第三章 4 相似三角形的性质-【新课程能力培养】2026-2027学年九年级上册数学同步练习（北师大版·新教材）

参考答案与提示 CG=x,四边形ABCD是菱形，AD∥CF,AD=AB= 1O.解：如图，延长BF交CD于点H,连接EH 6。∠DAE=∠F,∠ADG=∠FCG。△ADG∽△FCG。 :四边形ABCD是正方形，AB∥CD,∠D=∠DAB= 0-2。aD-G-06c。6=36-.0 90°，AD=CD=AB=1。.AC=VAD+CD=V1+F=V2。 由轴对称的性质，得EFAE,∠EFB= H .解得x=4。.CF=3=12。 ∠EAB=90°，∠FEB=∠AEB。点E 11.证明：(1)点D,E分别是边AB,AC的 中点，DE是△ABC的中位线。DE∥BC。∠ADE= 是AD的中点，AE-DE-EFAD= ∠B,∠AED=∠ACB。∴△ADE∽△ABC。AD=DE 2。∠D=∠EFH=90°，EH=EH, 1 AB BC 0E》C.即∥Bc,6-报G8 第10题答图 .Rt△EHD≌Rt△EHF(HL)。 ∴.∠DEH=∠FEH。∠DEF+∠AEF=18O°，2∠DEH+ (2)AD-BD,AE-CE-AC,BG-GC,DE//BC, 2∠AEB=180°。.∠DEH+∠AEB=90°。.∠HEB=90°。 DE与AG相交于点R,C=论l。AF=GfAG。 ∠AEB+∠ABE=90°，.∠DEH=∠ABE。∠D= FG DB :DF=BG=LGC,FE=IGC。DF=FE。AG=AC, ∠DB-0,△DI△aAE。六0-=} 2 2 7AG=号AC。4F-CE=AE。∠AFE=∠AER。 -cn=3 。CH∥AB,∠HCG=∠BAG, ∠AFD=180°-∠AFE,∠CEF=180°-∠AEF,∴.∠AFD= ∠CHG=∠ABG。△CHG∽△ABG。:.CS=C里=3 “GAAB=4 LCEF。·△ADF≌△CFE(SAS)。 CG=多4c=3y。 7 4相似三角形的性质（第1课时）】 11.B12.C 12:12.63号cm4号5.3或号6D 5 3 13.证明：(1)四边形ABCD是矩形，.∠BAD= 7.解：E,F分别为AC,BC的中点，BE,DF ∠ADE=90°，AB=DC。.∠ABD+∠ADB=90°。AE⊥ 分别为△ABC,△BDC的中线。△ABC∽△BDC, BD,∴.∠DAE+∠ADB=90。.∠ABD=∠DAE。.△ADE∽ 根超相似三角形的性质，得瓷-能。“会 △BAD。4D=DE ABAD 。AD2=DE·AB。AB=DC, DF=2。 .AD2=DE·DC。 (2)如图， 8.解：点D以每秒2个单位长度的速度由点B 连接AC,交BD于点O,由 向点A运动，同时点E以每秒1个单位长度的速度 (1）知，∠ADE=90。.∠DAE4 点C向点B运动，BD=2t,BE=6-t。∴.当△BDE ∠AED=90°。AE⊥BD, 0 △BAC时， 船-能，即华-名。解得号当 ∠DAE+∠ADB=90。.∴.∠ADB= ∠AED。∠FEC=∠AED,.∴. △ED△C时，肥骆，即名-号。解得 64 ∠ADO=∠FEC。:四边形 第13题答图 号。1≤2，号舍去。综上所述，【的值为号s或 ABCD是矩形，AC=BD。01=0D=BD,EF: CF=}BD,0A=0D=EF=-CF。∠AD0=∠0AD, 2 9.解：(1)△ASR与△ABC相似。理由：·四边 ∠EC=∠FCE。'∠ADO=∠FEC,.∠ADO=∠OAD= 形SRQP是正方形，SR∥BC。∴.∠ASR=∠B,∠ARS= ∠FEC=∠FCE。.∴.△ODA≌△FEC(AAS)。∴.CE=AD。 ∠C,.△ASR△ABC。(2)SR∥BC,AD⊥BC, 4相似三角形的性质（第2课时） AELSR。△M5R一△MBC.瓷=折。设正方形 1.1:22.1:43.60或1084.305.C 5 P0Rs的边长为xcm,则克之08。解得=4。 6.A7.B 8.解：(I)四边形ABCD是平行四边形，AB∥ 正方形PQRS的边长为48cm CD,AB=CD。