第三章 3 相似三角形判定定理的证明-【新课程能力培养】2026-2027学年九年级上册数学同步练习（北师大版·新教材）

图形的相似 第三章 相似三角形判定定理的证明（第1课时） 自主导学Q典例精析 例题 如图，在△1BC中，D为AC边上一点，且D},过点 D作DE∥BC交AB于点E,连接CE,过点D作DF∥CE交AB于点F。 若AB=15,求EF的长。 【分折】无由D5∥C得到能-光子，再利用比例的性质求出 例题图 AE=10,然后再由DF∥CE得到F=CD=】,进而再次用比例的性质即可求出EF的长。 AFAD2 【解答】DE/BC,器0 由等比性质，得15子，即提号 AE AE-2· AB=15,AE=子AB=10。DF∥CB,.EF=CD= 3 “AFAD-2 由等比性质，得了即E了号4 3 【点拨】本题考查了平行线分线段成比例定理以及比例的性质。一般地，利用线段的比 例关系求线段长的问题，通常使用的辅助线是过一点作已知线段的平行线。该图形可以拓展 到梯形、多条平行线多层嵌套的线段比例计算。 基础巩固U达标闯关 1.如图，BC∥DE,AD=3,AE=4,AB=9,则AC= 2.如图，已知直线a∥b∥c,直线m,n分别交直线a,b,c于点A,B,C和点D,E, F。若AB=3,CB=6,DE=4,则EF= 0 第1题图 第2题图 第3题图 第4题图 3.如图，已知AC∥EF∥DB,AF:BF=2:3,CD=10,则CE= 4如图，在DBCD中，F为C上一点，Ag交D于点R所号，则 AE 73 数学 九年级上册（北师大版） 5.如图，AD∥BE∥CF,直线l,l2与这三条平行线分别交于点A,B,C和点D,E,F。 若AB=10,BC=6,DF=12,则DE的长为() A.20 B.7.2 C.7.5 D.19.2 AD 第5题图 第6题图 第7题图 6.如图，在口ABCD中，E为AB的中点，F为AD上一点，EF交AC于点G,FG= 2cm,EG=4cm,AG=3cm,则AC的长为() A.9 cm B.14 cm C.15 cm D.18 cm 7.如图，在△ABC中，点E,F分别是AB和AC的中点，点D是线段EF上的一点，连 接AD,CD,且∠ADC=90°。若BC=16,AC=13,则DE的长为() A.3 B.2.5 C.1.5 D.2 8.如图，在△ABC中，AM是BC边上的中线，直线DN∥AM,交AB于点D,交CA的 延长线于点R,交BC于点，求证：投-。 N M 第8题图 9.如图，在△ABC中，DE∥BC,EF∥AB,AE=2CE,AB=6,BC=9。求四边形BDEF的 周长。 第9题图 能力提升螂综合拓展 10.请阅读以下材料，并完成相应的问题。 先阅读角平分线分线段成比例定理：如图1，在△4BC中，AD平分∠BAC,则AB=BD AC CD 下面是这个定理的部分证明过程。 74 图形的相似 第三章 证明：如图2，过点C作CE∥DA,交BA的延长线于点E,…。 (1)请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分。 (2)如图3，在Rt△ABC中，AB=6,BC=8,∠ABC=90°，AD平分∠BAC,求△ABD的 周长。 图1 图2 图3 第10题图 11.在△ABC中，点D在BC边上，点E在AC边上，AD与BE交于点F。 (I)如图1，D是BC的中点，F是AD的中点，DG∥BE交AC于点G,求证：AE=L。 EC2 2)如图2，若0女品子，求瓷的值。 EC 图1 图2 第11题图 中考链接⊙真题演练 12.(2025·青海)如图，在△ABC中，DE∥BC,且AD=3,DB=2,则AE AC A /B 第12题图 第13题图 13.(2025·哈尔滨)如图，AB∥CD∥EE,若BC=5,CE=8,则4D的值为() DF B. D. δ 数学 九年级上册（北师大版） 相似三角形判定定理的证明（第2课时） 自主导学Q典例精析 例题已知△ABC和△DEF是两个等腰直角三角形，∠A=∠D=90°，△DEF的顶点E 位于BC的中点处。 (1)如图1，设DE与AB交于点M,EF与AC交于点N,求证：△BEM∽△CNE。 DO 图1 图2 例题图 (2)如图2，将△DEF绕点E旋转，使得DE与BA的延长线交于点M,EF与AC交于 点N。求证：△ECN∽△MEN。 【分析】(1)首先由等腰直角三角形的性质，得∠B=∠C=∠3=45°，再结合△BME中内 角和的性质、平角定义得∠2=∠4，根据两个三角形的两个对应角相等，即可证得△BEM∽ △CNE。2)由山)中二角形相似得到5-化义卫知BE-EC,所以长化然后由 ∠ECN=∠MEN=45°，根据两个三角形的两条对应边成比例且夹角相等，证得△ECN∽△MEN。 【解答】(1)△ABC是等腰直角三角形，.∠B=∠C=45°。.∠1+∠2=135°。又△DEF 是等腰直角三角形，.∠3=45°。.∠1+∠4=135°。∴.∠2=∠4。∴.△BEM∽△CNE。 (2)由(）知△BEM△cE,脹-0又E=C,长=器。%密 CN=NE。·EM=NE 又.∠ECN=∠MEN=45°，∴.△ECN∽△MEN。 【点拨】此题结合等腰直角三角形的性质考查了相似三角形的判定。解此类题时，要抓 住图形中的特殊角度和三角形角的性质得出三角形相似的条件；更要仔细观察图形，找到图 形中有关线段的特殊关系并转化，灵活运用判定三角形相似的方法。 基础巩固L心达标闯关 1.如图，在△ABC中，∠C=90°，点D是AC上一点，DE⊥AB于点E, 若AC=8,BC=6,DE=3,则AD的长为 2.△ABC的三边长分别为V5,V10,V15,△A'B'C的两边长分别为 A∠ D 1和V2,则当△A'B'C的第三边长为 时，△ABC与△A'B'C相似。 第1题图 76 图形的相似 第三章 3.在△ABC中，AB=8,AC=6,点D在AC上，且AD=2,若要在AB上找一点E,使 △ADE与原三角形相似，那么AE= 4.如图，D,E分别是等边三角形ABC的两边BC,AC上的点，∠ADE=60°，BD=3, CE=2,则△ABC的边长为() A.9 B.12 C.15 D.18 RL D E 第4题图 第5题图 第6题图 5.如图，在矩形ABCD中，AC=20cm, 龈品子 则EF的长为() A.12 cm B.10 cm C.8 cm D.6 cm 6.如图，在正方形ABCD中，点E在BC边上，且CE:BE=1:3,连接AE,过点E作 EF⊥AE,交CD于点F,连接AF并延长，交BC的延长线于点G,若CG=3,则正方形的边 AD的长为() A.14 B.13 C.12 D.11 7.如图，在四边形ABCD中，对角线BD平分∠ABC,且AB=2,BD=4,BC=8,求证： △ABD∽△DBC。 第7题图 &刻图，已知报-长E,求证：AB~EC4C~BD。 第8题图 可 数学 九年级上册（北师大版） 能力提升坤综合拓展 9.如图，在四边形ABCD中，AB∥CD,对角线AC,BD相交于点E,点F在边AB上， 连接CF交线段BE于点G,CG=GE·GD。 (1)求证：∠ACF=∠ABD: (2)连接EF,求证：EFCG=EG·CB。 第9题图 I0.如图，在菱形ABCD中，点G在边CD上，连接AG并延长交BC的延长线于点F, 连接BD交AF于点E,连接CE。 (1)求证：CE=EF.EG。 2)若AB=6,需3，求CF的长。 第10题图 中考链接©真题演练 一卡多多多 11.(2025·潍坊)如图，在△ABC中，D,E,G分别是边AB,AC,BC的中点，DE与 AG相交于点F,连接CF,AG=AC。求证： a6照 (2)△ADF≌△CFE。 第11题图 8数学 九年级上册（北师大版） 11.解：(1)以A为圆心，在AB上截取AE= AD,以D为圆心，在DC上截取DF=AD。连接EF, 0c-c.2品-Bc6c- (2)解：如图，过 四边形AEFD为所求作的正方形。作图略。(2)四 点D作DH/BE交AC于点，8肥子，M/BE, 边形EBCF是黄金矩形。证明：，四边形AEFD是正 方形，.∠AEF=90°。.∠BEF=90°。：四边形ABCD是 盟-0。CH=4。品产，0H/E, 矩形，.∠B=∠C=90°。.∠BEF=∠B=∠C=90°。.四 AEAF 3HE 3 边形EBCF是矩形。设CD=m,ADb,则有b=VF⊥ 能品.小瓷4E高 2 2 器=哈号1。矩形m0F是黄金矩 2 形。(3)归纳：在黄金矩形内以短边为边作一个正方 形后，所得到的另外一个四边形是黄金矩形。 12.(V5-1)13.D14.A D 3相似三角形判定定理的证明（第1课时） 第11题答图 1.122.83.44.25.C6D7.C 5 12.313.D 5 &正明：直线DN/Aw.拾-器·长 3相似三角形判定定理的证明（第2课时） 。在△ABC中，AM是BC边上的中线，MB 1.52V33.号或号4A5C6B 31 MC。4DAE AB AC 7证明：1B-2,BD4,BC-8,小品子-7 9.解：DE∥BC,EF∥AB,.四边形DBFE是平 行四边形。EF=BD,DE=BF,AE=AD=BF。AE 品-专-号：m平分LABC.∠ABD=∠0B0. EC BDFC。· AC △ABD∽△DBC 0既M6-20,装-号-0-5。BF6 8.证明：AB=AC-BC ADAE=DE,·△ABC△ADE. AD=4。BD=AB-AD=2。.四边形BDEF的周长= 2(BD+BF)=2x(2+6)=16。 2Ei0-∠C1B,∠E1C=∠B,48-, 10.(1)证明：过点C作CE∥DA,交BA的延长 △MBc△1D.40-0.aB-EC-AiC-BD 线于点E,∴.∠1=∠E,∠2=∠ACE。AD平分∠BAC, .∠1=∠2。.∠E=∠ACE。AE=AC。CE∥DA,. 9E明：1)0G-6B~6m,伦-%。又 A报-0投80.2)解：在△1Bc中. ∠CGD=∠EGC,∴.△GCD∽△GEC。.∴.∠GDC=∠GCE .AB∥CD,..∠ABD=∠BDC。..∠ACF=∠ABD。 AB=6,BC=8,∠ABC=90°，由勾股定理，得AC= (2)∠ABD=∠ACF,∠BGF=∠CGE,.△BGFn VAB+BC=V8+6=10。:AD平分∠BAC,且由(1) 得报部。品品品号设m=,C △CGE。品-%.又ZPGR=∠BGC.AFGE 5a,BC=BD4CD=8a=8。.a=1。.BD=3a=3。在Rt△ABD △BcC,既-器。R0-G-B 中，由勾股定理，得AD=VAB+BD=V6+3=3V5。 10.(1)证明：：四边形ABCD是菱形，AD∥ .AB+BD+4D=6+3+3V5。.△ABD的周长为9+3V5。 BC,即AD∥BF。.∠DAE=∠F。由对称性得∠DAE= 11.(1)证明：DG∥BE,点D是BC中点， ∠DCE。.∴.∠DCE=∠F。.·∠FEC=∠CEG,∴.△FEC∽ GD-BD。品路l。G=EG。F是AD中点. CE EF △CEG。Ee-CE。CE=EFBG。 （2)解：. AF=DF。DG∥BE,4E=4E=1。AE=EG。AE= △FEC∽△CEG, EG FD 瓷3。%瓷-3，设0- 参考答案与提示 CG=x,四边形ABCD是菱形，AD∥CF,AD=AB= 1O.解：如图，延长BF交CD于点H,连接EH 6。∠DAE=∠F,∠ADG=∠FCG。△ADG∽△FCG。 :四边形ABCD是正方形，AB∥CD,∠D=∠DAB= 0-2。aD-G-06c。6=36-.0 90°，AD=CD=AB=1。.AC=VAD+CD=V1+F=V2。 由轴对称的性质，得EFAE,∠EFB= H .解得x=4。.CF=3=12。 ∠EAB=90°，∠FEB=∠AEB。点E 11.证明：(1)点D,E分别是边AB,AC的 中点，DE是△ABC的中位线。DE∥BC。∠ADE= 是AD的中点，AE-DE-EFAD= ∠B,∠AED=∠ACB。∴△ADE∽△ABC。AD=DE 2。∠D=∠EFH=90°，EH=EH, 1 AB BC 0E》C.即∥Bc,6-报G8 第10题答图 .Rt△EHD≌Rt△EHF(HL)。 ∴.∠DEH=∠FEH。∠DEF+∠AEF=18O°，2∠DEH+ (2)AD-BD,AE-CE-AC,BG-GC,DE//BC, 2∠AEB=180°。.∠DEH+∠AEB=90°。.∠HEB=90°。 DE与AG相交于点R,C=论l。AF=GfAG。 ∠AEB+∠ABE=90°，.∠DEH=∠ABE。∠D= FG DB :DF=BG=LGC,FE=IGC。DF=FE。AG=AC, ∠DB-0,△DI△aAE。六0-=} 2 2 7AG=号AC。4F-CE=AE。∠AFE=∠AER。 -cn=3 。CH∥AB,∠HCG=∠BAG, ∠AFD=180°-∠AFE,∠CEF=180°-∠AEF,∴.∠AFD= ∠CHG=∠ABG。△CHG∽△ABG。:.CS=C里=3 “GAAB=4 LCEF。·△ADF≌△CFE(SAS)。 CG=多4c=3y。 7 4相似三角形的性质（第1课时）】 11.B12.C 12:12.63号cm4号5.3或号6D 5 3 13.证明：(1)四边形ABCD是矩形，.∠BAD= 7.解：E,F分别为AC,BC的中点，BE,DF ∠ADE=90°，AB=DC。.∠ABD+∠ADB=90°。AE⊥ 分别为△ABC,△BDC的中线。△ABC∽△BDC, BD,∴.∠DAE+∠ADB=90。.∠ABD=∠DAE。.△ADE∽ 根超相似三角形的性质，得瓷-能。“会 △BAD。4D=DE ABAD 。AD2=DE·AB。AB=DC, DF=2。 .AD2=DE·DC。 (2)如图， 8.解：点D以每秒2个单位长度的速度由点B 连接AC,交BD于点O,由 向点A运动，同时点E以每秒1个单位长度的速度 (1）知，∠ADE=90。.∠DAE4 点C向点B运动，BD=2t,BE=6-t。∴.当△BDE ∠AED=90°。AE⊥BD, 0 △BAC时， 船-能，即华-名。解得号当 ∠DAE+∠ADB=90。.∴.∠ADB= ∠AED。∠FEC=∠AED,.∴. △ED△C时，肥骆，即名-号。解得 64 ∠ADO=∠FEC。:四边形 第13题答图 号。1≤2，号舍去。综上所述，【的值为号s或 ABCD是矩形，AC=BD。01=0D=BD,EF: CF=}BD,0A=0D=EF=-CF。∠AD0=∠0AD, 2 9.解：(1)△ASR与△ABC相似。理由：·四边 ∠EC=∠FCE。'∠ADO=∠FEC,.∠ADO=∠OAD= 形SRQP是正方形，SR∥BC。∴.∠ASR=∠B,∠ARS= ∠FEC=∠FCE。.∴.△ODA≌△FEC(AAS)。∴.CE=AD。 ∠C,.△ASR△ABC。(2)SR∥BC,AD⊥BC, 4相似三角形的性质（第2课时） AELSR。△M5R一△MBC.瓷=折。设正方形 1.1:22.1:43.60或1084.305.C 5 P0Rs的边长为xcm,则克之08。解得=4。 6.A7.B 8.解：(I)四边形ABCD是平行四边形，AB∥ 正方形PQRS的边长为48cm CD,AB=CD。:∠CAB=∠ACD,∠AED=∠EDC, 2