2.1 认识一元二次方程 练习 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

**基本信息** 聚焦一元二次方程核心概念，通过基础巩固、能力提升、综合应用三阶分层，实现从概念理解到方法迁移的知识巩固路径，培养抽象能力与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|定义、一般形式|单选1-5、填空8-10，直接考查概念辨析与简单运算| |提升层|根的应用、估算|单选6-7、填空11，结合表格数据与根的性质| |综合层|参数讨论、换根法|解答题12-15，综合化简求值与方法迁移应用|

2.1 认识一元二次方程 练习2026-2027学年北师大版 九年级数学上册 一、单选题 1．下列方程：①；②；③；④其中是一元二次方程的有（     ） A．①和② B．②和③ C．③和④ D．①和③ 2．将一元二次方程化成一般形式是（    ） A． B． C． D． 3．一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（   ） A．4，1，8 B．4，8，1 C．4，，1 D．4，， 4．下表是某同学求代数式的值的情况，根据表格中的数据，可知方程的根是（    ） 0 1 2 3 … 6 2 0 0 2 6 … A． B． C． D． 5．若方程是关于x的一元二次方程，则m应满足的条件是（　） A． B． C． D． 6．已知方程的一个根是2，则的值为（     ） A．2 B．1 C．3 D．−3 7．我们可以通过不断缩小范围的方法求一元二次方程的近似解，即找出使方程成立的一个初始范围，在该范围内提高精确度，得到一个新的范围，再对新的范围进行操作．例如在求时，根据以下表格，可知道其中一个解的大致范围是（　　） x 1 1.1 1.2 1.3 1.4 98 99.41 100.84 102.29 103.76 A． B． C． D． 二、填空题 8．一元二次方程化成一般形式后，二次项系数为_____，一次项系数为______，常数项为____． 9．根据下表可知，方程的一个近似解为________（结果精确到0.1）． x … … … 0.56 1.25 1.96 … 10．请写出一个一元二次方程，使它的一个根是5：___________． 11．若关于x的一元二次方程的一个根为，则它的另一个根为_______． 三、解答题 12．先化简，再求值：，其中a是方程的解． 13．将下列方程化成一元方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项． (1)； (2)； (3)； (4)． 14．已知方程． (1)如果是关于x的一元二次方程，试确定m的值，并指出二次项系数、一次项系数及常数项； (2)如果是关于x的一元一次方程，试确定m的值． 15．请阅读下列材料： 问题：已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倍． 解：设所求方程的根为， 则，所以． 把代入已知方程，得， 化简，得， 故所求方程为． 这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”． 请用阅读材料提供的方法，解答下列问题（要求：把所求方程化为一般形式）： (1)已知方程，求一个关于的一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，请求出所求方程； (2)已知方程的两个根分别是和，尝试求出另一个方程的两个根． 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 答案 C C C C C B B 1．【答案】C 【知识点】一元二次方程的定义、分式方程的定义 【分析】根据一元二次方程的定义判断即可． 【详解】解：①是分式方程，不是一元二次方程； ②含有两个未知数，不是一元二次方程； ③是一元二次方程； ④是一元二次方程； 综上所述，③和④是一元二次方程． 2．【答案】C 【知识点】化成一元二次方程的一般式 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，将原方程所有项移至等号左边即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴一元二次方程化成一般形式是， 故选：． 3．【答案】C 【知识点】化成一元二次方程的一般式 【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式（a，b，c是常数且），其中叫二次项，叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项． 先把方程化为一元二次方程的一般形式，再根据一般形式的相关定义即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴一元二次方程的二次项系数，一次项系数，常数项分别是4，，1． 故选：C． 4．