第二十六章 解直角三角形（单元分层自测·能力提升卷）数学新教材冀教版九年级上册

**基本信息** 本卷为九年级上册解直角三角形单元能力提升卷，整合多地区阶段检测、期末及模拟题，覆盖三角函数定义、解直角三角形及实际应用，适配单元复习，强化数学眼光、思维与语言的核心素养发展。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|12/36|三角函数计算、三角形形状判断、折叠问题|结合档案盒厚度测量（陕西西安题）等生活情境，考查几何直观| |填空题|4/12|角度计算、网格三角函数、中点相关计算|融入16个小菱形网格（河北张家口题），体现抽象能力| |解答题|8/72|解直角三角形应用、综合探究|以正定夜市无人机拍摄（河北沧州题）、电视塔测量（河北邯郸题）为背景，设计分层问题，强化推理能力与应用意识，压轴题矩形折叠（河北邯郸题）突出创新探究|

2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第二十六章 解直角三角形·能力提升（参考答案） 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 D A C C A C C B A D A D 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13． 14． 15． 16．/ 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（7分） 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了特殊角的三角函数值的混合运算，熟练掌握特殊角的三角函数值是关键． （1）代入特殊角的三角函数值，计算即可； （2）代入特殊角的三角函数值，计算即可． 【详解】（1）解： ······························3分 （2）解： ······························7分 18．（8分） 【答案】(1)8，12， (2) 【分析】（1）通过解Rt得到AD边的长度；然后在该直角三角形中利用勾股定理来求AC的长度；然后通过解Rt可以求得BC的长度，再利用勾股定理求线段AB的长度； （2）过点作于点，在Rt中，通过的正切值得到和关系，再通过勾股定理得到方程，从而求出点到的距离. 【详解】解：（1）在Rt中，，即， 在Rt中，，即 ∴， ．······························4分 （2）如图，过点作于点． 在Rt中，， ， 解得：， 故点到的距离为．······························8分 【点睛】本题考查了解直角三角形，熟练掌握好边角之间的关系是解题的关键． 19．（8分） 【答案】(1)28.7米 (2)10人 【分析】本题主要考查仰俯角解直角三角形，掌握锐角三角函数的计算是关键． （1）过点作于点D，如图，，可得四边形为矩形，在中，（米），由此即可求解； （2）根据题意，在中，（米），在中，（米），则（米），结合题意即可求解． 【详解】（1）解：过点作于点D，如图，， 地面，地面， 四边形为矩形， 米，米， 在中，（米）， （米）， 即建筑物的高度为米；······························4分 （2）解：由题意，，， 在中，（米）， 在中，（米）， （米）， （人）， 行人在斑马线上一横排并排行走的人数最多为10人．······························8分 20．（8分） 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解直角三角形，特殊角的三角函数值，熟练掌握直角三角形中边角之间的关系是解题关键． （1）根据在中，即可求解； （2）根据在中，求得，通过特殊角的三角函数值即可求解． 【详解】（1）解：在中，， ， ．······························4分 （2）解：在中，， ．······························8分 21．（9分） 【答案】(1)37，60； (2)、两处摊位的地面距离为 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． （1）根据俯角的定义可得答案； （2）由题意得到，，过点作，垂足为点，则四边形是矩形，根据矩形的性质得到，根据三角函数的定义即可得到结论． 【详解】（1）解：根据题意得：，； 故答案为：37；60；······························4分 （2）解：由题意，，，， 过点作，垂足为点，如图， 四边形为矩形， ，， 在中，， ， ， 在中，， ， ， ， 、两处摊位的地面距离为.······························9分 22．（9分） 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】本题考查了矩形的性质，正切的定义，全等三角形的性质． （1）根据题意得出，进而可得，设，则进而可得，即可求解； （2）根据（1）可得，根据全等三角形的性质可得，进而列出方程，解方程，即可求解； （3）当点到达点时，则，根据（1）得出，进而列出方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）当时，根据题意得，，， ， ， ∵， 设 ∴ ∵四边形和都是矩形， ∴， ∴ ∴ ∴，则 ∴······························2分 （2）解：由（1）可得， 当时， ∴ 解得：······························5分 （3）当点到达点时，则， 由（1）可得 ∴ 解得，；······························9分 23．