3.3 相似三角形判定定理的证明 练习 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

**基本信息** 本练习聚焦相似三角形判定定理，通过选择、填空、解答题的梯度设计，实现从单一判定条件到综合应用的巩固路径，培养几何直观与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|平行线分线段成比例、单一判定条件|单选1-5题直接考查定理应用，填空8-9题强化比例计算，夯实概念理解| |中档|判定与性质综合、作图应用|单选6-7题结合矩形性质，填空10-11题涉及动态图形，解答12-14题训练尺规作图与实际测量，提升推理能力| |提高|复杂情境与动态探究|解答15-16题融合折叠、旋转等动态问题，需构建模型解决面积关系，发展创新意识与应用能力|

3.3 相似三角形判定定理的证明 练习2026-2027学年 北师大版九年级数学上册 一、单选题 1．已知中，D、E分别是边反向延长线上的点，下列各式中，能判断出的是（    ） A． B． C． D． 2．已知，求作，那么下列作图正确的是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．已知直线及直线外一点C，嘉淇用尺规按①~③的步骤操作，如图：   ①在直线上任取两点D，E，作射线； ②以点D为圆心，长为半径画弧交射线于点F，作射线； ③以点E为圆心，长为半径画弧交射线于点G，作直线． 根据嘉淇的作图，下列结论： 结论Ⅰ：； 结论Ⅱ：； 结论Ⅲ：； 结论Ⅳ：． 其中一定正确的是（    ） A．只有结论Ⅰ B．只有结论Ⅱ C．结论Ⅱ和Ⅳ D．结论Ⅱ和Ⅲ 4．如图，五线谱中的五条直线相互平行且等距，直线与直线分别交于点．若，则的长为（   ） A．4 B．5 C．6 D．8 5．如图，直线，直线和被，，所截，，，，则的长为（    ） A． B．3 C．4 D．2 6．如图，矩形的四个顶点分别在直线，，，上．若直线且间距相等，交直线于点，，，则的值为（     ） A． B． C． D． 7．如图，在中，点、分别在边、上，则在下列五个条件中：①；②；③；④；⑤，能满足与相似的条件有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 8．如图，直线 ，已知，，，___________． 9．在中，点D、E分别在边、上，，，如果，那么的长为_____ 10．在边长为1的等边三角形中，D为直线上一点，，点E在直线上，且，则的长为________． 11．如图，在中，点、、分别在边、、上，，，若四边形的面积恰好是面积的一半，则______． 三、解答题 12．图①、图②均是4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，线段AB的端点均在格点上．在图①、图②给定的网格中按要求画图． (1)在图①中，在线段AB上画出点M，使AM＝3BM． (2)在图②中，在线段AB上画出点P，使AP＝2BP．（保留作图痕迹，要求：借助网格，只用无刻度的直尺，不要求写出画法）． 13．如图，在中，点D是边上的一点，．    (1)尺规作图：作直线交于点E；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，若，求的长． 14．如图，花丛中有一盏路灯，为了测量路灯离地面的高度，小明在点处竖立标杆，小明站立在点处，从点处看到标杆顶、路灯顶在一直线上（点、、也在一直线上）．已知米，米，标杆米，人的眼睛离地面的距离米．求路灯离地面的高度．    15．已知矩形的一条边，是边上的一点，将矩形沿折痕折叠，使得顶点落在边上的点处，（如图1）． (1)求的长； (2)擦去折痕，连接，设是线段上的一个动点（点与点，不重合）．是延长线上的一个动点，并且满足，过点作，垂足为，连结交于点（如图2）． ①若M是的中点，求的长； ②试问当点M、N在移动过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，说明理由；若不变，求出线段的长度． 16．如图： (1)如图1，边长为的正方形对角线与相交于点，且正方形绕点旋转时，交边于点，交边于点．则图中阴影部分（四边形）的面积为______；（用含的代数式表示） (2)如图2，已知中，，，平分，点为的中点．正方形绕点旋转时，交边于点，交边于点．求图中阴影部分（即四边形）的面积； (3)如图3，与均为等腰直角三角形，，，．是斜边上的中线，点为的中点，交边于点，交边于点．设两三角形重叠部分（阴影部分）的面积为，已知，当两三角形的空白部分（除去阴影部分）的面积差为2时，直接写出阴影部分面积的值． 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 答案 A A C C A A D 1．【答案】A 【知识点】由平行判断成比例的线段 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，能灵活运用平行线分线段成比例的性质定理得出比例式是解此题的关键．