2.2.3一元二次方程的解法 因式分解法同步练习 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

**基本信息** 本练习聚焦因式分解法解一元二次方程，通过基础巩固、情境应用、方法迁移三阶设计，实现从概念理解到综合运用的递进，培养运算能力与应用意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层（选择1-3、填空8-9）|直接因式分解解方程|如选择1移项提公因式，强化“降次”核心步骤| |进阶层（选择4-6、填空10-11）|结合几何与代换|如选择4菱形对角线解方程，渗透几何直观| |综合层（选择7、填空12、解答13-15）|方法辨析与迁移|如解答15模仿拆项分组法，培养推理意识|

2.2.3一元二次方程的解法 因式分解法 同步练习2026-2027学年北师大版数学九上 一．选择题（共7小题） 1．方程x（x﹣2）＝x﹣2的解为（　　） A．x＝1 B．x1＝0，x2＝1 C．x1＝0，x2＝2 D．x1＝1，x2＝2 2．若（x+1）（x+4）＝0，则计算（x+2）（x+3）的结果是（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．2 3．若关于x的一元二次方程（x﹣m）（x﹣n）＝0与a（x﹣3）2＝b（a≠0）的解相同，则m与n满足的数量关系为（　　） A．m+n＝3 B．m+n＝6 C．m+n＝6a D．m+n＝6b 4．菱形的一条对角线长为8，另一条对角线长是方程x2﹣4x﹣12＝0的一个根，则菱形的边长是（　　） A．10 B．8 C．6 D．5 5．已知一元二次方程（x+1）2＝3x+3的两个根分别是点P的横坐标、纵坐标，则点P在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第一象限或第三象限 D．第二象限或第四象限 6．已知某三角形两边长分别为3和6，第三边是方程x2﹣6x+8＝0的一个根，则此三角形的周长为（　　） A．11 B．12 C．13 D．11或13 7．小李解方程x2﹣3x+2＝0的步骤如图所示，则下列说法正确的是（　　） 解方程：x2﹣3x+2＝0． 解：x2﹣2x﹣x+2＝0，① x2﹣2x＝x﹣2，② x（x﹣2）＝x﹣2，③ x＝1． A．小李解方程的过程正确 B．x＝2也是该方程的一个解 C．小李解方程的方法是配方法 D．解方程的过程是从第②步到第③步时出现错误 二．填空题（共5小题） 8．方程x2＝4x的根为 　 　 ． 9．已知2x2+5xy﹣7y2＝0，且y≠0，则的值　 　 ． 10．一个三角形的两边长分别为5和7，第三边长是方程x2﹣6x+8＝0的根，则这个三角形的周长为　 　 ． 11．已知方程x2﹣10x+21＝0的根为x1＝3，x2＝7，则方程（2x﹣1）2﹣10（2x﹣1）+21＝0的根是 　 　 ． 12．定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为“同伴方程”．例如x2＝4和（x﹣2）（x+3）＝0有且仅有一个相同的实数根x＝2，所以这两个方程为“同伴方程”．若关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的参数同时满足a+b+c＝0和4a﹣2b+c＝0，且该方程与（x﹣3）（x+n）＝0互为“同伴方程”，则n＝　 　 ． 三．解答题（共3小题） 13．解下列一元二次方程． （1）解方程（x+4）2＝5（x+4） （2）解方程2x2+3＝7x． 14．阅读后解答问题． 解方程：2x2﹣3x﹣2＝0 解：2x2﹣3x﹣2＝0， 拆项，分组得2x2﹣4x+x﹣2＝0， 提公因式，得2x（x﹣2）+（x﹣2）＝0， 再提公因式，得（x﹣2）（2x+1）＝0， 所以x﹣2＝0或2x+1＝0． 即x1＝2，x2． 运用以上因式分解法解方程6x2+7x﹣3＝0． 15．由多项式的乘法法则知：若（x+a）（x+b）＝x2+px+q，则p＝a+b，q＝ab；反过来x2+px+q＝（x+a）（x+b）要将多项式x2+px+q进行分解，关键是找到两个数a，b，使a+b＝p，ab＝q，如对多项式x2﹣3x+2，有p＝﹣3，q＝2，a＝﹣1，b＝﹣2，此时（﹣1）+（﹣2）＝﹣3，（﹣1）（﹣2）＝2，所以x2﹣3x+2可分解为（x﹣1）（x﹣2），即x2﹣3x+2＝（x﹣1）（x﹣2） （1）运用上述方法进行因式分解： ①x2﹣x﹣12 ②6x2﹣11x﹣35 （2）若ab＝0，则a＝0或b＝0． 