第二章 2 第4课时 用因式分解法求解一元二次方程&3 一元二次方程的根与系数的关系-【益卷】2026-2027学年九年级上册数学课时作业（北师大版·新教材）

陕西权度教育研究院 第4课时用因式分解法求解一元二次方程 基础过关 (5)4(3x-1)2=9x2-1. 知识点1用因式分解法求解一元二次方程 1.一元二次方程x(x-2)=0的解是() A.x1=x2=0 B.x1=x2=2 C.x1=0,x2=2 D.x1=0,x2=-2 2.已知一个一元二次方程的两个根为x1=1,x2=-3, 这个方程可能是() 知识点2用适当的方法求解一元二次方程 A.(x+1)(x+3)=0 4.用适当方法解下列方程： B.(x+1)(x-3)=0 C.(x-1)(x+3)=0 D.(x-1)(x-3)=0 3.用因式分解法解下列方程： (1)x2+√2x=0; (2)x2-6x=1; (2)(2x+5)(5x-3)=0; (3)3x2+5x-2=0; (3)3x(x+1)=2x+2; (4)x2+4x+4=(2x-3)2. 42+3)=行到： 能力提升 5.已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0,若它的 两个根相差1，则称这样的方程为“邻根方程”.若 关于x的方程x2-(m-2)x-2m=0(m是常数)是 “邻根方程”，则m的值是 23 陕西权度教育研究院 6.“积幻方”由传统的和幻方衍生而来，在3×3积幻 8.【阅读与理解】 方中，9个小方格中的正整数互不相等，且每行、每 解方程x2+2x-35=0可以这样求解： 列、每条对角线上的三个数的乘积相等.如图，已 (1)将x2+2x-35分解因式，我们可以按下面方法 知一个“3×3积幻方”只呈现了4个小方格中的 解答： 数，求x的值 ①竖分二次项与常数项：x2=x·x,-35=(-5)× (+7): x-14 ②交叉相乘，验中项（交叉相乘后的结果相加， 其结果等于多项式中的一次项)： x+16 7x+(-5x)=2x. ③横向写出两因式：x2+2x-35=（x+7)(x-5). 我们把这种用十字相乘分解因式的方法叫 十字相乘法。 7.阅读下列题目的解题过程： (2)方程左边因式分解，得(x+7)(x-5)=0,所以 已知a,b,c为△ABC的三边，且满足a2c2-b2c2= 原方程的解为x1=-7,x2=5. a4-b,试判断△ABC的形状 【解决问题】 解：a2c2-b2c2=a4-b4,① 试用上述方法和原理解下列方程： .c2(a2-b2)=(a2+b2)(a2-b2).② (1)x2-10x+21=0; .c2=a2+b2.③ .△ABC是直角三角形 (1)上述解题过程，从哪一步开始出现错误？请写 出该步的代号： ,错误的原因为 (2)写出本题正确的解题方法. (2)3x2+10x-8=0. 24 陕西权度教育研究院 3一元二次方程的根与系数的关系 基础过关 (3)x2+x=-6x+2; 1.一元二次方程x2-4x+3=0的两个实数根为x1,x2, 下列结论正确的是( A.x1+x2=-4 B.x1+x2=3 C.x1x2=4 D.x1x2=3 2.已知一元二次方程的两根分别是3和-5，则这个 (4)4x2+1=5x+3. 一元二次方程可能是() A.x2-2x+15=0 B.x2+2x-15=0 C.x2-x-6=0 D.x2-2x-15=0 3.关于x的一元二次方程x2-x-2=0的根的情况是 () 能力提升 A.没有实数根 7.若m,n为方程x2+2x-2028=0的两个实数根，则 B.有两个相等的实数根 m2+3m+n的值是 C.有两个不相等的同号实数根 8.对于任意实数a,b,定义：a◆b=a2+ab+b2.若方程 D.有两个不相等的异号实数根 (x◆2)-5=0的两根记为m,n,则(m+2)(n+2)= 4.已知x1,x2是方程x2-3x-8=0的两个根，则x1x2+ X1十x2= 9.已知x1,x2是关于x的一元二次方程x2-2(m+1)x+ 5.一元二次方程x2+5x-4=0的两个实数根为m,n, m2+5=0的两实数根 则代数式m2+n2的值为 (1)若x1,x2恰好是矩形的两邻边长，且m=3,求 6.利用根与系数的关系，求下列方程两根之和、两根 该矩形的周长和面积； 之积： (2)若2x1,2x2恰好是菱形的两条对角线的长，菱 (1)x2+3x+2=0; 形的边长为6，求m的值， (2)2x2-3x-1=0; 25∴.4=b2-4ac=(2√2)2-4×1×3=-4<0. 方程没有实数根。 (4)移项、合并同类项，得3x2-4x+4=0. a=3,b=-4,c=4, ∴.4=b2-4ac=(-4)2-4×3×4=-32<0. 方程没有实数根。 8.C 9.解：不能，理由如下： 设其中一个正方形的周长为4ycm,则另一个正方形 的周长为(32-4y)cm, 根据题意，得)+2)=30， 整理得y2-8y+17=0. 4=(-8)2-4×1×17=64-68=-4<0, .原方程没有实数根， ∴.这两个正方形的面积之和不能等于30cm2,即人 工智能平台回复的结果是“不能”. 10.解：(1)由题意得4=2-4(k-1)×(-2)=4+8(k-1) >0,且k-1≠0， 解得>且≠1 (2):k为符合条件的最小正整数， .k=2,此时方程为x2+2x-2=0. a=1,b=2,c=-2, .∴.△=4+8×1=12>0. x=-2±厘-1tw5, 2 即x1=-1+√3，x2=-1-√5. 12 第4课时用因式分解法求解一元二次方程 1.C 2.C 3.解：(1)x(x+√2)=0. x=0,或x+√2=0. 所以x1=0,x2=-√2， (2)2x+5=0,或5x-3=0. 所以=名号 (3)原方程可变形为3x(x+1)-2(x+1)=0, (x+1)(3x-2)=0. x+1=0,或3x-2=0. 所以1=-1，= 2 4④原方程可变形为（行+3）-5行+3)=0， (分+3分-2到-0 2+3=0,或2x-2=0. 所以x1=-6,x2=4. (5)原方程可变形为4(3x-1)2-(3x+1)(3x-1)=0, (3x-1)(9x-5)=0. 3x-1=0,或9x-5=0. 15 所以x1=3*2=9 4.解：(1)将二次项的系数化为1，得x2=16. 两边开平方，得x=±4. 即x1=4,x2=-4. (2)配方，得(x-3)2=10. 两边开平方，得x-3=±√10. 即x-3=/10,或x-3=-√10， 所以x1=3+√10，x2=3-√10. （3)这里a=3,b=5,c=-2, .b2-4ac=52-4×3×(-2)=49, -5±√/49-5±7 .x= 2×3 61 即=行4=-2 (4)原方程可变形为(x+2)2-(2x-3)2=0, (3x-1)(-x+5)=0. 3x-1=0,或-x+5=0. 所以x1=3x2=5. 5.-1或-3 6.解：根据题意，得x(x-14)=(x+16)×1, 原方程可变形为x2-15x-16=0, (x-16)(x+1)=0. x-16=0,或x+1=0. 所以x1=16,x2=-1. 因为x为正整数， 所以x的值是16. 7.解：(1)③，除式可能为零 (2)a2c2-b2c2=a4-b4, .c2(a2-b2)=(a2+b2)(a2-b2). .c2(a2-b2)-(a2+b2)(a2-b2)=0. ∴.(a2-b2)[c2-(a2+b2)]=0. ∴.a2-b2=0,或a2-b2≠0时，c2=a2+b2. 当a2-b2=0时，a=b,△ABC为等腰三角形； 当a≠b时，△ABC为直角三角形. 故△ABC是等腰三角形或直角三角形， 8.解：(1)左边因式分解，得(x-3)(x-7)=0. 于是x-3=0,或x-7=0. 即x1=3,x2=7. (2)左边因式分解，得(3x-2)(x+4)=0. 于是3x-2=0,或x+4=0. 即￥ 3,*2=-4. 3 一元二次方程的根与系数的关系 1.D2.B 3.D 4.-5 5.33 6.解：(1)这里a=1,b=3,c=2. 4=b2-4ac=32-4×1×2=9-8=1>0, 所以方程有两个实数根， 设方程的两个实数根是x1,x2, 那么x1+x2=-3,x1x2=2. （2)这里a=2,b=-3,c=-1. 4=b2-4ac=(-3)2-4×2×(-1)=9+8=17>0, 所以方程有两个实数根. 设方程的两个实数根是x1,x2, 1 那么1+x,=2x2=2 (3)将方程化为x2+7x-2=0. 这里a=1,b=7,c=-2. 4=b2-4ac=72-4×1×(-2)=49+8=57>0, 所以方程有两个实数根， 设方程的两个实数根是x1,x2, 那么x1+x2=-7,x1x2=-2. 13 (4)将方程化为4x2-5x-2=0. 这里a=4,b=-5,c=-2. 4=b2-4ac=(-5)2-4×4×(-2)=25+32=57>0, 所以方程有两个实数根， 设方程的两个实数根是x1,x2, 5 1 那么x1+2=4x12=2 7.2026 8.-1 9.解：(1)当m=3时，方程为x2-8x+14=0. 由根与系数的关系得x1+x2=8,x1x2=14. .∴.矩形的周长=2(x1+x2)=2×8=16,面积=x1x2=14. (2)由题可得△=[-2(m+1)]2-4(m2+5)=8m-16≥ 0,解得m≥2. 由根与系数的关系，得x1+x2=2(m+1),x1x2=m2+5. 菱形对角线互相垂直平分，边长为6， .由勾股定理得 =62, 即x+x2=36. .（x1+x2)2-2x1x2=36, 即4(m+1)2-2(m2+5)=36, 解得m1=3,m2=-7(舍去). 故m=3. 4一元二次方程的应用 第1课时一元二次方程的应用1 1.B2.30 3.解：设需要x小时能在B处拦截住可疑船只，则OB= 75x,AB=60x. 在Rt△ABC中，根据勾股定理可得方程(75x)2=302 14 +(60x)2, 解这个方是，得5号女=子不合题意，合去) 2 答：缉私艇需要。小时能在B处拦截住可疑船只. 3 4.解：四边形ABCD是矩形， ∴.∠ABC=90° 根据题意，得AP=tcm,BQ=2tcm, .'BP=AB-AP=(4-t)cm. 在Rt△BPQ中，根据勾股定理，得42=(4-t)2+4t2. 整理，得5t2-8t=0. 8 解这个方程，得1=0（不合题意，舍去），2=5 当：时，P,Q相距4m 5.解：根据题意，得∠2=45°，∠1=45° .∠1+∠2=90°. .△PQR为直角三角形 设航行时间为t小时，则PR=12t,PQ=16t. 在Rt△PQR中，根据勾股定理，得(16t)2+(12t)2 =302. 解得t=1.5(负值舍去，不符合题意). 所以两船行驶1.5小时后分别位于点Q,R处 6.解：设离开路口后经过x小时，两人与这棵古树的距 离恰好相等 如图，分别过点P作PC⊥x轴，PD⊥y轴，垂足分别 为C,D