第三章 问题解决活动：利用相似三角形测高-【新课程能力培养】2026-2027学年九年级上册数学同步练习（北师大版·新教材）

口数学 九年级上册（北师大版） 问题解决活动：利用相似三角形测高 自主导学Q典例精析 例题如图，某水平地面上建筑物的高为AB,在点D和 点F处分别竖立高2m的标杆CD和EF,两标杆相隔52m,并 且建筑物AB、标杆CD和EF在同一竖直平面内，从标杆CD后 退2m到点G处，在G处测得建筑物顶端A和标杆顶端C在同 一条直线上；从标杆FE后退4m到点H处，在H处测得建筑 例题图 物顶端A和标杆顶端E在同一条直线上，求建筑物的高AB。 【分析】根据题意可得出△CDG∽△ABG,△EFH∽△ABH,再根据相似三角形的对应 边成比例，结合比例的性质求出建筑物的高AB。 【解答】由题意得，AB⊥BH,CD⊥BH,EF⊥BH,∴.∠ABG=∠CDG=∠EFH=90°。又， ∠AGB=∠CGD,∠AHB=∠EHE,△ABG~△CDG,△ABH∽△EFH。:AB=DC+BD CD DG B-H+D4BD。CD=DG=EF=2,DF=52,FH=4,4B-2+BD_4+52+BD。解得BD=52。 EF FH 2 2 4 AB_2+BD_2+52。AB=54。答：建筑物的高AB为54m。 2 2 2 【点拨】本题考查综合利用相似三角形的判定及性质解决实际问题，求解此题的第一步 是判定两对三角形相似，第二步是结合相似三角形对应边成比例的性质进行计算。列比例式 时，要利用图形中共有的边作为桥梁进行转化计算。 能力提升睡综合拓展 1.小张和小李想用所学的数学知识测量家门前小河的宽。测量时，他们选择了河对岸岸 边的一棵大树，将其底部作为点A,在他们所在的岸边选择了点B,使得AB与河岸垂直， 并在B点竖起标杆BC,再在AB的延长线上选择点D,竖起标杆DE,使得点E与点C,A 共线。已知CB⊥AD,ED LAD,测得BC=1m,DE=1.5m,BD=8.5m。测量示意图如图所 示，请根据相关测量信息求河宽AB。 第1题图 2 图形的相似 第三章 2.如图，小明和小华想测量楼顶的避雷针的高度AB,小明先在竖起的标杆CD上的点 N处测得角为45°，然后，小华适当调整位置，竖起标杆EF,使点E,C,A在同一直线 上，并测得ND=1m,EF=1m,FD=1.7m。已知CD=2.6m,F,D,B三点在同一水平直线 上，且AB,CD,EF均垂直于FB,求避雷针的高度AB。 A E 0 B 第2题图 3.如图，数学兴趣小组的同学们测量一棵树的高度AB(这棵树底部可以到达，顶部不 易到达)，他们带了以下测量工具：皮尺、标杆、一副三角尺、小平面镜。请你在他们提供 的测量工具中选出所需工具，并设计一种测量方案。 (1)所需的测量工具有 (2)请在下图中画出测量示意图。 (3)设树的高度AB为x,请用所测数据（用小写字母表示）求出x。 第3题图 中考链接©真题演练 4.(2025·绵阳)如图，小明在课外实践活动中对一棵大树的高 度进行测量。他准备了一根竹竿，将竹竿垂直固定于离大树10m远 的C处，然后沿着大树底部E和竹竿底部C所在水平直线由C点后 D B 退2m至A点时，看大树顶部F的视线恰好经过竹竿的顶端D,测 得小明的眼睛距地面的高度AB为1.6m,竹竿CD的长为3m,则 第4题图 大树的高度EF为 m。 93 数学 九年级上册（北师大版） 5.(2025·河南)焦裕禄纪念园是全国重点革命烈士纪念建筑物保护单位，革命烈士纪 念碑位于纪念园南部的中心。某综合与实践小组开展测量纪念碑高度的活动，记录如下。 活动主题 测量纪念碑的高度 实物图和测量示意图 W FM D 第5题图 如图，纪念碑AB位于有台阶的平台BC上，太阳光下，其顶端A的影子落在 点D处，同一时刻，竖直放置的标杆DE顶端E的影子落在点F处，位于点M 测量说明 处的观测者眼睛所在的位置为点N,点N,E,A在一条直线上，纪念碑底部 点B在观测者的水平视线上 测量数据 DE=2.1m,DF=-2.1m,DM=1m,MN=1.2m 备注 点F,M,D,C在同一水平线上 根据以上信息，解决下列问题。 (1)由标杆的影子DF的长和标杆DE的长相等，可得CD=CA,请说明理由。 (2)求纪念碑AB的高度。 (3)小红通过间接测量得到CD的长，进而求出纪念碑AB的高度约为18.5m。查阅资 料得知，纪念碑的实际高度为19.64m。请判断小红的结果和(2)中的结果哪个误差较大， 并分析误差较大的可能原因（写出一条即可）。 函参考答案与提示 是位似图形。0D-E，∠D0E=∠A0B,△D0E (3)A(0,3)与A2(-3,2),C(2,2)与 OA OB C2(1,0)为对应点，点B(3,4)是位似中心， △40。指-8册分.同理胎3 △ABC2与△ABC位似，且相似比为2：1，且对应点 册分品--治anB△46c.:对应 A与A2,C与C2的横坐标满足：-3=2×0-3,1=2×2-3， 纵坐标满足：2=2x3-4,0=2x2-4,.点M(a,b)的对 点的连线AD,BE,CF交于一点O,.△DEF与 应点M2的坐标是(2a-3,2b-4)。 △ABC是位似图形。