结合上述因式分解的方法，解方程：x2+15x﹣126＝0． 2.2.3一元二次方程的解法 因式分解法 同步练习2026-2027学年北师大版数学九上 参考答案与试题解析 一．选择题（共7小题） 1．方程x（x﹣2）＝x﹣2的解为（　　） A．x＝1 B．x1＝0，x2＝1 C．x1＝0，x2＝2 D．x1＝1，x2＝2 【解答】解：原方程移项可得： x（x﹣2）﹣（x﹣2）＝0， （x﹣1）（x﹣2）＝0， ∴x﹣1＝0或x﹣2＝0， ∴x1＝1，x2＝2． 故选：D． 2．若（x+1）（x+4）＝0，则计算（x+2）（x+3）的结果是（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．2 【解答】解：∵（x+1）（x+4）＝0 ∴x2+5x+4＝0， ∴x2+5x＝﹣4， 则（x+2）（x+3） ＝x2+3x+2x+6 ＝x2+5x+6 ＝﹣4+6 ＝2． 故选：D． 3．若关于x的一元二次方程（x﹣m）（x﹣n）＝0与a（x﹣3）2＝b（a≠0）的解相同，则m与n满足的数量关系为（　　） A．m+n＝3 B．m+n＝6 C．m+n＝6a D．m+n＝6b 【解答】解：由（x﹣m）（x﹣n）＝0得， x﹣m＝0或x﹣n＝0， 所以x1＝m，x2＝n； 由a（x﹣3）2＝b得， （x﹣3）2， 所以． 因为两个方程的解相同， 所以m+n． 故选：B． 4．菱形的一条对角线长为8，另一条对角线长是方程x2﹣4x﹣12＝0的一个根，则菱形的边长是（　　） A．10 B．8 C．6 D．5 【解答】解：解方程x2﹣4x﹣12＝0得， x＝6或x＝﹣2（舍去）， 即另一条对角线长是6， ∵菱形的一条对角线长为8， ∴菱形的边长． 故选：D． 5．已知一元二次方程（x+1）2＝3x+3的两个根分别是点P的横坐标、纵坐标，则点P在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第一象限或第三象限 D．第二象限或第四象限 【解答】解：（x+1）2＝3x+3， （x+1）2＝3（x+1）， （x+1）2﹣3（x+1）＝0， （x+1）（x+1﹣3）＝0， （x+1）（x﹣2）＝0， x+1＝0或x﹣2＝0， ∴x1＝﹣1，x2＝2， ∴点P的坐标是（﹣1，2）或（2，﹣1）， ∴点P在第二象限或第四象限， 故选：D． 6．已知某三角形两边长分别为3和6，第三边是方程x2﹣6x+8＝0的一个根，则此三角形的周长为（　　） A．11 B．12 C．13 D．11或13 【解答】解：由题意，∵x2﹣6x+8＝0， ∴（x﹣2）（x﹣4）＝0， ∴x﹣2＝0或x﹣4＝0， ∴x1＝2，x2＝4， 当第三边为4时，6﹣3＜4＜6+3，能构成三角形， ∴周长为3+6+4＝13； 当第三边为2时，2+3＝5，不能构成三角形，不符合题意，舍去； ∴三角形的周长为13， 故选：C． 7．小李解方程x2﹣3x+2＝0的步骤如图所示，则下列说法正确的是（　　） 解方程：x2﹣3x+2＝0． 解：x2﹣2x﹣x+2＝0，① x2﹣2x＝x﹣2，② x（x﹣2）＝x﹣2，③ x＝1． A．小李解方程的过程正确 B．x＝2也是该方程的一个解 C．小李解方程的方法是配方法 D．解方程的过程是从第②步到第③步时出现错误 【解答】解：x2﹣3x+2＝0． x2﹣2x﹣x+2＝0，① x2﹣2x＝x﹣2，② x（x﹣2）＝x﹣2，③ （x﹣1）（x﹣2）＝0 （x﹣1）＝0或（x﹣2）＝0 解得x＝1或x＝2． A、小李解方程的过程错误，不符合题意； B、x＝2也是该方程的一个解，符合题意； C、小李解方程的方法是因式分解法，不符合题意； D、解方程的过程是从第③步时出现错误，不符合题意； 故选：B． 二．填空题（共5小题） 8．方程x2＝4x的根为 x1＝0，x2＝4　 ． 【解答】解：x2＝4x， x2﹣4x＝0， x（x﹣4）＝0， x＝0，x﹣4＝0， x1＝0，x2＝4， 故答案为：x1＝0，x2＝4． 9．已知2x2+5xy﹣7y2＝0，且y≠0，则的值　﹣3.5或1　 ． 【解答】解：方程变形得：2（）2+5•7＝0， 分解因式得：（2•7）（1）＝0， 解得：3.5或1， 故答案为：﹣3.5或1 10．一个三角形的两边长分别为5和7，第三边长是方程x2﹣6x+8＝0的根，则这个三角形的周长为　16　 ． 