【答案】C 【知识点】判断是否是一元二次方程的解 【分析】此题主要考查一元二次方程的解，解题的关键是根据表格直接得到解，能使成立的x的值即为所求． 【详解】解：由表格知，当或时，成立， 即该方程的根是． 故选：C． 5．【答案】C 【知识点】由一元二次方程的定义求参数 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程要求二次项系数不为零，由此计算即可得出结果，熟练掌握一元二次方程的定义是解此题的关键． 【详解】解：∵方程是关于x的一元二次方程， ∴， ∴， 故选：C． 6．【答案】B 【知识点】由一元二次方程的解求参数 【分析】根据方程根的定义，方程的根可使方程左右两边相等将已知根代入原方程，解关于的一元一次方程即可得到结果． 【详解】∵ 是方程的一个根， ∴ 将代入原方程得， ， 整理得 ，即 ， 解得 ． 7．【答案】B 【知识点】一元二次方程的解的估算 【分析】本题主要考查求一元二次方程的近似解，通过观察表格数据，找到使的值等于100的x的范围．当时，值为99.41小于100；当时，值为100.84大于100，因此解在1.1和1.2之间． 【详解】解：∵方程， ∴． 由表格： 当时，， 当时，， ∴在和之间，值从99.41增加到100.84，必然经过100， ∴方程的一个解在范围内． 故选：B． 8．【答案】 2 【知识点】多项式的项、项数或次数、化成一元二次方程的一般式 【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般形式，熟练掌握形如的式子叫做一元二次方程是解题的关键． 先将方程化为一般形式，即可求解． 【详解】解：将方程化成一般形式为， ∴二次项系数为2，一次项系数为，常数项为． 故答案为：． 9．【答案】 【知识点】一元二次方程的解的估算 【分析】本题考查了估算一元二次方程的近似解. 看在相对应的哪两个的值之间，那么近似根就在这两个对应的的值之间,哪个离比较近就取哪个值. 【详解】解：根据表格得， 当从增大到时，从下降到． 距近一些， ∴方程的一个近似根是． 故答案为：． 10．【答案】（答案不唯一） 【知识点】一元二次方程的定义、由一元二次方程的解求参数 【分析】本题考查了一元二次方程的解的定义，由于5是方程的一个根，因此方程左边含有因式，通过选取另一个根构造一元二次方程． 【详解】解：设一元二次方程的另一个根为0，则方程为，即． 故答案为：（答案不唯一）． 11．【答案】 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、由一元二次方程的解求参数 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，若，为方程的两个根，则，与系数的关系式：，． 利用一元二次方程根与系数的关系求另一个根即可． 【详解】解：另一个根为， 根据根与系数的关系可知， 解得． 故答案为：． 12．【答案】； 【知识点】分式化简求值、由一元二次方程的解求参数 【分析】本题主要考查分式的化简求值，一元二次方程的解的概念，掌握分式的性质，一元二次方程的解的运用是解题的关键． 根据分式的性质、完全平方公式和平方差公式，将式子化简，再根据一元二次方程的解可得，即可求解． 【详解】解： ， 是方程的解， ， 即， 原式． 13．【答案】(1)二次项系数为，一次项系数为，常数项为； (2)二次项系数为，一次项系数为，常数项为； (3)二次项系数为，一次项系数为，常数项为； (4)二次项系数为，一次项系数为，常数项为． 【知识点】化成一元二次方程的一般式 【详解】（1）解：由原方程得到：， 所以二次项系数为，一次项系数为，常数项为； （2）解：由原方程得到：， 所以二次项系数为，一次项系数为，常数项为； （3）解：由原方程得到：， 所以二次项系数为，一次项系数为，常数项为； （4）解：由原方程得到：， 所以二次项系数为，一次项系数为，常数项为． 14．【答案】(1)，二次项系数为2，一次项系数为5，常数项为11 (2)或 【知识点】判断是否是一元一次方程、由一元二次方程的定义求参数 【分析】（1）根据一元二次方程定义得到，求出m的值，即可解答； （2）根据一元一次方程的定义得到或，求解即可． 【详解】（1）解：∵方程是关于x的一元二次方程， ∴，解得， ∴方程为，方程的二次项系数为2，一次项系数为5，常数项为11． （2）解：∵方程是关于x的一元一次方程， ∴或， ∴或． 15．【答案】(1) (2)， 【知识点】判断是否是一元二次方程的解 【分析】本题考查利用“换根法”求解一元二次方程相关的问题，通过设新方程的根与原方程的根的关系，进行化简和求值是解题的关键． （1）根据“换根法”，利用新方程的根与原方程的根之间的关系，代入原方程即可； （2）将方程进行变形为，利用换元法，假设，由此方程变形为，根据题意可知的根，故可求出的值，为方程的根． 【详解】（1）解：设所求方程的根为，根据题意，是原方程根的相反数，因此， 即， 代入原方程， 得：， 则． （2）解：，； ∵， ∴移项得， ， 设，则方程变为， 故的根为和， 当时，，解得； 当时，，解得； 则方程的两个根是，． 学科网（北京）股份有限公司 $