第二十五章 图形的相似（单元分层自测·能力提升卷）数学新教材冀教版九年级上册

**基本信息** 2026-2027学年九年级上册数学第二十五章“图形的相似·能力提升”单元自测卷，以文化传承（古代铜钱）与生活应用（测量树高、影子问题）为情境，梯度覆盖基础到创新应用，适配单元复习。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|12/36|相似图形判定（古代铜钱相似判断）、位似性质（位似中心与周长比）|结合文化素材，考查几何直观| |填空题|4/12|比例性质（已知比例求代数式值）、动态影子问题（路灯下影子变化）|联系生活实际，发展应用意识| |解答题|8/72|测量方案（测角仪与平面镜测树高）、旋转平移探究（含几何证明与计算）|跨学科（凹透镜光路）与综合推理，体现模型意识与创新意识|

2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第二十五章 图形的相似·能力提升（参考答案） 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 C C B B C A B C D A C D 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13．2 14． 15．7.5 16．40 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（7分） 【答案】(1) ，理由如下： ∵，，， ∴， ∴． (2) ，理由如下： ∵，， ∴， ∵，， ∴，， ∴． 【分析】本题考查相似三角形的判定、三角形内角和定理，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键． （1）通过计算得出两个三角形三边成比例，即可得出结论； （2）由三角形内角和定理求出，通过计算得出两角对应相等即可证明． 【详解】（1），理由如下： ∵，，， ∴， ∴．···················3分 （2），理由如下： ∵，， ∴， ∵，， ∴，， ∴．··················7分 18．（8分） 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了比例的性质，比例线段等知识点，熟记比例中项的概念是解决问题的关键． （1）设，然后用k表示出a、b、c，再代入，求解得到k，即可得到a、b、c的值； （2）根据比例中项的定义列式得到，然后根据算术平方根的定义求解即可． 【详解】（1）解：设， 则， ， ， 解得， ；··················3分 （2）解：线段d是线段a和b的比例中项， ， 或（舍去）， d的值为．··················8分 19．（8分） 【答案】(1) 证明：∵，， ∴，， 在和中, ， ∴； (2)8 【分析】本题考查平行线的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键， （1）先根据平行线的性质可得，，再根据相似三角形的判定即可得证； （2）先根据可得，再根据相似三角形的判定与性质可得，从而可得，然后再根据线段的和差即可得． 【详解】（1）证明：∵，， ∴，， 在和中, ， ∴；··················3分 （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴．··················8分 20．（8分） 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题、相似三角形的应用等知识，熟练掌握解直角三角形的方法和相似三角形的判定和性质是解题的关键． “测角仪”方案：如图：过作于，根据矩形的性质得到，再根据三角函数的定义求解即可； “平面镜”方案：根据垂直的定义得到，根据相似三角形的判定和性质定理求解即可． 【详解】解：选择“测角仪”方案： 如图：过C作于F，则，， 在中，，， ∴，··················4分 ∴．··················8分 选择“平面镜”方案： 由题意得，，． ∴， 又， ∴，··················4分 ∴，即， ∴．··················8分 21．（9分） 【答案】(1) (2)①；② 【分析】本题主要考查相似三角形的性质与判定及等腰直角三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定及等腰直角三角形的性质与判定是解题的关键； （1）由题意易得，则有，然后问题可求解； （2）①由（1）可知，然后可得，则有，进而问题可求解； ②由（1）可知，然后可得，则有，进而可得，最后问题可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴；·················3分 （2）解：①由（1）可知：， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴；··················6分 ②由（1）可知：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴．··················9分 22．（9分） 【答案】(1) 证明：四边形是平行四边形， ， ． ， ， ， 四边形是菱形， ． (2)①；② 【分析】本题属于四边形综合题，考查了菱形的性质，折叠的性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题． （1）证明四边形是菱形，由菱形的性质得出； （2）①设，则，得出，解得，则可得出答案； ②设与交于点M，与交于点N，由题意得，，得出．证明，得，设，则，得出，由三角形面积可得出答案． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ， ． ， ， ， 四边形是菱形， ．··················3分 （2）解：①由折叠可得：，， 四边形是菱形， ， ， ， ． ， ． ，，． 设，则， ， 解得， ．··················6分 ②设与交于点M，与交于点N， 由题意得，， ， ， ， ， ， 点N是的黄金分割点， ． ， ， ． 设，则， ． ， ， ．··················9分 23．