【解答】解：x2﹣6x+8＝0， 因式分解得：（x﹣2）（x﹣4）＝0， 解得：x1＝2，x2＝4， 设第三边长为x， 根据三角形三边关系可得7﹣5＜x＜7+5，即2＜x＜12， 所以第三边长为4， 所以三角形的周长为5+7+4＝16， 故答案为：16． 11．已知方程x2﹣10x+21＝0的根为x1＝3，x2＝7，则方程（2x﹣1）2﹣10（2x﹣1）+21＝0的根是 x1＝2，x2＝4　 ． 【解答】解：∵方程x2﹣10x+21＝0的根为x1＝3，x2＝7， ∴在方程（2x﹣1）2﹣10（2x﹣1）+21＝0中2x﹣1＝3或2x﹣1＝7， 解得x＝2或x＝4， 故答案为：x1＝2，x2＝4． 12．定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为“同伴方程”．例如x2＝4和（x﹣2）（x+3）＝0有且仅有一个相同的实数根x＝2，所以这两个方程为“同伴方程”．若关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的参数同时满足a+b+c＝0和4a﹣2b+c＝0，且该方程与（x﹣3）（x+n）＝0互为“同伴方程”，则n＝　﹣1或2　 ． 【解答】解：当x＝1时，a×12+b×1+c＝a+b+c＝0，即x＝1是方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根； 当x＝﹣2时，a×（﹣2）2+b×（﹣2）+c＝4a﹣2b+c＝0，即x＝﹣2是方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根， ∴方程ax2+bx+c＝0的根为x＝1和x＝﹣2， ∵两方程互为“同伴方程”，即有且只有一个相同的实数根，又方程（x﹣3）（x+n）＝0的根为x＝3和x＝﹣n， ∴若相同根为x＝1，则﹣n＝1，即n＝﹣1，此时两方程分别有根1、﹣2和3、1，仅有相同根x＝1，满足条件； 若相同根为x＝﹣2，则﹣n＝﹣2，即n＝2，此时两方程分别有根1、﹣2和3、﹣2，仅有共同根x＝﹣2，满足条件， 若相同根为x＝3，则3不是方程ax2+bx+c＝0的根，不满足题意， 综上，n＝﹣1或n＝2． 故答案为：﹣1或2． 三．解答题（共3小题） 13．解下列一元二次方程． （1）解方程（x+4）2＝5（x+4） （2）解方程2x2+3＝7x． 【解答】解： （1）∵（x+4）2﹣5（x+4）＝0， 即（x+4）（x﹣1）＝0， ∴x+4＝0或x﹣1＝0， 解得x＝﹣4或x＝1； （2）整理成一般式可得2x2﹣7x+3＝0， ∴（x﹣3）（2x﹣1）＝0， ∴x﹣3＝0或2x﹣1＝0， 解得x＝3或x． 14．阅读后解答问题． 解方程：2x2﹣3x﹣2＝0 解：2x2﹣3x﹣2＝0， 拆项，分组得2x2﹣4x+x﹣2＝0， 提公因式，得2x（x﹣2）+（x﹣2）＝0， 再提公因式，得（x﹣2）（2x+1）＝0， 所以x﹣2＝0或2x+1＝0． 即x1＝2，x2． 运用以上因式分解法解方程6x2+7x﹣3＝0． 【解答】解：6x2+7x﹣3＝0， 拆项，分组得6x2+9x﹣2x﹣3＝0， 提公因式3x（2x+3）﹣（2x+3）＝0， 再提公因式得（2x+3）（3x﹣1）＝0， 即2x+3＝0，3x﹣1＝0， x1，x2． 15．由多项式的乘法法则知：若（x+a）（x+b）＝x2+px+q，则p＝a+b，q＝ab；反过来x2+px+q＝（x+a）（x+b）要将多项式x2+px+q进行分解，关键是找到两个数a，b，使a+b＝p，ab＝q，如对多项式x2﹣3x+2，有p＝﹣3，q＝2，a＝﹣1，b＝﹣2，此时（﹣1）+（﹣2）＝﹣3，（﹣1）（﹣2）＝2，所以x2﹣3x+2可分解为（x﹣1）（x﹣2），即x2﹣3x+2＝（x﹣1）（x﹣2） （1）运用上述方法进行因式分解： ①x2﹣x﹣12 ②6x2﹣11x﹣35 （2）若ab＝0，则a＝0或b＝0． 结合上述因式分解的方法，解方程：x2+15x﹣126＝0． 【解答】解： （1）①x2﹣x﹣12＝（x﹣4）（x﹣3）；②6x2﹣11x﹣35＝（2x﹣7）（3x+5）； （2）∵x2+15x﹣126＝（x﹣6）（x+21）， ∴（x﹣6）（x+21）＝0， ∴x﹣6＝0或x+21＝0， ∴x1＝6，x2＝﹣21． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/8/23 13:04:36；用户：曙光；邮箱：15046884347；学号：19101398 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $