第二章 2 一元二次方程的解法-【新课程能力培养】2026-2027学年九年级上册数学同步练习（北师大版·新教材）

一元二次方程 第二章 元二次方程的解法（第1课时） 自主导学Q典例精析 例题用配方法解一元二次方程x2-8x-1-0。 【分析】根据配方法的解题步骤即可求解。 【解答】将方程变形，得x2-8x=1。 两边都加上42，得x2-8x+16=17,即(x-4)2=17。 两边开平方，得x-4=V17或x-4=-V17。所以x=4+V17,x2=4-V17。 【点拨】此题考查用配方法解一元二次方程，熟练掌握完全平方公式是解题的关键。 基础巩固L达标闯关 -多多 1.填上适当的数，使下列等式成立。 (1）x2+4x+( )=(x+ )2； (2)x2+6x+( )=(x+ 2； (3)x2-12x+( )=(x- (4)x2-5x+(0 )=(x- )2； 5)+3 )=(x+ )2； 6)2青4( )=(x )2。 2.把方程x2-8x+3=0转化成(x+m)2=n的形式为（) A.(x-4)2=13 B.(x-4)2=19 C.(x+4)2=19 D.(x+4)2=13 3.用配方法解方程x2-2x-5=0时，原方程应变形为（ A.(x+1)2=6 B.(x-1)2=6 C.(x+2)2=9 D.(x-2)2=9 4能转化为+3-至的形式的方程是（） A++}0B.++10 C.x2+x+1=0 D.x2+x-1=0 5.用配方法解下列方程： (1)x2-2x-3=0; (2)x2+4x-7=0; 3 数学 九年级上册（北师大版） (3)x2+3x-4=0: (4)x2-12x-28=0; (5)x2-2V3x+1=0: (6)(x-3)(x-2)=5。 能力提升螂综合拓展 6.已知a是不等式5(a-2)+8<6(a-1)+7的最小整数解，请用配方法解关于x的方程x2+ 2ax+a+1=0。 中考链接©真题演练 -卡 7.(2025·南京)设方程x2+2x-9=0的正根介于整数m与m+1之间，则m= 8.(2024·德州)把多项式x2-3x+4进行配方，结果为() A.(x-3)2-5 B-3+子 cx3+ 2 D.+2+ 9.(2024·东营)用配方法解一元二次方程x2-2x-2023=0,将它转化为(+A)2=B的形 式，则AB的值为() A.-2024 B.2024 C.-1 D.1 10.(2024·赤峰)等腰三角形的两边长分别是方程x2-10x+21=0的两个根，则这个三角 形的周长为() A.17或13 B.13或21 C.17 D.13 39 一元二次方程 第二章 元二次方程的解法（第2课时） 自主导学Q典例精析 例题用配方法解一元二次方程2x'=6x+9。 【分析】先将方程的二次项系数化为1，再将常数项移到方程的右边，然后配方为(x+ m)2=n的形式，最后再用开平方法求方程的解。 【解答】移项，得2x2-6x=9。方程两边同时除以2，得2-3x=9 。 配方，得+33号，即女是- 两边开平方，得x号=±35，即k3=3y写或号3y3」 2 2-2 2 2 所以=3+3V3 2 ,=3-3V3 2 【点拨】本题考查用配方法解二次项系数不等于1的一元二次方程，将方程的二次项系 数化为1，并将方程配方成(x+m)2=的形式是解题的关键。 基础巩固)达标闯关 1.用配方法解方程3x2-6x+1=0,则方程可变形为() A.(g-3产写 B.3-123 C.(3x-1)2=1 D.(-13 2.用配方法解下列方程： (1)3x2-16x+5=0: (2)2x2-6x+3=0: (3）5x2-2=3x; (4) (6)3x2-6V3x+1=0。 3 (5)0.3y2+y+0.1=0: 5 口数学 九年级上册（北师大版） 能力提升坤综合拓展 3.三个连续整数两两相乘，再把它们的积相加后得431，求这三个数。 4.【阅读理解】 利用完全平方公式，先将多项式x+bx+c变形为(x+m)2+n的形式，然后由(x+m)≥0 可求出多项式x+bx+c的最小值。 例如：当a取何值时，代数式a+6a+8有最小值？最小值是多少？ 解：a2+6a+8=2+6a+32-32+8=(a+3)2-1。 因为(a+3)2≥0，所以a2+6a+8≥-1，所以当a=-3时，代数式a+6a+8有最小值，最小 值是-1。 