3.2 探索三角形相似的条件 课前预习2026-2027学年北师大版九年级数学上册

**基本信息** 北师大版九年级数学上册“探索三角形相似的条件”课前预习同步练，分层设计从基础概念到综合应用，知识覆盖相似判定、黄金分割等，通过情境化题型培养数学思维与应用意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|相似三角形判定（两角、三边、两边及夹角）|单选1-6直接考查判定定理，如“两角对应相等判定相似”| |中档|综合判定与计算|填空13结合动态问题分类讨论相似，解答15利用公共角证相似| |提升|实际应用与作图|解答18黄金分割尺规作图，17结合矩形菱形性质综合应用|

3.2 探索三角形相似的条件 课前预习2026-2027学年 北师大版九年级数学上册 一、单选题 1．如图，已知．下列四个三角形，与相似的是（   ）    A．   B．   C．   D．   2．如图，选项中的阴影三角形与相似的为（     ） A． B． C． D． 3．要使，需要补充的条件是（    ） A． B． C． D． 4．在小提琴的设计中，蕴含着数学知识．如图所示，这三部分长度的比满足．若，则的长为（   ） A． B． C． D． 5．下列各条件中，能判断的是（　　） A．， B． ， C．， D．，，， 6．下列命题中，正确的是（   ） A．两个等腰三角形一定相似 B．两个直角三角形一定相似 C．两个等边三角形一定相似 D．两个钝角三角形一定相似 7．宽与长的比是的矩形叫作黄金矩形，帕特农神庙正面轮廓视觉上非常接近黄金矩形，嵌套多层近似黄金矩形，如图，矩形截掉正方形后，剩余的矩形仍是黄金矩形，是，求的长度，设的长度是，根据题意，下列的方程中正确的是（     ） ①；②；③；④． A．① B．①③ C．①②④ D．①②③④ 8．如图，在的方格中，画有格点（阴影部分）与相似的是（　　） A． B． C． D． 二、填空题 9．如图，是的斜边上的高，图中与相似的三角形为_________（填一个即可）． 10．如图，在正方形网格中有四个三角形，其中与相似（不包括本身）的三角形有 _____个． 11．如图，、和3张都标注一个条件的卡片．从这3张卡片中随机一次性抽取2张的结果，能判断的概率为_____． 12．点C是线段的黄金分割点，若，则较长线段的长是___________（结果保留根号） 13．如图，，，，，，点是上的一个动点点不与点，重合，连接，若与是相似三角形，则满足条件的点个数为______． 三、解答题 14．如图，在中，，是边上的一点，请利用尺规作图法在边上求作点，连接，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 15．如图，在中，点D在边上，且满足．请找出图中的一对相似三角形，并证明． 16．如图所示，在的网格中，和的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上． (1)填空：___________，___________； (2)判断与是否相似？并证明你的结论． 17．如图，在矩形中，，相交于点，是的中点，过点作交的延长线于点，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若矩形的面积为，求的面积． 18．黄金分割起源于古希腊的毕达哥拉斯学派，公元前4世纪，古希腊数学家欧多克索斯第一个系统研究了黄金分割比例这一问题，并建立起比例理论，后来欧几里得进一步系统论述了黄金分割，使《几何原本》（如图1）成为最早的有关黄金分割的论著．20世纪70年代，这种方法经过我国著名数学家华罗庚的倡导在我国得到大规模推广，取得了很大的成就．下面的作法是由《几何原本》中给出的： 如图2，已知正方形，求作边的黄金分割点． ①取的中点，连接； ②在的延长线上取点，使； ③以线段为边作正方形． 则点就是线段的黄金分割点． 请你依据以上步骤，用尺规作图的方法在图2中作出线段的黄金分割点（保留作图痕迹，不写作法）． 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C B D C C C D A 1．