第三章 5 图形的位似-【新课程能力培养】2026-2027学年九年级上册数学同步练习（北师大版·新教材）

数学 九年级上册（北师大版） △AEF∽△CDF。AE:EB=2:3,AE:CD=2:5。 MD-2B,品-2.8=号。F∥c, △AEF和△CDF的周长比为2：5。(2)△AEF∽ △CDF,且AE:CD=2:5,SAEr:SAr=4:25。 △1m△4。小能船号小含-报 SA △AEF的面积为8cm2,.△CDF的面积为50cm2。 。设San4S,则Saa=9S。:沿DE将△ABC剪成 4 9.解：(1)PQ∥AB,.∠CAB=∠CPQ。又 ∠C=∠C,.△PQC∽△ABC。又：△PQC的周长与 △ABC的周长比为1：2，.CP=△P0C的周长=1 面积相等的两部分，S号5。=E5 ,AC△ABC的周长2 2 8 PCAC=2。(2)△0C的周长与四边形PABQ 品拾号号号 90 的周长相等，.PC+CQ+PQ=PA+AB+QB+PQ。PC+CQ= 5图形的位似（第1课时） PA+AB+QB。又PC+CQ+PA+AB+QB=AC+BC+AB, 1.位似中心2.2：53.50cm4.35.D PC+CQ=PH+MB+0B=3AB+BC+AC)=6。CQ6-CP。 6.D7.画图略。8.如图所示。 自知，△c~△MBc。六8器。 。n4 0 79 10.解：（)由题意，得DE/ 第8题答图 BC,.∠ADE=∠B,∠AEC=∠C。.△ADE△ABC 9.解：(1)△ABC与△DEF位似，且相似比为 SAABC 1:2,AC3,折-0F-24C-6。②)△48c 与△DEF位似，∠E=40°，.∠ABC=∠E=40°。∠O= Y。4D-AB,A=Y竖AC。点D在线 20°，.∴∠BCF=∠ABC+∠0=40°+20°=60°。 段AB上且满足AD=Y2AB的位置，点E在线段 10.解：(1)这组位似图形的位似中心为点0。： 2 点A1,A2,A3,…,An在OA1上，点B1,B2,B3,…, AC上且满足AE=Y2AC的位置。 2 (2)DE∥ Bn在OB上，点C,C2,C3,…,Cn在OC上，这 组位似图形的对应点连线都交于点O。·这组位似图 BC,∴.∠ADE=∠B,∠A'DE=∠DFB。由折叠，得 形的位似中心为点O。,△ABC,的边长为1，且点O ∠ADE=∠A'DE,AD=A'D,∴.∠B=∠DFB。.∴BD=DF。 是B,C1的中点，A2是OA1的中点，△AB,C 由(1)）中的结论，得AD=Y2AB。设AB=V2a, 2 △4C,胎-授分4风=宁正三箱形 则AD=Y2AB=a。:DF=BD=AB-AD=(V2-1)a, 2 A,BG的边长为子。同理，正三角形ABG的边长为 D=iD=a4F=4n-nF=2-V7a。福 (2尸。据此可得正三角形A,BC,的边长为分八，正 2-V2L=2-V2。FG∥DE,÷LA'FG=∠A'DE。 a 三角形AC的边长为（宁'。△ABC。和 :ZA'=∠A',△A'FG∽△A'DE。ME=A'E2 ”S△ADE LA'D △ABG,的相似比为分：分-1：8。 (2)由 (2-V2)P=6-4V2。:S四边形m=S△4E=SAe, (1)可推出第n个三角形A,BC.(n≥2)的边长为 Sm=SAE=6-4VZ。 S边形DS△4E 乃片，第m个三角形ABC(a≥2)的周长为 1122专13.号0）14.B 2-0 15.C提示：过点D作DF∥BC交AC于点F, 11.解：(1)作图如图1所示，△DEF与△ABC 参考答案与提示 是位似图形。0D-E，∠D0E=∠A0B,△D0E (3)A(0,3)与A2(-3,2),C(2,2)与 OA OB C2(1,0)为对应点，点B(3,4)是位似中心， △40。指-8册分.同理胎3 △ABC2与△ABC位似，且相似比为2：1，且对应点 册分品--治anB△46c.:对应 A与A2,C与C2的横坐标满足：-3=2×0-3,1=2×2-3， 纵坐标满足：2=2x3-4,0=2x2-4,.点M(a,b)的对 点的连线AD,BE,CF交于一点O,.△DEF与 应点M2的坐标是(2a-3,2b-4)。 △ABC是位似图形。(2)满足条件的△DEF有无 数个。：点O在△ABC内的位置是任意的，∴.满足条 件的△DEF有无数个。当点O的位置确定以后， △DEF的位置也随之确定。(3)有特殊的位置。点 D,E,F是△ABC三边BC,AC,AB的中点，O是 △ABC三条中线的交点。如图2所示。 第9题答图 10.1:3 11.解：(1)如图，点D即为所求，由图可得， 图1 图2 点D的坐标为(-2，-1)。(2)如图，△AB,C,即 第11题答图 为所求。 12.B13.A14.C 5图形的位似（第2课时） 1.(2,1)2.(9,0)3.A4.B 5.(1)画图略。(2)△ABC的面积为8。 6.解：(1)△ABC在第一象限或第三象限，画 图略。(2)点A(2,1),B(0,3),C(3,2)或 点A(-2,-1),B1(0,-3),C1(-3,-2)。 7.解：(1)画图略，△ABC与△A'B'C'的相似比 为2：1。(2)画图略，A"(6,0),B”(3,-2), 第11题答图 C"(4,-4)。 ☆问题解决活动：利用相似三角形测高 8.(1)如图，点P即为所求，P(-5,-1)。 1.解：CB⊥AD,ED⊥AD,.∠ABC=∠ADE= (2)如图，△OAB2即为所求。 90。又LBAC=∠DAE,△ABC△ADE。.B DE 10 AbBC=1 m DE=15 m.BD-85 m,BCAD= AB 0 DE·AB,即1×(AB+8.5)=1.5x4B。.AB=17。答：河宽 AB为17m。 2.解：如图，过点N作N阳⊥AB于点H,连接EV, ND=EF=1m,AB,CD,EF均垂直于FB,.点E, N,H在同一条直线上，四边形EFDN和四边形NDBH B 是矩形。EN=FD=1.7m,DB=NH,CN=CD-ND=1.6m。 第8题答图 NH⊥AB于点H,a=45°，∴.∠BAN=45°。.AH=NH。 9.解：(1)△ABC,如图，点C,的坐标是(2， AH=NH=a m,..EH=EN+NH=(1.7+a)m,AB=AH+ -2)。(2)△ABC2如图所示，A2(-3,2),C2(1,0)。 HB=(a+1)m。CD⊥FB,AB⊥FB,.CD∥AB。 25图形的相似 第三章 图形的位似（第1课时） 自主导学Q典例精析 例题如图，在10×10的正方形网格中， ⊙ 点A,B,C,D均在格点上，以点A为位似中心 画四边形AB'C'D',使它与四边形ABCD位似， 且相似比为2。 (1)在网格中画出四边形AB'C'D'。 (2)填空：△AC'D'是 三角形。 例题图 例题答图 【分析】(I)延长AB到点B',使AB'=2AB,得到点B的对应点B',同理得到点C,D 的对应点C,D',再顺次连接各对应点即可。(2)利用勾股定理求出AC2=42+82=16+64= 80,AD'2=6+22=36+4=40,CD2=6+22=36+4=40,.AD=CD,AD2+CD2=AC2,.△AC'D'是 等腰直角三角形。 【解答】(1)如图所示。(2)等腰直角 【点拨】本题考查了利用位似变换将一个图形放大的技能。画位似图形的一般步骤： ①确定位似中心；②分别作过位似中心与过关键点（如点B)的射线；③分别在所作的射线 上，根据相似比确定关键点的对应点；④顺次连接上述确定的对应点，得到放大或缩小的 图形。同时，在计算或推理时要结合勾股定理及其逆定理等知识。 基础巩固达标闯关 1.两个位似图形的每一组对应顶点必经过 2.把一个正多边形的边长放大到原来的2.5倍，则原图与新图的相似比为 3.如果两个位似图形的对应线段长分别为3cm和5cm,且较小图形的周长为30cm, 则较大图形的周长为 4.如图，在口ABCD中，点F是AD延长线上的一点，连接BF交DC 于点E,则图中的位似三角形共有 对。 5.如图所示是△ABC的位似图形△DEF的几种画法，其中正确的个 第4题图 数是() 第5题图 A.1 B.2 C.3 D.4 85 口数学 九年级上册（北师大版） 6.如图，△ABC与△DEF是以点O为位似中心的位似图形，若 OE:OB=1:3,△DEF的面积为4，则△ABC的面积为() A.16 B.12 C.8 D.36 7.画出下列图形的位似中心。 第6题图 图1 图2 图3 第7题图 8.如图，已知四边形ABCD,以点O为位似中心画四边形，使它与四边形ABCD位似， 且相似比为1：3。（不写作法，保留作图痕迹） 8 第8题图 9.如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心。 (1)若△ABC与△DEF的相似比为1：2，AC=3,求DF的长。 (2)若∠O=20°，∠E=40°，求∠BCF的度数。 第9题图 能力提升螂综合拓展 10.如图，正三角形ABC,正三角形AB,C2,正三角形AB,C3,…,正三角形ABCn是 一组位似图形，其中△AB1C的边长为1，点O是BC1的中点，A2是OA1的中点，A3是OA2 的中点，…，An是OAn的中点，顶点B2,B,…,B,C2,C,…,Cn都在B,C1边上。 (1)请指出这组位似图形的位似中心，并求出△A1B1oCo和△ABC,的相似比。 (2)求出第n个三角形ABCn(n≥2)的周长。 B14 B2 B3 0 Ca C 第10题图 6 图形的相似 第三章 *11.【问题情境】 如图，在△ABC的内部任取一点O(点O不在三边上)，连接AO,BO,CO,并在AO, B0,C0这三条线段的延长线上分别取点D,B,F使OD=OE=OF=1 OA OB OC2 【动手操作】 (1)请画出满足条件的△DEF,判断△DEF与△ABC是否是位似图形，并说明理由。 【深入探究】 (2)猜想：满足条件的△DEF有多少个？为什么？△DEF的位置是由哪个几何元素决定的？ (3)相对于△ABC,点D,E,F是否有特殊的位置？如果有，请说明点D,E,F的具 体位置，并在备用图中画出这个特殊的△DEF。 备用图 第11题图 中考链接©真题演练 卡多每 12.(2025·眉山)如图，在4×3的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，将 △OAB以点O为位似中心放大后得到△OCD,则△OAB与△OCD的周长之比是() A.2:1 B.1:2 C.4:1 D.1:4 13.(2024·攀枝花)如图，△ABC与△DEF是位似图形，点0为位似中心。已知OA AD 2,则△ABC与△DEF的相似比为() A.2:3 B.1:3 C.2:1 D.3:2 0 第12题图 第13题图 第14题图 14.(2025·浙江)如图，五边形ABCDE,A'B'CD'E'是以坐标原点O为位似中心的位似 图形，已知点A,A'的坐标分别为(2,0)，(3,0)。若DE的长为3，则DE的长为() A子 B.4 c号 D.5 8⑦ 数学 九年级上册（北师大版） 图形的位似（第2课时） 自主导学Q典例精析 例题 如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别 为A(-2,1),B(-1,4),C(-3,2)。 (1)画出△ABC关于y轴对称的△ABC1,并直接写出点C1的 坐标。 (2)以原点0为位似中心，相似比为1：2，在y轴的左侧画出 -101 △ABC放大后的△AB2C2,并直接写出点C2的坐标。 (3)如果点D(a,b)在线段AB上，请直接写出经过(2)的变化 例题图 后点D的对应点D2的坐标。 【分析】(1)利用关于y轴对称的点的性质确定各对应点的位 置，顺次连接各对应点得到符合条件的三角形。(2)利用位似图形 的特点和已知条件确定对应点的位置，顺次连接各对应点得到符合 条件的三角形。(3)根据位似图形对应点之间的关系即可确定点D 的对应点D2的坐标。 -101 【解答】(1)如图所示的△ABC即为所求，点C,的坐标为 例题答图 (3,2) (2)如图所示的△AB2C2即为所求，点C2的坐标为(-6,4)。 (3)如果点D(a,b)在线段AB上，经过(2)的变化后点D的对应点D2的坐标为 (2a,2b). 【点拨】网格作图的关键是掌握图形变化中对应点的坐标之间的关系。此题是作轴对称 和位似变换，关于y轴对称的两点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；位似图形的对应点之 间的关系：若位似比为k,原图形上的一点坐标为(a,b),则对应点的坐标为(ka,kb)。 