【问题解决】 利用配方法解决下列问题： (1)当x= 时，代数式x2-2x-1有最小值，最小值为 (2)当x取何值时，代数式2x+8x+12有最小值？最小值是多少？ (3)当x,y取何值时，代数式5x2-4xy+y2+6x+25取得最小值？最小值为多少？ 【拓展提升】 (4)如图所示的第一个长方形边长分别是2a+5,3a+2,面积为S1；如图所示的第二个长 方形边长分别是5a,a+5,面积为S2。试比较S,与S2的大小，并说明理由。 (5)某养殖场要将一块长为12m、宽为10m的长方形养殖区域进行改造，使得长减少 xm、宽增加xm,则x取何值时，长方形区域的面积S最大？最大值是多少？ 3a+2 5a 2a+5 +9 第4题图 6 一元二次方程 第二章 元二次方程的解法（第3课时） 自主导学Q典例精析 例题1关于x的一元二次方程(m-2)x2+2x+1=0有实数根，求m的取值范围。 【分析】根据一元二次方程的概念及根的判别式即可得到m的取值范围。 【解答】·关于x的一元二次方程(m-2)x2+2x+1=0有实数根，∴.m-2≠0且22-4×(m-2)× 1≥0。解得m≤3。.m的取值范围是m≤3且m≠2。 【点拨】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0的根的判别式△=b2-4ac。当△>0时，方程 有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△<0时，方程没有实数 根。根的判别式的优势是不用解方程，就可以直接判断方程是否有实数根。 例题2用公式法解方程：(x+2)(2x-5)=-9。 【分析】先将方程化为一般式，然后再利用求根公式解方程。 【解答】整理方程，得2x2-x-1=0。 这里a=2,b=-1,c=-1,b2-4ac=(-1)2-4x2×(-1)=9>0, 洁9-，即=1，g子 2x2 【点拨】本题考查用公式法解一元二次方程。用公式法解方程关键要把握两点：一是要 将方程化为一般形式，二是要牢记求根公式。 基础巩固飞)达标闯关 -卡ssB 1.方程3x2-4x+2=0中，= ,b= ,C= ,其中b2-4ac= 2.已知一元二次方程mx2+nx+(n-m)=0,则判别式△= 该方程根的 情况是 3.不解方程，判别下列方程根的情况。 (1)2x2+4x+35=0: (2)4y(y-1)-7=0: (3)0.2x2 2t5: (4)3=2V6t-2。 可 数学 九年级上册（北师大版） 4.解下列方程： (1）x2-4x-12=0: (2)4y2-12y+9=0; (3)）2x2+x-6=0: (4)6x2-13x-5=0: (5)x2-2V2x+2=0: (6)3x2-4x-21=0。 5.下面解方程3x2-7x=2的过程是否正确？如果错误，请改正。 解：m3,67,c2,B-407P-4x3x2=25,x7生V25=75 2×3 is-I ,2=-2。 38 一元二次方程 第二章 能力提升坤综合拓展 - 6.已知两个数的差等于6，积等于16，求这两个数。 7.从社会效益和经济效益出发，某地计划三年内投入1900万元资金进行生态建设，以 此来带动本地旅游业的发展。本年度当地旅游业收入估计为400万元，如果在今后的三年内 (本年度为第一年)每年旅游业的收入比上年增长相同的百分数，则这三年内旅游业的总收 入恰好等于投资总额，求这个百分数。 9 数学 九年级上册（北师大版） 8.如图，用同样规格的黑、白两色正方形瓷砖铺设矩形地面，请观察下列图形并解答有 关问题： (1)在第n个图形中，每一横行共有 块瓷砖，每一竖列共有 块瓷砖。 (均用含n的代数式表示) (2)按上述铺设方案，铺一块这样的矩形地面共用了506块瓷砖，求此时n的值。 (3)如果黑瓷砖每块4元，白瓷砖每块3元，在问题(2)中，共需花多少钱购买 瓷砖？ (4)是否存在黑瓷砖与白瓷砖数量相等的情形？请通过计算说明。 n=l n-2 n=3 第8题图 中考链接⊙真题演练 9.(2025·广东)不解方程，判断一元二次方程2x2+x-1=0的根的情况是 10.(2025·上海)一元二次方程2x2+x+m=0没有实数根，那么m的取值范围是 11.(2025·西宁）若关于x的一元二次方程kx2-2x+1=0有两个不相等的实数根，请写出 一个满足条件的飞的值： 12.