（11分） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据，，由的余弦值即可求解； （2）设，根据的正切值可表示的长度，由此可得的长度，再根据的长度与的长度可知的长度，再结合的正切值求解即可． 【详解】（1）解：由题意可知，，， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， 在中，， 可得， 答：台阶的水平宽度的长度为；······························5分 （2）解：设， 在中，， ∴， 在中，，， ∴， ∵四边形为矩形， ∴，， ∴，， 在中，， 即， 则有，解得， 即， 答：电视塔的高度为．······························11分 24．（12分） 【答案】(1)是等腰直角三角形，理由： ∵四边形是矩形， ∴，，， 由折叠的性质可得，，， ∴四边形是正方形， ∴，， ∴． 由对称可得，， 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 由折叠的性质可得，， ∴， 又∵， ∴是等腰直角三角形． (2)①；②或 【分析】（1）容易证明四边形是正方形，则，，结合轴对称的性质可得，．利用三角函数可计算出，则，结合等腰三角形的性质可得．由折叠的性质可得，，从而得到，因此是等腰直角三角形； （2）①由正方形的性质可得，，，．设，由可得，，从而得到．由折叠的性质可得，进而得到，由三角函数容易得到，因此，计算得，结合等腰三角形的性质可得； ②分两类讨论，当点在矩形的外部时，容易得到，利用三角函数计算出和，由①可得是等腰直角三角形，进而计算出，然后计算的面积即可；当点在矩形的内部时，则，同样的方法计算出与，然后计算的面积即可． 【详解】（1）是等腰直角三角形，理由： ∵四边形是矩形， ∴，，， 由折叠的性质可得，，， ∴四边形是正方形， ∴，， ∴． 由对称可得，， 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 由折叠的性质可得，， ∴， 又∵， ∴是等腰直角三角形．···························4分 （2）解：①设， 由折叠的性质，可得，， ∴， ∴． ∵， ∴，， 由（1）可得，四边形是正方形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴；··························8分 ②由（1）可得，四边形是正方形． ∴，． 由①可得，，， ∴是等腰直角三角形， ∴， （Ⅰ）当点在矩形的外部时，如图， ∵， ∴， 由①可得，， ∴， 在中，，， ∴，， ∴； （Ⅱ）当点在矩形的内部时，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 由勾股定理可得，， ∵， ∴， ∴； 综上所述，的面积为或．··························12分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第二十六章 解直角三角形·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分） 1．（25-26九年级上·河北保定·阶段检测）计算的值等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，根据特殊角的三角函数值，，然后乘以3即可． 【详解】解：∵， ∴． 故选：D． 2．（25-26九年级上·北京通州·期末）在中，都是锐角，且，则的形状是（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】A 【分析】本题主要考查了根据特殊角三角函数值求角的度数，三角形内角和定理，根据特殊角的三角函数值，确定的度数，然后利用三角形内角和求出的度数，判断所有角均为锐角，从而确定三角形形状． 【详解】解：∵在中，都是锐角，且， ∴， ∴， ∴是锐角三角形， 故选：A． 3．（25-26九年级上·河北张家口·期末）如图，在中，，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查解直角三角形，先利用勾股定理求出的长，再根据三角函数的定义，进行计算，判断即可． 【详解】解：在中，， ∴， ∴，，，； 故只有选项C正确； 故选C． 4．（25-26九年级上·河北沧州·阶段检测）在中，，，，则的值为（   ） A． B． C． D．2 【答案】C 【分析】本题考查了解直角三角形．理解正切的定义是解题的关键．根据正切的定义得到，算出，再用勾股定理计算即可． 【详解】解：在中，，，， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 5．（2026九年级上·河北沧州·学业考试）如图是一张直角三角形纸片，其中，，．现将该直角三角形纸片沿折叠，使点与点重合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了解直角三角形，折叠的性质．求出，再由折叠的性质得：，即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴， 由折叠的性质得：， ∴． 故选∶A 6．（25-26九年级上·陕西西安·阶段检测）小宇同学课间去老师办公室，发现老师的办公桌上放着部分同学的档案盒，其中10个竖直放置，左边一个向右侧倾斜靠着其他10个放置，档案盒与竖直放置的档案盒的夹角，，档案盒长．小宇同学用学过的数学知识计算出了档案盒的厚度，它是（   ） （参考数据：，，） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查解直角三角形的应用，利用正弦定义求出即可求解． 【详解】解：由题意，在中，，，， ∴， ∴， ∴档案盒的厚度为， 故选：C． 7．（25-26九年级上·浙江金华·阶段检测）如图，在中，，点是重心，连接交于点，，，是边上一点，当时，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先由等腰三角形“三线合一”得，结合求出的长度；再利用重心分中线的比例关系，结合推出，进而通过比例式求出的长． 【详解】解：在中，，点是重心， ，，， ， ， ， ，， ， ，即， ． 故选：C． 【点睛】本题考查三角函数，等腰三角形性质，重心性质及平行线分线段成比例定理，结合三角函数求边长是解题关键． 8．（25-26九年级上·河北石家庄·阶段检测）某班的同学想测量一教学楼的高度，如图，大楼前有一段斜坡，已知的长为8米，它的坡度，在离点30米的处，测得教学楼顶端的仰角为，则教学楼的高度约为（结果精确到米）（参考数据：）（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，含30度角的直角三角形的性质，延长交直线于点F，利用坡度的定义求得，进而求出，利用三角函数求得，进而求得． 【详解】解：延长交直线于点F， ， ， ， ， ， (米)， ， (米)， 故选：． 9．（25-26九年级上·河北石家庄·期中）如图，老师带领数学小组测量河里面一棵大树树顶离水面的高度，小高用高的测量仪在点处测得树顶的仰角为，在点处测得树顶的仰角为，点，是水平地面上两点，且与点，均在同一竖直平面内．已知水平地面离水面的高度为，，则树顶离水面的高度为（结果保留一位小数，，，）（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用、等腰直角三角形的判定及解分式方程，熟练掌握三角函数的定义是解题关键．根据题意可得，，，，，根据，得出是等腰直角三角形，设，根据的正切函数可得，解方程求出的值，根据即可得答案． 【详解】解：如图，过点作于， 由题意得：，，，，， ∵，， ∴是等腰直角三角形， 设， ∵， ∴， 解得， 经检验，是分式方程的解，且符合题意， ∴． 故选：A． 10．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段检测）如图，在等腰中，是上一点，若，则的长为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】D 【分析】本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．也考查了等腰直角三角形的性质．作于E，先根据等腰直角三角形的性质得到，设，则，在中，利用的正切得到，然后由可计算出，再利用进行计算． 【详解】解：作于E，如图， ∵是等腰直角三角形， ∴，， ∴是等腰直角三角形， 设，则， ∵在中，， ，解得 ． 故选：D． 11．（2025·河北石家庄·模拟预测）如图，的边长分别为1，，2，正六边形网格由24个边长为2的正三角形组成，以这些正三角形的顶点为顶点画，使得，其相似比．嘉嘉说：“k的值有3个．”佳佳对嘉嘉说：“k不能取．” 对他俩的说法，正确的是（     ） A．嘉嘉正确，佳佳不正确 B．嘉嘉不正确，佳佳正确 C．他俩都正确 D．他俩都不正确 【答案】A 【分析】根据题意可得，在正六边形网格找与相似的三角形，即找三边的比值为的直角三角形，分析图形可得共三种情况，即可解答． 【详解】解：∵的边长分别为1，，2，即，，， ∴，即 ∴为直角三角形， ∵ ∴，． 在正六边形网格中作出三边比为的直角三角形，如图所示： 在中，，故相似比； 在中，，故相似比； 在中，，故相似比； ∴k可取，，． 综上所述，嘉嘉正确，佳佳不正确． 12．（2026·河北沧州·三模）某非遗传承人设计菱形窗花作品，如图，菱形中，对角线，，对角线交于点．将菱形沿过点的直线折叠，使点落在对角线上的点处，折痕为与边交于点，再将沿折叠，使点落在点处，（如图）．下列结论错误的是（     ） A．第一次折叠后， B．第一次折叠后， C．第二次折叠后， D．第二次折叠后， 【答案】D 【分析】由菱形的性质求得菱形的边长，由折叠的性质即可判定A；过点E作于点M，设，则由折叠的性质得，，利用三角函数知识可求得，进而求得，利用勾股定理求得x的值，从而判定B；在中，由勾股定理求得，进而得，可判定C；由，得，从而，由折叠的性质可判定D． 【详解】解：∵四边形是菱形，，， ∴，，，， 由勾股定理得， 第一次折叠后，，故选项A正确； 过点E作于点M，设， 则第一次折叠后，，，， ∵，， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， 解得， 即第一次折叠后，，故选项B正确； ∵， ∴， 在中，由勾股定理得， 即第二次折叠后，，故选项C正确； 在中，， ∴， ∴， 由两次折叠得， ∵， ∴，故选项D错误． 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13．（25-26九年级下·全国·期末）在中，，都是锐角，若，则的度数是________． 【答案】 【分析】本题考查非负数的性质、特殊角的三角函数值、三角形内角和定理，掌握特殊角的三角函数值是解题关键． 利用非负数的性质和三角函数，求出和的度数，再根据三角形内角和定理求出． 【详解】解：∵， 且，， ∴ ，， ，． ，都是锐角， ∴，， 在中，． 故答案为：． 14．（2026·河北张家口·一模）如图是由16个相同的小菱形组成的网格，已知每个小菱形中的锐角为，且点A，B，C都在格点上，则的值为_______． 