（11分） 【答案】(1)①=；②2； (2) 根据题意可知， ∴， ； (3)； (4)7或． 【分析】对于（1），根据勾股定理解答即可； 对于（2），根据“两角相等的两个三角形相似”证明即可； 对于（3），如图，连接，并说明，可求出，再求出，然后证明可得，进而得出，再根据勾股定理求，可根据特殊角的三角函数求出，然后根据勾股定理，得，最后根据求出答案． 【详解】（1）①；②2． 根据勾股定理，得． 根据题意，可知， ∴，， ∴， 解得， 所以点A到的距离是2． 故答案为：，2；··················2分 （2）根据题意可知， ∴， ；··················4分 （3）如图，连接， ， 则． ， ． ， 则． ∵，，， ∴ ． 又 ． 又 根据勾股定理，得， ， 根据勾股定理，得， ．··················7分 （4）7或． 由（3）知，当从初始位置旋转到点落在上时，， 则旋转所用时间为； 当平移到点落在上时，如图2，连接，由（3）知， ， ，在取点，使得， ． 设，则， 由， 得， 解得 ∴点平移的距离为， 平移所用的时间为， 故当平移到点落在上时，所运动的总时间为． 综上所述，的值为7或．··················11分 【点睛】本题主要考查了勾股定理，相似三角形的判定，全等三角形的性质和判定，平移和旋转，等腰三角形的性质和判定，画出旋转和平移的图形并构造辅助线是解题的关键． 24．（12分） 【答案】（1）； （2）①中线作图如下： ②； （3）能，直角三角形的面积为4或16或12或． 【分析】（1）证明即可求解； （2）①按照作线段垂直平分线的方法作图即可； ②连接，过点A作于点N，过点E作于点G；由可求得的长，再由（1）可求得，由等腰三角形的性质得，由勾股定理求得，利用面积相等求得；利用面积相等求得，设，则，在中利用勾股定理建立方程可求得x的值，从而求得的长； （3）分四种情况考虑，利用相似三角形的判定与性质等知识即可求解． 【详解】解：（1）由勾股定理得：， 由旋转知：， ∵， ∴， ∴；··················3分 （2）①中线作图如下： ··················5分 ②如图，连接，过点A作于点N，过点E作于点G； ∵为直角三角形斜边上的中线， ∴， ∴， 由旋转知， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 由（1）知，， ∴， 由旋转知， ∵， ∴， 由勾股定理得， ∵ ∴； ∵， ∴， 设，则， ∴， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， 当时，，则； 当时，，则，不合题意； ∴的长为；··················8分 （3）解：C，D，E三点能构成直角三角形； 如图，当重合时，此时，则是直角三角形， ∵， ∴； 如图，当在的延长线上时，此时，则是直角三角形， ∵， ∴； 如图，当，则是直角三角形， 过点A作于点Q， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴； 如图，当时，则是直角三角形， 过点A作于点Q，交于点N， 设， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， ∴； 综上，直角三角形的面积为4或16或12或．··················12分 【点睛】本题考查了旋转的性质，三角形相似的判定和性质，三角形中位线定理的判定和应用，三角形全等的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质，熟练掌握三角形相似的判定和性质，矩形的判定和性质，中位线定理是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第二十五章 图形的相似·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分） 1．（25-26九年级上·陕西榆林·期中）中国古代钱币历史悠久，源远流长，品种纷繁，是中华民族传统文化中的瑰宝，左图为我国古代钱币中最常见的铜钱的示意图，下列图形与左图相似的是（　　） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·上海·阶段检测）如图，在中，点在边上，点在的延长线上，添加下列条件不能判定的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·河北廊坊·阶段检测）如图，以点O为位似中心，作四边形的位似图形，已知，若四边形的周长是2，则四边形的周长是（   ） A．4 B．6 C．8 D．12 4．（24-25九年级上·河北廊坊·阶段检测）如图，在所在平面上任意取一点O（与点A、B、C不重合），连接、、，分别在、、上取点、、，再连接、、得到，则下列说法不正确的是（   ） A．若与是位似图形，则这两个三角形相似 B．若与是相似图形，则这两个三角形也是位似图形 C．若、、分别是、、的中点，则与的周长比为 D．若与是位似图形，则 5．（24-25九年级上·河北廊坊·阶段检测）如图，雨后操场有一洼积水，小明在B处站定后，通过水洼P点正好观察到操场旗杆顶部C，小明的眼睛离地面高度为米，他离P点的距离为2米，旗杆底端D离P点12米，点B、P、D在同一水平直线上，则旗杆的高度是（   ） A．6米 B．8米 C．9米 D．12米 6．（25-26九年级下·河北邯郸·阶段检测）为了测量树的高度，数学小组给出下列两种方案，根据测量方法及测量数据，能计算出树高度的是（    ） 方案一：如图1，甲同学经反复调整后，使长为2米的标杆（）的影子顶端与树的影子顶端重合，此时测得标杆的影长米，树的影长米； 方案二：如图2，乙同学站立点与树的距离米，眼睛观测树的顶端的仰角为（参考数据：，， ） A．只有方案一能 B．只有方案二能 C．方案一、二都能 D．方案一、二都不能 7．（24-25八年级下·山东烟台·期末）宽与长的比是黄金比的矩形叫做黄金矩形．如图，是黄金矩形的对角线，与关于直线成轴对称，交于点E，则的值是（    ）． A． B． C． D． 8．（2025·河南信阳·模拟预测）如图是利用凹透镜做实验时的光路示意图，已知平行于主光轴l的光线经凹透镜折射后，其折射光线的反向延长线过焦点，经过凹透镜光心O的光线传播方向不改变，与的交点C即为点A的像点．若，点A到主光轴l的距离，则点C到主光轴l的距离为（       ） A． B． C． D． 9．（2025·河北沧州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点O为原点，点A位于第一象限内，，并且点A到x轴的距离为6，点B对应的坐标为．若为钝角三角形，则a的取值范围是（   ） A． B． C．且，或 D．且，或 10．（23-24八年级下·山东泰安·期末）如图，是的中线，点E在上，交于点F，若，则为（   ） A． B． C． D． 11．（2025·河北廊坊·模拟预测）如图，在等腰中，，点D是上一点，且，连接，将沿翻折，得到，与交于点F．若，的面积分别为1和16，则（　　）    A． B．3 C． D． 12．（2025·安徽·模拟预测）如图，为等腰直角三角形，，，为线段上任意一动点，以为斜边作等腰，连接，下列说法：①；②；③；④；⑤四边形的面积有最大值，且最大值为．正确的结论是（     ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13．（25-26九年级上·宁夏银川·期中）已知，则的值为 ________ 14．（24-25八年级下·河北沧州·阶段检测）如图，在平行四边形中，点F在上，且，则______． 15．（25-26九年级上·广东梅州·期末）一天晚上，身高米的小康在广场上散步，看见广场上有一路灯A，已知路灯距离地面米，这时小康站在离路灯A的底部B点5米的C处（即米），此时小康的影子为．若小康沿着所在的直线行走到点E处，此时小康的影子比之前的影子增加了3米，则小康行走的路程___________米． 16．（25-26九年级上·河北沧州·期中）在中，，高，四边形一边在上，点，分别在上，交于点．    （1）如图1，若四边形是正方形，则______； （2）如图2，若四边形是矩形，且，用含的代数式表示______． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（7分）（24-25九年级上·河北沧州·阶段检测）根据下列条件，判断与是否相似，并说明理由． (1)，，，，，； (2)，，，． 18．（8分）（25-26九年级上·浙江宁波·阶段检测）已知三条线段a，b，c满足，且． (1)求a，b，c的值； (2)若线段d是线段a和b的比例中项，求d的值． 19．（8分）（24-25九年级上·河北石家庄·阶段检测）如图，在中，点D、E、F分别在边上，，． (1)求证：∽； (2)若，且，求线段的长． 20．（8分）（24-25九年级上·河北石家庄·期中）某数学兴趣小组在校园内开展综合与实践活动，记录如下： 活动项目 测量校园中树的高度 活动方案 “测角仪”方案 “平面镜”方案 方案示意图 实施过程 1．选取与树底B位于同一水平地面的D处； 2．测量D，B两点间的距离； 3．站在D处，用测角仪测量从眼睛C处看树顶A的仰角； 4．测量C到地面的高度． 1．选取与树底B位于同一水平地面的E处； 2．测量E，B两点间的距离； 3．在E处水平放置一个平面镜，沿射线方向后退至D处，眼睛C刚好从镜中看到树顶A； 4．测量E，D两点间的距离； 5．测量C到地面的高度． 测量数据 1．； 2．； 3．． 1．； 2．； 3．． 备注 1．图上所有点均在同一平面内； 2．，均与地面垂直； 3．参考数据：． 1．图上所有点均在同一平面内； 2．，均与地面垂直； 3．把平面镜看作一个点，并由物理学知识可得． 请你从以上两种方案中任选一种，计算树的高度． 21．（9分）（25-26九年级上·上海虹口·阶段检测）如图1，在中，，点在边的延长线上，且． (1)求的值； (2)在图1的基础上作的平分线，交线段于点，交线段于点（如图2）． ①求的度数； ②当时，求线段的长． 22．（9分）（24-25九年级下·安徽淮北·期中）在平行四边形中，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，点F为上一点，连接，将沿折叠，使得点D刚好落在上的点G处，且． ①求的大小； ②求． 23．（11分）（2024·河北邯郸·二模）嘉淇做数学探究实验，如图，已知：均为直角三角形，其中，现以为边作四边形，且，，点在一条直线上． 第一步，如图1，将的顶点与点重合，在上； 第二步，如图2，将绕点逆时针方向旋转，每秒旋转分别与边交于点； 第三步，如图3，当旋转到点落在上时停止旋转，此时点恰好在上； 第四步，如图4，在第三步的基础上，点带动立即沿边从点向点平移，每秒个单位长度，当点与点重合时停止运动，设整个过程中的运动时间为ts． (1)如图1，①______；②点到直线的距离是______； (2)如图2，求证； (3)如图3，当从初始位置到点落在上时，求的长度； (4)当点落在四边形的边上时，直接写出对应的值． 24．（12分）（2025·河北·模拟预测）数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质．已知三角形纸片和中，． 【初步感知】 （1）如图1，连接，在纸片绕点 A 旋转过程中，试探究的值． 【深入探究】 （2）如图2， ①尺规作图：作的中线，交于点 M（保留作图痕迹，不写作图过程）； ②在纸片绕点A旋转过程中，当点 D 恰好落在的中线的延长线上时，延长交于点F，求的长． 【拓展延伸】 （3）在纸片绕点A旋转过程中，试探究C，D，E三点能否构成直角三角形．若能，直接写出所有直角三角形的面积，若不能，请说明理由． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第二十五章 图形的相似·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分） 1．（25-26九年级上·陕西榆林·期中）中国古代钱币历史悠久，源远流长，品种纷繁，是中华民族传统文化中的瑰宝，左图为我国古代钱币中最常见的铜钱的示意图，下列图形与左图相似的是（　　） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·上海·阶段检测）如图，在中，点在边上，点在的延长线上，添加下列条件不能判定的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·河北廊坊·阶段检测）如图，以点O为位似中心，作四边形的位似图形，已知，若四边形的周长是2，则四边形的周长是（   ） A．4 B．6 C．8 D．12 4．