第1章 1.4.2 第1课时 课后达标检测-【优学精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册教用Word（人教A版）

**基本信息** 聚焦空间距离计算，通过基础公式应用、动态参数问题到几何体综合求解的三层设计，强化空间观念与运算推理能力，适配新授课知识巩固与思维进阶。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|点到线/面距离公式直接应用|选择、填空题（1-2、7-8题），直接套用公式计算，巩固空间距离公式记忆| |能力层|动态距离、线面距离转化|含参数求最值（3题）、线面平行距离转化（5题），培养几何直观与推理能力| |综合层|几何体中距离综合应用|四棱锥/正方体背景解答题（10、13-14题），需建系求法向量，发展数学建模与综合运算能力|

1．已知过原点O的直线l的方向向量u＝(1，2，1)，则点P(2，1，2)到直线l的距离为(　　) A．1 B． C． D． 解析：选C.原点O∈l，则＝(2，1，2)，·u＝2×1＋1×2＋2×1＝6，||＝3，|u|＝， 所以点P(2，1，2)到直线l的距离为d＝＝＝. 2．已知点A(2，1，1)在平面α内，点B(9，8，5)在平面α外，且平面α的一个法向量为a＝(1，1，1)，则点B到平面α的距离为(　　) A．6 B．6 C．3 D．3 解析：选A.因为＝(7，7，4)，所以点B到平面α的距离为＝＝6. 3．(2025·海口期中)已知直线l的方向向量为n＝(3，0，3)，且过点M(1，－1，－1)，则点N(1，1，a)到直线l的距离的最小值为(　　) A．1 B．2 C． D．6 解析：选B.＝(0，2，a＋1)，所以点N到直线l的距离为 ＝＝， 所以当a＝－1时，所求距离有最小值，最小值为＝2. 4．已知在四棱锥P-ABCD中，＝(5，1，－2)，＝(0，2，1)，＝(2，1，－2)，则该四棱锥的高为(　　) A． B． C． D． 解析：选D.设平面ABCD的法向量为n＝(x，y，z)，则即 取x＝1，得n＝(1，－1，2)， 所以点P到平面ABCD的距离d＝＝＝，即四棱锥的高为. 5．在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是BC，CD的中点，则直线BD到平面EFD1B1的距离为(　　) A． B． C． D． 解析：选D. 建立如图所示的空间直角坐标系，则B(1，1，0)，E(，1，0)，B1(1，1，1)，D1(0，0，1)，所以＝(，0，0)，＝(－1，－1，0)，＝(－，0，－1). 设平面EFD1B1的法向量为n＝(x，y，z)， 则 令z＝1，则n＝(－2，2，1). 因为BD∥B1D1，BD⊄平面EFD1B1，B1D1⊂平面EFD1B1， 所以BD∥平面EFD1B1，所以直线BD到平面EFD1B1的距离即为点B到平面EFD1B1的距离， 所以直线BD到平面EFD1B1的距离为d＝＝＝. 6．(多选)已知四棱台ABCD-A1B1C1D1的上、下底面均为正方形，AA1⊥底面ABCD，AA1＝，AB＝2A1B1＝，E是底面ABCD的中心，以A为坐标原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示，则下列说法正确的是(　　) A．点D1的坐标为(0，，) B．||＝ C．平面BB1C1C的一个法向量为(1，0，) D．点D1到平面BB1C1C的距离为 解析：选AC.由题意得，D1(0，，)，故A正确； E(，，0)，所以＝(，0，－)，＝＝1，故B不正确； 由题意得，B(，0，0)，C(，，0)，B1(，0，)， 所以＝(0，，0)，＝(－，0，)， 设平面BB1C1C的法向量为m＝(x，y，z)， 则解得y＝0， 令x＝1，则z＝，则m＝(1，0，)，故C正确； ＝(，－，－)，则点D1到平面BB1C1C的距离为＝ ＝，故D不正确． 7．已知直线l的方向向量为n＝(1，0，2)，点A(0，1，1)在直线l上，若点P(1，a，2)到直线l的距离为，则a＝________． 解析：由题意得＝(1，a－1，1)，所以·n＝1＋0＋2＝3，|n|＝＝，所以点P到直线l的距离为＝＝，解得a＝0或a＝2. 答案：0或2 8．在空间直角坐标系中，A(0，0，0)，B(1，1，1)，C(1，0，0)，D(－1，2，1)，其中A∈α，B∈α，C∈β，D∈β.已知平面α∥平面β，则平面α与平面β间的距离为________． 解析：由已知得＝(1，1，1)，＝(－2，2，1)，＝(1，0，0)，设向量n＝(x，y，z)与向量，都垂直，则即取x＝1，则n＝(1，3，－4). 又平面α∥平面β，所以平面α与平面β间的距离d＝＝＝. 答案： 9．如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，BA⊥BC，BA＝BC＝BB1＝2，则点B到平面A1B1C的距离为________． 解析：由题易知BA，BC，BB1两两垂直，以点B为坐标原点，BA，BB1，BC 所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则C(0，0，2)，B(0，0，0)，B1(0，2，0)，A1(2，2，0)，＝(0，2，0)，＝(0，2，－2)，＝(－2，0，0)， 设平面A1B1C的法向量为n＝(x，y，z)， 则 x＝0，令z＝1，则y＝1，所以n＝(0，1，1). 则点B到平面A1B1C的距离d＝＝＝， 即点B到平面A1B1C的距离为. 答案： 10．(13分)在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB＝BC＝2BB1＝2，P为B1C1的中点． (1)取A1D1中点M，AB中点N，求证：MN⊥平面APC；(7分) (2)求点B到平面APC的距离．(6分) 解：(1) 证明：由题可建立如图所示的空间直角坐标系，则A(2，0，0)，C(0，2，0)，P(1，2，1)，M(1，0，1)，N(2，1，0)， 所以＝(－2，2，0)，＝(－1，2，1). 设平面APC的法向量为n＝(x0，y0，z0)， 则所以 令x0＝1，解得y0＝1，z0＝－1. 所以n＝(1，1，－1). 又因为＝(1，1，－1)＝n， 所以MN⊥平面APC. (2)由(1)知平面APC的法向量为n＝(1，1，－1)，B(2，2，0)，＝(0，2，0)，所以点B到平面APC的距离d＝＝＝. 11．如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB＝，AC＝2，BC＝1，AA1＝2，点D是棱AC的中点，点E在棱BB1上运动，则点D到直线C1E距离的最小值为(　　) A． B． C． D． 解析：选A. 因为CC1⊥平面ABC，∠ACB＝，故以C为坐标原点，CA，CB，CC1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 连接C1D，则D(1，0，0)，C1(0，0，2). 设E(0，1，c)，其中0≤c≤2， 所以＝(1，0，－2)，＝(0，1，c－2)， 则点D到直线C1E的距离 d＝ ＝＝. 设t＝(c－2)2＋1，因为c∈[0，2]，所以t∈[1，5]，则d＝∈[，].所以点D到直线C1E距离的最小值为. 12．(多选)如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为BD，CC1的中点，若点G满足＝λ＋μ(0≤λ≤1，0≤μ≤1)，则(　　) A．G∈平面ADD1A1 B．当λ＝μ＝1时，AG∥平面BDF C．当λ＝μ＝1时，EG⊥平面BDF D．当λ＝μ＝时，点G到平面BDF的距离为　 解析：选AC.因为＝λ＋μ，所以，，共面，又，，均过点D，所以D，G，D1，A共面，所以G∈平面ADD1A1，故A正确； 以点D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则D(0，0，0)，B(2，2，0)，F(0，2，1)，D1(0，0，2)，A(2，0，0)，E(1，1，0)， 所以＝(2，2，0)，＝(0，2，1)，＝(2，0，0)，＝(0，0，2)， 设平面BDF的法向量为n＝(x，y，z)， 则令x＝1，则y＝－1，z＝2，所以平面BDF的一个法向量为n＝(1，－1，2)， 当λ＝μ＝1时，＝＋＝(2，0，0)＋(0，0，2)＝(2，0，2)，所以G(2，0，2)，所以＝(0，0，2)，又·n＝0＋0＋4≠0，所以AG不平行于平面BDF，故B错误； 所以＝(1，－1，2)，所以＝n，所以EG⊥平面BDF，故C正确； 当λ＝μ＝时，＝＋＝(1，0，0)＋(0，0，1)＝(1，0，1)，所以点G到平面BDF的距离为＝＝，故D错误． 13．(13分)如图，矩形BDEF所在平面与正方形ABCD所在平面互相垂直，AE＝BD＝4，P为线段AF上的动点(含端点). (1)求PC2＋PE2的取值范围；(7分) (2)求点B到平面CEF的距离．(6分) 解： (1)由题易知DE，AD，CD两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系， 因为AE＝BD＝4，所以AB＝AD＝DE＝4， 则C(0，4，0)，E(0，0，4)，F(4，4，4).　 根据题意，可设点P(4，4λ，4λ)，其中0≤λ≤1，则＝(－4，4－4λ，－4λ)，＝(－4，－4λ，4－4λ)， 则PC2＋PE2＝||2＋||2＝(－4)2＋(4－4λ)2＋(－4λ)2＋(－4)2＋(－4λ)2＋(4－4λ)2＝64λ2－64λ＋64＝64(λ2－λ＋1)， 当λ∈[0，1]时，λ2－λ＋1＝(λ－)2＋∈[，1]， 所以64(λ2－λ＋1)∈[48，64]， 即PC2＋PE2的取值范围是[48，64]. (2)由(1)知，B(4，4，0)，＝(0，－4，4)，＝(4，0，4)，＝(4，0，0)， 设平面CEF的法向量为m＝(x，y，z)， 则即 取m＝(1，－1，－1)，所以点B到平面CEF的距离为＝＝. 14．(15分)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面四边形ABCD为菱形，E为棱PD的中点，O为边AB的中点． (1)求证：AE∥平面POC；(7分) (2)若侧面PAB⊥底面ABCD，且∠ABC＝∠PAB＝，AB＝2PA＝4.在棱PD上是否存在点F，使点F到直线OD的距离为，若存在，求的值；若不存在，请说明理由．(8分) 解：(1)证明：取线段PC的中点M，连接OM，EM，在△PCD中，E，M分别为PD，PC的中点． 所以EM∥CD，且EM＝CD. 又因为底面ABCD是菱形，且O为AB的中点，所以AO∥CD，且AO＝CD，所以EM∥AO，且EM＝AO，所以四边形AOME为平行四边形，所以OM∥AE. 又因为OM⊂平面POC，AE⊄平面POC， 所以AE∥平面POC. (2)在平面PAB内过点O作Oz⊥AB，又由平面PAB⊥底面ABCD，且平面PAB∩平面ABCD＝AB，可得Oz⊥平面ABCD， 又在菱形ABCD中，∠ABC＝，且BC＝2OB，所以可得在△OBC中有OC⊥OB， 则以O为坐标原点，OB，OC，Oz所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，由OA＝PA且∠PAB＝，得△OPA是正三角形，所以O(0，0，0)，P(－1，0，)，D(－4，2，0)，＝(－4，2，0)，＝(3，－2，). 设＝λ，λ∈[0，1]，则＝＋＝＋λ＝(3λ－4，2－2λ，λ)， 令μ＝＝(－，，0)， ·μ＝－λ＋2，则点F到直线OD的距离d＝，即＝(3λ－4)2＋(2－2λ)2＋3λ2－(2－λ)2， 化简得9λ2＝1，故λ＝(负值已舍去). 综上，存在点F，且＝. 15．如图，在长方体中，AC＝3，AB＝6，AD＝3，顶点A在平面α上，三条棱AB，AC，AD都在平面α的同侧．若顶点B，C到平面α的距离分别为2，1，则顶点E到平面α的距离是________． 解析：由题可得，A(0，0，0)，B(6，0，0)，C(0，3，0)，D(0，0，3)，＝(6，0，0)，＝(0，3，0)，＝(0，0，3)，设平面α的单位法向量为n＝(x，y，z)，|n|＝1，所以 即解得 设点E到平面α的距离为h，由题可得，长方体的所有点在平面α的同侧，故h＝|·n|＝|(＋＋)·n|＝|·n|＋|·n|＋|·n|＝2＋1＋＝3＋. 答案：3＋ 学科网（北京）股份有限公司 $