【答案】 【分析】连接，设交格点于点，连接，由题意可得，为的中点，从而可得，设菱形的边长为，由题意可得，，再求得，即可求得的值． 【详解】解：如图，连接，设交格点于点，连接， 由题意可得为的中点， ∵网格由相同的小菱形组成的， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 设小菱形的边长为，取格点，，连接交于点，则，， 由题意得， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴，， 在中，， ∴． 15．（25-26九年级上·河北沧州·阶段检测）如图，在中，点是的中点，，，，则的长度为______． 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形，相似三角形的判定与性质，中位线定理，勾股定理，作交于，则有，所以，得，然后证明为的中位线，所以，，由，设，则，由勾股定理得，所以，解得，再通过勾股定理得，从而由即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，作交于， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴点是的中点， ∴为的中位线， ∴，， 在中，， 设，则， ∵， ∴，解得， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 16．（2026·安徽蚌埠·一模）如图，在和中，，，点E在线段上，点A在线段上，且．连接． （1）若，则的大小为________；（用含的代数式表示） （2）当时，连接交于点P，则的长为________． 【答案】 / 【分析】（1）由得，证，得，结合等腰的，进而即可求解； （2）由推得，求得、，故；由证，可得，进而即可求解． 【详解】解：如图（1）， ∵， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∵， ， 由题意得，是等腰三角形， ∴， ； （2）如图（2），设，交于点G， ∵， ，即， ∴， 又由（1）知， ， ∴， ∴． ∴， 又∵， ∴． 设，则． 由（1）得，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴，， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题以双直角三角形为载体，综合运用全等、相似三角形的判定与性质，结合三角函数推导角度与线段长度，体现了转化化归与数形结合的核心数学思想． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（7分）（25-26九年级上·山东聊城·阶段检测）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了特殊角的三角函数值的混合运算，熟练掌握特殊角的三角函数值是关键． （1）代入特殊角的三角函数值，计算即可； （2）代入特殊角的三角函数值，计算即可． 【详解】（1）解： ······························3分 （2）解： ······························7分 18．（8分）（25-26九年级上·全国·课后作业）如下图，在Rt中，是边上的一点， (1)的长为__________，的长为__________，的长为__________． (2)求点到的距离． 【答案】(1)8，12， (2) 【分析】（1）通过解Rt得到AD边的长度；然后在该直角三角形中利用勾股定理来求AC的长度；然后通过解Rt可以求得BC的长度，再利用勾股定理求线段AB的长度； （2）过点作于点，在Rt中，通过的正切值得到和关系，再通过勾股定理得到方程，从而求出点到的距离. 【详解】解：（1）在Rt中，，即， 在Rt中，，即 ∴， ．······························4分 （2）如图，过点作于点． 在Rt中，， ， 解得：， 故点到的距离为．······························8分 【点睛】本题考查了解直角三角形，熟练掌握好边角之间的关系是解题的关键． 19．（8分）（2025·河北沧州·模拟预测）如图，一辆汽车在路口停车等红灯，驾驶员的眼睛点P到地面距离米，看前方一栋建筑物顶部点M的仰角为，且点P与建筑物的水平距离为20米． (1)求建筑物的高度（结果精确到米）； (2)驾驶员从点P看地面的斑马线两端A，B的俯角分别是和，若每个人所占斑马线的宽度按米计算，求行人在斑马线上一横排并排行走时的最多人数．（参考数据：取，取，取4） 【答案】(1)28.7米 (2)10人 【分析】本题主要考查仰俯角解直角三角形，掌握锐角三角函数的计算是关键． （1）过点作于点D，如图，，可得四边形为矩形，在中，（米），由此即可求解； （2）根据题意，在中，（米），在中，（米），则（米），结合题意即可求解． 【详解】（1）解：过点作于点D，如图，， 地面，地面， 四边形为矩形， 米，米， 在中，（米）， （米）， 即建筑物的高度为米；······························4分 （2）解：由题意，，， 在中，（米）， 在中，（米）， （米）， （人）， 行人在斑马线上一横排并排行走的人数最多为10人．······························8分 20．（8分）（24-25九年级上·全国·随堂练习）如图，在中，． (1)已知，，求的长． (2)已知，，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解直角三角形，特殊角的三角函数值，熟练掌握直角三角形中边角之间的关系是解题关键． （1）根据在中，即可求解； （2）根据在中，求得，通过特殊角的三角函数值即可求解． 【详解】（1）解：在中，， ， ．······························4分 （2）解：在中，， ．······························8分 21．（9分）（25-26九年级上·河北沧州·期末）正定夜市凭借其品类丰富以及壮观场景，成为了近年来备受追捧的网红打卡地．某团队利用无人机多角度拍摄了正定夜市的盛况，如图，无人机在夜市上空的同一高度自西向东匀速飞行．在处测得地面上处摊位的俯角为，向东飞行后到处，测得地面上处摊位的俯角为，无人机又经过刚好飞到处摊位的正上方的处，已知无人机的飞行速度是． (1)______°，______°． (2)求、两处摊位的地面距离（结果保留整数）． （参考数据：取0.60，取0.80，取0.75，取1.73） 【答案】(1)37，60； (2)、两处摊位的地面距离为 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． （1）根据俯角的定义可得答案； （2）由题意得到，，过点作，垂足为点，则四边形是矩形，根据矩形的性质得到，根据三角函数的定义即可得到结论． 【详解】（1）解：根据题意得：，； 故答案为：37；60；······························4分 （2）解：由题意，，，， 过点作，垂足为点，如图， 四边形为矩形， ，， 在中，， ， ， 在中，， ， ， ， 、两处摊位的地面距离为.······························9分 22．（9分）（2026·河北沧州·一模）如图，在矩形和矩形中，与交于点，与交于点，动点从点出发沿以每秒个单位长的速度向点匀速运动，伴随点的运动，矩形在射线上滑动；动点从点出发沿折线以每秒个单位长的速度匀速运动．点、同时开始运动，当点到达点时停止运动，点也随之停止．设点、运动的时间是秒（）． (1)当时，直接写出、的值； (2)当为何值时，； (3)当点到达点时，求出的值． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】本题考查了矩形的性质，正切的定义，全等三角形的性质． （1）根据题意得出，进而可得，设，则进而可得，即可求解； （2）根据（1）可得，根据全等三角形的性质可得，进而列出方程，解方程，即可求解； （3）当点到达点时，则，根据（1）得出，进而列出方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）当时，根据题意得，，， ， ， ∵， 设 ∴ ∵四边形和都是矩形， ∴， ∴ ∴ ∴，则 ∴······························2分 （2）解：由（1）可得， 当时， ∴ 解得：······························5分 （3）当点到达点时，则， 由（1）可得 ∴ 解得，；······························9分 23．（11分）（2026·河北邯郸·模拟预测）图1是一座钢结构的多功能综合电视塔，某校数学兴趣小组计划在综合实践活动课中测量此电视塔的高度，测量方案如下： 课题 测量电视塔的高度 测量工具 卷尺、自制测角仪、计算器等 自制测角仪的使用方法 小组成员利用量角器和铅锤自制简易测角仪，如图2，在P点观察所测物体最高点Q，使视线沿着量角器的直径MN刚好到达点Q，测得视线与铅垂线所夹的锐角为．    模型抽象与测量过程 如图3，电视塔坐落于矩形高台上，小组成员在水平地面上的点D处，用自制测角仪测得的度数，再继续向前走到点G处，沿台阶GC上到平台上，在点C处测得的度数，点A，B，C，D，E，F，G均在同一竖直平面内，点E，F，G，D在同一条水平直线上．（测角仪离地面的高度忽略不计）    测量数据 的度数 的度数 的度数 的长度 的长度 参考数据 ，，，，，，． 请根据表格中提供的信息，解决下列问题（结果精确到）： (1)求台阶的水平宽度； (2)求该电视塔的高度． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据，，由的余弦值即可求解； （2）设，根据的正切值可表示的长度，由此可得的长度，再根据的长度与的长度可知的长度，再结合的正切值求解即可． 【详解】（1）解：由题意可知，，， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， 在中，， 可得， 答：台阶的水平宽度的长度为；······························5分 （2）解：设， 在中，， ∴， 在中，，， ∴， ∵四边形为矩形， ∴，， ∴，， 在中，， 即， 则有，解得， 即， 答：电视塔的高度为．······························11分 24．（12分）（2026·河北邯郸·三模）综合与探究 问题情境：在数学活动课上，老师和同学们一起探究矩形折叠中的奥秘．如图1，在矩形中，，，点是上的一点，连接．嘉嘉按照以下步骤进行：①将沿着折叠，得到，折痕为，且点的对应点恰好落在边上；②点是边上的一个动点，连接，作关于直线的对称线段，射线交射线于点，连接． 独立思考： (1)如图1，当点恰好落在边上时，过点作于点．试判断的形状，并说明理由． (2)深入探究：如图2，当点在矩形的外部时，过点作于点． ①当时，求的长； ②当时，请直接写出的面积． 【答案】(1)是等腰直角三角形，理由： ∵四边形是矩形， ∴，，， 由折叠的性质可得，，， ∴四边形是正方形， ∴，， ∴． 由对称可得，， 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 由折叠的性质可得，， ∴， 又∵， ∴是等腰直角三角形． (2)①；②或 【分析】（1）容易证明四边形是正方形，则，，结合轴对称的性质可得，．