【答案】C 【知识点】利用两角对应相等判定相似 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，根据两角对应相等的两个三角形是相似三角形，逐项判断即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴是顶角为，底角为的等腰三角形， A、是顶角为的等腰三角形，与不相似，故不符合题意； B、三边相等的三角形是等边三角形，每个内角都为，与不相似，故不符合题意； C、是顶角为的等腰三角形，则底角为，与相似，故符合题意； D、是顶角为的等腰三角形，与不相似，故不符合题意； 故选：C． 2．【答案】B 【知识点】利用三边对应成比例判定相似 【分析】本题主要考查相似三角形的判定定理及勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键；先得出的三条边长，然后根据“三边对应成比例的两个三角形相似”依次进行排除选项即可． 【详解】解：设小正方形的边长为1，则有：， A选项中，三边长依次为，所以，所以不相似； B选项中，三边长依次为，所以，所以这两个三角形相似； C选项中，三边长依次为，所以，所以不相似； D选项中，三边长依次为，所以，所以不相似； 故选B． 3．【答案】D 【知识点】选择或补充条件使两个三角形相似 【分析】本题考查相似三角形的判定．识别两三角形相似，除了要掌握定义外，还要注意正确找出两三角形的对应边、对应角．根据相似三角形的性质，因为是公共角，需要，继而选出答案． 【详解】解：要使，且， 需：，即， 故A、B、C错误，D正确． 故选：D． 4．【答案】C 【知识点】黄金分割 【分析】本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割点的定义和黄金比值是解题的关键．把线段分成两条线段和（），且使是和的比例中项（即），叫做把线段黄金分割，点C叫做线段的黄金分割点．依据黄金分割的定义进行计算即可． 【详解】解：∵这三部分长度的比满足，， ∴， 故选：C． 5．【答案】C 【知识点】相似三角形的判定综合 【分析】本题主要考查相似三角形的判定，解答的关键是熟记相似三角形的判定条件：两角对应相等的两个三角形相似：两组对应边成比例且其夹角相等的两个三角形相似；根据相似三角形的判定条件对各选项进行分析即可． 【详解】A、，，只有一角一边，不能判断两个三角形相似，故A不符合题意； B、 ，，不是与的夹角，不能判断两个三角形相似，故B不符合题意； C、由可得，再由得，利用两组对应边成比例且其夹角相等的两个三角形相似，可判断，故C符合题意； D、由，得，则得，故D不符合题意； 故选：C． 6．【答案】C 【知识点】利用两角对应相等判定相似 【分析】本题考查相似三角形的判定，等边三角形由于角固定，故总是相似．根据相似三角形的判定定理，两个三角形相似需对应角相等或对应边成比例．等边三角形的所有角均为，故一定相似． 【详解】解：A．两个等腰三角形的顶角可能不相等，故对应角不一定相等，不一定相似． B．两个直角三角形的锐角可能不相等，故对应角不一定相等，不一定相似． C．∵等边三角形的每个内角均为60°，∴任何两个等边三角形的对应角都相等，∴它们一定相似． D．两个钝角三角形的钝角可能不相等，故对应角不一定相等，不一定相似． 因此，正确的是C． 故选：C． 7．【答案】D 【知识点】黄金分割 【详解】解：设的长度是， 矩形是黄金矩形，是， ，即，故①正确； ，即，故④正确； 四边形是正方形， ， ， 矩形是黄金矩形， ，即，故②正确； ， ，故③正确； 故选：D． 8．【答案】A 【知识点】利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似 【分析】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似．利用两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似对各选项进行判断． 【详解】解：， A选项中，三条线段的长为，因为，此三角形为直角三角形，长直角边与短直角边的比为2，所以A选项的方格中所画格点三角形（阴影部分）与相似；而B选项中长直角边与短直角边的比为3，C、D选项中的两直角边的比为． 故选：A． 9．【答案】或（答案不唯一） 【知识点】直角三角形的两个锐角互余、利用两角对应相等判定相似 【分析】本题主要考查了直角三角形的两个锐角互余，相似三角形的判定等知识点，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键． 首先，利用两角对应相等可证得，然后由，可得，进而可证得，于是得解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：或（答案不唯一）． 10．【答案】1 【知识点】相似三角形的判定综合 【分析】本题考查的是相似三角形的判定，利用网格特点得到为，第2个图中含，然后利用两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可判断第2个图形与相似． 【详解】解：∵为，三个图形中只有第2个图中含， 且夹的两组对应边成比例， ∴与相似（不包括本身）的三角形有1个． 故答案为：1． 11．【答案】 【知识点】选择或补充条件使两个三角形相似、根据概率公式计算概率 【分析】本题考查了相似三角形的判定，概率等知识．利用相似三角形的判定方法依次判断可求解． 【详解】解：若，，则； 若，，则； 若，，则无法证明； 从这3张卡片中随机一次性抽取2张有3种等可能结果，其中能判断的有两种， 能判断的概率为， 故答案为：． 12．【答案】 【知识点】黄金分割 【详解】解：∵点是线段的黄金分割点，为较长线段， ∴， ∵， ∴． 【点睛】黄金分割中较短线段与较长线段的长度之比等于较长线段的长度与整条线段的比等于． 13．【答案】3 【知识点】公式法解一元二次方程、两直线平行同旁内角互补、利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似 【分析】设，则，分两种情况：①当时；②当时；分别得出x的方程，解方程得出的长，即可得出结论． 【详解】∵，， ∴， ∴， 设，则， 分两种情况： ①当时， 即， 解得：； ②当时， 即， 解得：或4， 综上，当或3或4时，与是相似三角形，共3个． 14．【答案】 如图所示，即为所求． 【知识点】作垂线(尺规作图)、利用两角对应相等判定相似 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，垂线的尺规作图，过点D作的垂线，垂足为点E，则，再由，即可证明． 【详解】略 15．【答案】；证明： ∵， ∴， ∵， ∴． 【知识点】相似三角形的判定综合 【分析】根据得出，然后根据相似三角形的判定方法可得，． 【详解】略 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，解题的关键是根据得出，熟记相似三角形的判定方法． 16．【答案】(1)； (2)解：，证明如下： ∵在中，，，， ∵在中，，， ∴ ∴． 【知识点】勾股定理与网格问题、利用三边对应成比例判定相似 【分析】此题考查了相似三角形的判定，勾股定理，等腰直角三角形的性质和判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点． （1）取格点G，连接，，求出，进而求出，根据勾股定理即可求出； （2）首先根据勾股定理求出与各边长，然后得到，即可证明出． 【详解】（1）解：如图所示，取格点G，连接，， 由网格得，点G，D，F三点共线，且， 为等腰直角三角形 由勾股定理得： （2）略 17．【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】利用矩形的性质证明、利用菱形的性质求面积、证明四边形是菱形、相似三角形的判定综合 【分析】（1）由矩形知，由知，故，又点是的中点，故点是的中点，从而是的中位线，又是的中点，故，故四边形是平行四边形，又，故四边形是菱形； （2）由矩形的面积为得，故，由得，故，从而，． 【详解】（1）证明：∵在矩形中，，相交于点， 是的中点，， ， ， ， ， 又∵点是的中点， ∴点是的中点， 是的中位线， ， 是的中点， ， ， ， ∴四边形是平行四边形， ， ∴四边形是菱形； （2）解：∵矩形的面积为， ， ∵四边形是菱形， ，， ， 在和中， ， ， ， ． 18．【答案】如图，点就是线段的黄金分割点： 【知识点】作线段(尺规作图)、作已知线段的垂直平分线、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质证明、黄金分割 【分析】本题考查线段中点以及正方形的尺规作图方法． 【详解】设，则， ， ， ， 所以点就是线段的黄金分割点 学科网（北京）股份有限公司 $