第四章 1 投影-【新课程能力培养】2026-2027学年九年级上册数学同步练习（北师大版·新教材）

投影与视图 第四章 第四章 投影与视图 知识网络 定义 中心投影一→点光源发出 中心投影的有关画图及计算 投影 光线所形成的投影 点光源下影响影长的因素 类型 平行投影（平行 太阳光下物体影子的长短与方向的 光线)→平行光 变化规律 投影与视图 丰富的 线所形成的投影 平行投影的简单应用（画图、计算等） 实例 正投影 主视图→从正 面得到的视图 柱体、 三种 视图 左视图→从左 圆锥、 视图 面得到的视图 球体视 图 俯视图→从上 面得到的视图 简单组合 根据视图描述简单的几何体 体视图 投影（第1课时） 自主导学Q典例精析 例题晚上，小李在广场上乘凉，如图，线段AB表示站在广场上的小 李，线段PO表示直立在广场上的灯杆，点P表示照明灯。 (1)请你在图中画出小李在照明灯P照射下的影子。 (2)如果灯杆高P0=12m,小李的身高AB=1.6m,小李与灯杆的距离 例题图 B0=13m,求小李影子的长度。 【分析】(1)连接PA和OB并延长，相交于点C,线段BC就是小李在 照明灯P照射下的影子。(2)易得△CAB∽△CPO,从而转化为关于BC的 方程，解方程即可求出BC的长度。 【解答】(1)如例题答图，线段BC就是小李在照明灯P照射下的影子。 例题答图 (2)在△CAB和△CPO中，，∠C=∠C,∠ABC=∠POC=90°，∴.△CAB∽△CPO。 95 数学 九年级上册（北师大版） 一，即AB:0C=BCP0。设BC=,1.6(13+x)=2x。解得x=2。∴BC=2。 李影子的长度为2m。 【点拨】点光源、物体的顶端和影子的顶端三点在同一条直线上。过点光源与影子顶端 作直线，该直线与地面的交点即为影子的顶端，该交点与物体在地面上对应点之间的线段即 为物体的影子。求影子的长度时，通常是利用相似三角形边的比例关系建立方程，进而求出 影子的长度。光线被物体挡住，地面上照不到光的地方就是影子，对于同高物体，近灯影子 短，远灯影子长。 基础巩固飞)达标闯关 1.如图，这是三角尺在灯泡O的照射下在墙上形成的影子。现测得OA=20cm,OA'= 50cm,则这个三角尺的周长与它在墙上形成的影子的周长的比是 三角尺 投影 小李乙 第1题图 第2题图 2.如图，甲、乙两盏路灯底部间的距离是30m,一天晚上，当小李走到距路灯乙底部5m 处时，发现自己的身影顶部正好落在路灯乙的底部。若小李的身高为1.5m,则路灯甲的高 为m。 3.如图，晚上小王在路灯下散步，在小王由A处走到B处的过程中，他在地上的影子 () A.逐渐变短 B.逐渐变长 C.先变短后变长 D.先变长后变短 B p 第3题图 第4题图 4.如图，小张同学在晚上由路灯AC走向路灯BD,当他走到点P时，发现身后影子的 顶部刚好接触到路灯AC的底部，当他向前再步行20m到达点Q时，发现身前影子的顶部 刚好接触到路灯BD的底部。已知小张同学的身高是1.5m,两个路灯的高度都是9m,则 两个路灯之间的距离是() A.24m B.25m C.28m D.30m 96 投影与视图 第四章 5.如图，路灯下一墙墩（用线段AB表示）的影子是BC,小李（用线段DE表示）的影 子是EF,在点M处有一棵大树，它在这个路灯下的影子是MN。在图中画出路灯灯泡的位 置（灯泡用点P表示），并在图中画出表示大树的线段MQ。 第5题图 6.如图所示是一名同学设计的利用小树来测量某路灯高度的示意图。小树AB在路灯O 的照射下形成投影BC,这名同学测得树高AB=4m,树影BC=5m,树与路灯的水平距离 BP=6m。求路灯的高度OP。 路灯P 第6题图 能力提升钟综合拓展 7.手影游戏利用的物理原理是光是沿直线传播的。