（24-25九年级上·河北廊坊·阶段检测）如图，在所在平面上任意取一点O（与点A、B、C不重合），连接、、，分别在、、上取点、、，再连接、、得到，则下列说法不正确的是（   ） A．若与是位似图形，则这两个三角形相似 B．若与是相似图形，则这两个三角形也是位似图形 C．若、、分别是、、的中点，则与的周长比为 D．若与是位似图形，则 5．（24-25九年级上·河北廊坊·阶段检测）如图，雨后操场有一洼积水，小明在B处站定后，通过水洼P点正好观察到操场旗杆顶部C，小明的眼睛离地面高度为米，他离P点的距离为2米，旗杆底端D离P点12米，点B、P、D在同一水平直线上，则旗杆的高度是（   ） A．6米 B．8米 C．9米 D．12米 6．（25-26九年级下·河北邯郸·阶段检测）为了测量树的高度，数学小组给出下列两种方案，根据测量方法及测量数据，能计算出树高度的是（    ） 方案一：如图1，甲同学经反复调整后，使长为2米的标杆（）的影子顶端与树的影子顶端重合，此时测得标杆的影长米，树的影长米； 方案二：如图2，乙同学站立点与树的距离米，眼睛观测树的顶端的仰角为（参考数据：，， ） A．只有方案一能 B．只有方案二能 C．方案一、二都能 D．方案一、二都不能 7．（24-25八年级下·山东烟台·期末）宽与长的比是黄金比的矩形叫做黄金矩形．如图，是黄金矩形的对角线，与关于直线成轴对称，交于点E，则的值是（    ）． A． B． C． D． 8．（2025·河南信阳·模拟预测）如图是利用凹透镜做实验时的光路示意图，已知平行于主光轴l的光线经凹透镜折射后，其折射光线的反向延长线过焦点，经过凹透镜光心O的光线传播方向不改变，与的交点C即为点A的像点．若，点A到主光轴l的距离，则点C到主光轴l的距离为（       ） A． B． C． D． 9．（2025·河北沧州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点O为原点，点A位于第一象限内，，并且点A到x轴的距离为6，点B对应的坐标为．若为钝角三角形，则a的取值范围是（   ） A． B． C．且，或 D．且，或 10．（23-24八年级下·山东泰安·期末）如图，是的中线，点E在上，交于点F，若，则为（   ） A． B． C． D． 11．（2025·河北廊坊·模拟预测）如图，在等腰中，，点D是上一点，且，连接，将沿翻折，得到，与交于点F．若，的面积分别为1和16，则（　　）    A． B．3 C． D． 12．（2025·安徽·模拟预测）如图，为等腰直角三角形，，，为线段上任意一动点，以为斜边作等腰，连接，下列说法：①；②；③；④；⑤四边形的面积有最大值，且最大值为．正确的结论是（     ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13．（25-26九年级上·宁夏银川·期中）已知，则的值为 ________ 14．（24-25八年级下·河北沧州·阶段检测）如图，在平行四边形中，点F在上，且，则______． 15．（25-26九年级上·广东梅州·期末）一天晚上，身高米的小康在广场上散步，看见广场上有一路灯A，已知路灯距离地面米，这时小康站在离路灯A的底部B点5米的C处（即米），此时小康的影子为．若小康沿着所在的直线行走到点E处，此时小康的影子比之前的影子增加了3米，则小康行走的路程___________米． 16．（25-26九年级上·河北沧州·期中）在中，，高，四边形一边在上，点，分别在上，交于点．    （1）如图1，若四边形是正方形，则______； （2）如图2，若四边形是矩形，且，用含的代数式表示______． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（7分）（24-25九年级上·河北沧州·阶段检测）根据下列条件，判断与是否相似，并说明理由． (1)，，，，，； (2)，，，． 18．（8分）（25-26九年级上·浙江宁波·阶段检测）已知三条线段a，b，c满足，且． (1)求a，b，c的值； (2)若线段d是线段a和b的比例中项，求d的值． 19．（8分）（24-25九年级上·河北石家庄·阶段检测）如图，在中，点D、E、F分别在边上，，． (1)求证：∽； (2)若，且，求线段的长． 20．（8分）（24-25九年级上·河北石家庄·期中）某数学兴趣小组在校园内开展综合与实践活动，记录如下： 活动项目 测量校园中树的高度 活动方案 “测角仪”方案 “平面镜”方案 方案示意图 实施过程 1．选取与树底B位于同一水平地面的D处； 2．测量D，B两点间的距离； 3．站在D处，用测角仪测量从眼睛C处看树顶A的仰角； 4．测量C到地面的高度． 1．选取与树底B位于同一水平地面的E处； 2．测量E，B两点间的距离； 3．在E处水平放置一个平面镜，沿射线方向后退至D处，眼睛C刚好从镜中看到树顶A； 4．测量E，D两点间的距离； 5．测量C到地面的高度． 测量数据 1．； 2．； 3．． 1．； 2．； 3．． 备注 1．图上所有点均在同一平面内； 2．，均与地面垂直； 3．参考数据：． 1．图上所有点均在同一平面内； 2．，均与地面垂直； 3．把平面镜看作一个点，并由物理学知识可得． 请你从以上两种方案中任选一种，计算树的高度． 21．（9分）（25-26九年级上·上海虹口·阶段检测）如图1，在中，，点在边的延长线上，且． (1)求的值； (2)在图1的基础上作的平分线，交线段于点，交线段于点（如图2）． ①求的度数； ②当时，求线段的长． 22．（9分）（24-25九年级下·安徽淮北·期中）在平行四边形中，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，点F为上一点，连接，将沿折叠，使得点D刚好落在上的点G处，且． ①求的大小； ②求． 23．（11分）（2024·河北邯郸·二模）嘉淇做数学探究实验，如图，已知：均为直角三角形，其中，现以为边作四边形，且，，点在一条直线上． 第一步，如图1，将的顶点与点重合，在上； 第二步，如图2，将绕点逆时针方向旋转，每秒旋转分别与边交于点； 第三步，如图3，当旋转到点落在上时停止旋转，此时点恰好在上； 第四步，如图4，在第三步的基础上，点带动立即沿边从点向点平移，每秒个单位长度，当点与点重合时停止运动，设整个过程中的运动时间为ts． (1)如图1，①______；②点到直线的距离是______； (2)如图2，求证； (3)如图3，当从初始位置到点落在上时，求的长度； (4)当点落在四边形的边上时，直接写出对应的值． 24．（12分）（2025·河北·模拟预测）数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质．已知三角形纸片和中，． 【初步感知】 （1）如图1，连接，在纸片绕点 A 旋转过程中，试探究的值． 【深入探究】 （2）如图2， ①尺规作图：作的中线，交于点 M（保留作图痕迹，不写作图过程）； ②在纸片绕点A旋转过程中，当点 D 恰好落在的中线的延长线上时，延长交于点F，求的长． 【拓展延伸】 （3）在纸片绕点A旋转过程中，试探究C，D，E三点能否构成直角三角形．若能，直接写出所有直角三角形的面积，若不能，请说明理由． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第二十五章 图形的相似·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分） 1．（25-26九年级上·陕西榆林·期中）中国古代钱币历史悠久，源远流长，品种纷繁，是中华民族传统文化中的瑰宝，左图为我国古代钱币中最常见的铜钱的示意图，下列图形与左图相似的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似图形的定义，相似图形是指形状相同，大小不相等的图形，据此进行逐项分析，即可作答． 【详解】 解：依题意，与题干的图形相似， 故选：C 2．（25-26九年级上·上海·阶段检测）如图，在中，点在边上，点在的延长线上，添加下列条件不能判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的判定，熟记相似三角形的判定定理并应用解决问题是解题关键． 根据已知条件可知，再利用相似三角形的判定定理依次判断即可得到答案． 【详解】解：A、，，可根据两角对应相等证明，不符合题意； B、，，可根据两角对应相等证明，不符合题意； C、，，不能证明，符合题意； D、，，可根据两边对应成比例，夹角相等证明，不符合题意， 故选：C． 3．（24-25九年级上·河北廊坊·阶段检测）如图，以点O为位似中心，作四边形的位似图形，已知，若四边形的周长是2，则四边形的周长是（   ） A．4 B．6 C．8 D．12 【答案】B 【分析】本题考查了位似图形的性质，三角形相似的判定与性质，熟练掌握位似图形的周长比等于相似比是解题的关键．根据位似图形的性质可得，然后推出，得到，那么四边形的周长与四边形的周长的比等于，即可求解． 【详解】解：∵四边形与四边形是位似图形，且， ， ， ， ∴四边形的周长与四边形的周长的比为， ∵四边形的周长是2， ∴四边形的周长为6． 故选：B． 4．（24-25九年级上·河北廊坊·阶段检测）如图，在所在平面上任意取一点O（与点A、B、C不重合），连接、、，分别在、、上取点、、，再连接、、得到，则下列说法不正确的是（   ） A．若与是位似图形，则这两个三角形相似 B．若与是相似图形，则这两个三角形也是位似图形 C．若、、分别是、、的中点，则与的周长比为 D．若与是位似图形，则 【答案】B 【分析】本题考查位似图形与相似图形的关系、位似图形的性质（对应边平行、周长比等于位似比），运用逐一分析验证法．解题关键是明确位似图形是特殊的相似图形，且位似图形具有对应边平行、对应顶点连线交于位似中心等性质；易错点是混淆相似图形与位似图形的关系（误认为相似图形一定是位似图形）． 分别根据位似图形与相似图形的关系对四个选项进行分析判断即可． 【详解】选项A：位似图形是特殊的相似图形，所以若与是位似图形，则这两个三角形相似，A正确． 选项B：相似图形不一定是位似图形，位似图形需要对应顶点的连线相交于一点（位似中心），而相似图形不一定满足这一条件，所以若与是相似图形，不一定是位似图形，B错误． 选项C：若、、分别是、、的中点，则与是位似图形，位似比为，根据相似三角形的性质，周长比等于位似比，所以与的周长比为，C正确． 选项D：若与是位似图形，根据位似图形的性质，对应边平行，所以，D正确． 故选：B． 5．（24-25九年级上·河北廊坊·阶段检测）如图，雨后操场有一洼积水，小明在B处站定后，通过水洼P点正好观察到操场旗杆顶部C，小明的眼睛离地面高度为米，他离P点的距离为2米，旗杆底端D离P点12米，点B、P、D在同一水平直线上，则旗杆的高度是（   ） A．6米 B．8米 C．9米 D．12米 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的应用，镜面反射的基本性质，根据题意得出三角形相似是解题的关键．根据题意由镜面反射的性质可推出，再根据相似三角形的对应边成比例即可解答． 【详解】解：根据题意可知，，， ∴， ∴， ∵米，米，米， ∴米， 即旗杆的高度是9米． 故选：C． 6．（25-26九年级下·河北邯郸·阶段检测）为了测量树的高度，数学小组给出下列两种方案，根据测量方法及测量数据，能计算出树高度的是（    ） 方案一：如图1，甲同学经反复调整后，使长为2米的标杆（）的影子顶端与树的影子顶端重合，此时测得标杆的影长米，树的影长米； 方案二：如图2，乙同学站立点与树的距离米，眼睛观测树的顶端的仰角为（参考数据：，， ） A．只有方案一能 B．只有方案二能 C．方案一、二都能 D．方案一、二都不能 【答案】A 【分析】分别根据两方案数据计算的值即可． 【详解】解：方案一：∵， ∴， ∴， ∴， ∴米； 方案二：过点G作交于点F， 可知四边形是矩形， ∴，米， ∵， ∴， ∴米， ∴米， 无数据，无法判断树高度； 即能计算出树高度的是方案一． 7．（24-25八年级下·山东烟台·期末）宽与长的比是黄金比的矩形叫做黄金矩形．如图，是黄金矩形的对角线，与关于直线成轴对称，交于点E，则的值是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了矩形与折叠问题、黄金分割、勾股定理，利用黄金比例表示线段的长是解题的关键．设黄金矩形的长，则宽，利用矩形和轴对称的性质证出，设，在中利用勾股定理列出方程，求出的值，得出的长即可求解． 【详解】解：设黄金矩形的长，则宽， ∵矩形， ∴，， ∴， ∵与关于直线成轴对称， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得：， ∴， ∴． 故选：B． 8．（2025·河南信阳·模拟预测）如图是利用凹透镜做实验时的光路示意图，已知平行于主光轴l的光线经凹透镜折射后，其折射光线的反向延长线过焦点，经过凹透镜光心O的光线传播方向不改变，与的交点C即为点A的像点．