第五章 1 认识二次函数-【新课程能力培养】2026-2027学年九年级上册数学同步练习（北师大版·新教材）

二次函数 第五章 第五章 二次函数 知识网络 现实生活中变量之间的关系 二次函数定义 二次函数的图象与性质 二次函数 利用二次函数解决生活中的问题 二次函数与一元二次方程之间的关系 问题解决活动：怎样围面积最大（应用二次函数解决实际问题） 认识二次函数 自主导学Q典例精析 例题 某经销商销售凤梨，根据以往销售经验，每天的售价与销售量之间有如下 关系： 每天的售价1（元/kg) 40 39 38 37 每天的销售量kg … 60 65 70 75 … 已知凤梨的进货价为20元/kg,设售价从40元/g下调了x(元)时，每天销售凤梨所 获利润为W(元)，请写出该经销商每天销售凤梨的利润W(元)与下调的金额x(元)之 间的函数关系式。W是x的二次函数吗？如果是，请指出各项的系数；如果不是，请说明 理由。 【分析】由表格所列出的每天售价与销售量之间的关系，可知凤梨每降价1元，每天的 销售量增加5kg,若降价x元，则每天的销售量增加5xkg,再根据利润=（售价-成本）×销售 量，即可求出W(元)与下调的金额x(元)之间的二次函数关系式。将二次函数化为一般 式后即可求出二次项系数、一次项系数和常数项。 【解答】根据题意，知W=(40-x-20)(60+5x),即W=-5x2+40x+1200。W是x的二次函 数，其中二次项系数为-5，一次项系数为40，常数项为1200。 【点拨】此题主要考查根据实际问题表示简单变量之间的二次函数关系以及对二次函数 概念的理解。列这类商品销售问题的函数关系式时，首先应该求出商品售价与销售量之间的 10 数学 九年级上册（北师大版） 关系，然后根据“利润=（售价-成本）×销售量”的基本数量关系，即可求出所获利润与商品 售价之间的函数关系式。判断一个函数属于哪种特殊函数时，首先要把函数表达式化为一般 形式，然后根据函数的特征判断它是哪类函数。 基础巩固飞达标闯关 1.某中学想在一片空地上修建一个长是宽的2倍的矩形花坛，如果花坛的宽用α表示，长 用b表示，则b与a之间的关系式为 ，它的面积S与a之间的关系式为 S与b之间的关系式为 2.已知正方形的边长为5，在正方形中间挖去一个半径为r的圆，剩余部分的面积为y, 则y与r之间的关系式为 3.若y=(a+2)x+3x-1是二次函数，则a的值为 4.某工厂今年一月份新产品的研发资金为1000元，以后每月新产品的研发资金与上 月相比增长率都是x,则该工厂今年三月份新产品的研发资金y(元)关于x的函数关系 式为 5.关于x的二次函数的表达式为y=-2x+4x+1,其中二次项系数、一次项系数、常数项 分别是() A.2,-4,-1B.-2,4,1 C.2,-4,1 D.-2,4,-1 6.下列四个选项中都有两个变量，其中变量y与变量x之间是二次函数关系的是() A.铅笔的单价不变，总价y与支数x B.路程一定，列车运行的平均速度y与时间x C.速度一定，列车的行驶路程y与行驶时间x D.正方体的表面积y与它的棱长x 7.下列函数中，一定是二次函数的是() A.y=ax2+x+1 B.y=ax2+1 C.y=(㎡+1)x2 D.y=(ax+1)2 8.如图，将50m长的护栏全部用于建造一块靠墙（墙长15m)的长方形花园，写出长 方形花园的面积y(m)与平行于墙的边的长x(m)之间的关系式，y是x的二次函数吗？ 如果是二次函数，请将函数化为y=ax+bx+c的形式，并指出x能取哪些值。如果不是二次函 数，请说明理由。 第8题图 nos 二次函数 第五章 能力提升螂综合拓展 9.某商品的进价为每件10元，售价为每件16元，每个月可卖出100件。如果每件商品 的售价每上涨1元，则每个月就会少卖出10件，但每件售价不能高于20元。 (1)该问题中哪些是变量？其中哪些是自变量？哪些是因变量？ (2)设每件商品的售价上涨x元(x为整数)，每个月的销售利润为y元。求y与x之间 的关系式，并写出自变量x的取值范围。 10.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3,BC=4,点E在直角边AC上（点E与A, C两点不重合)，点F在斜边AB上，且EF平分Rt△ABC的周长。设AE=x,AF=y,△AEF 的面积为S。 (1)求y与x之间的关系式，并写出x的取值范围。 (2)求S与x之间的关系式。 C E 第10题图 中考链接©真题演练 11.(2025·兰州)如图，在正方形ABCD中，AB=2cm,对角线AC, BD相交于点O,动点P从点O出发沿O→A→B方向以V2cs的速度运 动，同时点Q从点C出发沿C→D方向以1cm/s的速度运动。当点Q到达 点D时，P,Q同时停止运动。若运动时间为x(s),△CPQ的面积为 B 第11题图 y(cm),则点P分别在OA,AB上运动时，y与x之间的关系分别是() A.均为一次函数 B.一次函数、二次函数 C.均为二次函数 D.二次函数、一次函数 109数学 九年级上册（北师大版） 2视图（第1课时） 主 左视图 1.答案不唯一，如长方体、圆柱等2.答案不唯 ⊙ 一，如球、正方体、由八个小立方体摆放的大立方体 俯 等3.C4.C5.D6.B7.C8.A9.水杯对应 图3，球对应图1，领奖台对应图2。 图3 第7题答图 10.如图所示 8.如图所示。 必 左视图 主视图 左视图 俯 第8题答图 俯视图 9.解：(1)这个几何体为三棱柱。 (2)由题 第10题答图 知， 该几何体的表面积=2×1 ×3×4+9×(3+4+5)=120 11.图1一图3的三种视图如图所示。 (cm2)。答：这个几何体的表面积是120cm2。 主 左视图 10.解：(1)这个密封纸盒是 正六棱柱，其表面展开图不唯一， 俯视图 如图所示。 (2)六棱柱的高为 12cm,底面边长为5cm,.密 图1 封纸盒的底面六边形的面积为6× 第10题答图 主视 左视图 5x53=75y5 (cm)。.密封纸盒的体积为 2 俯视图 75y3×12=-450V3(cm)。答：这个密封纸盒的体 图2 积为450V3cm3。 11.A12.A13.B 主视图 左视图 第五章 二次函数 1认识二次函数 视 1.6=2nS-2iS=282.y=25-m32 图3 4.y=1000(1+x)25.B6.D7.C 第11题答图 8.解：平行于墙的边的长为xm,则垂直于墙 12.A13.C14.A15.C 的边的长为50=(25-0.5x)m。根据题意，得y= 2 2视图（第2课时）】 x(25-0.5x),y是x的二次函数。y=-0.5x2+25x,0<<15。 1.D2.A3.B4.C5.A6.C 9.解：(1)每件商品涨价金额、每件商品的售 7.如图所示 价、每个月卖出的商品数量是变量，其中每件商品涨 主 视图 视 价金额是自变量，其他变量是因变量。(2)根据题 图 左视图 意可得单件利润为16+x-10=(6+x)元，销量为(100 10x)件，可得y与x之间的关系式为y=(6+x)(100- 图 图 10x)=-10x2+40x+600。每件售价不能高于20元，x+ 图1 图2 16≤20。：x≤4。.0≤x≤4且x为整数。 228 参考答案与提示 10.解：(1)在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3, BC=4,由勾股定理，得AB=5。∴.△ABC的周长=AB+ SntSmx3x16 BC+AC=12。EF平分△ABC的周长，AF=6-AE,即 11.解：(1)m=-5,m2=-2,∴n1=-25,n2=-4。 y=6-x。∴y与x之间的关系为y=6-x,x的取值范围是 ,1<n2。(2)m=-2,m2=5,.n=-4,n2=-25。∴n> 0Kx<3。 2o(3)7m1=-5,m2=5,.∴n1=-25,2=-25。.n1=2。 (2)如图，过点F作FD⊥AC于 (4)m=2,m2=5,n1=-4,n2=-25。n>20(5)由 点D,∠C90°，∠ADF=∠C。. 题意，抛物线y=-x的对称轴是y轴，开口方向向下， FD∥BC。.∠AFD=∠B。.△ADFM 函数图象上的点到y轴的距离越小，即横坐标的绝对值 △AcB。6-。MB=5c 越小，其函数值越大。共分三种情况：①当lm>bm时， nu<2;②当lml=m时，n=n2;③当mklmF时，n>nzo 4,AF=6-,m=号(6-)。S= 12.A 24m-×号6-=号号 第10题答图 2二次函数的图象（第2课时）】 51 t。 1向上y轴2.-23(0,5)y子2（答 11.D 2二次函数的图象（第1课时）】 案不唯)4.65.D6.C7.B 8.解：(1)设抛物线形拱桥与水面的交点为A, 1分4)2431，)3答案不唯 B(点A在点B的左边)，水面宽4m,.点B的横 一，如(1,1)与(-1,1)，(2,4)与(-2,4)， (3,9)与(-3,9)4.>5.A6.C7.B 坐标为2。当=2时，222-2，拱桥顶点0距 8解：()由对称性，得点A子，m关于 水面2m。(2)水面下降1m后，此时水面距离拱桥 轴的对称点B的坐标为子，m。又？点B在抛物 顶点0为3m,=3,即-73。解得=V6。 .水面与抛物形拱桥的两个交点的坐标为(-V6,-3) 线=上，m=多。m-是。六点B的坐标为 和(V6,-3)。.此时桥下水面的宽为2V6m。 (子，是）。(2)由题意知，点B子，是与点 答：水面下降1m后，桥下水面宽2V6m。 9.解：(1)画出抛 C关于y轴对称，点C的坐标为3，是)。BC=3。 物线形彩虹门的草图如 5mx3x2-7 图所示。 (2)当x= 4 4 24=12时，y=-1.1× 9解：画图象略。①)当子时，)=号号。 1.22+4.4=2.816>2.6,故 描点略。(2)当y=-4时，即-4=-x2。.x=±2。描点 3 210 这辆彩车能通过彩虹门。 略。(3)当x<-1时，y随x值的增大而增大；当 10.解：分别过点 第9题答图 x>1时，y随x值的增大而减小。 A,B作AE⊥x轴于点E,BF⊥x轴于点F,则AE∥ 10.解：(1)将点A,B的横坐标分别代人表达 BF。∴.∠AEO=∠BFO。∠AOE=∠B0F,.△AOE 式y=x2,当=3时，y=9,当x=-1时，=1。A,B是 3+69:解得=2， 直线与抛物线的交点，一一k+b=1。 △B0R。器=器-8品。0=404，器=品 ..y=kx+ b=3。 b对应的函数表达式为y=2x+3。 8品日。设点4的坐标为 (2)如图，过点A作AE⊥y轴于 (m,n),.点B的坐标为 点E,过点B作BF⊥y轴于点F, (4m,4n)。点A,B分别在 设直线AB交y轴于点C。由(I) 二次函数y=a2,2=bx2的图象 知，A(3,9),B(-1,1)AE=3, 上，am2=n,b·(4m)2=4n。 BF=1。对于y=2x+3,令x=0,则 十0 4nm。4b。 第10题答图 y=3,点C的坐标为(0,3)。 第10题答图 2