2.1.1 倾斜角与斜率-课时练习-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 高中数学新授课同步练，聚焦“倾斜角与斜率”，通过A/B/C三级分层设计，实现从概念理解到实际应用的递进，培养数学眼光与思维。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A级|倾斜角概念、斜率公式、简单计算|单一知识点直接考查，如倾斜角判断、两点斜率计算，夯实基础| |B级|斜率与方向向量、三点共线、倾斜角范围|综合应用与易错辨析，如多选题辨析倾斜角与斜率关系，解答题结合线段相交求斜率范围，提升逻辑推理| |C级|实际情境斜率应用|跨学科情境（国旗五角星），通过数学建模解决问题，体现数学眼光观察现实世界|

2.1.1　倾斜角与斜率 A级 必备知识基础 1.(探究点一)如图,直线l的倾斜角为(　　) A. B. C. D. 2.(探究点一)若经过A(3,m),B(1,2)两点的直线的倾斜角为45°,则m=(　　) A.6 B.-6 C.4 D.-4 3.(探究点三)设直线l的斜率为k,且-≤k<1,则直线l的倾斜角的取值范围为(　　) A.[0,)∪[,π) B.[0,)∪(,π) C.[) D.[0,)∪[,π) 4.(探究点二)斜拉桥是桥梁建筑的一种形式,在桥梁平面上有多根拉索,所有拉索的合力方向与中央索塔一致.如图,该大桥共有10对永久拉索,在索塔两侧对称排列.已知拉索上端相邻两个针的间距|PiPi+1|(i=1,2,…,9)均为3.8 m,拉索下端相邻两个针的间距|AiAi+1|(i=1,2,…,9)均为15 m.最短拉索的针P1,A1满足|OP1|=60 m, |OA1|=80 m,则最长拉索所在直线的斜率约为(　　)(结果保留两位有效数字) A.±0.47 B.±0.45 C.±0.44 D.±0.42 5.(探究点三)(多选题)已知直线斜率的绝对值为,则直线的倾斜角可以为(　　) A.30° B.60° C.120° D.150° 6.(探究点三)(多选题)若经过点A(1-a,1+a)和点B(3,a)的直线的倾斜角为钝角,则实数a的值不可能为(　　) A.-3 B.-2 C.1 D.2 7.(探究点二)已知点A(0,-8),B(2,-2),C(4,m),若线段AB,AC,BC不能构成三角形,则m的值是　　　　.  8.(探究点二)(苏教版教材例题)如图,直线l1,l2,l3都经过点P(3,2),又l1,l2,l3分别经过点Q1(-2,-1),Q2(4,-2),Q3(-3,2),试计算直线l1,l2,l3的斜率. 9.(探究点三)如图,直线l1的倾斜角α1=30°,直线l1⊥l2,求直线l1,l2的斜率. B级　关键能力提升 10.(2026浙江温州高二期末)已知(2,m)是过A(0,2),B(1,0)两点的直线的一个方向向量,则实数m的值为(　　) A.-4 B.-1 C.1 D.4 11.若A(2,2),B(a,0),C(0,b)(ab≠0)三点共线,则的值等于(　　) A. B.- C.2 D.-2 12.(多选题)下列命题错误的是(　　) A.直线的倾斜角越大,则直线的斜率就越大 B.直线的倾斜角为α,则直线的斜率为tan α C.直线的斜率为tan α,则直线的倾斜角是α D.直线的倾斜角α∈[0,)或α∈(,π)时,直线的斜率分别在这两个区间上单调递增 13.已知等腰直角三角形斜边上的高所在直线的斜率为3,则该等腰直角三角形两腰所在直线的斜率分别为　　　　　.  14.(2025浙江台州十校联盟高二期中)已知三点P(3,-1),M(5,1),N(2,-1),直线l过点P,且与线段MN相交.求: (1)直线l的倾斜角α的取值范围; (2)直线l的斜率k的取值范围. C级　学科素养创新 15.在我国国旗中,大五角星有一个角尖正向上方,四颗小五角星均各有一个角尖正对大五角星的中心点.第三颗小星的姿态与大星相近.为便于研究,如图,以大星的中心点为原点,建立平面直角坐标系,OO1,OO2,OO3,OO4分别是大星中心点与四颗小星中心点的连接线,α≈16°,则第三颗小星的一条边AB所在直线的倾斜角为　　　　.  参考答案 1.C　2.C　3.A　4.C　5.BC　6.AB 7.4　因为线段AB,AC,BC不能构成三角形,所以A,B,C三点共线,显然直线AB的斜率存在,故kAB=kAC,即,解得m=4. 8.解 设k1,k2,k3分别表示直线l1,l2,l3的斜率,则k1=,k2==-4,k3==0. 9.解 l1的斜率k1=tan α1=tan 30°=. ∵l2的倾斜角α2=90°+30°=120°, ∴l2的斜率k2=tan 120°=tan(180°-60°)=-tan 60°=-. 10.A　已知A(0,2),B(1,0),所以=(1,-2)是直线的一个方向向量.因为向量(2,m)也是直线的方向向量,所以它与共线,所以,解得m=-4.故选A. 11.A　∵A,B,C三点共线, ∴kAB=kAC,即,即ab=2a+2b,两边同除以ab,得1=,即. 12.ABC　直线的倾斜角α∈或α∈(,π)时,直线的斜率分别在这两个区间上单调递增,故A错误,D正确;当α=90°时,斜率不存在,故B错误;只有当α∈[0,π)时,直线的倾斜角才是α,故C错误,故选ABC. 13.-2,　设等腰直角三角形斜边上的高所在直线的倾斜角为α,则tan α=3,由题意得该等腰直角三角形两腰所在直线的倾斜角分别为α+45°,α-45°, 因为tan(α+45°)==-2,tan(α-45°)=,所以该等腰直角三角形两腰所在直线的斜率分别为-2,. 14.解 (1)kPN==-,kPM==1,所以直线PN的倾斜角为120°,直线PM的倾斜角为45°,如图, 所以直线l的倾斜角α的取值范围是45°≤α≤120°. (2)直线l的斜率k的取值范围是(-∞,-]∪[1,+∞). 15.2°　∵O,O3都为五角星的中心点,∴OO3平分第三颗小星的一个角.又五角星的内角为36°,则∠BAO3=18°.过点O3作x轴的平行线O3E,如图, 则∠OO3E=∠α≈16°,∴直线AB的倾斜角为18°-16°=2°. 学科网（北京）股份有限公司 $