若，点A到主光轴l的距离，则点C到主光轴l的距离为（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似形综合应用，分别证明和，运用相似三角形的性质可求解． 【详解】解：由题意知，， ∴， ∴，即， ∴； 又，， ∴， ∴， ∴, ∴， ∴． 故选：C． 9．（2025·河北沧州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点O为原点，点A位于第一象限内，，并且点A到x轴的距离为6，点B对应的坐标为．若为钝角三角形，则a的取值范围是（   ） A． B． C．且，或 D．且，或 【答案】D 【分析】本题考查平面直角坐标系，三角形的性质，点到坐标轴的距离，锐角三角函数等知识；正确分类是解题的关键； 根据题意，分为直角，为直角，两种情况分别求出的长即可得到答案； 【详解】解：如图1，当垂直于x轴时，为直角，此时，，即． 当时，为钝角，是钝角三角形， 当时，为钝角，也是钝角三角形． 当点B和点O重合时，围不成三角形，所以． 如图2，当为直角时，过点A作x轴的垂线，垂足为H， 已知，点到轴的距离为，则， 则， ∴， ∴， 当时，为钝角，为钝角三角形． 综上所述，当为钝角三角形时，且或， 故选：D． 10．（23-24八年级下·山东泰安·期末）如图，是的中线，点E在上，交于点F，若，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．过点作，交于点，根据平行线分线段成比例可得点是的中点，从而可得，然后再利用平行线分线段成比例可得，从而可得，即可解答． 【详解】解：过点作，交于点， ，点是的中点， ， ， 点是的中点， ， ， ， ， ， 故选：A 11．（2025·河北廊坊·模拟预测）如图，在等腰中，，点D是上一点，且，连接，将沿翻折，得到，与交于点F．若，的面积分别为1和16，则（　　）    A． B．3 C． D． 【答案】C 【分析】根据已知易证，从而求出对应边的比，然后设，表示出与的长，再根据，求出，最后进行计算即可解答． 【详解】解：， ， 由折叠得：， ， ， ， 的面积分别为1和16， ， ， ∴设， ， ， 设， 则， ， ， ， ， ， ， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，翻折变换，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 12．（2025·安徽·模拟预测）如图，为等腰直角三角形，，，为线段上任意一动点，以为斜边作等腰，连接，下列说法：①；②；③；④；⑤四边形的面积有最大值，且最大值为．正确的结论是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由与都为等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质得到，，且四个锐角为，利用等式的性质得到，故结论①正确；由，，若，则或与重合，当时和无交点，这和为上任意一动点相矛盾，故结论②不一定正确；由两边对应成比例且夹角相等的三角形相似得到，故结论③正确；利用相似三角形对应角相等得，结合得到，利用内错角相等两直线平行得到，故结论④正确；先依托面积为定值，将梯形面积最值转化为面积最值，结合确定的高固定，得最长时面积最大，再借助相似三角形对应边比例将最长转化为最长，由题意得当、重合时最长，即可求出最大值，最后代入梯形面积公式算出最大面积，故结论⑤正确． 【详解】解：∵、都是等腰直角三角形， ∴，， ， ①∵， ∴， 即，故①正确； ②∵， ∴， 若，则或与重合， 当时和无交点，这和为上任意一动点相矛盾，故②不完全正确； ③∵，， ∴，故③正确； ④∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，故④正确； ⑤∵为等腰直角三角形且， ∴的面积为定值， ∵， ∴当的面积最大时，梯形的面积最大， 如图，过点作于点，则为等腰直角斜边上的中线， ∴， ∵， ∴中边上的高为定值（即为）， 当的面积最大时最长， ∵， ∴， ∴当最长时，也最长， ∵为线段上任意一动点， ∴当、重合时最长， 此时，则， ， 即四边形的面积最大值为，故⑤正确； 综上，正确的结论是． 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13．（25-26九年级上·宁夏银川·期中）已知，则的值为 ________ 【答案】2 【分析】此题考查了比例的性质．设，则，，，代入即可求解． 【详解】解：∵， ∴设， ∴，，， ∴， 故答案为：2． 14．（24-25八年级下·河北沧州·阶段检测）如图，在平行四边形中，点F在上，且，则______． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，设，，，则，利用相似三角形的性质求出平行四边形的面积，即可解决问题，解题的关键是学会利用参数解决问题． 【详解】解：设，，，则， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为:． 15．（25-26九年级上·广东梅州·期末）一天晚上，身高米的小康在广场上散步，看见广场上有一路灯A，已知路灯距离地面米，这时小康站在离路灯A的底部B点5米的C处（即米），此时小康的影子为．若小康沿着所在的直线行走到点E处，此时小康的影子比之前的影子增加了3米，则小康行走的路程___________米． 【答案】7.5 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形对应边成比例是解题关键．设米，证明，得到，从而求出，则米，设米，证明，得到，求出，即可得解． 【详解】解：设米，则米， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴的长为米． ∴米， 设米， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴的长为米． 16．（25-26九年级上·河北沧州·期中）在中，，高，四边形一边在上，点，分别在上，交于点．    （1）如图1，若四边形是正方形，则______； （2）如图2，若四边形是矩形，且，用含的代数式表示______． 【答案】 40 【分析】本题考查了正方形的性质，矩形的判定与性质，相似三角形的判定与性质．熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）证明四边形是矩形，则，设，则，证明，则，即，计算求解即可； （2）同理（1），四边形是矩形，则，，同理（1），，则，即，解得，，根据，计算求解即可． 【详解】（1）解：∵四边形是正方形， ∴，，， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， 设，则， ∵， ∴，， ∴， ∴，即，解得，， 故答案为：40； （2）解：同理（1），四边形是矩形，则， ∴， 同理（1），， ∴，即，解得，， ∴， 故答案为：． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（7分）（24-25九年级上·河北沧州·阶段检测）根据下列条件，判断与是否相似，并说明理由． (1)，，，，，； (2)，，，． 【答案】(1) ，理由如下： ∵，，， ∴， ∴． (2) ，理由如下： ∵，， ∴， ∵，， ∴，， ∴． 【分析】本题考查相似三角形的判定、三角形内角和定理，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键． （1）通过计算得出两个三角形三边成比例，即可得出结论； （2）由三角形内角和定理求出，通过计算得出两角对应相等即可证明． 【详解】（1），理由如下： ∵，，， ∴， ∴．···················3分 （2），理由如下： ∵，， ∴， ∵，， ∴，， ∴．··················7分 18．（8分）（25-26九年级上·浙江宁波·阶段检测）已知三条线段a，b，c满足，且． (1)求a，b，c的值； (2)若线段d是线段a和b的比例中项，求d的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了比例的性质，比例线段等知识点，熟记比例中项的概念是解决问题的关键． （1）设，然后用k表示出a、b、c，再代入，求解得到k，即可得到a、b、c的值； （2）根据比例中项的定义列式得到，然后根据算术平方根的定义求解即可． 【详解】（1）解：设， 则， ， ， 解得， ；··················3分 （2）解：线段d是线段a和b的比例中项， ， 或（舍去）， d的值为．··················8分 19．（8分）（24-25九年级上·河北石家庄·阶段检测）如图，在中，点D、E、F分别在边上，，． (1)求证：∽； (2)若，且，求线段的长． 【答案】(1) 证明：∵，， ∴，， 在和中, ， ∴； (2)8 【分析】本题考查平行线的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键， （1）先根据平行线的性质可得，，再根据相似三角形的判定即可得证； （2）先根据可得，再根据相似三角形的判定与性质可得，从而可得，然后再根据线段的和差即可得． 【详解】（1）证明：∵，， ∴，， 在和中, ， ∴；··················3分 （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴．··················8分 20．（8分）（24-25九年级上·河北石家庄·期中）某数学兴趣小组在校园内开展综合与实践活动，记录如下： 活动项目 测量校园中树的高度 活动方案 “测角仪”方案 “平面镜”方案 方案示意图 实施过程 1．选取与树底B位于同一水平地面的D处； 2．测量D，B两点间的距离； 3．站在D处，用测角仪测量从眼睛C处看树顶A的仰角； 4．测量C到地面的高度． 1．选取与树底B位于同一水平地面的E处； 2．测量E，B两点间的距离； 3．在E处水平放置一个平面镜，沿射线方向后退至D处，眼睛C刚好从镜中看到树顶A； 4．测量E，D两点间的距离； 5．测量C到地面的高度． 测量数据 1．； 2．； 3．． 1．； 2．； 3．． 备注 1．图上所有点均在同一平面内； 2．，均与地面垂直； 3．参考数据：． 1．图上所有点均在同一平面内； 2．，均与地面垂直； 3．把平面镜看作一个点，并由物理学知识可得． 请你从以上两种方案中任选一种，计算树的高度． 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题、相似三角形的应用等知识，熟练掌握解直角三角形的方法和相似三角形的判定和性质是解题的关键． “测角仪”方案：如图：过作于，根据矩形的性质得到，再根据三角函数的定义求解即可； “平面镜”方案：根据垂直的定义得到，根据相似三角形的判定和性质定理求解即可． 【详解】解：选择“测角仪”方案： 如图：过C作于F，则，， 在中，，， ∴，··················4分 ∴．··················8分 选择“平面镜”方案： 由题意得，，． ∴， 又， ∴，··················4分 ∴，即， ∴．··················8分 21．（9分）（25-26九年级上·上海虹口·阶段检测）如图1，在中，，点在边的延长线上，且． (1)求的值； (2)在图1的基础上作的平分线，交线段于点，交线段于点（如图2）． ①求的度数； ②当时，求线段的长． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】本题主要考查相似三角形的性质与判定及等腰直角三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定及等腰直角三角形的性质与判定是解题的关键； （1）由题意易得，则有，然后问题可求解； （2）①由（1）可知，然后可得，则有，进而问题可求解； ②由（1）可知，然后可得，则有，进而可得，最后问题可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴；·················3分 （2）解：①由（1）可知：， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴；··················6分 ②由（1）可知：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴．··················9分 22．