基础巩固飞达标闯关 1.在平面直角坐标系内，已知A(6,3),B(6,0)两点， 10 以坐标原点0为位似中心，相似比为了，在第一象限内把线段 AB缩小后得到线段A'B',则点A'的坐标是 2.如图，已知图中的每个小方格都是边长为1的小正方形， 每个小正方形的顶点称为格点。若△ABC与△AB,C,是位似图 形，且顶点都在格点上，则位似中心的坐标是 01234567891011x 第2题图 88 图形的相似 第三章 3.如图，在平面直角坐标系中，已知点E(-4,2),F(-1,-1),以0为位似中心，按 2:1的比例将△EFO缩小，则点E的对应点E'的坐标为() A.(2,-1)或(-2,1) B.(8,-4)或(-8,4) C.(2,-1) D.(8,-4) E D 第3题图 第4题图 4.由12个有公共顶点O的直角三角形拼成如图所示的图形，∠AOB=∠BOC=∠COD=· =∠LOM=30°。若S△Mo=1,则图中与△AOB位似的三角形的面积为() A号 B号 c( D 5.如图，△ABC的三个顶点坐标分别为A(-1,3),B(-1,1),C(-3,2)。 (1)以原点O为位似中心，在第二象限内画一个△ABC,使它与△ABC位似，且相似 比为2：1。 (2)求△AB1C的面积。 第5题图 6.如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A(4,2),B(0,6), C(6,4). (1)以原点O为位似中心，画出△ABC1(点A,B的对应点分别为点A1,B),使它与 △ABC位似，且相似比为1：2。 (2)请写出点A1,B1,C1的坐标。 1 321,01 567 第6题图 89 口数学 九年级上册（北师大版） 能力提升钟综合拓展 7.如图，网格中的小方格都是边长为1的正方形，△ABC与△A'B'C'是以点O为位似 中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的顶点上。 (1)画出位似中心点O,并直接写出△ABC与△A'B'C的相似比。 (2)以位似中心0为坐标原点，以格线所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系，画出 △A'B'C关于点O中心对称的△A"B"C”,，并直接写出△A"B"C"各顶点的坐标。 第7题图 8.在如图所示的网格中，△OAB,与△OAB是以点P为位似中心的位似图形。 (1)在图中标出位似中心P的位置，并写出点P的坐标。 (2)以原点O为位似中心，在第三象限内画出△OAB的一个位似图形△OAB2,使它与 △OAB的位似比为2：1. 第8题图 0 图形的相似 第三章 9.已知△ABC在平面直角坐标系内，三个顶点的坐标分别为A(0,3),B(3,4), C(2,2)(网格中每个小正方形的边长均为1个单位长度)。 (1)画出△ABC向下平移4个单位长度后得到的△ABC1,点C,的坐标是 (2)以点B为位似中心，在网格中画出△ABC2,使△ABC2与△ABC位似，且相似比为 2:1,请写出点A2,C2的坐标。 (3)若M(a,b)为线段AC上任意一点，请写出点M的对应点M2的坐标。 B =51 第9题图 中考链接©真题演练 -多 10.(2025·绥化)在平面直角坐标系中，把△ABC以原点O为位似中心放大，得到 △A'BC'。若点A和它的对应点A'的坐标分别为(3,7)，(-9，-21)，则△ABC与△A'B'C 的相似比为 11.(2025·安微)如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直 角坐标系xOy,△ABC的顶点和A1均为格点（网格线的交点）。已知点A和A1的坐标分别 为(-1，-3)和(2,6)。 (1)在网格中描出边AB的中点D,并写出点D的坐标。 (2)以点O为位似中心，将△ABC放大后得到△ABC1,使得点A的对应点为A1,请在 所给的网格图中画出△AB,C1。 第11题图 的