(2025·河南)一元二次方程x2-2x=0的根的情况是（) A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.只有一个实数根 D.没有实数根 13.(2025·北京)若关于x的一元二次方程ax2+2x+1=0有两个相等的实数根，则实数a 的值为() A.-4 B.-1 C.1 D.4 40 一元二次方程 第二章 元二次方程的解法（第4课时） 自主导学Q典例精析 例题解一元二次方程：3(x-5)2=2(x-5)。 【分析】将方程移项变形后，利用因式分解法求出解即可。 【解答】将方程变形，得3(x-5)2-2(x-5)=0。 分解因式，得(x-5)[3(x-5)-2]=0,即x-5=0或3x-17=0。 解得x5,子 【点拨】此题考查用因式分解法解一元二次方程，熟练掌握因式分解是解本题的关键。 基础巩固LU达标闯关 卡多 1.方程(5x+3)(x-7)=0的解是 2.方程3(2x-1)-x(2x-1)=0的解是 3.方程(x+3)2-16=0的解是 4.若x2+2x的值等于零，则x的值为（) A.0 B.-2 C.0或-2 D.0或2 5.已知x2-6xy+9y2=0,则花的值为（) A.3 B.-3 D. 6.方程(x2-4)+3(x+2)=0的解是（) A.x=2 B.x=-2 C.x1=-2,x2=1 D.x=-2,x=-1 7.用因式分解法解下列方程： (1)4(x-2)2-25=0: (2)16x2-24x+9=0: (3)(2x+3)2-16x(2x+3)=0: (4)(x+3)2=9(x-2)2; (5)(x+1)2-28=0: (6)3x2-27=2(x-3)2。 数学 九年级上册（北师大版） 8.请你用恰当的方法解下列方程： (1)x2+2x-1=0: (2)2x2-5x=4x-10; (3)x2-4x=4。 能力提升睡综合拓展 -·s多 9.有多项式乘法：(x+a)(x+b)=x+(a+b)x+ab,将该式从右到左使用，即可得到“十字 相乘法”进行因式分解的公式：x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)。 【示例】分解因式：x2+5x+6=x2+(2+3)x+2×3=(x+2)(x+3)。 (1)【尝试】分解因式：x2+6x+8=(x+)(x+ (2)【应用】请用上述方法解方程：x2-3x-4=0。 10.现有两个正方形，小正方形的边长比大正方形的边长的一半多4cm,大正方形的面 积比小正方形的面积的2倍少32cm,求大、小两个正方形的边长。 一元二次方程 第二章 11.两个相邻自然数的平方和比这两个数中较小数的2倍大51，求这两个数。 中考链接©真题演练 12.(2026山东)若关于x的一元二次方程(x-2)(x-m)=0的一个根是10，则另一个根 是 13.(2024贵州)一元二次方程x2-2x=0的解是（) A.x1=3,x2=1 B.x=2,x2=0 C.x1=3,x2=-2D.x=-2,x2=-1 14.(2025·重庆)某景区2022年接待游客25万人，经过两年加大旅游开发力度，该景 区2024年接待游客达到36万人，那么该景区这两年接待游客的年平均增长率为() A.10% B.20% C.22% D.44% 15.(2026·连云港)解方程：x(x-1)=8x-8。 肉参考答案与提示 于点M,当AB=CD时，四边形EFGH是菱形。AB⊥于x的“有爱方程”，-m=3+。原方程转化为32 CD,.∠M=90°。EF∥AB,EH∥CD,.∠FEH=∠M= mc-(m+3)=0。m是该“有爱方程”的一个根， 90°。..四边形EFGH是正方形。 2m2-m-3=0。..2m4-m3-5m2+m+2026=m2(2m2-m- 第二章。一元二次方程 3)-2m2+m+2026=2023. 1认识一元二次方程（第1课时） 9.310.-411.A 1.3a2-5x-6=03x2-5x-62.x+2x(x+2)= 2一元二次方程的解法（第1课时） 2283.k≠-24.C5.D6.C7.2x2+3x-5=02 1.(1)42(2)93(3)366 3-5;4x2-6=040-6;x2-5x+10=01-510 (4空多)器享6告号2A 42 8.