第5章 3 课时2 利用二次函数解决图形面积问题和实物抛物线问题-【勤径学升】2026-2027学年九年级上册数学同步练测教师用书Word（北师大版·新教材）

课时2　利用二次函数解决图形面积问题和实物抛物线问题 二次函数与几何图形的面积问题　　 如图，小明想用长为12 m的栅栏(虚线部分)，借助围墙围成一个矩形花园ABCD，则矩形ABCD的最大面积是(B) A．16 m2 B．18 m2 C．20 m2 D．24 m2 1题图 2题图 3题图 (山西临汾期末)如图，在Rt△ABO中，AB⊥OB，且AB＝OB＝3.设直线x＝t截此三角形所得的阴影部分的面积为S，则S与t之间的函数关系式为(B) A．S＝t(0<t≤3) B．S＝t2(0<t≤3) C.S＝t2(0<t≤3) D．S＝t2－1(0<t≤3) (江苏南通期末)如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10 cm，BC＝8 cm，点P从点A沿AC向点C以1 cm/s的速度运动，同时点Q从点C沿CB向点B以2 cm/s的速度运动(点Q运动到点B停止).在运动过程中，四边形PABQ面积的最小值为(C) A．19 cm2 B．16 cm2 C．15 cm2 D．12 cm2 如图，用总长为21米的篱笆围成一个两面靠墙的矩形菜地ABCD(墙足够长)，并在CD边留一个宽为1米的入口，则当围成的矩形菜地ABCD的面积最大时，篱笆BC的长为11米． 4题图 　　 5题图 如图，ABCD是一块边长为2 m的正方形铁板，在边AB上选取一点M，分别以AM和MB为边截取两块相邻的正方形板料．当AM的长为1m时，截取两块相邻的正方形板料的总面积最小． 二次函数与实物抛物线问题　　 (甘肃中考)如图，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置OM，喷头M向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，按如图所示的直角坐标系，水流喷出的高度y(m)与水平距离x(m)之间的关系式是y＝－x2＋2x＋(x＞0)，则水流喷出的最大高度是(B) A．3 m B．2.75 m C．2 m D．1.75 m 6题图 　　 7题图 (江苏苏州期末)有一拱桥洞呈抛物线状，这个桥洞的最大高度是16 m，跨度为40 m，现把它的示意图(如图)放在平面直角坐标系中，则抛物线的表达式为(B) A．y＝x2＋x B．y＝－x2＋x C．y＝－x2－x D．y＝x2＋x＋16 (广东中考)如图，某跨海钢箱梁悬索桥的主跨长1.7 km，主塔高0.27 km，主缆可视为抛物线，主缆垂度0.178 5 km，主缆最低处距离桥面0.001 5 km，桥面距离海平面约0.09 km.请在示意图中建立合适的平面直角坐标系，并求该抛物线的表达式． 8题图 解：建立平面直角坐标系，如答图所示． 8题答图 则抛物线顶点坐标为(0，0.001 5)，A， 即A(0.85，0.18). 设该抛物线的表达式为y＝ax2＋0.001 5(a≠0)， 将A(0.85，0.18)代入y＝ax2＋0.001 5， 得0.18＝0.852a＋0.001 5，解得a＝， ∴该抛物线的表达式为y＝x2＋0.001 5. (江苏镇江期末)如图，长为20 m，宽为14 m的矩形花圃里建有等宽的十字形小径，若小径的宽不超过1 m，则花圃中的阴影部分的面积有(A) 1题图 A．最小值247 m2 B．最小值266 m2 C．最大值24 m2 D．最大值266 m2 利用长为12 m的墙和40 m长的篱笆来围成一个矩形苗圃园，若平行于墙的一边长不小于6 m，则这个苗圃园面积的最大值和最小值分别为(A) A．168 m2，102 m2 B．200 m2，102 m2 C．200 m2，168 m2 D．160 m2，102 m2 如图，某游乐园要建造一个直径为30 m的圆形喷水池，计划沿水池边安装一圈喷水头，使喷出的水柱距池中心6 m处达到最高，高度为9 m，以水平方向为x轴，喷水池中心为原点建立平面直角坐标系，若要在喷水池中心设计一个装饰物A，使各方向喷出的水柱在此汇合，则这个装饰物设计高度应为(A) A．5 m B．6 m C．7 m D．8 m 3题图 　　 4题图 如图，用篱笆围成了一个梯形储料场ABCD，其中∠C＝90°，墙BA与墙AD的夹角为135°，若围栏BC与CD的总长为24 m，则围成该梯形储料场的最大面积为96m2. 如图，高腾同学在校运会跳高比赛中采用背跃式，跳跃路线是一条抛物线，他跳跃的高度y(单位：m)与跳跃时间x(单位：s)之间具有函数关系y＝－x2＋x＋，那么他能跳过的最大高度为m. 5题图 某游乐园景区内有一块如图所示的矩形油菜花田地(单位：m)，计划修建一条如图中阴影部分所示的观花道，供游人赏花．设改造后观花道的面积为y m2. (1)求y与x之间的函数关系式； (2)若改造后观花道的面积为13 m2，求x的值； (3)若要求0.5≤x≤1，求改造后油菜花田地所占面积的最大值． 6题图 解：(1)由题意，得y＝6×8－2×(8－x)(6－x)＝－x2＋14x(0<x<6)， 故y与x之间的函数关系式为y＝－x2＋14x(0<x<6). (2)由题意，得－x2＋14x＝13，解得x1＝1，x2＝13(不合题意，舍去)，所以x的值为1. (3)设改造后油菜花田地所占面积为S m2，则S＝2×(8－x)(6－x)＝x2－14x＋48＝(x－7)2－1.当0.5≤x≤1时，S的值随着x值的增大而减小，所以当x＝0.5时，S取得最大值41.25，故改造后油菜花田地所占面积的最大值为41.25 m2. [核心素养]甲、乙两人分别站在相距6米的A，B两点练习打羽毛球，已知羽毛球飞行的路线为抛物线的一部分，甲在离地面1米的C处发出一球，乙在离地面1.5米的D处成功击球，球飞行过程中的最高点H与甲的水平距离AE为4米，现以A为原点，直线AB为x轴，建立平面直角坐标系(如图所示).求羽毛球飞行的路线所在的抛物线的表达式及飞行的最高高度． 7题图 解：由题意，得C(0，1)，D(6，1.5)，抛物线的对称轴为直线x＝4.设抛物线的表达式为y＝ax2＋bx＋1(a≠0)，根据题意，得 解得 ∴羽毛球飞行的路线所在的抛物线的表达式为y＝－x2＋x＋1.∵y＝－x2＋x＋1＝－(x－4)2＋，∴飞行的最高高度为 米． 学科网（北京）股份有限公司 $