根据平行线分线段成比例定理即可得出答案． 【详解】解：如图， D、E分别是边反向延长线上的点， A、若，能判定，符合题意； B、若，不能判定，不符合题意； C、若，不能判定，不符合题意； D、若，不能判定，不符合题意； 故选：A． 2．【答案】A 【知识点】由平行判断成比例的线段 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理、复杂作图，熟练掌握平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．利用得比例式，与已知图形作对比，可以得出结论． 【详解】解：∵， ∴或． 第一个图作出的为，故符合题意； 第二个图作出的为，但x是所求线段，所以图形不能画出，故不符合题意； 第三个图作出的为，但x是所求线段，所以图形不能画出，故不符合题意； 第四个图作出的为，即，故不符合题意； 综上所述，列作图正确的有1个． 故选：A． 3．【答案】C 【知识点】作线段(尺规作图)、与三角形中位线有关的求解问题、由平行判断成比例的线段 【详解】解：由作图可得，， ∴是的中位线， ∴，， ； 故结论Ⅱ和Ⅳ一定正确，结论Ⅰ不能证明，结论Ⅲ错误． 4．【答案】C 【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理． 作交于E，交于D，根据平行线分线段成比例定理作答即可． 【详解】解：作交于E，交于D， ∵五线谱中的五条直线相互平行且等距， ∴，， ∴， 即， ∴． 故选：C． 5．【答案】A 【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值 【详解】解：∵直线，直线和被，，所截， ∴， ∵，，， ∴， 解得：． 6．【答案】A 【知识点】根据矩形的性质求线段长、由平行截线求相关线段的长或比值 【分析】由矩形的性质得出，，根据平行线分线段成比例定理，可得 ，即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点，交于点， ∵四边形是矩形， ∴，． ∵， ， ∴． ． 7．【答案】D 【知识点】选择或补充条件使两个三角形相似、利用两角对应相等判定相似、利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似、利用平行判定相似 【分析】根据相似三角形的判定定理判断即可． 【详解】解：①由，则可判断； ②，则有，则可判断； ③，，则可判断； ④，可化为，此时不确定，故不能确定； ⑤由，则可判断； 所以能满足与的条件是：①②③⑤，共4个，故选D． 8．【答案】 【知识点】由平行判断成比例的线段 【分析】此题考查平行线分线段成比例定理，能根据定理得出正确的比例式是解题的关键．根据平行线分线段成比例定理得出比例式，代入求出即可． 【详解】解： ， ， ，，， ， ， ， 故答案为：． 9．【答案】 【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例，根据，可得，从而可得答案． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为： 10．【答案】或3 【知识点】由平行判断成比例的线段、等腰三角形的性质和判定、含30度角的直角三角形、等边三角形的性质 【分析】分点在线段的延长线和反向延长线上，两种情况进行讨论求解即可，当点在线段的延长线上时，推出为等腰三角形，三角形外角的性质求出，根据等边对等角，推出为含30 度角的直角三角形，求出的长，进而求出的长即可，当点在线段的反向延长线上时，过点作，过点作，得到，根据等边三角形和等腰三角形的性质，结合平行线分线段成比例进行求解即可． 【详解】解：当点在的延长上时，如图， ∵边长为1的等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 当点在的反向延长上时，如图， 过点作，过点作， 则：， ∵为等边三角形，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上：或； 故答案为：或3． 【点睛】本题考查等边三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形，以及平行线分线段成比例，掌握相关知识点，利用分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． 11．【答案】/4 【知识点】利用平行四边形的性质求解、由平行截线求相关线段的长或比值 【分析】连接，由已知推出的面积是的面积的4倍，得到的面积的面积，即可求解． 【详解】解：连接， ，， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， 四边形的面积恰好是面积的一半， 的面积是的面积的4倍， 的面积的面积， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，三角形的面积，平行四边形的性质，解题的关键是连接得到的面积是的面积的4倍． 