解：(1)若该方程是一元二次方程，则二次项 3.B4.D 系数(k+3)(k-1)≠0，即k≠-3，k≠1，.当k≠-3且 5.解：(1)(x-1)2=4,x1=-1,2=3。 (2)(e+2)2= k≠1时，该方程是一元二次方程。(2)若该方程 是一元一次方程，则二次项系数(k+3)(k-1)=0,一次 11,x=-2+V1,2=-2-V11。 3)+ 项系数k-1≠0，.当k=-3时该方程是一元一次方程。 25 (4)(x-6)2=64,x1=14, 9.解：设这个三角形最短的边长为x,则另两边 ,1=1,32=-4。 长为x+1,x+2,根据题意，得x2+(x+1)=(+2)尸。整理 x2=-2。 (5)(-V3)2=2,x=V3+V2,=V3 这个方程，得x2-2x-3=0。 -2。 10.解：由题意知，空白部分的面积相当于一个长 o5lo,头，yT 2 为(100-x)m、宽为(80-x)m的长方形面积。根据 s5-V21 2 题意，得(100-x)(80-x)=3500。方程化成一般形式 6.解：解不等式5(a-2)+8<6(a-1)+7,得a>-3。 为x2-180x+4500=0。 .a的值为-2。将a=-2代人方程x2+2ax+a+1=0中，得 11.解：若设周瑜逝世时年龄的个位数字为x,则 周瑜逝世时年龄的十位数字为(x-3)。这个两位数可 x2-4x-1=0。配方，得(c-2)2-5。两边开平方，得x-2= 表示为10(x-3)+x,根据题意，得10(x-3)+x=x2。将方 ±V5,即x-2=-V5或x-2=V5。解得=2+V5, 程化成一般形式为x2-11x+30=0。 x=2-1V5。 12.200(1+x)2=40113.A14.B 7.28.B9.D10.C 1认识一元二次方程（第2课时） 2一元二次方程的解法（第2课时）】 1.142.20293.20244.B5.C 1.D 6.解：根据题意，得x+x+1+x+2+x+3=x(x+3),整 2解：-登户智，写，=5。 理得x2-x-6=0。可利用列表方法估算出x=3,则这四 个数为3,4,5,6。 2-2}户-，=3y5,=3Y 2 2 7.解：由题意知，涨价后商品的单价为(50+x) 元，则每个商品的利润是[(50+x)-40]元，销售量是 (4)将方程 (500-10x)个。由题意，可得方程[(50+x)-40](500- 10x)=8000。整理得x2-40x+300=0。利用列表法估算 变形，得2-3x1-0,配方后得子户之+子月 出x=10。 则=±7，即3y亚，3V亚 4 (5) 4 4 8.(1)解：一元二次方程(2x+1)2=1是“有爱方 程”。理由：(2x+1)2=1,.4x2+4x+1=1。.4x2+4x=0。 0+号月号，=54y2D,g5-2亚。 (6) 3 a=4,b=4,c=0,.b=a+c。.一元二次方程(2x+1)2= 1是“有爱方程”。(2)证明：关于x的一元二次 -V5户}+(V3只则=V3±26，即= 方程a2+bx+c=0为“有爱方程”，：.b=a+c。∴.原方程 转化为ac2+(a+c)x+c=-0。当x=-1时，方程左边=a-(a+ 3V32V6,3V32V6 3 3 c)+c=-a-c+c=0。方程右边=0，.左边=右边。∴x=-1 3.解：设三个连续整数中间的一个数为x,则另 为“有爱方程”的根。(3)解：32-mx+n=0是关 外两个数分别为(x-1),(x+1)。依题意，得x(x-1)+ 数学 九年级上册（北师大版） x(x+1)+(x+1)(-1)=431。化简方程得，3x2=432。解 m-3m-6=0。解得m=3+y3,=3=Y33<0(舍去)。 得=12,2=-12。三个连续整数为11,12,13或 -13,-12,-11。 ·不为正整数，.不存在黑、白瓷砖数量相等的情形。 4.解：(1)1-2提示：原式=x2-2x+1-1-1= 9.方程有两个不相等的实数根10.m>令11.-】 (x-1)2-2。(x-1)2≥0，x2-2-1≥-2。.当x=1时， (答案不唯一)12.A13.C 代数式x2-2x-1有最小值，最小值是-2。(2)原 式=2(x2+4x)+12=2(2+4x+4-4)+12=2[(x+2)2-4]+ 2一元二次方程的解法（第4课时） 12=2(x+2)2-8+12=2(x+2)44。