在一次手影游戏中（如图1），小明 的手距离墙壁2m,爸爸拿着的光源与小明的距离为3m,其平面示意图如图2所示。在小 明手不动的情况下，要使小狗手影的高度增加1倍，则光源与小明的手的距离应减少多少？ (计算结果精确到0.01m) 影 光源 墙 图1 图2 第7题图 中考链接©真题演练 EEE D 8.(2024·凉山州)如图，一块面积为60cm2的三角形硬纸板 (记为△ABC)平行于投影面时，在点光源O的照射下形成的投影 是△ABC1,若OB:BB1=2:3,则△ABC的面积是() 0 A.90 cm2 B.135cm2 C.150cm2 D.375cm2 第8题图 97 数学 九年级上册（北师大版） 投影（第2课时） 自主导学Q典例精析 例题 一名同学想利用树影测树高，已知在某一时刻直立于地面的长1.5m的竹竿影 长为3，当他马上测树影时，发现树的影子有一部分落在墙上，经测量，留在墙上的影高 CD=1.2m,地面部分影长BD=5.4m,求树高AB。 【分析】解决这类问题的方法不唯一，比较常见的有三种：一是求出树影在墙角对应的 树高；二是透过墙，补全树在平地上的影长；三是过墙上的影子顶端作地面的平行线。 【解答】方法一：如例题答图1，过点D作DE∥AC交AB于点E,又AB∥CD, .四边形AEDC为平行四边形。.CD=1.2m,.AE=CD=1.2m。 又路5.5B-27m:4B=46+E8=12+27-39m 方法二：如例题答图2，延长AC交BD的延长线于点E,:CD=1.2m, CD_1.5 DE 3' DE=24m。BE=BD+DE=54+24E78(m。A6=53,AB=3.9m 方法三：如例题答图3，过点C作CE∥BD交AB于点E,AB∥CD,∠ABD=90°，∴ 四边形EBDC为矩形。 EB=CD=12m,EC=BD=5.4m。又4g=5,4E=2.7m。 EC 3 .AB=AE+EB=2.7+1.2=3.9(m)。 图1 图2 图3 例题答图 【点拨】此题利用转化思想和数形结合思想，既可以从整体上思考，也可以从局部出发， 利用相似三角形和平行投影的性质求解。 基础巩固飞)达标闯关 1.利用光线是否平行或是否交于一点来判断是 投影或 投影，以及光源的位 置和物体阴影的位置。 2.在一个艳阳高照的星期天，小李和爸爸到公园散步，小李的身高是160cm,在阳光 下他的影长为80cm,爸爸的身高是180cm,则此时爸爸的影长为 cm. 98 投影与视图 第四章 3.下列四幅图中，能近似地反映上午9时某市某校操场竖立的旗杆与其影子的位置关 系的是( 一东 A B C D 4.如图，某同学在某一时刻测得1m长的竹竿竖直放置时的影长 A 为1.25m,在同一时刻旗杆AB的影长不全落在水平地面上，有一部分 落在楼房的墙上，他测得落在地面上的影长为BD=9m,留在墙上的影 长CD=2m,则旗杆的高度为() A.7.2m B.8.2m C.9.2m D.10.2m 第4题图 5.小明和小丽在操场上玩耍，小丽突然高兴地对小明说：“你的头顶在我脚下了。”如 图，点A，C分别表示此时小明和小丽所站的位置。 (1)请画出此时小丽在阳光下的影子CE。 (2)若小明的身高AB为1.60m,小明和小丽之间的距离AC为2m,而小丽的影子长 CE为1.75m,求小丽的身高CD。 B 第5题图 6.光明学校的旗杆附近有一棵大树，如图所示，在某一时刻旗杆在阳光下的影子有一部 分（线段AB)在地面上，另有一部分（线段BC)在某一建筑物上。 (1)画出在同一时刻下大树的影子（用线段DE表示）。 (2)已知旗杆的高AG为10m。同一时刻测得旗杆的影长AB=9.6m,BC=2m,大树的 影长DE=9m,求大树的高度。 G 大树 旗杆 第6题图 的 数学 九年级上册（北师大版） 能力提升螂综合拓展 多 7.如图，小李家窗外有一堵围墙AB,由于围墙的遮挡，清晨太阳光恰好从窗户的最高 点C射进房间的地板F处，中午太阳光恰好能从窗户的最低点D射进房间的地板E处，小 李测得窗子距地面的高度OD=0.8m,窗高CD=1.2m,并测得OE=0.8m,OF=3m,求围墙 AB的高度。 第7题图 8.如图，某数学兴趣小组利用树影测量树高。测出树AB的影长AC为9，并测出此 时太阳光线与地面成30°角。 (1)求树AB的高度。 (2)因水土流失，此时树AB沿太阳光线方向倾倒，在倾倒过程中，树影长度发生了变 化，假设太阳光线与地面的夹角保持不变，求树影的最大长度。 (计算结果精确到0.1m,参考数据：V2≈1.414，V3≈1.732) 太阳光线 30℃ 第8题图 9.太阳能光伏发电因具有清洁、安全、高效等特点，已成为世界各国重点发展的新能源 产业。图1是太阳能电板，图2是其截面示意图，其中GF为太阳能电板，AE,CD均为钢 架且垂直于地面DE,AB为水平钢架且垂直于CD。已知太阳能电板GF=1.8m,测得电板上 两个支撑点的距离AC=1m,钢架连接点BC=O.8m。若某一时刻的太阳光线垂直照射GF, 求太阳能电板GF的影子EH的长。 H 图1 图2 第9题图 100数学 九年级上册（北师大版） ∠CNE=∠AHE=90°，∠CEN=∠AEH。.∴.△ECN∽' 上不在一条直线上，使得CD的长存在误差，影响计 △EAH。 识畏。品晋。解得a272m .AHEH、 算结果；②测量用的卷尺、直尺等工具的精度有限， 测量的长度会产生误差，进而影响计算结果；③地面 .AB=28.2m。答：避雷针的高度AB是28.2m。 不平整，导致测量的水平距离和垂直高度不准确，或 测量视线不水平或不垂直，进而影响计算结果；④阳 光、风力等环境因素可能导致标杆或人倾斜，进而影 响测量结果；⑤假设光线平行，但实际光线并非绝对 平行，会带来误差；⑥读取测量工具的长度时，因视 Er-Nsa 角、估读等因素会产生人为误差。 d D B 第2题答图 3.解：(1)皮尺、标杆 (2)如图所示。 (3)如图，测得标杆DE=,树和标杆的影长分别为 AC=b,EF=c。DE⊥AF,AB⊥AF,光线DF∥BC, B ∠EFD=∠ACB,∠DEF=∠BAC。..△BAC∽△DEF。. FM D 提治云名典 第5题答图 第四章 投影与视图 1投影（第1课时） 1.2:52.93.C4.D 5.解：如图所示，点P及线段MQ即为所求。 第3题答图 4.10 0 5.解：(1)：太阳光下，纪念碑顶端A的影子落 在点D处，同一时刻，竖直放置的标杆DE顶端E的 影子落在点F处，品-胎。：0E21m,0F=21m B E DE=DF。.CD=CA。(2)如图，令BN与DE的交 第5题答图 点为H,则四边形BCDH和四边形MNHD是矩形。 .DE=2.1 m.DF=2.1 m,DM=1 m,MN=1.2 m...CD= 6.解：由题意，得OP⊥PC,AB⊥PC,.∠ABC= BH,BC=DH=MN=1.2 m,NH=DM=1 mo ..EH=DE- ∠OPC。∠ACB=∠0CP,△ABC∽△OPC。OB AB DH=0.9m。设AB=xm,则AC=AB+BC=(1.2+x)m, PC BH=CD=AC=(1.2+x）m。∴.NB=BH+NH=(2.2+x)m。 C。MB=4m,BG=5m,BP=6m。PC=BP+BC= EH∥AB,.∠EHN=∠ABN。又∠ENH=∠ANB,. 11m。0P=1业 △MB△N。品-沿。高22，解得 4=5.0P-8.8m。路灯的高度oP为 8.8mo 19.8。答：纪念碑AB的高度为19.8m。(3)纪念碑 7.解：如图，设光源 的实际高度为19.64m,小红求出纪念碑AB的高度约： 为点O,AB表示小明的 为18.5m,(2)中纪念碑AB的高度为19.8m,所以 手，CD表示墙壁上小明的 0< 小红的结果误差较大。