第五章 2 二次函数的图象-【新课程能力培养】2026-2027学年九年级上册数学同步练习（北师大版·新教材）

数学 九年级上册（北师大版） 二次函数的图象（第1课时） 自主导学Q典例精析 例题已知第三象限的点P(m,-4),Q(-3,n)在抛物线y=-x2上。 (1)求m,n的值 (2)已知点P',Q分别是点P,Q关于x轴的对称点，请你验证点P',Q'在抛物线y=x2上。 【分析】(1)将点P,Q的坐标代入y=-x2即可求出m,n的值。(2)根据(1)求出的 m,n的值，再根据对称的性质，求出点P，Q'的坐标在第二象限，将点P,Q'的坐标代入 y=x2验证即可得到结果。 【解答】(1)点P(m,-4),Q(-3,n)在抛物线y=-x2上， ∴.-4=-m2,n=-(-3)2。解得m=±2，n=-9。 .点P在第三象限，m<0。∴m=-2,n=-9。 (2)由(1)知点P,Q的坐标分别为(-2，-4)，(-3，-9)。 又点P,Q'分别是点P,Q关于x轴的对称点， ∴.点P,Q的坐标分别为(-2,4)，(-3,9)。 对于抛物线y=x2上的点，当x=-2时，y=(-2)2=4,当x=-3时，y=(-3)2=9, ∴P(-2,4),Q'(-3,9)在抛物线y=x2上。 【点拔】抛物线y=x2上任意一点关于x轴的对称点一定在抛物线y=-x2上，反之亦然。 抛物线y=x2与抛物线y=-x2关于x轴对称。 基础巩固飞达标闯关 1.若A},m在抛物线=-上，则点A关于y轴的对称点A'的坐标为 2.抛物线y=x2与直线y=kx-2的一个交点的坐标是(2，m),则m= ,k= 另一个交点的坐标为 3.写出几对在二次函数y=P的图象上，且关于y轴对称的点： (至少写出三对)。 4.若点(-5，)和(-2，y)在函数=x的图象上，则y与2的大小关系为y1 y2(填“>”“<”或“=”)。 5.二次函数y=-x2中，自变量x的取值范围是() A.x取一切实数 B.x≠0 C.x>0 D.x<0 6.下列各点同时在抛物线y=x2与直线y=-x上的是()》 A.(1,1) B.(1,-1) C.(-1,1) D.(-1,-1) 110 二次函数 第五章 7.已知正方形的边长为xcm,它的面积为ycm,那么y与x之间的函数关系的图象大 致是() A B 8已知点A号，m,与其关于x轴对称的点B在抛物线)=上。 (1)求点B的坐标。 (2)过点B作x轴的平行线交抛物线y=x2于点C,求△ABC的面积。 能力提升睡综合拓展 9.在平面直角坐标系中画出二次函数y=-x2的图象，并根据图象回答下列问题。 (山)当x=子时，y的值是多少？请在图象上措出所对应的点。 (2)当y=-4时，x的值是多少？请在图象上描出所对应的点。 (3)当x<-1时，y随x值的增大如何变化？当x>1时，y随x值的增大又如何变化？ 方43-2-012345 -3 4 -5 -8日 第9题图 ⑩ 数学 九年级上册（北师大版） 10.如图，直线y=kx+b与抛物线y=2的交点A,B的横坐标分别为3，-1。 (1)求直线y=kx+b对应的函数表达式。 (2)连接OA，OB,求△ABO的面积。 第10题图 11.已知A(m1,n),B(m2,n2)两点在抛物线=-x2上。 (1)若m=-5,m2=-2,请比较n1与2的大小关系。 (2)若m=-2,m2=5,请比较n1与2的大小关系。 (3)若m=-5,m2=5,请比较n1与2的大小关系。 (4)若m=2,m2=5,请比较n1与2的大小关系。 (5)若m<m2,请比较n1与2的大小关系。 中考链接⊙©真题演练 12.(2024广东)若点(0，y),(1,),(2,y)都在二次函数y=x2的图象上，则 () A.y3>y2>y1 B.y2>y1>y3 C.y>y3>Y2 D.y3>y1>y2 企 二次函数 第五章 二次函数的图象（第2课时） 自主导学Q典例精析 例题 已知抛物线=，把它向下平移得到一条新的抛物线，新抛物线与：轴交于 A,B两点，与y轴交于点C。 (1)若△ABC是直角三角形，那么原抛物线应向下平移几个单位长度？请说明理由。 (2)若△ABC是等边三角形，那么原抛物线应怎样平移？请说明理由。 【分析】(1)根据直角三角形的性质可知OC=OA=OB,进而得出点A和点B的坐标， 代入表达式，解一元二次方程即可。 (2)根据勾股定理先求BC的长，根据等边三角形的性质求出点A和点B的坐标，进而 列方程求解。 【解答】(1)若△ABC是直角三角形，那么原抛物线应向下平 移2个单位长度。理由：如图，设向下平移后的抛物线的表达式为y= 2te(e<0,则点C的坐标为《0，c)。△48C为直角三角形. .OC=OA=OB。.点A的坐标为(c,0),点B的坐标为(-c,0)。 当x=c时，0.2c2+c=0,解得c=-2c0(不符合题意，舍 例题答图 去)。·.原抛物线向下平移2个单位长度后所得的三角形是直角三角形。 (2)若△ABC是等边三角形，那么原抛物线应向下平移6个单位长度。理由：设向下平 移后的抛物线的表达式为=？+e(c<0),则点C的坐标为(0，c)。△ABC为等边三角形， OA-0B=30C。A5c,0,-Y3c,0。当=±Ye时，0。× 3 3 3 3 e+=0,解得c=-6,6:=0(不符合题意，舍去)。原抛物线向下平移6个单位长度 后所得三角形是等边三角形。 【点拨】本题考查了函数y=ax2(a≠0)的图象沿y轴的平移变化。平移时要抓住“上加 下减”的规律，设好平移后的表达式，再利用题目中已知图形的性质确定图象上某一特殊点 的坐标，代入预设表达式中求出字母系数，问题即可解决。 基础巩固飞)达标闯关 1.函数y=4x2-3的图象的开口 ，对称轴是 2.二次函数y=(k+2)x2的图象有最高点，则k的取值范围是 数学 九年级上册（北师大版） 3.抛物线y子+5的顶点坐标是 它与抛物线 的形状、开口方向和大 小相同。 4.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+3与y轴交于点A, 过点A与x轴平行的直线交抛物线=了2于点B,C,则BC的长为 第4题图 5.二次函数y=-x+1的图象与x轴交于A,B两点，与y轴交于点C。下列说法中，错 误的是() A.△ABC是等腰三角形 B.点C的坐标是(0,1) C.AB的长为2 D.y随x的增大而减小 6.当ab>0时，y=ax2与y=ax+b的图象大致是（) 7.已知函数y=-+2,=22+号，y=2-1,y=2-4的图象如图所 3 示，其序号的排列顺序与已知四个函数依次对应正确的是() A.①②③④ B.①③②④ C.②①④③ D.①②④③ 第7题图 8如图是一个抛物线形撰桥，拱桥的横裁面是抛物线)了？的一部分。桥下有一条小 河，拱桥的水面宽4m。 (1)拱桥顶点0距水面多少米？ (2)水面下降1m后，桥下水面宽多少米？ 第8题图 在 二次函数 第五章 9.某市在新年大型庆典活动现场安装了一个抛物线形彩虹门（门的厚度不计），如果以 过彩虹门的两个着地点所在直线为x轴，以过彩虹门的最高点且垂直于地面的直线为y轴建 立平面直角坐标系，则彩虹门可以近似地看成抛物线y=-1.1x2+4.4的一部分。 (1)在平面直角坐标系中画出抛物线形彩虹门的草图。 (2)现有一辆宽为2.4m、高为2.6m的彩车欲从彩虹门中间通过，请根据图象判断这 辆彩车能否通过彩虹门。 y 书210 第9题图 10.如图，已知射线OB分别与二次函数y1=ax2,y2=bx2的图象交于点A,B,且OB= 40A。请探究a与b之间的数量关系。 第10题图 1.如图，点A,B在=42的图象上。已知点A,B的横坐标分别为-2,4，直线AB 与y轴交于点C,连接OA,OB。 (1)求直线AB对应的函数表达式。 (2)求△AOB的面积。 (3)若函数)=子r的图象上存在点P,使Sa=7S△，则这样的点P共有 -20 第11题图 中考链接⊙©真题演练 12.(2025·上海)抛物线y=3x2向下平移两个单位长度所得的抛物线表达式为 13.(2023·广州)已知点A(1,y),B(x2,y2)在抛物线y=x2-3上，且0<x<2,则y 2(填“<”“”或“=”)。 115 数学 九年级上册（北师大版） 二次函数的图象（第3课时） 自主导学Q典例精析 例题将经过点A(-2,-8)的抛物线y=ax2向右平移3个单位长度得到抛物线P。 (1)求抛物线P的表达式，并指出抛物线P的顶点坐标和对称轴。 (2)对于抛物线P,当自变量x取何值时，y的值随着x值的增大而增大？ 【分析】(1)将点A的坐标代入y=a即可求出a的值，再由抛物线向右平移3个单位 长度，得到抛物线P的表达式及顶点的坐标和对称轴。(2)由抛物线P的开口方向和对称 轴，即可求出y随着x的增大而增大时，自变量x取何值。 【解答】(1)抛物线y=a2过点A(-2,-8),∴.-8=4a。∴.a=-2。 .抛物线y=-2x2向右移动3个单位长度得到抛物线P,∴.抛物线P的表达式为y=-2(x-3)2。 .抛物线P的顶点坐标为(3,0)，对称轴为直线x=3。 (2)a=-2<0,∴.抛物线P的开口向下。∴.当x<3时，y的值随着x值的增大而增大。 【点拨】二次函数y=a(x-h)2的图象与二次函数y=ax2的图象开口方向、大小相同，只是 顶点的位置不同。它由二次函数y=ax2的图象平移个单位长度得到，平移规律是：当h>0 时，二次函数y=a2的图象向右平移h个单位长度；当h<0时，二次函数y=ax2的图象向左 平移个单位长度。 基础巩固飞)达标闯关 1.将抛物线y=5x2向右平移4个单位长度，所得新抛物线的表达式为 0 2.若二次函数y=3(x-2)2的图象上有两点A(1,y),B(-2,y2),则y1,y2的大小关系是 3.在平面直角坐标系中，将抛物线=-2x+ 2 向左平移1个单位长度，再绕着顶点旋 转180°后，得到的抛物线表达式是 4,若二次函数图象的顶点P的坐标为(-1,0)，它与抛物线y=了2的开口大小相同、 方向相反，则这个二次函数的表达式为() A=3x-1 B.y=3(x+1户 C.y-) D.=-}(+1 5.已知点(2，y),(5,2),(7,)都在二次函数y=-2(x-3)2的图象上，则y1,, y3的大小关系是() A.y1>y2>y3 B.y1>y3>y2 C.y2>y1>y3 D.yy2>y 1 16 二次函数 第五章 6.二次函数y=a(x-2)2的图象与直线y=2x-1交于点P(1,m)。 (1)求二次函数的表达式，并写出该函数图象的顶点坐标和对称轴。 (2)指出随着x值的增大，y的值怎样变化，必要时可画草图验证。 能力提升坤综合拓展 7.已知顶点为A的抛物线)=(-5)2与y轴交于点B,过点B作x轴的平行线交抛物线 于另外一点C,连接AB,AC。试判断△ABC的形状并说明理由。（必要时可画草图解答） 8.如图，已知抛物线y=a(x-h)2的图象与直线y2=-x-1交于x轴上的点A、第三象限内 的点B(1,-2),与y轴交于点C。 (1)求抛物线的表达式及点C的坐标。 (2)根据图象写出当y>y2时，自变量x的取值范围。 第8题图 9.如图，在平面直角坐标系中，已知点A(3,2),B(4,2),若将抛物线y=2x2向右平移 d(d>0)个单位长度后与线段AB(含端点)有交点，求d的取值范围。 2 A B -2-101234x 第9题图 在 数学 九年级上册（北师大版） 二次函数的图象（第4课时） 自主导学Q典例精析 例题 已知二次函数y=x-1户 2 (1)确定抛物线的开口方向、顶点坐标和对称轴，当x为何值时，y有最大值或最小值？ (2)在同一坐标系中，画出函数y=和y}(-1+号的图象，并说明抛物线 号(x-1户+号是由抛物线)怎样平移得到的。 (3)根据抛物线)=号(x-14号回答：x取何值时，y的值随着x值的增大而增大？x 取何值时，y的值随着x值的增大而减小？ 【分析】(1)利用顶点式y=a(x-h)+k即可直接确定。(2)利用描点法画出两个函数的 图象，再根据两个抛物线顶点的位置关系进行说明。(3)结合y=号(x-1)+号的图象的开 口方向和对称轴可得出其增减性。 【解答】（①=0，抛物线的开口方向向下， 顶点坐标为1，号，对称辅为直线=1。 (x-1)9 所以当x=1时，y有最大值，最大值为9 4-32、23456x -3 (2)如图所示，抛物线)=号2向右平移1个单位长度，再 -4 -5 向上半移号个单位长度可得到)=了(-1产号的图象。 例题答图 (3)当<1时，y的值随着x值的增大而增大；当x>1时，y的值随着x值的增大而减小。 【点拨】此题主要考查二次函数形如y=ax2,y=a(x-h)2,y=a(x-h)2+k(a均不等于0)的 图象之间的关系，以及对y=a(x-h)2+k的图象和性质的理解和掌握。 基础巩固)达标闯关 1.抛物线=3x+写+的顶点坐标为 ,它的一般形式为 2.将抛物线y=-3(x-2)2+1先向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，则平 移后的抛物线的函数表达式为 8 二次函数 第五章 3.如图，抛物线的顶点P的坐标是(1，-3)，则此抛物线对应的二次函 数有() A.最大值1 B.最大值-3 C.最小值-3 D.最小值1 第3题图 4.在平面直角坐标系中，将抛物线y=x2+2x-1先向左平移2个单位长度，再向下平移5 个单位长度，所得到的抛物线的表达式是() A.y=(x-3)2-7 B.y=(x+3)2-7 C.y=(x+3)2+7 D.y=(x-1)2+5 5.将二次函数y=x的图象平移或翻折，使其经过点(2,0)，有下列四种方法：①向右 平移2个单位长度；②向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度：③向下平移4个 单位长度；④沿x轴翻折，再向上平移4个单位长度。上述方法正确的个数为() A.1 B.2 C.3 D.4 6.确定下列二次函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标。 (1)y=3(x-4)2-2; @=g+3月： (3)y=2x2+4x+6; 4)=+3-2。 7.已知抛物线y=-x2-2x+1,根据下列条件，求新抛物线的表达式。 (1)将已知抛物线向左、向下都平移3个单位长度。 (2)新抛物线与已知抛物线关于y轴对称。 ⑩ 口数学 九年级上册（北师大版） 能力提升螂综合拓展 8.已知点A(1,0)在抛物线y=-x2+bx-5上。 (1)求b的值。 (2)将此抛物线向左平移n(n>0)个单位长度，设平移过程中抛物线与y轴的交点为 D(0,d),求d的最大值。 (3)若点B(5,y),C(m,y2)在该抛物线上，且y<y2,求m的取值范围。 9.在平面直角坐标系xOy中，点(1，m),(3,n)在抛物线y=ax2+bx+c(a>0)上，设 抛物线的对称轴为直线x=t。 (1)当c=2,m=n时，求抛物线与y轴交点的坐标及t的值。 (2)点(xo,m)(xo≠1)在抛物线上，若m<n<c,求t的取值范围及的取值范围。 10.已知抛物线P1:y=-x2+bx(b为常数)与抛物线P2:y=-x2+2x,且抛物线P的顶点横 坐标比抛物线P的顶点横坐标大1。 (1)求b的值。 (2)点A(x1,y1)在抛物线=-x2+2x上，点B(x1+t,y+h)在抛物线y=-x2+bx上。 ①若h=3t,且x1≥0，t>0,求h的值； ②若x1=t-1,求h的最大值。 @ 二次函数 第五章 中考链接©真题演练 卡多多 11.(2025·徐州)二次函数y=x2+x+1的最小值为 12.(2025·广东)已知二次函数y=-x2+bx+c的图象经过点(c,0),但不经过原点，则 该二次函数的表达式可以是 。(写出一个即可) 13.(2025·盐城)已知二次函数y=x2-2x-3,当自变量x满足0≤x≤4时，y的取值范围 是 14.(2025.安徽)已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示， 则() A.abc<0 B.2a+b<0 C.2b-c<0 D.a-b+c<0 第14题图 15.(2025·福建)已知点A(-2,y1),B(1,y2)在抛物线y=3x2+bx+1上，若3<b<4,则 下列判断正确的是() A.1<y1<y B.y1<1<y2 C.1<y2<y1 D.y<1<y1 16.(2025·广州)在平面直角坐标系中，两点A(x1,y1),B(2,y2)在抛物线y=ax2-2ax (a>0)上，则下列结论中正确的是() A.当x1<0且yy2<0时，0<x2<2 B.当x1<x2<1时，y1<y2 C.当<0且yy2>0时，0<x<2 D.当x1>x2>1时，y1<y2 17.(2025·南京)(1)将函数y=-x2+2的图象向右平移2个单位长度，平移后的函数图 象与y轴交点的纵坐标是 (2)平移函数y=-x2+2的图象，在这个过程中，它的顶点都在一次函数y=kx+2的图象 上。设平移后的函数图象的顶点P的横坐标为m,与y轴交点的纵坐标为n,n随m的变化 而变化。 ①若k=2,，当0≤m≤3时，求n的取值范围。 ②设函数y=kx+2的图象与x轴、y轴的交点分别为A,B,点P在线段AB上。当k取 不同的值时，有下列关于n的变化趋势的描述：(a)n随m的增大而增大；(b)n随m的 增大而减小；(c)n随m的增大而先增大后减小；(d)n随m的增大而先减小后增大。其 中，所有可能出现的序号是参考答案与提示 10.解：(1)在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3, BC=4,由勾股定理，得AB=5。∴.△ABC的周长=AB+ SntSmx3x16 BC+AC=12。EF平分△ABC的周长，AF=6-AE,即 11.解：(1)m=-5,m2=-2,∴n1=-25,n2=-4。 y=6-x。∴y与x之间的关系为y=6-x,x的取值范围是 ,1<n2。(2)m=-2,m2=5,.n=-4,n2=-25。∴n> 0Kx<3。 2o(3)7m1=-5,m2=5,.∴n1=-25,2=-25。.n1=2。 (2)如图，过点F作FD⊥AC于 (4)m=2,m2=5,n1=-4,n2=-25。n>20(5)由 点D,∠C90°，∠ADF=∠C。. 题意，抛物线y=-x的对称轴是y轴，开口方向向下， FD∥BC。.∠AFD=∠B。.△ADFM 函数图象上的点到y轴的距离越小，即横坐标的绝对值 △AcB。6-。MB=5c 越小，其函数值越大。共分三种情况：①当lm>bm时， nu<2;②当lml=m时，n=n2;③当mklmF时，n>nzo 4,AF=6-,m=号(6-)。S= 12.A 24m-×号6-=号号 第10题答图 2二次函数的图象（第2课时）】 51 t。 1向上y轴2.-23(0,5)y子2（答 11.D 2二次函数的图象（第1课时）】 案不唯)4.65.D6.C7.B 8.解：(1)设抛物线形拱桥与水面的交点为A, 1分4)2431，)3答案不唯 B(点A在点B的左边)，水面宽4m,.点B的横 一，如(1,1)与(-1,1)，(2,4)与(-2,4)， (3,9)与(-3,9)4.>5.A6.C7.B 坐标为2。当=2时，222-2，拱桥顶点0距 8解：()由对称性，得点A子，m关于 水面2m。(2)水面下降1m后，此时水面距离拱桥 轴的对称点B的坐标为子，m。又？点B在抛物 顶点0为3m,=3,即-73。解得=V6。 .水面与抛物形拱桥的两个交点的坐标为(-V6,-3) 线=上，m=多。m-是。六点B的坐标为 和(V6,-3)。.此时桥下水面的宽为2V6m。 (子，是）。(2)由题意知，点B子，是与点 答：水面下降1m后，桥下水面宽2V6m。 9.解：(1)画出抛 C关于y轴对称，点C的坐标为3，是)。BC=3。 物线形彩虹门的草图如 5mx3x2-7 图所示。 (2)当x= 4 4 24=12时，y=-1.1× 9解：画图象略。①)当子时，)=号号。 1.22+4.4=2.816>2.6,故 描点略。(2)当y=-4时，即-4=-x2。.x=±2。描点 3 210 这辆彩车能通过彩虹门。 略。(3)当x<-1时，y随x值的增大而增大；当 10.解：分别过点 第9题答图 x>1时，y随x值的增大而减小。 A,B作AE⊥x轴于点E,BF⊥x轴于点F,则AE∥ 10.解：(1)将点A,B的横坐标分别代人表达 BF。∴.∠AEO=∠BFO。∠AOE=∠B0F,.△AOE 式y=x2,当=3时，y=9,当x=-1时，=1。A,B是 3+69:解得=2， 直线与抛物线的交点，一一k+b=1。 △B0R。器=器-8品。0=404，器=品 ..y=kx+ b=3。 b对应的函数表达式为y=2x+3。 8品日。设点4的坐标为 (2)如图，过点A作AE⊥y轴于 (m,n),.点B的坐标为 点E,过点B作BF⊥y轴于点F, (4m,4n)。点A,B分别在 设直线AB交y轴于点C。由(I) 二次函数y=a2,2=bx2的图象 知，A(3,9),B(-1,1)AE=3, 上，am2=n,b·(4m)2=4n。 BF=1。对于y=2x+3,令x=0,则 十0 4nm。4b。 第10题答图 y=3,点C的坐标为(0,3)。 第10题答图 2 数学 九年级上册（北师大版） 11.解：(1)~点A,B在y=子的图象上，且 (-1,0)。:抛物线y1=a(x-h)2的图象与直线y2=-x-1 交于x轴上的点A,点A是抛物线y=a(x-h)P的顶 横坐标分别为-2,4，当x=-2时，=子×(-2)1： 点。h=-1。抛物线y1=a(x+1)2的图象过点B(1, 当x=4时，=×4=4.1(-2,1)，B(4,4)。设直 -2),-20(1+1以。a7。地物线的表达式为 -2k+b1,解得 =7x+1只。：二次函数=号 (x+1)2,.当x=0 线AB对应的函数表达式为y=kx+b, 4h+b=4。 k= 时，=3。点C的坐标为0， (2)根据 2'直线AB对应的函数表达式为=7+2。 图象得，当y>y2时，-1<x<1。 b=2。 9.解：将抛物线y=2x2沿x轴向右平移d(d>0) (2)对于)=号+2，令x=0,则)=2。点C的坐标为 个单位长度后，得到y=2(x-d)2。把A(3,2)的坐标 (0,2)。0C=2。SAn=SA0c+SAe=号x2x(2+4)=6。 代入表达式，得2=2(3-d)2。解得d=2或d=4。把 2 B(4,2)的坐标代入表达式，得2=2(4-d)2。解得d=3 (3)4提示：：SAn=2S△M,且△PAB和△AOB 或d=5。∴.若使y=2(x-d)2与线段AB(含端点)有交 点，d的取值范围是2≤d≤3或4≤d≤5。 有同底AB,.△PAB的高是△AOB的高的一半。过 2二次函数的图象（第4课时） OC的中点，作AB的平行线交抛物线于点P,P2,再 作直线PP关于直线AB的对称直线，交抛物线于点 1号-32+22y-34143 6 P,P4,∴.这样的点P共有4个。 3.C4.B5.D 12.y=3x2-213.< 6.解：1)开口向上、对称轴为直线x=4、顶点 2二次函数的图象（第3课时） 坐标为(4，-2)。 (2)开口向下、对称轴为直线 1)5x4P23-2+2}4D5A 3、顶点坐标为7，多 (3)将函数化为y= 6.解：(1)二次函数y=a(x-2)2的图象与直线 2(x+1)2+4,开口向上、对称轴为直线=-1、顶点坐标 y=2x-1交于点P(1,m),.将点P的坐标代入y=2x-1 为(-1,4)。 中，得m=2×1-1=1。.点P的坐标为(1,1)。将点P 〔4)将函数化为)-女多广， 的坐标代人y=a(x-2)2中，得1=ax(-1)2。∴a=1。.二 开口向下、对称轴为直线一子、顶点坐标为受，一名。 次函数的表达式为y=(x-2)2。该函数图象的顶点坐标 为(2,0)，对称轴为直线x=2。(2)a=1>0,二 7.解：y=-x2-2x+1=-(x+1)2+2,.已知抛物线的 次函数的图象开口向上，对称轴为直线x=2,.当>2 顶点坐标为(-1,2)。(1)将点(-1,2)向左、向 时，y的值随着x值的增大而增大；当x<2时，y的值 下都平移3个单位长度到达点(-4，-1)，因此所求抛 随着x值的增大而减小。 物线的顶点为(-4，-1)。新抛物线的表达式为y= -(x+4)2-1,即y=-2-8x-17。(2)新抛物线与 7.解：△ABC是等腰直角三角形。理由：抛物线 号x-5炉的厦点为A5,0,令x=0,则)-5，六抛 已知抛物线关于y轴对称，∴.已知抛物线的顶点为 (-1,2)。与新抛物线的顶点关于y轴对称。.新抛物 物线与y轴交点B为(0,5)，对称轴为直线x=5。 线的顶点坐标为(1,2)。∴新抛物线的表达式为y= :BC∥x轴，点C与点B关于直线x=5对称。AB= -(x-1)2+2=-x2+2x+1。 AC,点C的坐标为(10,5)。.OA=0B=5,BC=20A= 8.解：(1)A(1,0)在抛物线y=-x2+bx-5上， 10。在Rt△AOB中，由勾股定理，得AB=V2OA= -1+b-5=0。解得b=6。(2)由(1)知，抛物线的 5V2。在△ABC中，AB2+AC=2AB=100,BC=100, 表达式为y=-x2+6x-5=-(x-3)2+4,∴.抛物线的开口向 AB+AC=BC。∴.△ABC是直角三角形。又AB=AC, 下，顶点坐标为(3,4)。该函数的最大值为4。抛 .△ABC是等腰直角三角形。 物线在平移过程中，最大值不变，当抛物线的顶点在 8.解：(1)当y2=0时，x=-1,则点A的坐标为 y轴上时，d取最大值4。(3)由(1)知，抛物线 的表达式为y=-x246x-5=-(x-3)2+4,.抛物线的对称 参考答案与提示 轴为直线x=3。抛物线的开口向下，且1<2，抛 交点分别为A,R,A是，0，B0,2。当0时， 物线上的点C(m,y2)离对称轴的距离小于点B离对 称轴的距离，即lm-31<5-2。.1<m<5。 有0≤m≤-是。n=m+hm+2,该函数图象的对称 9.解：(1)当m=时，点A(1,m),B(3,n)的 纵坐标相等，由抛物线的对称性可得，抛物线的对称 轴为直线m=专0。当m>号，即m≥0>专时，n随 轴为直线=1+3=2.1=2。c=2,抛物线与y轴交 2 n的增大而减小。当0时，有是≤m≤0。n=m+ 点的坐标为(0,2)。(2)点(1，m),(3,n)! m+2,该函数图象的对称轴为直线m=号0。当 在抛物线y=ac2+bx+c(心0)上，'.a+b+c=m,9a+3b+c= n。