(x+2)2≥0，.2x2+8.x+ 1=子，72乃，33山，=-7 12≥4。.当x=-2时，代数式22+8x+12有最小值， 4.C5.A6.D 最小值是4。(3)原式=(4x2-4xy+y2)+(x246x+9)+16= 7047,女号。2) _9 40 (3)》 (2x-y)2+(x+3)2+16。(2x-y)2≥0，(x+3)2≥0， .52-4xy+y246x+25≥16。.当x=-3,y=-6时，代数式 3 3 (4=子，=号。 9 =2=4。 (5) 5x2-4y+y2+6x+25取得最小值，最小值是16。(4) S>S2。理由：S=(2a+5)(3a+2)=62+19a+10,S2= 1=-1-2V7,2=-1+2V7。(6)x=3,x=-15。 5a(a+5)=5d2+25a,.S1-S2=2-6a+10=(a-3)2+1>0。.S> 8.解：(1)利用公式法：a=1,b=2,c=-1,△= S2。(5)由题意，知S=(12-x(10+x)=-2+2x+ 2-4x1x(-1=4+4=8。x=24)V8=242Y2=-1士 120=-(x-1)2+121。-(x-1)2≤0，.-(x-1)2+121≤121。 2 .当x=1时，S有最大值，最大值为121m2。 V2。∴x=-1+V2,x=-1-V2。 (2)利用因式 2一元二次方程的解法（第3课时)】 分解法。将方程变形，得x(2-5)-2(2x-5)=0。整理 1.3-42-82.n2-4mn+4m2[或(n-2m)2] 得x-22-5)-0.2,=号。 (3)利用配方 有两个实数根3.(1)原方程没有实数根。(2) 法：两边都加上4，得x2-4x+4=8。(x-2)2=8。x- 原方程有两个不相等的实数根。(3)原方程有两个 2=2±V2。∴x=2+2V2,x2=2-2V2。 不相等的实数根。(4)原方程有两个相等的实 9.解：(1)24(2)x2-3x-4=0,x24(-4+1x+ 数根。 (-4)×1=0,∴.(x-4)(x+1)=0。.x+1=0或x-4=0。解得 4(①0=6，=-2。(2)19=号。 (3) 1=-1,，x2=4。 =-2,=子。（4)=号，=写 10.解：设大正方形的边长为xcm,则小正方形 (5)x= 的边长为(3+4cm,则2行4-32=，整理得 =V2。(6=2+y6,=2=Y 5.解：不正确。正确解法：方程变形为3x27x-2= 2-16=-0,解得x1=l6,6-0(含去)，分×16+4=2 0。a=3,b=-7,c=-2,△=b2-4ac=(-7)2-4x3×(-2)= (cm)。.大正方形的边长为16cm,小正方形的边长 为12cm。 73,=(-77B,即=7473,7-V万。 2×3 6 6 11.解：设较小的数为x,则x2+(x+1)2-2x=51。整 6.解：设较小的数为x,则另一个数为x+6。根据 理得x2-25=0。解得x1=5,2=-5（不符合题意，舍 题意，得x(x+6)=16。解得1=2,2=-8。.这两个数 去)。.这两个数是5和6。 分别是2和8或-2和-8。 12.213.B14.B15.解：x(x-1)=8x-8,原方 7.解：设这个百分数是x,则400+400(1+x)+ 程变形为x(x-1)-8(x-1)=0。因式分解，得(x-8)(x- 400(1+x)2=1900。整理得42+12x-7=0。解得x=0.5= 1)=0。则x-8=0或x-1=0。.1=8,x2=1。 50%,2=-3.5(舍去)。答：这个百分数为50%。 3一元二次方程的根与系数的关系 8.解：(1)(n+3)(n+2)(2)由题意，得 1.-12.13.64B5.A6.C7.(1)6V2 (n+3)(n+2)=506,即n2+5n-500=0,解得n=20,2=-25 (舍去)。(3)白瓷砖块数是n(n+1)=20×21=420, 2)4 黑瓷砖块数是506-420=86，共需86×4+420×3=1604 8.解：4=(-12)2-4×9=144-36=108>0，.方程有 (元)。(4)n(n+1)=(n+3)(n+2)-n(n+1)。化简，得 两个不相等的实数根。由题意，得a+b=12,ab=9,∴.心