误差较大的原因不唯一，如： 手影（小狗形状的手影）， ①纪念碑AB位于有台阶的平台BC上，点C的位置无 则AB∥CD,过点O作 法到达，故点C的定位不够精准，导致A，B,C实际 OE⊥AB,延长OE交CD 第7题答图 26 参考答案与提示 于点F,则OF⊥CD。AB∥CD,.∠ABO=∠CDO。 7.解：如图，连接DC, ∠A0B=∠C0D,△A0B∽△C0D。.AB=0E CD OF 由题意知C,D,O三点在 条直线上，D0LBF, D 82m,0B=3m,05m.六2品8=号设 ∠D0E=90°。.OD=0.8m, 0E AB=3k,则CD=5k。移动后的光源为O',放大后的手 OE=0.8m,CD=1.2m,. 第7题答图 影为CD,在小明不动的情况下，要使小狗手影的高 ∠DEB=45°，C0=CD+0D=2 度增加1倍，即AB=3,CD'=10k,EF=2m。由 (m)。AB⊥BF,.∠BAE=45°。∴AB=BE。设AB= CD0。∴0g (1)知△A0'B△C0D',AB=0'E EB=xm,.AB⊥BF,CO⊥BF,.∠ABE=∠DOE=90°。 = 0.0F-0E-90E'-0E=EP,即l00E-0E 3 ZAm=∠C0.△MBAC0P,88架 3 3 =3-0.8+x。解得x=4.4。答：围墙AB的高度是4.4m。 2.0E=9 m0E-08=3-9-9=214(m。 3 8.解：(1).∠BAC=90°，∠ACB=30°，.AB= .光源与小明的手的距离应大约减少2.14m。 2 BC。设AB=xm,则BC=2xm。由勾股定理，得AB4 8.D 1投影（第2课时） AC=BC,即x2+9=(2x)2。解得x1=3V3,2=-3V3 1.平行中心2.903.B4.C (舍去)。AB≈5.2m。答：树AB的高度约为5.2m。 5.解：(1)如图所示，由题意知，BC为光线， (2)当树与光 过D作DE∥BC交AC的延长线于点E,则CE即为小 线垂直时，树影最 丽的影子。(2)DE∥BC,∠CED=∠ACB。 长。如图，过点A 太阳光线 ∠DCE-∠AC-0,ACDEAARC,÷0-e 作AD⊥太阳光线 39 DE于点D。由 C E .AB=1.60 m,AC=2 m,CE=1.75 m,CD=x m,. (1)知，AD=AB= 第8题答图 。罗5。解得14，答：小雨的身商为14m 3V3m。又.∠ADE=90°，∠AED=30°，AE=2AD B 6V3≈10.4m。答：树影的最大长度约为10.4m。 9.解：如图，过点E作EM⊥FH于点M,由题意， 得AE⊥DE,CD⊥DE,AB⊥CD,GE⊥GF,FH⊥GF E ∴.∠AED=∠BDE=∠ABD=90°，∠AGE=∠GFH=∠EMF= 第5题答图 90P。.四边形ABDE和四边形EGFM是矩形。∴∠BAE= 6.解：(1)如图，DE即为所求。 (2)如图， 90°，∠GEM=90°，EM=GF=1.8m。.∴.∠1+∠2=90°. 过点C作CM⊥AG于点M,又AG⊥AB,BC⊥AB, ∠3+∠4=90°。∠1+∠3=90°，∠4+∠5=90°，.∠2= .四边形ABCM为矩形。.MC=AB=9.6m,AM=BC= ∠3=∠5。又∠ABC=∠EMH=90°，∴.△ABC∽△EMH。 2m。∴.GM=AG-AM=10-2=8(m)。又由DE=9m,且 EM-盟。在Rt△ABC中，由勾股定理，得AB= AB AC 同一时刻下，树高与其影长的比等于旗杆的高与其影 长的比，得8E-0.即g6解得D-75m VCC=V08-06(m).8-印。解得 DE MC EH=3m。答：太阳能电板GF的影子EH的长为3m。 .大树高7.5m。 o B 旗杆 H 第6题答图 第9题答图 22