（9分）（24-25九年级下·安徽淮北·期中）在平行四边形中，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，点F为上一点，连接，将沿折叠，使得点D刚好落在上的点G处，且． ①求的大小； ②求． 【答案】(1) 证明：四边形是平行四边形， ， ． ， ， ， 四边形是菱形， ． (2)①；② 【分析】本题属于四边形综合题，考查了菱形的性质，折叠的性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题． （1）证明四边形是菱形，由菱形的性质得出； （2）①设，则，得出，解得，则可得出答案； ②设与交于点M，与交于点N，由题意得，，得出．证明，得，设，则，得出，由三角形面积可得出答案． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ， ． ， ， ， 四边形是菱形， ．··················3分 （2）解：①由折叠可得：，， 四边形是菱形， ， ， ， ． ， ． ，，． 设，则， ， 解得， ．··················6分 ②设与交于点M，与交于点N， 由题意得，， ， ， ， ， ， 点N是的黄金分割点， ． ， ， ． 设，则， ． ， ， ．··················9分 23．（11分）（2024·河北邯郸·二模）嘉淇做数学探究实验，如图，已知：均为直角三角形，其中，现以为边作四边形，且，，点在一条直线上． 第一步，如图1，将的顶点与点重合，在上； 第二步，如图2，将绕点逆时针方向旋转，每秒旋转分别与边交于点； 第三步，如图3，当旋转到点落在上时停止旋转，此时点恰好在上； 第四步，如图4，在第三步的基础上，点带动立即沿边从点向点平移，每秒个单位长度，当点与点重合时停止运动，设整个过程中的运动时间为ts． (1)如图1，①______；②点到直线的距离是______； (2)如图2，求证； (3)如图3，当从初始位置到点落在上时，求的长度； (4)当点落在四边形的边上时，直接写出对应的值． 【答案】(1)①=；②2； (2) 根据题意可知， ∴， ； (3)； (4)7或． 【分析】对于（1），根据勾股定理解答即可； 对于（2），根据“两角相等的两个三角形相似”证明即可； 对于（3），如图，连接，并说明，可求出，再求出，然后证明可得，进而得出，再根据勾股定理求，可根据特殊角的三角函数求出，然后根据勾股定理，得，最后根据求出答案． 【详解】（1）①；②2． 根据勾股定理，得． 根据题意，可知， ∴，， ∴， 解得， 所以点A到的距离是2． 故答案为：，2；··················2分 （2）根据题意可知， ∴， ；··················4分 （3）如图，连接， ， 则． ， ． ， 则． ∵，，， ∴ ． 又 ． 又 根据勾股定理，得， ， 根据勾股定理，得， ．··················7分 （4）7或． 由（3）知，当从初始位置旋转到点落在上时，， 则旋转所用时间为； 当平移到点落在上时，如图2，连接，由（3）知， ， ，在取点，使得， ． 设，则， 由， 得， 解得 ∴点平移的距离为， 平移所用的时间为， 故当平移到点落在上时，所运动的总时间为． 综上所述，的值为7或．··················11分 【点睛】本题主要考查了勾股定理，相似三角形的判定，全等三角形的性质和判定，平移和旋转，等腰三角形的性质和判定，画出旋转和平移的图形并构造辅助线是解题的关键． 24．（12分）（2025·河北·模拟预测）数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质．已知三角形纸片和中，． 【初步感知】 （1）如图1，连接，在纸片绕点 A 旋转过程中，试探究的值． 【深入探究】 （2）如图2， ①尺规作图：作的中线，交于点 M（保留作图痕迹，不写作图过程）； ②在纸片绕点A旋转过程中，当点 D 恰好落在的中线的延长线上时，延长交于点F，求的长． 【拓展延伸】 （3）在纸片绕点A旋转过程中，试探究C，D，E三点能否构成直角三角形．若能，直接写出所有直角三角形的面积，若不能，请说明理由． 【答案】（1）； （2）①中线作图如下： ②； （3）能，直角三角形的面积为4或16或12或． 【分析】（1）证明即可求解； （2）①按照作线段垂直平分线的方法作图即可； ②连接，过点A作于点N，过点E作于点G；由可求得的长，再由（1）可求得，由等腰三角形的性质得，由勾股定理求得，利用面积相等求得；利用面积相等求得，设，则，在中利用勾股定理建立方程可求得x的值，从而求得的长； （3）分四种情况考虑，利用相似三角形的判定与性质等知识即可求解． 【详解】解：（1）由勾股定理得：， 由旋转知：， ∵， ∴， ∴；··················3分 （2）①中线作图如下： ··················5分 ②如图，连接，过点A作于点N，过点E作于点G； ∵为直角三角形斜边上的中线， ∴， ∴， 由旋转知， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 由（1）知，， ∴， 由旋转知， ∵， ∴， 由勾股定理得， ∵ ∴； ∵， ∴， 设，则， ∴， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， 当时，，则； 当时，，则，不合题意； ∴的长为；··················8分 （3）解：C，D，E三点能构成直角三角形； 如图，当重合时，此时，则是直角三角形， ∵， ∴； 如图，当在的延长线上时，此时，则是直角三角形， ∵， ∴； 如图，当，则是直角三角形， 过点A作于点Q， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴； 如图，当时，则是直角三角形， 过点A作于点Q，交于点N， 设， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， ∴； 综上，直角三角形的面积为4或16或12或．··················12分 【点睛】本题考查了旋转的性质，三角形相似的判定和性质，三角形中位线定理的判定和应用，三角形全等的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质，熟练掌握三角形相似的判定和性质，矩形的判定和性质，中位线定理是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $