2.1.1倾斜角与斜率同步练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册（北京专用）

**基本信息** 北京专用同步练聚焦倾斜角与斜率，通过基础巩固、中档辨析到提升应用的分层设计，覆盖定义理解、公式运算及综合应用，培养数学抽象、运算能力与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|倾斜角定义、斜率公式直接应用|单选题1（倾斜角概念）、填空题15（斜率计算），题型直接，巩固核心概念| |中档层|倾斜角与斜率关系、方向向量初步应用|单选题3（斜率比较）、9（方向向量求斜率），通过图形辨析提升推理能力| |提升层|倾斜角范围、最值问题及方向向量综合应用|单选题5（倾斜角与最值）、解答题（参数取值范围），结合情境培养应用意识|

2.1.1倾斜角与斜率同步练（北京专用） 教材知识梳理 1．直线的倾斜角 （1）倾斜角的定义: 一般地，给定平面直角坐标系中的一条直线，如果这条直线与x轴相交，将x轴绕着它们的交点按______方向旋转到与直线重合时所转的最小正角记为，则称为这条直线的______.如果一条直线与x轴平行或重合，则规定这条直线的倾斜角为______. （2）倾斜角的取值范围： 平面直角坐标系中的每一条直线都有______的倾斜角，倾斜角的取值范围是______. 【答案】 逆时针 倾斜角 唯一 2．直线的斜率 （1）斜率的定义： 一般地，如果直线l的倾斜角为，则当__________时，称___________为直线l的斜率；当时，称直线l的斜率___________. （2）斜率的公式： 若是直线l上两个不同的点，则当时，直线l的斜率为__________，当时，直线l的斜率__________. 【答案】 不存在 不存在 同步练（最新北京同步考题） 一、单选题 1．（25-26高二上·北京东城·期末）直线的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由直线方程可得直线斜率，结合斜率定义可得倾斜角. 【详解】设直线的倾斜角为，则， 直线即为，其斜率， 即，可得， 所以直线的倾斜角为. 故选：B. 2．（25-26高二上·北京·期末）过两点，的直线的倾斜角等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据斜率求倾斜角即可. 【详解】因为， 所以由可得， 故选：D 3．（16-17高二上·北京东城·期中）图中的直线，，的斜率分别是，，，则有（   ）      A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设直线，，的倾斜角分别为，，．可得，利用正切函数的单调性即可得出斜率大小关系． 【详解】设直线，，的倾斜角分别为，，． 则，所以 可得．即． 故选：． 4．（25-26高二上·北京·期中）已知，则直线的倾斜角不可能为（    ） A．0 B． C． D． 【答案】A 【分析】根据直线方程，分类讨论求得直线的斜率的取值范围，进而根据倾斜角和斜率的关系，即可求解，得到答案. 【详解】当时，，直线的倾斜角为， 当时，，则直线斜率，所以直线倾斜角不可能为; 故选：A 5．（25-26高二上·北京海淀·期末）已知直线过第一象限的点和，直线的倾斜角为135°，则的最大值为（   ） A．9 B．4 C．3 D． 【答案】A 【分析】根据斜率公式得出的关系，再利用基本不等式求的最大值. 【详解】因为直线过点和，且倾斜角为135°， 所以，得， 因为点在第一象限，所以， 所以，得，当且仅当时等号成立， 所以的最大值为. 故选：A 6．（24-25高二上·北京朝阳·阶段检测）已知三点，，，则过点 的直线 与线段 有公共点时（公共点包含端点），直线 的斜率 的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出直线的斜率，直线的斜率，作出图象数形结合能求出直线的斜率的取值范围． 【详解】如图，过作 轴，交轴于， 因为三点，，， 直线的斜率， 直线的斜率， 所以结合图象，得直线的斜率的取值范围是． 故选：B 7．（23-24高二上·北京·期中）已知，直线过点且与射线相交，则直线的斜率的取值范围是（    ） A．或 B． C． D．或 【答案】D 【分析】求出直线的斜率，结合图象即可得解. 【详解】根据题意，在平面直角坐标系中，作出点，如图， ， 因为直线过点且与射线相交， 由图可知，所以直线的斜率或. 故选：D. 8．（22-23高二上·北京昌平·阶段检测）已知点， ， 若点在线段上，则的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，分别求出，，根据表示直线的斜率即可得到结果. 【详解】设，则， 因为点在线段上，所以的取值范围是 故选:A. 9．（25-26高二上·北京·期末）已知直线的一个方向向量是，则直线的斜率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用直线的斜率与方向向量的关系可得出直线的斜率. 【详解】因为直线的一个方向向量是，则直线的斜率是. 故选：A. 10．（25-26高二上·北京朝阳·期末）已知直线l经过两点，，且直线l的倾斜角为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用斜率坐标公式即可求出的值. 【详解】直线l经过两点，，根据斜率公式，得， 又直线l的倾斜角为，. 故选：A. 11．（25-26高二上·北京·期中）已知直线的一个方向向量为，则直线的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】通过方向向量求斜率，再结合倾斜角范围及正切值求倾斜角. 【详解】直线的方向向量为，则斜率. 设倾斜角为，，由，得. 故选：C 12．（2026·重庆·模拟预测）若倾斜角为的直线的方向向量为，则（   ） A． B． C．-5 D．5 【答案】A 【分析】由方向向量求倾斜角正切值，再用两角和公式计算即可. 【详解】因为倾斜角为的直线的方向向量为， 所以 所以. 故选：A. 二、填空题 13．（25-26高二上·北京通州·阶段检测）已知直线的方向向量为，则直线的倾斜角是__________. 【答案】/ 【分析】求出直线的斜率，即可得到直线的倾斜角. 【详解】因为直线的一个方向向量是， 所以直线的斜率， 设直线的倾斜角为，则， 又，所以， 故答案为：. 14．（24-25高二上·北京大兴·期中）已知，，三点共线，则______． 【答案】 【分析】先确定直线斜率存在，然后根据三点共线可知，结合斜率的计算公式可求结果. 【详解】因为，所以直线斜率存在， 因为三点共线，所以， 所以，解得， 故答案为：. 15．（25-26高二上·北京·期中）若经过两点，的直线的斜率是12，则______． 【答案】 【分析】根据过两点的直线的斜率公式求的值. 【详解】由两点，的直线的斜率是12，得， 即，解得. 故答案为： 16．（23-24高二上·北京顺义·期中）直线的倾斜角为______. 【答案】0/ 【分析】根据直线与坐标轴平行可得倾斜角. 【详解】因为直线与轴平行，所以直线的倾斜角为. 故答案为： 17．（23-24高二上·北京丰台·期中）已知直线经过点，且斜率为，则直线的一个方向向量为______. 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据直线的斜率与方向向量之间的关系可得出直线的斜率. 【详解】不妨令直线的一个方向向量为，则，所以可以取，则，此时直线的一个方向向量为（答案不唯一） 故答案为：（答案不唯一） 三、解答题（25-26高二上·北京·阶段检测）已知平面直角坐标系内两点，． (1)当直线的倾斜角为锐角时，求的取值范围； (2)若直线的一个方向向量为，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）结合两点求斜率，解不等式即可得出答案； （2）根据方向向量得，解方程即可得出答案. 【详解】（1）设直线的倾斜角为，因为倾斜角为锐角， 所以直线的斜率， 又， 即，解得， 即的取值范围为． （2）直线的一个方向向量为， 所以， 解得． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $2.1.1倾斜角与斜率同步练（北京专用) 教材知识梳理 1.直线的倾斜角 (1)倾斜角的定义： 一般地，给定平面直角坐标系中的一条直线，如果这条直线与x轴相交，将x轴绕着 它们的交点按 方向旋转到与直线重合时所转的最小正角记为θ，则称日为这条直线的 如果一条直线与x轴平行或重合，则规定这条直线的倾斜角为 (2)倾斜角的取值范围： 平面直角坐标系中的每一条直线都有 的倾斜角，倾斜角的取值范围是 2.直线的斜率 (1)斜率的定义： 一般地，如果直线1的倾斜角为6，则当 时，称k= 为直线1的斜率： 当日=90时，称直线1的斜率 (2)斜率的公式： 若A(X1,y1),B(X2,y2)是直线1上两个不同的点，则当X1≠x2时，直线1的斜率为 当X1=X2时，直线1的斜率 同步练（最新北京同步考题） 一、单选题 1.(25-26高二上北京东城期末)直线V3x-y+1=0的倾斜角为() A.30° B.60° C.120° D.150° 2.(25-26高二上·北京·期末)过两点(4,6)，（7,3)的直线的倾斜角等于() A.45° B.90° C.120° D.135° 3.(16-17高二上·北京东城期中)图中的直线1,12,13的斜率分别是k1,k2,k3,则有 () 试卷第1页，共3页 A.k1<k2<k3B.k3<k1<k2 C.k3<k,<k D.k2<k3<k1 4.(25-26高二上·北京·期中)已知t∈R,则直线x=y+1的倾斜角不可能为() A.0 B骨 c D. 5π 5.(25-26高二上·北京海淀期末)已知直线l过第一象限的点m,n和1,5，直线l的倾斜 角为l35°，则mn的最大值为() A.9 B.4 C.3 3-2 D. 6.(24-25高二上·北京朝阳·阶段检测)已知三点A2,2,B3,1,C-1,-1,则过点A 的直线【与线段BC有公共点时（公共点包含端点），直线1的斜率k,的取值范围是 () A.-1,1 B.-00,-1U1,+0o c.-1,1 D.-0,-1U1,+∞ 7.(23-24高二上北京·期中)已知A2,-3,B-3,-2,直线l过点P1,1且与射线AB 相交，则直线的斜率k的取值范围是() A.k≤-4或k≥ 1-5 B.4sks星 C.-4≤k<- 5 D.k≤-4或k>-1 8.(2-23高二上北京昌平阶段检测)已知点A-1-3,-1B3,0: 若点 Mx,y在线段AB上，则X子的取值范园（】 A0,,+ B c.-1,3 D -11 2’2 9.(25-26高二上北京期末)已知直线的一个方向向量是=3,4，则直线的斜率是 () B.3 D 试卷第2页，共3页 10.(25-26高二上·北京朝阳期末)已知直线1经过两点P-1,0,Q0,t,且直线1的倾 斜角为60°，则t=() A.3 B.-3 3 C. 3 D.-3 3 11.(25-26高二上北京期中)已知直线l的一个方向向量为-1,1，则直线的倾斜角为 () A.45 B.90° C.135 D.150 12.(2026庆模拟预测)若顿斜角为g的直线，的方向向量为州2，-3则am|好+ +0 () 1 B. 5 C.-5 D.5 二、填空题 13.(25-26高二上北京通州-阶段检测)已知直线，的方向向量为立=3，-1小则直线，的 倾斜角是 14.(24-25高二上·北京大兴期中)已知A1,1,B2,2,C0,n三点共线，则n 15.(25-26高二上·北京期中)若经过两点A-m,6,B1,3m的直线的斜率是12，则 m= 16.(23-24高二上·北京顺义·期中)直线y=1的倾斜角为 17.(23-24高二上·北京丰台期中)已知直线l经过点A(1,4),且斜率为2，则直线的 一个方向向量为 故答案为：1,2（答案不唯一） 三、解答题(25-26高二上·北京·阶段检测)己知平面直角坐标系内两点Mm+3,3m+5, N2m-1,1. (1)当直线MN的倾斜角为锐角时，求m的取值范围： (2)若直线MN的一个方向向量为a=1,-2025,求m的值. 试卷第3页，共3页