利用三角函数可计算出，则，结合等腰三角形的性质可得．由折叠的性质可得，，从而得到，因此是等腰直角三角形； （2）①由正方形的性质可得，，，．设，由可得，，从而得到．由折叠的性质可得，进而得到，由三角函数容易得到，因此，计算得，结合等腰三角形的性质可得； ②分两类讨论，当点在矩形的外部时，容易得到，利用三角函数计算出和，由①可得是等腰直角三角形，进而计算出，然后计算的面积即可；当点在矩形的内部时，则，同样的方法计算出与，然后计算的面积即可． 【详解】（1）是等腰直角三角形，理由： ∵四边形是矩形， ∴，，， 由折叠的性质可得，，， ∴四边形是正方形， ∴，， ∴． 由对称可得，， 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 由折叠的性质可得，， ∴， 又∵， ∴是等腰直角三角形．···························4分 （2）解：①设， 由折叠的性质，可得，， ∴， ∴． ∵， ∴，， 由（1）可得，四边形是正方形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴；··························8分 ②由（1）可得，四边形是正方形． ∴，． 由①可得，，， ∴是等腰直角三角形， ∴， （Ⅰ）当点在矩形的外部时，如图， ∵， ∴， 由①可得，， ∴， 在中，，， ∴，， ∴； （Ⅱ）当点在矩形的内部时，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 由勾股定理可得，， ∵， ∴， ∴； 综上所述，的面积为或．··························12分 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第二十六章 解直角三角形·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分） 1．（25-26九年级上·河北保定·阶段检测）计算的值等于（   ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·北京通州·期末）在中，都是锐角，且，则的形状是（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形 3．（25-26九年级上·河北张家口·期末）如图，在中，，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·河北沧州·阶段检测）在中，，，，则的值为（   ） A． B． C． D．2 5．（2026九年级上·河北沧州·学业考试）如图是一张直角三角形纸片，其中，，．现将该直角三角形纸片沿折叠，使点与点重合，则（    ） A． B． C． D． 6．（25-26九年级上·陕西西安·阶段检测）小宇同学课间去老师办公室，发现老师的办公桌上放着部分同学的档案盒，其中10个竖直放置，左边一个向右侧倾斜靠着其他10个放置，档案盒与竖直放置的档案盒的夹角，，档案盒长．小宇同学用学过的数学知识计算出了档案盒的厚度，它是（   ） （参考数据：，，） A． B． C． D． 7．（25-26九年级上·浙江金华·阶段检测）如图，在中，，点是重心，连接交于点，，，是边上一点，当时，则的长为（    ） A． B． C． D． 8．（25-26九年级上·河北石家庄·阶段检测）某班的同学想测量一教学楼的高度，如图，大楼前有一段斜坡，已知的长为8米，它的坡度，在离点30米的处，测得教学楼顶端的仰角为，则教学楼的高度约为（结果精确到米）（参考数据：）（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 9．（25-26九年级上·河北石家庄·期中）如图，老师带领数学小组测量河里面一棵大树树顶离水面的高度，小高用高的测量仪在点处测得树顶的仰角为，在点处测得树顶的仰角为，点，是水平地面上两点，且与点，均在同一竖直平面内．已知水平地面离水面的高度为，，则树顶离水面的高度为（结果保留一位小数，，，）（    ） A． B． C． D． 10．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段检测）如图，在等腰中，是上一点，若，则的长为（    ） A．1 B． C． D．2 11．（2025·河北石家庄·模拟预测）如图，的边长分别为1，，2，正六边形网格由24个边长为2的正三角形组成，以这些正三角形的顶点为顶点画，使得，其相似比．嘉嘉说：“k的值有3个．”佳佳对嘉嘉说：“k不能取．” 对他俩的说法，正确的是（     ） A．嘉嘉正确，佳佳不正确 B．嘉嘉不正确，佳佳正确 C．他俩都正确 D．他俩都不正确 12．（2026·河北沧州·三模）某非遗传承人设计菱形窗花作品，如图，菱形中，对角线，，对角线交于点．将菱形沿过点的直线折叠，使点落在对角线上的点处，折痕为与边交于点，再将沿折叠，使点落在点处，（如图）．下列结论错误的是（     ） A．第一次折叠后， B．第一次折叠后， C．第二次折叠后， D．第二次折叠后， 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13．（25-26九年级下·全国·期末）在中，，都是锐角，若，则的度数是________． 14．（2026·河北张家口·一模）如图是由16个相同的小菱形组成的网格，已知每个小菱形中的锐角为，且点A，B，C都在格点上，则的值为_______． 15．（25-26九年级上·河北沧州·阶段检测）如图，在中，点是的中点，，，，则的长度为______． 16．（2026·安徽蚌埠·一模）如图，在和中，，，点E在线段上，点A在线段上，且．连接． （1）若，则的大小为________；（用含的代数式表示） （2）当时，连接交于点P，则的长为________． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（7分）（25-26九年级上·山东聊城·阶段检测）计算： (1) (2) 18．（8分）（25-26九年级上·全国·课后作业）如下图，在Rt中，是边上的一点， (1)的长为__________，的长为__________，的长为__________． (2)求点到的距离． 19．（8分）（2025·河北沧州·模拟预测）如图，一辆汽车在路口停车等红灯，驾驶员的眼睛点P到地面距离米，看前方一栋建筑物顶部点M的仰角为，且点P与建筑物的水平距离为20米． (1)求建筑物的高度（结果精确到米）； (2)驾驶员从点P看地面的斑马线两端A，B的俯角分别是和，若每个人所占斑马线的宽度按米计算，求行人在斑马线上一横排并排行走时的最多人数．（参考数据：取，取，取4） 20．（8分）（24-25九年级上·全国·随堂练习）如图，在中，． (1)已知，，求的长． (2)已知，，求的度数． 21．（9分）（25-26九年级上·河北沧州·期末）正定夜市凭借其品类丰富以及壮观场景，成为了近年来备受追捧的网红打卡地．某团队利用无人机多角度拍摄了正定夜市的盛况，如图，无人机在夜市上空的同一高度自西向东匀速飞行．在处测得地面上处摊位的俯角为，向东飞行后到处，测得地面上处摊位的俯角为，无人机又经过刚好飞到处摊位的正上方的处，已知无人机的飞行速度是． (1)______°，______°． (2)求、两处摊位的地面距离（结果保留整数）． （参考数据：取0.60，取0.80，取0.75，取1.73） 22．（9分）（2026·河北沧州·一模）如图，在矩形和矩形中，与交于点，与交于点，动点从点出发沿以每秒个单位长的速度向点匀速运动，伴随点的运动，矩形在射线上滑动；动点从点出发沿折线以每秒个单位长的速度匀速运动．点、同时开始运动，当点到达点时停止运动，点也随之停止．设点、运动的时间是秒（）． (1)当时，直接写出、的值； (2)当为何值时，； (3)当点到达点时，求出的值． 23．（11分）（2026·河北邯郸·模拟预测）图1是一座钢结构的多功能综合电视塔，某校数学兴趣小组计划在综合实践活动课中测量此电视塔的高度，测量方案如下： 课题 测量电视塔的高度 测量工具 卷尺、自制测角仪、计算器等 自制测角仪的使用方法 小组成员利用量角器和铅锤自制简易测角仪，如图2，在P点观察所测物体最高点Q，使视线沿着量角器的直径MN刚好到达点Q，测得视线与铅垂线所夹的锐角为．    模型抽象与测量过程 如图3，电视塔坐落于矩形高台上，小组成员在水平地面上的点D处，用自制测角仪测得的度数，再继续向前走到点G处，沿台阶GC上到平台上，在点C处测得的度数，点A，B，C，D，E，F，G均在同一竖直平面内，点E，F，G，D在同一条水平直线上．（测角仪离地面的高度忽略不计）    测量数据 的度数 的度数 的度数 的长度 的长度 参考数据 ，，，，，，． 请根据表格中提供的信息，解决下列问题（结果精确到）： (1)求台阶的水平宽度； (2)求该电视塔的高度． 24．（12分）（2026·河北邯郸·三模）综合与探究 问题情境：在数学活动课上，老师和同学们一起探究矩形折叠中的奥秘．如图1，在矩形中，，，点是上的一点，连接．嘉嘉按照以下步骤进行：①将沿着折叠，得到，折痕为，且点的对应点恰好落在边上；②点是边上的一个动点，连接，作关于直线的对称线段，射线交射线于点，连接． 独立思考： (1)如图1，当点恰好落在边上时，过点作于点．试判断的形状，并说明理由． (2)深入探究：如图2，当点在矩形的外部时，过点作于点． ①当时，求的长； ②当时，请直接写出的面积． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第二十六章 解直角三角形·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分） 1．（25-26九年级上·河北保定·阶段检测）计算的值等于（   ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·北京通州·期末）在中，都是锐角，且，则的形状是（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形 3．（25-26九年级上·河北张家口·期末）如图，在中，，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·河北沧州·阶段检测）在中，，，，则的值为（   ） A． B． C． D．2 5．（2026九年级上·河北沧州·学业考试）如图是一张直角三角形纸片，其中，，．现将该直角三角形纸片沿折叠，使点与点重合，则（    ） A． B． C． D． 6．（25-26九年级上·陕西西安·阶段检测）小宇同学课间去老师办公室，发现老师的办公桌上放着部分同学的档案盒，其中10个竖直放置，左边一个向右侧倾斜靠着其他10个放置，档案盒与竖直放置的档案盒的夹角，，档案盒长．小宇同学用学过的数学知识计算出了档案盒的厚度，它是（   ） （参考数据：，，） A． B． C． D． 7．（25-26九年级上·浙江金华·阶段检测）如图，在中，，点是重心，连接交于点，，，是边上一点，当时，则的长为（    ） A． B． C． D． 8．（25-26九年级上·河北石家庄·阶段检测）某班的同学想测量一教学楼的高度，如图，大楼前有一段斜坡，已知的长为8米，它的坡度，在离点30米的处，测得教学楼顶端的仰角为，则教学楼的高度约为（结果精确到米）（参考数据：）（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 9．（25-26九年级上·河北石家庄·期中）如图，老师带领数学小组测量河里面一棵大树树顶离水面的高度，小高用高的测量仪在点处测得树顶的仰角为，在点处测得树顶的仰角为，点，是水平地面上两点，且与点，均在同一竖直平面内．已知水平地面离水面的高度为，，则树顶离水面的高度为（结果保留一位小数，，，）（    ） A． B． C． D． 10．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段检测）如图，在等腰中，是上一点，若，则的长为（    ） A．1 B． C． D．2 11．（2025·河北石家庄·模拟预测）如图，的边长分别为1，，2，正六边形网格由24个边长为2的正三角形组成，以这些正三角形的顶点为顶点画，使得，其相似比．嘉嘉说：“k的值有3个．”佳佳对嘉嘉说：“k不能取．” 对他俩的说法，正确的是（     ） A．嘉嘉正确，佳佳不正确 B．嘉嘉不正确，佳佳正确 C．他俩都正确 D．他俩都不正确 12．（2026·河北沧州·三模）某非遗传承人设计菱形窗花作品，如图，菱形中，对角线，，对角线交于点．将菱形沿过点的直线折叠，使点落在对角线上的点处，折痕为与边交于点，再将沿折叠，使点落在点处，（如图）．下列结论错误的是（     ） A．第一次折叠后， B．第一次折叠后， C．第二次折叠后， D．第二次折叠后， 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13．（25-26九年级下·全国·期末）在中，，都是锐角，若，则的度数是________． 14．（2026·河北张家口·一模）如图是由16个相同的小菱形组成的网格，已知每个小菱形中的锐角为，且点A，B，C都在格点上，则的值为_______． 15．（25-26九年级上·河北沧州·阶段检测）如图，在中，点是的中点，，，，则的长度为______． 16．（2026·安徽蚌埠·一模）如图，在和中，，，点E在线段上，点A在线段上，且．连接． （1）若，则的大小为________；（用含的代数式表示） （2）当时，连接交于点P，则的长为________． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（7分）（25-26九年级上·山东聊城·阶段检测）计算： (1) (2) 18．（8分）（25-26九年级上·全国·课后作业）如下图，在Rt中，是边上的一点， (1)的长为__________，的长为__________，的长为__________． (2)求点到的距离． 19．（8分）（2025·河北沧州·模拟预测）如图，一辆汽车在路口停车等红灯，驾驶员的眼睛点P到地面距离米，看前方一栋建筑物顶部点M的仰角为，且点P与建筑物的水平距离为20米． (1)求建筑物的高度（结果精确到米）； (2)驾驶员从点P看地面的斑马线两端A，B的俯角分别是和，若每个人所占斑马线的宽度按米计算，求行人在斑马线上一横排并排行走时的最多人数．（参考数据：取，取，取4） 20．（8分）（24-25九年级上·全国·随堂练习）如图，在中，． (1)已知，，求的长． (2)已知，，求的度数． 21．（9分）（25-26九年级上·河北沧州·期末）正定夜市凭借其品类丰富以及壮观场景，成为了近年来备受追捧的网红打卡地．某团队利用无人机多角度拍摄了正定夜市的盛况，如图，无人机在夜市上空的同一高度自西向东匀速飞行．在处测得地面上处摊位的俯角为，向东飞行后到处，测得地面上处摊位的俯角为，无人机又经过刚好飞到处摊位的正上方的处，已知无人机的飞行速度是． (1)______°，______°． (2)求、两处摊位的地面距离（结果保留整数）． （参考数据：取0.60，取0.80，取0.75，取1.73） 22．（9分）（2026·河北沧州·一模）如图，在矩形和矩形中，与交于点，与交于点，动点从点出发沿以每秒个单位长的速度向点匀速运动，伴随点的运动，矩形在射线上滑动；动点从点出发沿折线以每秒个单位长的速度匀速运动．点、同时开始运动，当点到达点时停止运动，点也随之停止．设点、运动的时间是秒（）． (1)当时，直接写出、的值； (2)当为何值时，； (3)当点到达点时，求出的值． 23．（11分）（2026·河北邯郸·模拟预测）图1是一座钢结构的多功能综合电视塔，某校数学兴趣小组计划在综合实践活动课中测量此电视塔的高度，测量方案如下： 课题 测量电视塔的高度 测量工具 卷尺、自制测角仪、计算器等 自制测角仪的使用方法 小组成员利用量角器和铅锤自制简易测角仪，如图2，在P点观察所测物体最高点Q，使视线沿着量角器的直径MN刚好到达点Q，测得视线与铅垂线所夹的锐角为．    模型抽象与测量过程 如图3，电视塔坐落于矩形高台上，小组成员在水平地面上的点D处，用自制测角仪测得的度数，再继续向前走到点G处，沿台阶GC上到平台上，在点C处测得的度数，点A，B，C，D，E，F，G均在同一竖直平面内，点E，F，G，D在同一条水平直线上．（测角仪离地面的高度忽略不计）    测量数据 的度数 的度数 的度数 的长度 的长度 参考数据 ，，，，，，． 请根据表格中提供的信息，解决下列问题（结果精确到）： (1)求台阶的水平宽度； (2)求该电视塔的高度． 24．（12分）（2026·河北邯郸·三模）综合与探究 问题情境：在数学活动课上，老师和同学们一起探究矩形折叠中的奥秘．如图1，在矩形中，，，点是上的一点，连接．嘉嘉按照以下步骤进行：①将沿着折叠，得到，折痕为，且点的对应点恰好落在边上；②点是边上的一个动点，连接，作关于直线的对称线段，射线交射线于点，连接． 独立思考： (1)如图1，当点恰好落在边上时，过点作于点．试判断的形状，并说明理由． (2)深入探究：如图2，当点在矩形的外部时，过点作于点． ①当时，求的长； ②当时，请直接写出的面积． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $