第三章 图形的相似 作业-【新课程能力培养】2026-2027学年九年级上册数学同步练习（北师大版·新教材）

第三章作业 第三章作业 一、选择题 1.如果a和b都不为零，且4a=5b,那么下列等式一定成立的是() A8青 B号子 c号分 D48 2.如图，AB∥CD∥EF,则下列关系式一定成立的是() A.AC_DF B.BD_CE ·CE-BD ACDE C.AC_DF D.AC_CE AE BF BD DF 第2题图 3.如图，P是Rt△ABC斜边AB上任意一点(A,B两点除外)， 过点P作一直线，使截得的三角形与Rt△ABC相似，这样的直线可 以作( A.1条 B.2条 C.3条 D.4条 第3题图 4.把1m的线段进行黄金分割，则分成的较短的线段长为() A.3-15 m B.V5-1 m C.V5+1 m D.3+V5 2 2 2 m 5.如图，△ABC与△DEF是位似图形，相似比是2：3，已知AB=4,则DE=() A号 B.5 C.6 D.9 第5题图 第6题图 第7题图 6.如图，已知DE∥BC,CD和BE相交于点O,S△wE:SAB=4:9,则AE:EC为() A.2:1 B.23 C.4:9 D.5:4 7.大约在两千四五百年前，墨子和他的学生做了世界上第一个小孔成像的实验，并 在《墨经》中有这样的精彩记载：“景到，在午有端，与景长，说在端。”如图，在小孔 成像实验中，若物距为10cm,像距为18cm,蜡烛火焰倒立的像的高度是6cm,则蜡烛 火焰的高度是（) A.cm B.4 cm C.13 cm D.5 cm 数学 九年级上册（北师大版） 8.在3,4,12中添加一个数x,使得这四个数成比例，则x的值不能为（) A.1 B.9 C.16 D.25 9.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，在△ABC中放置边长分别 为4,6，x的三个正方形，则x的值为() A.24 B.12 C.10 D.8 第9题图 10.如图，在矩形ABCD中，∠ADC的平分线与AB交于点E, 点F在DE的延长线上，∠BFE=9O°，连接AF,CF,CF与AB交于 点G。下列结论错误的是() A.AE·BE=DE·EF B.AG·BG=FG.CG 第10题图 C.AF.BF=DF.GF D.AF.CF=DF-BE 二、填空题 11.已知0=b=c且a+b+c=18,则b= 23-4 12.如图，AD是△ABC的中线，AE=EF=FC,BE交AD于点G,则AG= AD 第12题图 第14题图 第15题图 13.在Rt△ABC中，∠C=90°，CDLAB于点D,BC=3,AB=5,△ADC∽△CDB的相 似比为 14.《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法，“矩”在古代指两条边呈直角的 曲尺（即图中的ABC),“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度。 如图，点A,B,E在同一水平线上，∠ABC=∠AEF=90°，AF与BC相交于点D。测得 AB=0.6m,BD=0.2m,BE=8.4m,则树高EF为 mo 15.如图，在一处舞台灯光设计中，等边三角形PCD的三个顶点被用作灯光投射定位 点。灯光射线PA与PB交于点P,且△ACP∽△PDB,PD:DB=2:1,若AB=14m,则AC 的长度是 0 三、解答题 16.△ABC的三边分别是a,b,c,且g=6=S 512139 (1)如果△ABC的周长为60，求a的值。 (2)如果△ABC的面积为60，求a的值。 第三章作业 17.在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，建立平面直角坐标系如图所 示，已知△ABC顶点的坐标分别为A(0,2),B(3,3),C(2,1)。 (1)请你画出△ABC。 (2)以顶点B为位似中心，在网格内画一个△ABC1,使它与△ABC位似，且相似比 是2：1。 (3)分别写出点A,C的对应点A1,C的坐标。 0 第17题图 18.如图，在△ABC中，DE,∥BC,EF∥AB,试判断AD=BF成立吗？ AB BC 请说明理由。 第18题图 19.如图，AB∥GH∥CD,点H在BC上，AC与BD的交于点G,AB=2,CD=3,求 GH的长。 D H 第19题图 @ 数学 九年级上册（北师大版） 20.某科创小组开展“智能光学成像”项目式学习，如图1，在光具座上依次垂直放 置LED发光体、凸透镜和光屏，并调整到合适的高度。