关系。.设一次函数表达式为y=kx+ 24000(0<x<10)。 15k+b=25, b,根据题意，得 解得 k=-1, 20k+b=20。 b=40。y-x+40。 （(3)由题意，得S=-2x号(EH+AD)=(30+30- 将表中另外两对数值代人y=-x+40中均满足关系式， 2x)x=-22+60x。同理，Sz=-2x440x。甲、乙两种花 .所求函数表达式y=-x+40,x的取值范围为10≤x≤40。 卉的种植面积之差不超过120m2,.-22+60x-(-2x2+ (2)设每日的销售利润为W,则根据题意，得 40x)≤120。解得x≤6。故0<x≤6。.y=-400x+24000, W=(x-10)y=(40-x)(x-10)=-x2+50x-400。配方，得 k=-400<0,y随x的增大而减小。.当x=6时，y的 W=-(x-25)2+225。a=-1<0,0≤x≤40，.当x=25时， 最小值为21600。.三种花卉的最低种植总成本为 W取得最大值，W最大=225。答：每件产品的销售价为 21600元。 25元时，每日的最大销售利润为225元。 9.解：(1)设与墙垂直的边的长度为xm,则与 7.解：(1)由题意，得R=P(Q1-20)=(-2x+80): 墙平行的边的长度为(60-2x)m。根据题意，得x(60- 2x)=450。解得1=2=15。答：与墙垂直的边的长度为 分430-20=-420+80（1≤x≤20，且x为整数). 15m。 R2=P(Q2-20)=(-2x+80)×(45-20)=-50x+2000(21≤ (2)设与墙平行的边的长度为tm,花圃的面积 x≤30，且x为整数)。 (2)在1≤x≤20，且x为整数时，.R=-(x-10)24 为Sm,则与墙垂直的边的长度为号（60+3+3-)m。 900,a=-1<0,∴.当x=10时，R1取得最大值，R1大= 根据题意，得s号（604343-M=宁42。号c 900。在21≤x≤30，且x为整数时，：在R=-50x+2000 中，k=-50<0,R2的值随x值的增大而减小，.当x= 34363。号<0，当1=3时，S取得最大值。答： 21时，R2大=950。·950>900，.在第21天时，日销 当与墙平行的边的长度为33m时，花圃的面积最大。 售利润最大，最大值为950元。 10.解：(1)把点(2,2.3)，(3,2.6)的坐标 8.解：(1)设y与x之间的关系式为y=kx+b。 代人y=a2+bx+1.1, 4a2h+1.1-2.3,解得 由题意可知，所求一次函数的图象经过点(20,15)和 =-0.1, 9a+3b+1.1=2.6。 =0.8。 (30,12.5),将这两个点的坐标代入y=kx+b,得 1 ∴y与x之间的关系式为y=-0.12+0.8+1.1。 20k+b=15, 4'=4+20。 k=- 解得 1 (2)将函数表达式配方，得y=-0.1x2+0.8x+1.1= 30k+b=12.5。 b=20 0.1(x-4)2+2.7。-0.1<0,.当x=4时，y取得最大 1 值，y最大=27.2.8>27，∴.羽毛球在此次飞行过程 (2)P=(1-20%)x~-4x+20上-0.2+16x。 中，飞行的高度不能达到2.8m。 (3)设销售利润为W万元，则W=0.2x2+16c (3)·,保持羽毛球飞行路线对应的抛物线的形状不 (50+0.2x)-6.2x。整理，得W=-0.22+9.6r-50。将函数 变，=0.1。∴.抛物线对应的函数表达式为=0.12hx+ 配方，得W=-0.2(x-24)2+65.2.0.2<0,.当x=24时， 1.1。当x=5时，y=-0.1x5245k+1.1=5k-1.4。由题意，得 W取得最大值，W最大=65.2。答：原料的质量为24t 5k-1.4>2.1。解得k>0.7。又球的落地点与球网的水平 时，所获销售利润最大，最大销售利润是65.2万元。 距离小于6，.当x=11时，y<0,即y=-0.1×11+11k+ 9.解：(1)(60+10x) 1.1=11k-11<0。解得k<1。.k的取值范围为0.7<<1。 (2)设该款巴小虎吉祥物每件降价x元，根据题 3二次函数的应用（第3课时）】 意，得(40-30-x)(60+10x)=630。整理方程，得x2- 1.15502.253.C4.D 4x+3=0。解得x=1,x2=3。由于要让利于游客，∴x=1 5.解：(1)由题意，得y=(x-30)(162-3x)=-3x2+ 舍去。.该款巴小虎吉祥物每件降价3元时，该文旅 252x-4860。(2)将y=-3x2+252x-4860配方，得 公司每天的利润是630元。 y=-3(x-42)2+432。a=-3<0,.当x=42时，y取得最 (3)设该款巴小虎吉祥物降价x元，则W=(40 大值，y最=432。∴.每件商品的售价定为42元时，每 30-x)(60+10x)=-10x2+40x+600。将二次函数表达式配 数学 九年级上册（北师大版） 方，得W=-10(x-2)2+640。-10<0,.当x=2时，W 为原点，即c=0,此时该函数图象与x轴有两个交点， 取得最大值，W大=640，此时售价为38元/件。答： 这两个交点的横坐标是方程2-4x=0的解，此时该函 售价为38元件时，每天的利润最大，最大利润是640元。 数图象与坐标轴的两个交点是(0,0)和(4,0)。 10.解：(1)设A型客车每辆载客量为x人，则 .c=0或c=4。 B型客车每辆载客量为(x-15)人。根据题意，得 10.()2(2)证明：令0，即号r-m+m-l 公0-架：解得-60。经检绘，0是所到方程的 解，且符合题意。x-15=60-15=45(人)。答：A型客 0。这里a=子，b=m,c=m-山，4=(-m)2-4××m 车每辆载客量为60人，B型客车每辆载客量为45人。 1)=m2-2m+2=(m-1)2+1。(m-1)2≥0，.(m-1)2+1>0。 (2)设租用A型客车m辆，则租用B型客车 .该二次函数的图象与x轴有两个不同的公共点。 (10-m)辆。根据题意，得60m+45(10-m)≥530。解 (3)解：由题意，知= 广-m+m-1的对称轴为 1 得m≥普。m取正整数，m≥6。又：租车公司最 直线=m。>0,9,点A(m+1,）到对称 多提供8辆A型客车，：m≤8。m可取6或7或8。 轴x=m的距离小于点B(m+p,2)到对称轴的距离。 设本次研学活动中，学校的租车总费用为W元，则 lm+l-ml<lm+p-ml,即pl>l。p>l或p<-l。 W=(3200-50m)m+3000×0.8(10-m)=-50m2+800m+ 11.解：(1)抛物线y=2+bx+c的顶点坐标为 24000。将函数配方，得W=-50x(m-8)2+27200。.-50< (3,-4),y=(x-3)2-4=x2-6+5。b=-6,c=5。 0,对称轴为m=8,.当m≤8时，W随着m的增大而 (2)存在。理由：对于抛物线 增大。∴.当m=6时，W取得最小值，W最小=-50x(6- y=x2-6x+5,当y=0,即x2-6x+5=0 8)2+27200=27000(元)。答：本次研学活动中，学校 时，解得x=1,2=5。当x=0时， 的最少租车费用是27000元。 y=5。∴.0B=0C=5,AB=5-1=4。 4二次函数与一元二次方程（第1课时） ∠C0B=90°，∴LOBC=∠0CB=45°。 1.(-4,0)和(1,0)2.x=x=-11(-1,0) 如图，过点B作x轴的垂线，在x 3.y=2横5和-14.B5.C6.D 轴上方的垂线上截取BD=BA=4, 7.解：(1)当y=0时，已知函数图象与x轴的两 连接AD与BC交于点E,则D(5, 个交点的横坐标即为方程ax2+bx+c=0的两个根，由图 第11题答图 4)。∴.∠DBC-=90°-∠0BC=45°= 象可知，方程的两个根为x=1,x=3。 ∠OBC。..BC⊥AD,ED=EA。过点D作BC的平行线 (2)由函数图象知，抛物线的开口向下，对称轴为直 线=2。.当2时，y随x的增大而减小，即y随x的 与抛物线的交点即为点P,S=号BCXAE,SAa 增大而减小时，>2。 [5m+n=0, S△Br。设直线BC的表达式为y=mx+n,则 (3)方程ax2+bx+c=k有两个不相等的实数根，即 n=5。 函数y=2+bx+c(a≠0)的图象与直线y=k有两个交 点，k<2。 m1直线BC的表达式为y=+5。BC/PD, n=5。 8.解：(1)：AB长为xm,则BC的长为(34+ 设直线PD的表达式为y=-x+9,将D(5,4)的坐标代 2-3x)m。由题意，得S=(34+2-3x)x=-3x2+36x。 入，得-5+9=4。解得g=9。.直线PD的表达式为y= (2)由题意，知-3x2+36x=60。整理，得x2-12x+ -x+9。∴.由题意，得x2-6x+5=-x+9。整理，得x2-5x 20=0。解得x=2,x2=10。当x=2时，34+2-3x=30>12, 不符合题意，舍去。当x=10时，34+2-3x=6<12,x= 40。解得54Y百，Y,点P的横垫标 10。.AB的长为10m。 为5+y④或5-YV④年 2 2 9.解：由二次函数图象的性质可知，y=x2-4x+c 的图象与y轴有且只有一个交点(0，c)。分两种情 4二次函数与一元二次方程（第2课时)】 况：①如果(0，c)仅在y轴上，即c≠0时，那么该 1.-132.0.23.C4.A5.B6.A 函数图象与x轴有唯一交点，则方程x2-4x+c=0有两 7.解：(1)y=x2-4x+3=(x-2)2-1,二次函数图 个相等的实数根，此时b2-4ac=(-4)2-4c=0。解得c=4。 象的顶点是(2，-1)。 ②如果(0，c)既在y轴上，又在x轴上，则(0，c) (2)如图所示。