:∠CAB=∠ACD,∠AED=∠EDC, 2 数学 九年级上册（北师大版） △AEF∽△CDF。AE:EB=2:3,AE:CD=2:5。 MD-2B,品-2.8=号。F∥c, △AEF和△CDF的周长比为2：5。(2)△AEF∽ △CDF,且AE:CD=2:5,SAEr:SAr=4:25。 △1m△4。小能船号小含-报 SA △AEF的面积为8cm2,.△CDF的面积为50cm2。 。设San4S,则Saa=9S。:沿DE将△ABC剪成 4 9.解：(1)PQ∥AB,.∠CAB=∠CPQ。又 ∠C=∠C,.△PQC∽△ABC。又：△PQC的周长与 △ABC的周长比为1：2，.CP=△P0C的周长=1 面积相等的两部分，S号5。=E5 ,AC△ABC的周长2 2 8 PCAC=2。(2)△0C的周长与四边形PABQ 品拾号号号 90 的周长相等，.PC+CQ+PQ=PA+AB+QB+PQ。PC+CQ= 5图形的位似（第1课时） PA+AB+QB。又PC+CQ+PA+AB+QB=AC+BC+AB, 1.位似中心2.2：53.50cm4.35.D PC+CQ=PH+MB+0B=3AB+BC+AC)=6。CQ6-CP。 6.D7.画图略。8.如图所示。 自知，△c~△MBc。六8器。 。n4 0 79 10.解：（)由题意，得DE/ 第8题答图 BC,.∠ADE=∠B,∠AEC=∠C。.△ADE△ABC 9.解：(1)△ABC与△DEF位似，且相似比为 SAABC 1:2,AC3,折-0F-24C-6。②)△48c 与△DEF位似，∠E=40°，.∠ABC=∠E=40°。∠O= Y。4D-AB,A=Y竖AC。点D在线 20°，.∴∠BCF=∠ABC+∠0=40°+20°=60°。 段AB上且满足AD=Y2AB的位置，点E在线段 10.解：(1)这组位似图形的位似中心为点0。： 2 点A1,A2,A3,…,An在OA1上，点B1,B2,B3,…, AC上且满足AE=Y2AC的位置。 2 (2)DE∥ Bn在OB上，点C,C2,C3,…,Cn在OC上，这 组位似图形的对应点连线都交于点O。·这组位似图 BC,∴.∠ADE=∠B,∠A'DE=∠DFB。由折叠，得 形的位似中心为点O。,△ABC,的边长为1，且点O ∠ADE=∠A'DE,AD=A'D,∴.∠B=∠DFB。.∴BD=DF。 是B,C1的中点，A2是OA1的中点，△AB,C 由(1)）中的结论，得AD=Y2AB。设AB=V2a, 2 △4C,胎-授分4风=宁正三箱形 则AD=Y2AB=a。:DF=BD=AB-AD=(V2-1)a, 2 A,BG的边长为子。同理，正三角形ABG的边长为 D=iD=a4F=4n-nF=2-V7a。福 (2尸。据此可得正三角形A,BC,的边长为分八，正 2-V2L=2-V2。FG∥DE,÷LA'FG=∠A'DE。 a 三角形AC的边长为（宁'。△ABC。和 :ZA'=∠A',△A'FG∽△A'DE。ME=A'E2 ”S△ADE LA'D △ABG,的相似比为分：分-1：8。 (2)由 (2-V2)P=6-4V2。:S四边形m=S△4E=SAe, (1)可推出第n个三角形A,BC.(n≥2)的边长为 Sm=SAE=6-4VZ。 S边形DS△4E 乃片，第m个三角形ABC(a≥2)的周长为 1122专13.号0）14.B 2-0 15.C提示：过点D作DF∥BC交AC于点F, 11.解：(1)作图如图1所示，△DEF与△ABC图形的相似 第三章 相似三角形的性质（第1课时） 自主导学Q典例精析 例题如图，这是一个照相机成像的示意图。 (1)如果像高MW是35mm,焦距是50mm,拍摄的景 35 mm 50 mm 4.9m 物高度AB是4.9m,拍摄点离景物有多远？ (2)如果要完整地拍摄高度是2m的景物，拍摄点离景 例题图 物有4m,像高不变，则相机的焦距应调整为多少毫米？ 【分析】.(1)利用相似三角形对应边上的高的比等于相似比即可列出比例式求解。 （②)和)）一作，利用三布形帮似得篱警-需、求出湖机的距 【解答】(I)由题意知MN∥AB,.∠M=∠B,∠N=∠A,.△LMN△LBA。·CL⊥MN, 1D1AB,8-%。WN-0035m,1-0a5m,AB=49m,00g5-20。D=7m 答：拍摄点离景物7m远。 (2)由(0）知△1N~△A,容-%。WN=0035m,AB=2m,ZD=4m, 095-号c007m 答：相机的焦距应调整为70mm。 【点拨】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是根据题意得到相似三角形，并利 用相似三角形对应边上的高的比等于相似比这一重要性质。 基础巩固)达标闯关 -卡多多多 1.如果两个相似三角形的对应角平分线的比为2：1，则这两个相似三角形的相似比为 2.已知△ABC∽△DEF,且相似比为4：3，若△ABC中BC边上的中线AM=8,则 △DEF中EF边上的中线DN= 3.如图，电灯P在横杆AB的正上方，AB在灯光下的影 子长为CD,AB∥CD,AB=2cm,CD=5cm,点P到CD的距 离为3cm,则点P到AB的距离为 4.如图，在△ABC中，点D,E分别是AB,AC边上的 第3题图 第4题图 点，DE∥BC,AF平分∠BAC交DE于点G,若AD=5,DB= 2,则4G= AF 79 口数学 九年级上册（北师大版） 5.如图，在△ABC中，AC=6,AB=4,点D与点A在直线BC 的同侧，且∠ACD=∠ABC,CD=2,点E是线段BC延长线上的动 点，当△DCE和△ABC相似时，线段CE的长为 6.下列不一定是相似三角形的性质的是() 第5题图 A.对应角相等 B.对应边成比例 C.对应高的比等于相似比 D.对应边相等 7.如图，在△ABC中，点D为AC边上一点，连接BD,△ABC∽△BDC,E,F分别为 AC,BC的中点，连接BE,DF,已知AC=6,BC=4,BE=3,求DF的长。 ED 第7题图 8.如图，在△ABC中，AB=4,BC=6,点D以每秒2个单位长度的速度由点B向点A运 动，同时点E以每秒1个单位长度的速度由点C向点B运动，当点D停止运动时，点E也 随之停止运动。设运动时间为tS,当以B,D,E为顶点的三角形与△ABC相似时，求t的值。 第8题图 能力提升睡综合拓展 9.如图，△ABC是一块余料，边BC=120cm,高AD=80cm,要把它加工成正方形， 使一边在BC边上，其余两个顶点分别在AB,AC边上。 (1)△ASR与哪个三角形相似？请你找出来，并说明理由。 (2)求正方形PQRS的边长。 P D Q 第9题图 80 图形的相似 第三章 1O.如图，在边长为1的正方形ABCD中，E为AD的中点，连接BE,将△ABE沿BE 折叠得到△FBE,BF交AC于点G,求CG的长。 第10题图 中考链接⑦真题演练 11.(2025·攀枝花)如图，在△ABC中，AB=AC=5,BC=6,D为BC的中点，CE⊥AB 于点E,AD与CE相交于点0，则OD=() OC A.3 B子 c D. 25 B E 第11题图 第12题图 12.(2025·陕西)如图，正方形ABCD的边长为4，点E为AB的中点，点F在AD上， EF⊥EC,则△CEF的面积为() A.10 B.8 C.5 D.4 13.(2024·上海)如图，在矩形ABCD中，E为边CD上一点，且AE⊥BD。 (1)求证：AD2=DE·DC。 (2)F为线段AE延长线上的一点，且满足EF=CF=?BD。求证：CE=AD。 第13题图 的 数学 九年级上册（北师大版） 相似三角形的性质（第2课时） 自主导学Q典例精析 例题如图，在口ABCD中，对角线AC,BD交于点O。M为 AD的中点，连接CM交BD于点N,且ON=1。 (1)求BD的长。 (2)若△MDN的面积为1，求△BCD的面积。 例题图 【分析】(1)由平行四边形的性质得到其对边平行且相等、对角线互相平分，再由平行 线的性质得两对应角相等并得出△MND∽△CNB,进而得到DN:BN=1:2。设OB=OD=x, 并用x表示BN与DN,求出x的值，即可求出BD的长。(2)由△MDN的面积为1和 相似三角形面积比等于相似比的平方，得出△BCN的面积为4，再由上述相似得MN：NC= 1:2,结合高相等得到△CND的面积为2，从而得到S△B=S△s+S△cw。 