如图2，主光轴1垂直于凸透镜 MN,且经过凸透镜光心O,将长度为7.2cm的LED发光体AB固定，使物距OB为28cm, 过光心的光线AO,B0通过凸透镜后传播方向不变，移动光屏，直到光屏上呈现一个清 晰的像A'B',此时测得像距OB'为14cm。已知光线AP平行于主光轴l,经过凸透镜MN 折射后通过主光轴上的点F,且折射光线PF经过像点A',求OF的长。 M凸透镜 FB' B主光轴 0 0cm102030405060708090100 N 图1 图2 第20题图 21.如图，四边形ABCD是平行四边形，点E是对角线BD上一点，BE>ED,AE=EC。 (1)求证：四边形ABCD是菱形。 (2)点F是边BC上一点，AF与BD相交于点G,若BG·BE=AB·BF,求证：AB= BE·DG。 第21题图 neo 第三章作业 22.综合与实践 学校组织“数学文化节”，启航小组承担了校园宣传栏主题展板的设计任务，活动报 告如下： 活动任务 设计数学文化节展板 成员 组长：x×组员：Xx×、XX×、X× 基本信息 有两张标准矩形KT板（一种制作展板的常用材料），尺寸为120cmx240cm 用矩形ABCD(AB<BC)表示整张KT板。 展板一：如图1，在展板上下边缘各留宽为acm的空白，左右边缘各留宽为bcm的空 白，中间（即矩形EFGH)为图案区域。 展板二：如图2，在展板上下边缘各留宽为acm的空白，左右边缘各留宽为bcm的空 白，中间部分纵向分割成四个全等的矩形图案区域，且每相邻两个矩形区域之间的间隔 均为bcm 版面规划 D H G 图1 图2 第22题图 问题解决 确定版面图案区域的具体信息，如下：… (1)根据版面规划，若展板一中的a=10,且图案区域与整块展板相似（即矩形 EFGH∽矩形ABCD),求b的值。 (2)根据版面规划，若展板二中的四个矩形图案区域都与整块展板相似（如矩形 MNGH∽矩形ABCD),求a的值。 b 8⑧ 数学 九年级上册（北师大版） 23.如图，在△ABC中，AB=AC,D,P分别为AC,BC的中点，连接BD,E为BD 的中点，过点D作DM⊥BC,垂足为M,交EP的延长线于点N,连接AE,AN。 (1)若AB=8,求EP的长。 (2)求证：CD=PN。 (3)当AE⊥EN时，求△Mm的值。 第23题图 @数学 九年级上册（北师大版） 得(50-y-20)(40+8x之)=1600。整理，得-20+ BD⊥AC。四边形ABCD是平 行四边形，.四边形ABCD是 100=0.4=(-20)2-4×1×100=0,.原方程有两个相等 菱形。 的实数根。解得y可y=10。∴.该店平均每天能获利1600 (2):四边形ABCD是菱 元，每份套餐应降价10元。 形，.DA=AB,BC∥AD。 第三章作业 ∠FBG=∠ADG,∠BFG=∠DAG 第21题答图 1.B2.D3.C4.A5.C6.A7.A8.D 9.C10.D △BG△MDc小能-船-船：小解-治 .612313.号4315.8m GB=4B,器-最。品=治。4 16解：)设号6(0，则a=5, BE·DG。 22.解：(1)由题意可知，AB=120cm,AD= b=12k,c=13k。△ABC的周长为60,5k+12k+13h= 60。解得k=2。∴.a=5x2=10。 240cm。矩形EFGH∽矩形ABCD,:EF=EL AB AD (2)由(1)得a=5k,b=12,c=13k,d2+b2= .a=10..EF=AB-2a=120-10x2=100(cm)。·.EH=AD- (5k)2+(12k)2=25k2+144k2=1692,c2=(13k)2=169%2, 2-(240-20)m,器-29.解得6=20。答：6 .a2+b2=c2。.△ABC是直角三角形，∠C=90°。△ABC 的值为20。 的面积为60，：5am=号×5张x12k=60。解得=V2, (2)年形MNG1矩形ABCD肥。 k=-V2(舍去)。：a=5V2。 BC MH 17.解：(1)图略。(2)图略。 (3) AB-NM° AD=240 cm:AB=120 cm,, A1(-3,1),C(1,-1)。 MH=2MN。由图可得，MH=120-2a,MN=240-5b 4 18解：治能成立。理由：0E/比，小0 AB .120-2a= 。Aa是股0C 240必)46.号= AE .AD_BF 23.(1)解：D为AC的中点，AB=AC,.CD= 19.解：AB∥GH∥CD,∴.∠CGH=∠A,∠CHG= ∠ABC,∠BHG=∠BCD,∠BGH=∠D。∴.△CGH∽ 号AC=AB=4。E,P分别为BD,BC的中点，P △CAB,△BGH∽△BDC。.GA=CL,GH=BH B论，品脱。 是△BCD的申位线。EPCD=2。 G吧+G1-C+B盟=1。AB=2,CD=3,:G4+G4 (2)证明：如图，连接AP,AB=AC,P为BC中 AB'CD BC BC 2+3 点，AP⊥BC。DM⊥BC,.∠APC=∠DMC=90°。 1。GH=6。 afM,把微。1D-D.Mc。nM 20.解：由题意知，AB∥A'B,.∠ABO=∠A'B0, CD,.∠C=∠MPN,∠CDM=∠PNM。∴.△CDM≌ LB'A'0=∠BAO。∴△A0B∽△A'0B'。A1日=B, △PNM(AAS)。∴.CD=PN。 即品-得解得A"F36,由题意，得0P/Ag, 四边形ABOP为矩形，∴.OP=AB=7.2cm,∠POF= ∠A'B'F,∠FPO=∠FA'B。△PFO∽△A'FB。.OE A'B' 第23题答图 F,即0P-B'=A'B'0F。72(14-0F)=3.60F。解 (3)解：由(2)知，EP∥AC。∴.∠CAP=∠APE 得0P受。答：0F的长为号cm AE⊥EN,∴.∠AEP=∠APC=90°。.△AEP∽△CPA。 21.证明：(1)如图，连接AC交BD于点H,: -A仁。设EP=a,∴CD=2EP=2a。AC=2CD=4EP与 四边形ABCD是平行四边形，AH=CH。:点E是对 角线BD上一点，BE>ED,AE=EC,HE⊥AC,即 4a。.a=AP 。∴AP=2a。AE=V(2a)-a=V3a. 参考答案与提示 .PC=VAC2-Ap严=V(4a)2-(2a=2V3a。PN=CD= 9}x32=(30003200m)cm。 20,EN=PE+PN-2ato-3d.AE=V3a_V3 EN 'AP 2a 2’PC 19.解：身影变短了。∠MAC=∠M0P=90°， 3a =V3 一2。AB=。又∠AEP=∠APC, ∠AwC-∠0P,△MHC△0P.-品.即 2V3a AM0P-ACOM。设AM=x,.8x=1.6(20+x)。解得=5。 △AE△APe。s=g)=Y}= S△AE 27 :MM=5m。同理可得△NBD一△NOP,:BN=BD ·0N-0P A2SC8 ,S△4m=3 即BN.0P-BD.0N。设BN=y,.8y=1.6(20-14+y)。解 得y=1.5。BN=1.5。AM-BN=5-1.5=3.5(m)。.小 第四章作业 张的身影变短了3.5m。 1.D2.B3.B4.C5.A6.C7.A8.B 20.解：如图，过点D作DG⊥AB,分别交AB, 9.D10.A EF于点G,H,AB∥CD,DG⊥AB,AB⊥AC,.四 11.中心12.4013.414.64V315.9 边形ACDG是矩形，则EH=AG=CD=12,EF=1.7, 16.解：如图所示。 .DH=CE=0.8,DG=CA=30。∴.FH=EF-EH=1.7-1.2=0.5。 EF∥AB,∠DFH=∠DBG,∠FHD=∠BGD=90°。 左视 图 △DEAD8G.路-册。S8解得C 18.75。.AB=BG+AG=18.75+1.2=19.95≈20.0(m)。.∴ 俯 楼高AB约为20.0m. 图 B 图1 图 G 图 A E C 图2 第20题答图 第16题答图 21.解：过点C作CE⊥BD于点E,由题意可知， 17.解：(1)如图1，CD是木杆在阳光下的影 四边形ACEB为矩形，：.CE=AB=40m,而阳光的人射 子。(2)如图2，点P是影子的光源；EF是人在 角为30°，∴∠DCE=30°。在Rt△DCE中，tan∠DCE= 光源P下的影子。 DE=CE.tan30=40V3 DE -(m),而AC=BE=1m, P 3 则DB=BE+ED=1+40y3≈1+40x1.732≈24(m)。 3 3 太阳光线 答：新建楼房最高约24m。 D30 木杆 水平线 新 图1 图2 楼 第17题答图 18.解：根据该组合体的三视图的形状可知，该组 40m 合体为下面是长为30cm、宽为25cm、高为40cm的 第21题答图 长方体，上面是底面直径为20cm,高为32cm的圆 柱体，所以该组合体的侧面积为30×40×2+25×40×2+ 22.解：如图，连接CQ,并延长交AB于点G。 20m×32=(4400+640π)cm2,体积为30x25×40+T× 由题意可知，AB⊥BD,CD⊥BD,EF⊥BD,AB∥