第二章 3 一元二次方程的根与系数的关系-【新课程能力培养】2026-2027学年九年级上册数学同步练习（北师大版·新教材）

数学 九年级上册（北师大版） x(x+1)+(x+1)(-1)=431。化简方程得，3x2=432。解 m-3m-6=0。解得m=3+y3,=3=Y33<0(舍去)。 得=12,2=-12。三个连续整数为11,12,13或 -13,-12,-11。 ·不为正整数，.不存在黑、白瓷砖数量相等的情形。 4.解：(1)1-2提示：原式=x2-2x+1-1-1= 9.方程有两个不相等的实数根10.m>令11.-】 (x-1)2-2。(x-1)2≥0，x2-2-1≥-2。.当x=1时， (答案不唯一)12.A13.C 代数式x2-2x-1有最小值，最小值是-2。(2)原 式=2(x2+4x)+12=2(2+4x+4-4)+12=2[(x+2)2-4]+ 2一元二次方程的解法（第4课时） 12=2(x+2)2-8+12=2(x+2)44。(x+2)2≥0，.2x2+8.x+ 1=子，72乃，33山，=-7 12≥4。.当x=-2时，代数式22+8x+12有最小值， 4.C5.A6.D 最小值是4。(3)原式=(4x2-4xy+y2)+(x246x+9)+16= 7047,女号。2) _9 40 (3)》 (2x-y)2+(x+3)2+16。(2x-y)2≥0，(x+3)2≥0， .52-4xy+y246x+25≥16。.当x=-3,y=-6时，代数式 3 3 (4=子，=号。 9 =2=4。 (5) 5x2-4y+y2+6x+25取得最小值，最小值是16。(4) S>S2。理由：S=(2a+5)(3a+2)=62+19a+10,S2= 1=-1-2V7,2=-1+2V7。(6)x=3,x=-15。 5a(a+5)=5d2+25a,.S1-S2=2-6a+10=(a-3)2+1>0。.S> 8.解：(1)利用公式法：a=1,b=2,c=-1,△= S2。(5)由题意，知S=(12-x(10+x)=-2+2x+ 2-4x1x(-1=4+4=8。x=24)V8=242Y2=-1士 120=-(x-1)2+121。-(x-1)2≤0，.-(x-1)2+121≤121。 2 .当x=1时，S有最大值，最大值为121m2。 V2。∴x=-1+V2,x=-1-V2。 (2)利用因式 2一元二次方程的解法（第3课时)】 分解法。将方程变形，得x(2-5)-2(2x-5)=0。整理 1.3-42-82.n2-4mn+4m2[或(n-2m)2] 得x-22-5)-0.2,=号。 (3)利用配方 有两个实数根3.(1)原方程没有实数根。(2) 法：两边都加上4，得x2-4x+4=8。(x-2)2=8。x- 原方程有两个不相等的实数根。(3)原方程有两个 2=2±V2。∴x=2+2V2,x2=2-2V2。 不相等的实数根。(4)原方程有两个相等的实 9.解：(1)24(2)x2-3x-4=0,x24(-4+1x+ 数根。 (-4)×1=0,∴.(x-4)(x+1)=0。.x+1=0或x-4=0。解得 4(①0=6，=-2。(2)19=号。 (3) 1=-1,，x2=4。 =-2,=子。（4)=号，=写 10.解：设大正方形的边长为xcm,则小正方形 (5)x= 的边长为(3+4cm,则2行4-32=，整理得 =V2。(6=2+y6,=2=Y 5.解：不正确。正确解法：方程变形为3x27x-2= 2-16=-0,解得x1=l6,6-0(含去)，分×16+4=2 0。a=3,b=-7,c=-2,△=b2-4ac=(-7)2-4x3×(-2)= (cm)。.大正方形的边长为16cm,小正方形的边长 为12cm。 73,=(-77B,即=7473,7-V万。 2×3 6 6 11.解：设较小的数为x,则x2+(x+1)2-2x=51。整 6.解：设较小的数为x,则另一个数为x+6。根据 理得x2-25=0。解得x1=5,2=-5（不符合题意，舍 题意，得x(x+6)=16。解得1=2,2=-8。.这两个数 去)。.这两个数是5和6。 分别是2和8或-2和-8。 12.213.B14.B15.解：x(x-1)=8x-8,原方 7.解：设这个百分数是x,则400+400(1+x)+ 程变形为x(x-1)-8(x-1)=0。