(2)满足条件的△DEF有无 数个。：点O在△ABC内的位置是任意的，∴.满足条 件的△DEF有无数个。当点O的位置确定以后， △DEF的位置也随之确定。(3)有特殊的位置。点 D,E,F是△ABC三边BC,AC,AB的中点，O是 △ABC三条中线的交点。如图2所示。 第9题答图 10.1:3 11.解：(1)如图，点D即为所求，由图可得， 图1 图2 点D的坐标为(-2，-1)。(2)如图，△AB,C,即 第11题答图 为所求。 12.B13.A14.C 5图形的位似（第2课时） 1.(2,1)2.(9,0)3.A4.B 5.(1)画图略。(2)△ABC的面积为8。 6.解：(1)△ABC在第一象限或第三象限，画 图略。(2)点A(2,1),B(0,3),C(3,2)或 点A(-2,-1),B1(0,-3),C1(-3,-2)。 7.解：(1)画图略，△ABC与△A'B'C'的相似比 为2：1。(2)画图略，A"(6,0),B”(3,-2), 第11题答图 C"(4,-4)。 ☆问题解决活动：利用相似三角形测高 8.(1)如图，点P即为所求，P(-5,-1)。 1.解：CB⊥AD,ED⊥AD,.∠ABC=∠ADE= (2)如图，△OAB2即为所求。 90。又LBAC=∠DAE,△ABC△ADE。.B DE 10 AbBC=1 m DE=15 m.BD-85 m,BCAD= AB 0 DE·AB,即1×(AB+8.5)=1.5x4B。.AB=17。答：河宽 AB为17m。 2.解：如图，过点N作N阳⊥AB于点H,连接EV, ND=EF=1m,AB,CD,EF均垂直于FB,.点E, N,H在同一条直线上，四边形EFDN和四边形NDBH B 是矩形。EN=FD=1.7m,DB=NH,CN=CD-ND=1.6m。 第8题答图 NH⊥AB于点H,a=45°，∴.∠BAN=45°。.AH=NH。 9.解：(1)△ABC,如图，点C,的坐标是(2， AH=NH=a m,..EH=EN+NH=(1.7+a)m,AB=AH+ -2)。(2)△ABC2如图所示，A2(-3,2),C2(1,0)。 HB=(a+1)m。CD⊥FB,AB⊥FB,.CD∥AB。 25 数学 九年级上册（北师大版） ∠CNE=∠AHE=90°，∠CEN=∠AEH。.∴.△ECN∽' 上不在一条直线上，使得CD的长存在误差，影响计 △EAH。 识畏。品晋。解得a272m .AHEH、 算结果；②测量用的卷尺、直尺等工具的精度有限， 测量的长度会产生误差，进而影响计算结果；③地面 .AB=28.2m。答：避雷针的高度AB是28.2m。 不平整，导致测量的水平距离和垂直高度不准确，或 测量视线不水平或不垂直，进而影响计算结果；④阳 光、风力等环境因素可能导致标杆或人倾斜，进而影 响测量结果；⑤假设光线平行，但实际光线并非绝对 平行，会带来误差；⑥读取测量工具的长度时，因视 Er-Nsa 角、估读等因素会产生人为误差。 d D B 第2题答图 3.解：(1)皮尺、标杆 (2)如图所示。 (3)如图，测得标杆DE=,树和标杆的影长分别为 AC=b,EF=c。DE⊥AF,AB⊥AF,光线DF∥BC, B ∠EFD=∠ACB,∠DEF=∠BAC。..△BAC∽△DEF。. FM D 提治云名典 第5题答图 第四章 投影与视图 1投影（第1课时） 1.2:52.93.C4.D 5.解：如图所示，点P及线段MQ即为所求。 第3题答图 4.10 0 5.解：(1)：太阳光下，纪念碑顶端A的影子落 在点D处，同一时刻，竖直放置的标杆DE顶端E的 影子落在点F处，品-胎。：0E21m,0F=21m B E DE=DF。.CD=CA。(2)如图，令BN与DE的交 第5题答图 点为H,则四边形BCDH和四边形MNHD是矩形。 .DE=2.1 m.DF=2.1 m,DM=1 m,MN=1.2 m...CD= 6.解：由题意，得OP⊥PC,AB⊥PC,.∠ABC= BH,BC=DH=MN=1.2 m,NH=DM=1 mo ..EH=DE- ∠OPC。∠ACB=∠0CP,△ABC∽△OPC。OB AB DH=0.9m。设AB=xm,则AC=AB+BC=(1.2+x)m, PC BH=CD=AC=(1.2+x）m。∴.NB=BH+NH=(2.2+x)m。 C。MB=4m,BG=5m,BP=6m。PC=BP+BC= EH∥AB,.∠EHN=∠ABN。又∠ENH=∠ANB,. 11m。0P=1业 △MB△N。品-沿。高22，解得 4=5.0P-8.8m。路灯的高度oP为 8.8mo 19.8。答：纪念碑AB的高度为19.8m。(3)纪念碑 7.解：如图，设光源 的实际高度为19.64m,小红求出纪念碑AB的高度约： 为点O,AB表示小明的 为18.5m,(2)中纪念碑AB的高度为19.8m,所以 手，CD表示墙壁上小明的 0< 小红的结果误差较大。误差较大的原因不唯一，如： 手影（小狗形状的手影）， ①纪念碑AB位于有台阶的平台BC上，点C的位置无 则AB∥CD,过点O作 法到达，故点C的定位不够精准，导致A，B,C实际 OE⊥AB,延长OE交CD 第7题答图 26