12．【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】由平行判断成比例的线段 【分析】（1）利用网格特征寻找点M即可； （2）取格点E，F，连接EF交AB于点P，点P即为所求． 【详解】（1）解：∵， ∴， 即AM＝3BM， 故图①中，点M即为所求； （2）解：∵， ∴， 即AP＝2BP， 故图②中，点P即为所求． 【点睛】本题考查作图−应用与设计作图，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是掌握网格特征解决问题，属于中考常考题型． 13．【答案】(1) 如图所示， 直线即为所求； (2) 【知识点】由平行判断成比例的线段、尺规作一个角等于已知角 【分析】本题考查了作一个角等于已知角的尺规作图以及平行线分线段成比例． （1）根据作一个角等于已知角，再根据同位角相等，两直线平行即可作答； （2）根据平行线分线段成比例即可作答． 【详解】（1）略 （2）由作图可知， 又∵， ∴． ∴． ∵， ∴． 14．【答案】4米 【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，解题的关键是过A点作，交、于点G、H，根据题意得出米，根据，得出，即，求出米，即可得出答案． 【详解】解：过A点作，交、于点G、H，如图所示：    由题意，米，米，米， ∴米， ∵， ∴， 即， 解得：米， ∴（米）， 答：路灯离地面的高度为4米． 15．【答案】(1)10 (2)①；②不发生变化，长度为 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、由平行判断成比例的线段、等腰三角形的性质和判定、矩形与折叠问题 【分析】（1）设，根据折叠可得，，利用勾股定理，在中，，即，即可解答； （2）①过点A作于点G，根据勾股定理求出的长，由，所以，在中，由，，所以，根据M是的中点，所以H是的中点，根据中位线的性质得到； ②作，交于点Q，求出，，得出，根据，得出，根据，证出，得出，再求出，最后代入即可得出线段的长度不变． 【详解】（1）解：设，则，， 在中，， 即， 解得：， 即． （2）解：①如图2，过点A作于点G， 由（1）中的结论可得：，，， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∵，， ∴， ∴， ∵M是的中点， ∴ ∴H是的中点， ∴． ②当点M、N在移动过程中，线段的长度是不发生变化； 作，交于点Q，如图3， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． ∵，， ∴． ∵， ∴， 在和中，， ∴． ∴， ∴． ∴当点M、N在移动过程中，线段的长度是不发生变化，长度为． 【点睛】此题考查了四边形综合，用到的知识点是全等三角形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的性质，关键是做出辅助线，找出全等三角形． 16．【答案】(1)； (2)； (3)或 【知识点】由平行判断成比例的线段、根据正方形的性质证明、全等的性质和SAS综合（SAS）、其他问题(一元一次方程的应用) 【分析】（1）根据正方形的性质证明△AOH≌△BOR，即可得到S阴影=，由此得到答案； （2）方法一：过点作分别与，交于点，，连接，．得到，推出点，，分别为，，的中点，证得四边形为正方形．根据（1）求出阴影部分的面积． 方法二：过点作，分别与，交于点，．证明．由求出答案； （3）先求出OE=OF=3，根据面积差为2列方程求解即可． 【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，对角线与， ∴OA=OB，， ∵∵四边形OEFG是正方形， ∴， ∴， ∴, ∴△AOH≌△BOR， ∴S阴影==， 故答案为：； （2）解：方法一： 如图，过点作分别与，交于点，，连接，． ∴， 又∵，平分， ∴，． 由上可知，点，，分别为，，的中点， ∴，， ∴四边形为平行四边形， 又∵，， ∴四边形为正方形． 由（1）可得：． 方法二：过点作，分别与，交于点，． ∴，又，∴ 又∵，平分， ∴，，． ， ∴，∴． 所以． （3）解：∵，，， ∴OE=OF=3， 设， 由（2）可知 当S△ABC-S△EOF=2时， ， 解得=13， ∴=； 当S△EOF- S△ABC = 2时， ， 解得=5， ∴=； 综上，阴影部分面积S的值为或． 【点睛】此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定及性质，平行线分线段成比例，三角形中位线的性质，等腰三角形的性质，一元一次方程的实际应用，正确理解正方形的性质是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $