第二章 1 认识一元二次方程-【新课程能力培养】2026-2027学年九年级上册数学同步练习（北师大版·新教材）

数学 九年级上册（北师大版） 第二章 一元二次方程 知识网络 定义→ar2+bx+c=0(a,b,c为常数，a≠0) 当b2-4ac>0时，方程有两个不等实根 根的判别式 当b2-4ac=0时，方程有两个相等实根 当b2-4ac<0时，方程无实根 近似解→逼近法 元二次方程 解方程方法 配方法 精确解 公式法 因式分解法 方程根x,x,与方程系数a,b,c的关系x+x=-b 应用 1认识一元二次方程（第1课时） 自主导学Q典例精析 例题如图是一块长80cm、宽60cm的矩形薄钢片，将其四个 角截去四个相同的小正方形，然后把四边折起来，做成一个底面积为 60 cm 1500cm2的无盖的长方体盒子，求截去的小正方形的边长。若设小正方 80 cm 形的边长为xc,请列出关于x的方程，并把所列方程化成一般形式。 例题图 【分析】分别用含x的代数式表示出盒子底面的长和宽，然后根据所给面积得到方程即 可。 【解答】小正方形的边长为xcm,则长方体盒子底面的长为(80-2x)cm,宽为(60- 2x)cm,根据题意，得(60-2x)(80-2x)=1500。将方程整理成一般形式是x2-70x+825=0。 【点拨】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程模型的能力，解题的关键是找到问题 中的等量关系。 26 一元二次方程 第二章 基础巩固达标闯关 1.方程(3x+1)(x-2)-4=0的一般形式是 它的二次项是 一次 项是 ， 常数项是 2.两个连续偶数的积是228，如果设较小的一个偶数为x,则另一个偶数可以表示为 根据题意可列出的方程为 3.若方程(k+2)x2-7x-9=0是关于x的一元二次方程，则k满足的条件是 4.已知下列方程：（3-25)-2,24440，是+x=l,的+-I=y+1,2-7=0,4r= z2+2z=-3,其中一元二次方程的个数为（) A.2 B.3 C.4 D.5 5.将下列一元二次方程化成一般形式后，其中二次项系数是3，一次项系数是-6，常数 项是1的方程是() A.3x2-6x=1 B.3x2-1=6x C.3x2+6x=1 D.3x2+1=6x 6.某商品经过两次连续降价后，每件售价由原来的55元降到了35元。设平均每次降价 的百分率为x,则下列方程中正确的是() A.55(1+x)2=35B.35(1+x)2=55 C.55(1-x)2=35 D.35(1-x)2=55 7.将下面表格中的方程化成一元二次方程的一般形式，并写出二次项系数、一次项 系数和常数项。 一元二次方程 一般形式 二次项系数 ·次项系数 常数项 3x=5-2x2 (2x-1)2+4x=7 7+1)-3-2+1 能力提升睡综合拓展 -+多B 8.已知关于x的方程(k+3)(k-1)x2+(k-1)x+5=0。 (1)当飞满足什么条件时，该方程是一元二次方程？ (2)当k满足什么条件时，该方程是一元一次方程？ 四 口数学 九年级上册（北师大版） 9.一个直角三角形的三条边的长是三个连续自然数，如果设这个三角形最短的边长为 x,请列出关于x的方程，并将方程整理为一般形式。 10.某停车场为了解决新能源汽车充电难的问题，将长为100m、宽为80m的长方形停 车场进行改造。如图，将长方形停车场的长和宽分别划分出相等的宽度x,划分出的这部 分区域（阴影部分）用于修建充电桩。若剩余停车场（空白部分）的面积为3500？，请你 根据题意列出方程，并将方程化成一般形式。 100m 充电桩 fa m 80m 桩 x m 第10题图 28 一元二次方程 第二章 11.我国民间流传的《周瑜寿数》是一道诗歌形式的数学题：大江东去浪淘尽，千古风 流数人物；而立之年督东吴，早逝英年两位数；十位恰小个位三，个位平方与寿符；哪位学 子算得快，多少年华属周瑜？其大意为：周瑜三十岁当东吴都督，去世时的年龄是两位数， 该数的十位数字比个位数字小3，个位数字的平方恰好等于该数。若设周瑜逝世时年龄的个 位数字为x,请你根据题意列出方程，并将方程化成一般形式。 中考链接©真题演练 一多 12.(2024·重庆)重庆在低空经济领域实现了新的突破。今年第一季度低空飞行航线安 全运行了200架次，预计第三季度低空飞行航线安全运行将达到401架次。设第二、第三两 个季度安全运行架次的平均增长率为x,根据题意，可列方程为 13.(2025·辽宁)中国古代数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载：“直田积八百 六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何。”其大意是：一块矩形田地的面积为864平 方步，只知道它的长与宽共60步，问它的长比宽多多少步。设这个矩形的宽为x步，根据 题意可列方程为() A.x(60-x)=864 B.x(x-60)=864 C.x(60+x)=864 D.2[x+(x+60)]=864 14.(2026·凉山州)四川省城市足球联赛决赛阶段每两队之间都进行两场比赛，有x支 球队进入决赛阶段，共比赛72场，根据题意可列关于x的方程为() A2x(-l)=72 B.x(x-1)=72 C.x(x+1)=72 D.号(+1)=72 四 数学 九年级上册（北师大版） 认识一元二次方程（第2课时） 自主导学Q典例精析 例题用一根长20cm的铁丝围成一个矩形，使矩形的面积为22cm',求这个矩形的 一边长（结果精确到0.1cm)。 (1)设一边长为xcm,则另一边长为 cm,根据题意，列方程为 (2)x的值可能小于0吗？可能大于10吗？可能等于4吗？ (3)请你用估算的方法求矩形的两边长。 【分析】(1)矩形的一边长为xcm,则另一边长为(10-x)cm,由面积公式可列方程。 (2)根据x的实际意义以及方程解的定义可判断。(3)用列表法估计所列方程解的近似值。 【解答】(1)(10-x)x(10-x)=22 (2)x表示矩形的边长，x>0。矩形两边的和为10，x不可能大于10。 当x=4时，左边=x(10-x)=4×6=24,右边=22，.左边≠右边。“x不可能等于4。 (3) 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 x2-10x+22 17.25 13 9.25 6 3.25 1 -0.75 所以3<x<3.5。 3.25 3.30 3.35 x2-10x+22 0.0625 -0.11 -0.2775 所以3.25<x<3.30。所以x≈3.3。 【点拨】本题考查列一元二次方程以及估算一元二次方程的解。估算一元二次方程解的 一般步骤：首先将方程化为ax2+bx+c=0的形式，并找到两个实数x1,x2,使得代数式ax+ bx1+c和ax+bx2+c的符号相反，从而确定方程解的初始区间。之后不断取中间值xo,判断a场+ bx+C的符号，逐步缩小解的范围，直到满足需要的精度，此时区间内的数值就是方程的近 似解。这种方法通常称为二分法（或区间逼近法）。 基础巩固飞U达标闯关 1.设=2是关于x的方程x2+5x-a=0的一个根，则a的值为 2.若a是一元二次方程2x2-4x-3=0的一个根，则2a2-4a+2026的值为 3.若关于x的一元二次方程ax+bx+c=0的其中一个根为x=2026,则关于x的方程a(x+ 2)2+bx+2b+c=0必有一个根为 30 一元二次方程 第二章 4.关于x的一元二次方程2x2-3x-a=0的一个根为1，则(a,3)在() A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 5.若a-b+c=0,则关于x的一元二次方程ax+bx+c=0必有一个根为() A.0 B.1 C.-1 D.2 6.有四个连续的正整数，已知它们的和等于其中最大的与最小的两个整数的积。如果设 最小的数为x,请列出关于x的方程，并用估算的方法求这四个数。 能力提升睡综合拓展 7.某商场将进货单价为40元的商品按50元售出时，只能卖出500个。商场管理部门发 现这种商品销售情况很好，于是决定适当涨价。经市场调查，这种商品每涨价1元，其销售 量就减少10个。如果商场想将这种商品涨价x元后，得到8000元的利润，请你列出关于x 的方程，并用估算的方法求出商场应涨价多少元。 的 口数学 九年级上册（北师大版） 8.定义：如果关于x的一元二次方程ax+bx+c=0满足b=a+c,那么我们称这个方程为 “有爱方程”。 (1)判断一元二次方程(2x+1)2=1是否为“有爱方程”，并说明理由。 (2)若关于x的一元二次方程a2+bx+c=0为“有爱方程”，证明：x=-1为“有爱方程” 的根。 (3)已知3x2-mx+n=0是关于x的“有爱方程”，若m是该“有爱方程”的一个根，求 2m4-m3-5m2+m+2026的值。 中考链接©真题演练 9.(2025.青海)若x=1是一元二次方程x24x+c=0的一个根，则c的值为 10.(2024·南充)已知m是方程x2+4x-1=0的一个根，则(m+5)(m-1)的值为 11.