因式分解，得(x-8)(x- 400(1+x)2=1900。整理得42+12x-7=0。解得x=0.5= 1)=0。则x-8=0或x-1=0。.1=8,x2=1。 50%,2=-3.5(舍去)。答：这个百分数为50%。 3一元二次方程的根与系数的关系 8.解：(1)(n+3)(n+2)(2)由题意，得 1.-12.13.64B5.A6.C7.(1)6V2 (n+3)(n+2)=506,即n2+5n-500=0,解得n=20,2=-25 (舍去)。(3)白瓷砖块数是n(n+1)=20×21=420, 2)4 黑瓷砖块数是506-420=86，共需86×4+420×3=1604 8.解：4=(-12)2-4×9=144-36=108>0，.方程有 (元)。(4)n(n+1)=(n+3)(n+2)-n(n+1)。化简，得 两个不相等的实数根。由题意，得a+b=12,ab=9,∴.心 参考答案与提示 0,b>0。.(Va+Vb)2=+b+2Vab=12+2x3=18。a> 0,b>0,Va+Vb>0。Va+Vb=V18=3V2。 9.解：由根与系数的关系，得x+2=-k,x心2=42 3。由题意，知42-3=-k。解这个方程，得k=-1,k= ④ ⑤ 子。原方程有两个实数根，4--4(4-3)=2 第4题答图 1520。当k=-1时，△=12-152=-3<0：当k=3时， 方案①具有一般性，其他四种方案具有特殊性， 从美学的角度方案③最出色，方案③④⑤都具有对 4=12-1536>0.6子。 称性。 10.(1)证明：：4=[-(m+3)]2-4(2m-1)=(m+3)2- (2)方案①可列出方程32×20-(32x+20x-x2)=540: 4(2m-1)=m2-2m+13=(m-1)2+12>0,∴.无论m取何值 方案②可列出方程(32-x)(20-x)=540:方案③可列出 时，方程总有两个不相等的实数根。(2)解：设 AB,BC的长分别为1，x2,则，2是方程2-(m+3)x+ 方程42兰(20产）=540：方案④可列出方程 2 2m-1=0的两个实数根，根据根与系数的关系，得x+ 2(20-x)32,x=540:方案⑤可列出方程2(32-x) 2=m+3,x2=2m-1,又：△ABC是以AC为斜边的直 2 角三角形，AC=V35,x+x2=AC。又x+后=(x+2)2- 29540, 2x2,AC=(V352=35,∴.(m+3)2-2(2m-1)=35。整 上述方程都可以整理为x2-52x+100=0。解得x=2, 理方程，得m2+2m-24=0。解得m=-6或m=4。AB, 2=50(不符合题意，舍去)。x=2。 BC是三角形的边长，>0，x>0,1+=m+3>0, 5.解：(1)x>y。理由：由题意知AC=BC, x2=2m-1>0。当m=-6时，x1+x2=-6+3=-3<0,不符合 题意，舍去；当m=4时，x1+2=4+3=7>0,x2=2×4-1= ∠AcB90,AB25,AC-BCYZ。5Y2-:月 7>0,符合题意。.当m=4时，△ABC是以AC为斜边 的直角三角形。 5Y2+y了2，整理方程，得4452g 4 11.-312.-404813.D14.C 0.0,y0,则y>0。y-x<0,即x>y。(2)在 4一元二次方程的应用（第1课时) Rt△ABC中，AB=2.5,BC=0.7,则AC=VAB-AC= 1.2×(4+2)-2x5×4(4-2）)号 V2.5-0.7=2.4。设AA1=BB1=x,则AC=2.4-x,B,C 2.解：设阔（宽）为x步，则长为(60-x)步。 0.7+x,由勾股定理，得2.52=(2.4-x)2+(0.7+x)2,化简， 根据题意，得x(60-x)=864。整理方程，得x260+864= 得2x2-3.4x=0。解得x1=1.7,x2=0(舍去)。∴=1.7，即 0。解得x=24,=36。∴.阔（宽）为24步，长为36步。 梯子顶端A下滑的距离是1.7m。(3)设AC=x, 3.解：(1)由题意知，矩形窗户AEFD的宽AE= BC=y,由题意，知AA=BB=0.4,则2.52=y2+(x+0.4)2 x,则长EF=2x,.矩形窗户AEFD的透光面积为2x2。! ①，2.5=(y+0.4)2+2…②。