,m<n<c,∴.a+b+c<9a+3b+e<c。解得-4a<b<-3a。 m<今，即m≤0<气，n随m的增大而增大。 3xk品品即是2，点1，m 3二次函数的应用（第1课时）】 点(xo,m)(o≠1)在抛物线上，由抛物线的对称性 1)422y+2+3 3.D4.C 可得，对称销为直线空。心号<学2。解得 5.解：(1)把A(1,-2)和B(0,-5)代人y=x 2<xK3。∵6的取值范围为2<o<3。 1+b+c=-2, b=2, +bx+c,得 解得 .二次函数的表达 10.解：(1)：抛物线y=-x2+bx的顶点横坐标为 c=-5。 c=-5。 分，2的厦点微坐标为1，冷1l。-4 式为y=x2+2x-5。将其配方，得y=(x+1)2-6。.顶点坐 标为(-1，-6)。(2)y≤-2，.满足该条件的抛 (2)点A(x1,）在抛物线y=-x2+2x上，·y=-x2+ 物线上的点在过点(0，-2)且平行于x轴的直线y=-2 21。由(1)可得抛物线y=-x2+bx=-x2+4x。B(x1+t, 的下方（包括直线y=-2与抛物线的交点）。：点 y1+h)在抛物线y=-x2+4x上，y1+h=-(x1+t)P+4(x1+t)。 A(1,-2)关于对称轴直线x=-1的对称点为C(-3,-2), 整理，得h=1-x子-2xt-件4+4。将1=-x42,代人，.当y≤-2时，x的取值范围是-3≤x≤1。 得h=x2-2x1-x2-2xt-f+4x+4t。h=--2xt+2x+4t。① 6.解：(1)B0=4m,.抛物线L,的顶点B的 :h=3t,3t=-f-2xt+2x+41。t(t+2)=t+21。x1≥0，坐标为(0,4)。设抛物线L1的函数表达式为y=2+ t>0,t+2x>0。t=1。:∵h=3。②将x=t-1代人h=-- 4,AC=16m,点A,C关于y轴对称，A(-8,0), 2+2巾，得h=-348-2-3号+9-3 C(8,0)。将C(8,0)代人y=2+4,得0=64a+4。 0,小该两数图象的开口向下，六当=号即专 6。e64。 (2)由(1)得抛物线L, 1号时，么有最大值 的函数表达式=64，MN/AC,MPLAC.NOL 39 是 12.y=-x2+x+2(答案不唯一)13.-4≤ AC,NQ=号m,且地物线L的函数表达式为y y≤514.C15.A16.A -6(x-4,设点N,Q的坐标分别为(m,1,m, 17.解：(1)-2(2)：平移函数y=-x2+2的图 象，在这个过程中，它的顶点都在一次函数y=k+2的 以，是.即名4m4,垫建， 图象上，设平移后的函数图象的顶点P的横坐标为m, 得m2-12m+36-0。解得m=m2=6。.MN=2×6=12(m)。 则平移后的顶点为(m,km+2),∴.平移后的函数表达 7.解：(1)设抛物线的函数表达式为y=a(x-h)+ 式为y=-(x-m)2+hm+2。当x=0时，该抛物线与y轴交 k,由题意知，A(0,0.8)是抛物线的顶点，h=0,= 点的纵坐标n=-m+km+2。 0.8,即y=x2+0.8。由题意知，点(4,0)在抛物线y= ①若k=2,则n=-m2+2m+2=-(m-1)2+3。.n是关 a2+0.8上，将x=4,y=0代人y=a2+0.8,得16a+0.8= 于m的二次函数，二次函数的开口向下，对称轴为直 0。解得a=-0.05。∴.抛物线的函数表达式为y=-0.05x2+ 线m=1。当m=3时，n=-(3-1)2+3=-1,当m=1时， 0.8。 n=3,.当0≤m≤3时，n的取值范围是-1≤n≤3。② (2)设平移后的函数表达式为y'=0.052+0.8+m,将 (a)(b)提示：：函数y=kx+2的图象与x轴、y轴的 点B(2,0.35)的坐标代入y'=0.052+0.8+m,得-0.05× 23