(2024·凉山州)若关于x的一元二次方程(a+2)x2+x+a2-4=0的一个根是x=0,则a 的值为() A.2 B.-2 C.2或-2 D.2 ②参考答案与提示 于点M,当AB=CD时，四边形EFGH是菱形。AB⊥于x的“有爱方程”，-m=3+。原方程转化为32 CD,.∠M=90°。EF∥AB,EH∥CD,.∠FEH=∠M= mc-(m+3)=0。m是该“有爱方程”的一个根， 90°。..四边形EFGH是正方形。 2m2-m-3=0。..2m4-m3-5m2+m+2026=m2(2m2-m- 第二章。一元二次方程 3)-2m2+m+2026=2023. 1认识一元二次方程（第1课时） 9.310.-411.A 1.3a2-5x-6=03x2-5x-62.x+2x(x+2)= 2一元二次方程的解法（第1课时） 2283.k≠-24.C5.D6.C7.2x2+3x-5=02 1.(1)42(2)93(3)366 3-5;4x2-6=040-6;x2-5x+10=01-510 (4空多)器享6告号2A 42 8.解：(1)若该方程是一元二次方程，则二次项 3.B4.D 系数(k+3)(k-1)≠0，即k≠-3，k≠1，.当k≠-3且 5.解：(1)(x-1)2=4,x1=-1,2=3。 (2)(e+2)2= k≠1时，该方程是一元二次方程。(2)若该方程 是一元一次方程，则二次项系数(k+3)(k-1)=0,一次 11,x=-2+V1,2=-2-V11。 3)+ 项系数k-1≠0，.当k=-3时该方程是一元一次方程。 25 (4)(x-6)2=64,x1=14, 9.解：设这个三角形最短的边长为x,则另两边 ,1=1,32=-4。 长为x+1,x+2,根据题意，得x2+(x+1)=(+2)尸。整理 x2=-2。 (5)(-V3)2=2,x=V3+V2,=V3 这个方程，得x2-2x-3=0。 -2。 10.解：由题意知，空白部分的面积相当于一个长 o5lo,头，yT 2 为(100-x)m、宽为(80-x)m的长方形面积。根据 s5-V21 2 题意，得(100-x)(80-x)=3500。方程化成一般形式 6.解：解不等式5(a-2)+8<6(a-1)+7,得a>-3。 为x2-180x+4500=0。 .a的值为-2。将a=-2代人方程x2+2ax+a+1=0中，得 11.解：若设周瑜逝世时年龄的个位数字为x,则 周瑜逝世时年龄的十位数字为(x-3)。这个两位数可 x2-4x-1=0。配方，得(c-2)2-5。两边开平方，得x-2= 表示为10(x-3)+x,根据题意，得10(x-3)+x=x2。将方 ±V5,即x-2=-V5或x-2=V5。解得=2+V5, 程化成一般形式为x2-11x+30=0。 x=2-1V5。 12.200(1+x)2=40113.A14.B 7.28.B9.D10.C 1认识一元二次方程（第2课时） 2一元二次方程的解法（第2课时）】 1.142.20293.20244.B5.C 1.D 6.解：根据题意，得x+x+1+x+2+x+3=x(x+3),整 2解：-登户智，写，=5。 理得x2-x-6=0。可利用列表方法估算出x=3,则这四 个数为3,4,5,6。 2-2}户-，=3y5,=3Y 2 2 7.解：由题意知，涨价后商品的单价为(50+x) 元，则每个商品的利润是[(50+x)-40]元，销售量是 (4)将方程 (500-10x)个。由题意，可得方程[(50+x)-40](500- 10x)=8000。整理得x2-40x+300=0。利用列表法估算 变形，得2-3x1-0,配方后得子户之+子月 出x=10。 则=±7，即3y亚，3V亚 4 (5) 4 4 8.(1)解：一元二次方程(2x+1)2=1是“有爱方 程”。理由：(2x+1)2=1,.4x2+4x+1=1。.4x2+4x=0。 0+号月号，=54y2D,g5-2亚。 (6) 3 a=4,b=4,c=0,.b=a+c。.一元二次方程(2x+1)2= 1是“有爱方程”。(2)证明：关于x的一元二次 -V5户}+(V3只则=V3±26，即= 方程a2+bx+c=0为“有爱方程”，：.b=a+c。∴.原方程 转化为ac2+(a+c)x+c=-0。当x=-1时，方程左边=a-(a+ 3V32V6,3V32V6 3 3 c)+c=-a-c+c=0。方程右边=0，.左边=右边。∴x=-1 3.解：设三个连续整数中间的一个数为x,则另 为“有爱方程”的根。(3)解：32-mx+n=0是关 外两个数分别为(x-1),(x+1)。依题意，得x(x-1)+