由方程①②，得x=y。整 又所有线段总长为10.5m,矩形窗户AEFD边框的 周长为7x,.矩形窗户EBCF的边BC长为2x,BE= 理方程①，得22+0.8-6.09=0。解得=-0.8-V49.36 4 子（105-9x)=3.5-3,六矩形窗户EBCF的透光面积 (不符合题意，舍去)，=0.8+y4936=156。此 4 为2x(3.5-3x)=7x-6x2。(2)由题意，得2x2+7x-62= 时梯足B距墙角约为1.56m。 2.5。整理方程，得4x2-7x+2.5=0。∴x=0.5,2=1.25 6.27.A 当x=1.25时，BE=3.5-3x=-0.25,不符合题意，舍去； 8.解：设小路的宽度为xm,若将小路平移，则9 当x=0.5时，BE=3.5-3=2。BE的长为2m。 块矩形地块可合成长为(20-4x)m、宽为(14-4x)m 4.解：(1)方案如图： 的矩形，根据题意，得(20-4x)(14-4x)=24×9。整理. 得2x2-17x+8=0。解得x=0.5,2=8(不符合题意，舍 去)。答：小路的宽度为0.5m。 9.解：(1)设矩形ABCD的边AB的长为xm, ② ③数学 九年级上册（北师大版） 一元二次方程的根与系数的关系 自主导学Q典例精析 例题 已知关于x的方程x2-6x+h=0的两个根分别是x1,,且满足1+1=3，求k的值。 【分析】找出一元二次方程的系数α，b及c的值，利用根与系数的关系求出两根之和与 两根之积，然后将已知的等式变形为含有(x1+x2)与x2的式子，将求出的两根之和与两根 之积代入列出方程，即可求出k的值。 【解答】.x2-6x+k=0的两个解分别为x1,2, 6,密名3 解得k=2。 【点拨】此题考查了一元二次方程的根与系数的关系，对所给等式进行正确的变形是解 题的关键。 基础巩固)达标闯关 1.已知关于x的一元二次方程x2-4x-m=0的两实数根为2+V3和2-V/3,则m的值为 2.若实数m,n是一元二次方程x2-5x+6=0的两个根，则多项式mn-m-n的值为 3.已知关于x的方程2x2-mx-12=0的一根为1，则该方程的另一根为 4.下列一元二次方程中，两根之和为2的是() A.x2+3x+2=0 B.x2-2x-2=0 C.x2+2x+3=0 D.x2-2x+3=0 5.方程x2+4x-5=0与x2-6x+1=0的所有实数根的乘积等于（) A.-5 B.2 C.-24 D.5 6.一元二次方程x2+5x-4=0的两个实数根为m和n,则代数式m2+n2的值为() A.17 B.6 C.33 D.26 7.设1,2是方程x2-2V2x-3=0的两个根，利用根与系数的关系求下列各式的值。 (1）x7x2+x1x; (2)2+。 12 一元二次方程 第二章 能力提升坤综合拓展 一。g多 8.若a,b是方程x2-12x+9=0的两个根，求Va+Vb的值。 9.若关于x的一元二次方程x2+kx+42-3=0的两个实数根分别是x1,x2,且满足x+x2=· x2,求k的值。 45 数学 九年级上册（北师大版） 10.已知关于x的一元二次方程x2-(m+3)x+2m-1=0。 (1)求证：无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根。 (2)若△ABC的一条边AC的长为V35,另两边AB,BC的长是一元二次方程的两个 实数根。当m为何值时，△ABC是以AC为斜边的直角三角形？ 中考链接©真题演练 11.(2025·苏州)已知x1,是关于x的一元二次方程x2+2x-m=0的两个实数根，其中 x1=1,则x2= 0 12.(2025·宿迁）)方程x2-2024x-2025=0的两个根分别是m,n,则(m2-2023m- 2026)·(n2-2023n-2026)= 13.(2025·湖北)一元二次方程x2-4x+3=0的两个实数根为x1,2,下列结论正确的是 () A.x1+x2=-4 B.x1+x2=3 C.x1x2=4 D.X2=3 14.(2025·河北)若一元二次方程x(x+2)-3=0的两根之和与两根之积分别为m,n,则 点(m,n)在平面直角坐标系中位于（) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 布