【解答】(1)：四边形ABCD是平行四边形，.AD∥BC,AD=BC,OB=OD。.∠DMN= /nCN,/MDN=/MC。AIND-AGNB..小肥赏。W为AD的中点，D-号4n 号C。C号B-2DN,设0B=00=,则有D=2,BN=0B+0N=+1,DN=x 1,.x+1=2(x-1)。解得x=3。..BD=2x=6。 (2).△MND∽△CNB,且相似比为1：2，∴MN:CN=1:2。.S△：S△C=1:4。:SAD= 1,∴.SA=4。:△MND和△CND的边MN和NC在同一条直线上，.MN和NC边上的高相 等。.SAD=2。.SAB=S△B+S△D=4+2=6。 【点拨】在平行四边形中可借助“对边平行”的性质间接判定“8”字形的两个三角形相 似，从而得到对边上的线段或对角线上的线段成比例。如果已知线段的长，可列比例式求出 相关线段的长度，对于面积的计算要用到面积的比等于相似比的平方。 基础巩固L心达标闯关 1.若△ABC∽△DEF,△ABC与△DEF的相似比为1：2，则△ABC与△DEF的周长比 为 2.两个相似多边形的相似比是1：4，则这两个多边形的对应对角线的比为 3.两个相似三角形的面积比是9：25，其中一个三角形的周长为36cm,则另一个三角 形的周长是 cm。 4.两个相似三角形的最短边分别为5cm和3cm,它们的周长之差为12cm,那么大三 角形的周长为 cm。 82 图形的相似 第三章 5.如图，DE/BC,品-l,则Sam:5a() A.1:2 B.1:3 C.1:4 D.2:3 6.如图，在口ABCD中，AB=10,AD=15,∠BAD的平分线交BC于点E,交DC的延长 线于点F,BG⊥AE于点G,若BG=8,则△CEF的周长为() A.16 B.17 C.24 D.25 第5题图 第6题图 第7题图 7.如图，在△ABC中，点D为BC边上的一点，且AD=AB=2,AD⊥AB,过点D作 DELAD,DE交AC于点E。若DE=1,则△ABC的面积为（) A.4V2 B.4 C.2V5 D.8 能力提升晔综合拓展 8.如图，在□ABCD中，已知AE:EB=2:3。 (1)求△AEF和△CDF的周长比。 (2)若S△HB=8cm2,求SAro 第8题图 9.如图，在△ABC中，AB=5,BC=3,AC=4,PQ∥AB,点P在AC上（与点A,C不重 合)，点Q在BC上。 (1)当△PQC的周长与△ABC的周长比为1：2时，求CP的长。 (2)当△PQC的周长与四边形PABQ的周长相等时，求CP的长。 第9题图 3 数学 九年级上册（北师大版） 10.【追本溯源】 (1)如图1，平行于BC的直线DE把△ABC分成面积相等的两部分，请你确定点D, 点E的具体位置。（来自教材第89页习题9）》 【变式拓展】 (2)如图2，在△ABC中，DE∥BC,分别交边AB,AC于点D,E,且DE将△ABC分 成面积相等的两部分。将△ADE沿直线DE翻折，点A落在点A'的位置上，DA',EA'与BC 分别交于点R,6,求的值 图1 图2 第10题图 中考链接⊙©真题演练 11.(2024·辽宁)如图，AB∥CD,AD与BC相交于点O,且△AOB与△DOC的面积比 是1：4，若AB=6,则CD的长为 o 12.(2025·南京)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90,CD是边AB上的高，AD=号 CD2 则S△皿的值是 S△4BC 13.(2025·眉山)如图，在平面直角坐标系中，用12个以点0为公共顶点的相似三角 形组成形如海螺的图案，若OA=1,∠OAB=90°，则点G的坐标为 第11题图 第12题图 第13题图 第15题图 14.(2025·绥化)两个相似三角形的最长边分别是10cm和6cm,并且它们的周长之和 为48cm,那么较小三角形的周长是() A.14 cm B.18 cm C.30 cm D.34 cm 15.(2025·宜宾)如图是一张锐角三角形纸片ABC,点D,E分别在边AB,AC上， AD=2DB,沿DE将△ABC剪成面积相等的两部分，则AE的值为(） EC A.1 B.2 C.3 D.4 84