第二章 有理数的运算 （知识点+巩固练习） 讲义 2026-2027学年人教版七年级数学上册

该初中数学有理数运算单元复习讲义通过知识框架系统梳理核心内容，将运算法则、运算律、科学记数法及近似数分类呈现，并用诠释表格归纳“奇负偶正”口诀在符号化简、乘除、乘方中的应用，清晰展现知识内在联系与重难点。 讲义亮点在于情境化练习设计，如无人机高度变化、集体跳绳统计等实际问题培养运算能力与应用意识，设置简便计算专题（如逆用分配律）及错题分析，分层题型助力不同学生巩固提升，支持教师精准教学与学生自主复习。

第二章 有理数的运算 【人教2024版】 一 、法则： （1）加法法则：①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加. ②绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对 值减去较小的绝对值. ③一个数同0 相加，仍得这个数. （2）减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数．即 a-b=a+(-b) . （3）乘法法则：①两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘. ②任何数同0 相乘，都得 0 . （4）除法法则：除以一个不等于 0 的数，等于乘这个数的倒数．即 a÷b=a · . （5）乘方运算的符号法则：①负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数； ②正数的任何次幂都是正数，0 的任何非零次幂都是 0 . （6）有理数的混合运算顺序： ①先乘方，再乘除，最后加减； ②同级运算，从左到右进行； ③如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行. 诠释：“奇负偶正 ”口诀的应用： （1）多重负号的化简，这里奇偶指的是“ － ”号的个数，例如：－[－（－3）]=－3，－[+（－3）]=3 . （2）有理数乘法，当多个非零因数相乘时，这里奇偶指的是负因数的个数，正负指结果中积的符 号，例如：（－3）× (-2）× (-6）=－36 ，而（－3）× (-2）×6=36 . （3）有理数乘方，这里奇偶指的是指数，当底数为负数时，指数为奇数，则幂为负；指数为偶数，则幂为正，例如：(-3)2 = 9 ，(-3)3 = -27 . 二 、运算律： （1）交换律：①加法交换律：a+b=b+a；②乘法交换律：ab=ba； （2）结合律：①加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c)；②乘法结合律：(ab)c=a(bc) （3）分配律：a(b+c)=ab+ac 三、科学记数法 把一个大于 10 的数表示成a ×10n 的形式（其中1≤ a < 10 ，n 是正整数），此种记法叫做科学记数法．例如：200000= 2 × 105 . 四、近似数 1. 接近实际数值的数，叫做近似数。 2. 一般地，一个近似数四舍五入到哪一位，就说这个数精确到哪一位 五、精确度 近似数与准确数的接近程度，我们用精确度来表示 注意：一个数精确到哪一位，就看这个数的最后一位数字，最后一位数字落在什么位，它就精确到什么位。用科学计数法表示的数，应将此数还原为原数，再看还原的末尾数字处于哪一位上 题型一 有理数的加法、减法运算 1．（25-26七年级上·宁夏固原·阶段检测）计算题： (1)； (2)． 2．（25-26七年级上·新疆喀什·期中）计算： (1)； (2)； (3)． 3．（25-26七年级上·重庆·阶段检测）计算： (1) (2) (3) (4) 4．（25-26七年级上·广东广州·阶段检测）计算： (1)______； (2)______； (3)______． (4)_____； 5．（24-25七年级上·福建龙岩·阶段检测）计算： (1) (2) 6．（2026·江苏泰州·一模）著名的中国古代数学著作《九章算术》中提到：异名相益，即异号两数相减时，括号前为被减数的符号，括号内为这两数绝对值的和．例如，，则表示为（    ） A． B． C． D． 7．（25-26七年级上·浙江台州·期末）有理数减法运算可以转化为加法运算．对的运算进行转化，正确的是（   ） A． B． C． D． 题型二 有理数的加法、减法的实际应用 8．（25-26七年级上·河北石家庄·期末）为了响应学校“阳光体育”的号召，小华决定一周（5天）都步行上下学他以每天步行1.2千米为标准，将一周的实际步行距离记录如下：超过1.2千米的部分记为“”，不足的部分记为“”，刚好1.2千米记为“0”． 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 路程（千米） 0 (1)小华这一周里，步行距离最长的一天比最短的一天多走了多少千米？ (2)小华这五天一共走了多少千米？ (3)已知每步行1千米可以消耗80大卡的热量，学校规定每周消耗满500大卡就能获得“运动小达人”电子奖状，那么小华这周的步行量能拿到奖状吗？ 9．（25-26七年级上·贵州贵阳·期末）随着科技教育的深入推进，校园科技节已成为展示学生科技素养、激发创新思维的重要平台．某学校科技节开幕式上，小星同学用无人机进行表演，起飞后的高度变化情况见下表： 高度变化 上升 下降 上升 下降 记作 (1)此时无人机比起飞点高了多少米？ (2)无人机在四次升降中共飞行多少米？ 10．（25-26七年级上·四川成都·期中）石室天府中学运动会三分钟集体跳绳项目于2025年11月6日上午举行，A班是第一个参加跳绳的班级，跳绳个数是180个，后面依次是B班、C班、D班、E班、F班参加．下表依次记录的是初一年级后面比赛的5个班跳绳数量（比前一个班多的个数记为“”，比前一个班少的个数记为“”）．请根据表格中的数据回答下列问题： 班级 B班 C班 D班 E班 F班 跳绳变化（个） (1)哪一个班级跳绳个数最多？最多是多少？ (2)为了鼓励同学们坚持锻炼身体，年级决定对参加集体跳绳的班级实行如下奖励方案：只要参加集体跳绳的班级，年级每个班都奖励50元．以三分钟跳绳190个为标准，超出一个再奖励2元，低于一个则扣3元．年级准备用320元来奖励以上这六个参赛班级，这笔钱够吗？请通过计算说明理由． 题型三 有理数的乘法、除法运算 11．（25-26七年级上·广西崇左·阶段检测）计算： (1)； (2)； (3)； 12．（24-25七年级上·全国·随堂练习）计算下列各式： (1)； (2)； (3)； 13．（25-26七年级上·河北保定·期中）下面是暑假期间张明同学完成的一道关于“倒数”问题的判断题．若每一道题记分，请你评价一下他应该得的分数是（   ） 请判断下列叙述是否正确，对的打“√”，错的打“×”． （1）的倒数是（×） （2）的倒数是（×） （3）的倒数是（√） （4）的倒数是（√） （5）的倒数是（×） A．分 B．分 C．分 D．分 14．（25-26七年级上·吉林长春·开学考试）已知（a、b均大于0），则a的倒数（    ）b的倒数． A．小于 B．大于 C．等于 D．不能确定 15．（25-26七年级上·广西百色·期末）某同学计算过程如下： 计算： 解：原式……第一步 ……第二步 ……第三步 ……第四步 ……第五步 上述步骤中，第一步主要依据的运算律是（　　） A．加法交换律 B．乘法结合律 C．乘法分配律 D．加法结合律 16．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）公式的运算依据是（） A．乘法结合律 B．乘法分配律 C．积的乘方法则 D．同底数幂的乘法法则 17．（25-26七年级上·山西临汾·期中）对算式“”进行简便计算，在计算过程中使用的运算律表述正确的是（    ） 解： ① ② A．①乘法分配律②加法交换律 B．①②都是加法结合律 C．①乘法结合律②加法交换律 D．①乘法交换律②加法结合律 18．（25-26七年级上·天津西青·期中）用简便方法计算，第一步正确的是（    ） A． B． C． D． 19．（24-25七年级上·云南西双版纳·期中）用简便方法计算，逆用分配律正确的是（      ） A． B． C． D． 20．（25-26七年级上·贵州遵义·期中）学习了有理数乘法后，王老师给同学们布置了一道数学题：计算，看谁算得又快又正确．嘉嘉、淇淇和媛媛的解法如下： 嘉嘉：原式； 淇淇：原式； 媛媛：原式． (1)淇淇和媛媛的解法都运用了拆项法，即把一个数拆成两个数的和或两个数的差，然后再运用有理数的运算律进行计算，可使计算简便，她们运用的运算律是_________； (2)请你选择以上三种解法中的一种计算的值． 21．（25-26七年级上·云南临沧·期中）课堂上，老师出了一道计算题：． 小丽发现，与互为倒数，那么可以先算 ，那么的值为． 请你根据小丽的方法，计算：． 22．（25-26七年级上·广西崇左·期末）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 23．（25-26七年级上·广西崇左·阶段检测）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 24．（黑龙江省齐齐哈尔市第三中学校和齐齐哈尔第二十八中联考2025-2026学年七年级上学期12月月考数学试题）直接写得数 (1)________； (2)________； (3)________； (4)________； (5)________； (6)________； (7)________； (8)________． 题型四 有理数的混合运算 25．（25-26七年级上·山东德州·期中）计算 (1) (2) (3) (4) (5) (6) 26．（26-27七年级·全国·小升初衔接）计算． (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 题型五 有理数四则混合运算的其他应用 27．（24-25七年级上·山东青岛·期末）研究新定义的运算“”，并解答下列问题． 【观察运算】 ①；；；； …… ②；；；； …… ③；；；； 【归纳法则】 同号两数进行“”运算，结果取 号，并把绝对值 ； 异号两数进行“”运算，结果取 号，并把绝对值 ； 特别地，0和任何数进行“”运算，或任何数和0进行“”运算，结果等于 ． 【应用法则】 ． 【拓展延伸】 （1）计算： ； （2）若，请直接写出所有符合条件的a的值． 28．（23-24七年级上·江苏苏州·期末）（1）[归纳与发现] ① 填空：，； _____， _____； ② 填空：，； _____； _____． （2）[验证与说理] ① 试说明2325及其各个数位上的数字之和都可以被3整除（是3的整数倍）； ② 设是一个四位数（a，b，c，d分别为其千位，百位，十位，个位上的数字）．若可以被3整除，试说明可以被3整除． 29．（23-24七年级上·浙江温州·期中）素材1：每年秋天是灵昆柿子饼盛产期．小黄同学打算从灵昆寄5袋柿子饼到杭州，以每袋3千克为标准，超过的千克数记为正数，不足的千克数记为负数，记录如下表所示： 柿子饼袋 ① ② ③ ④ ⑤ 与标准重量的差值（单位：千克） 0 素材2：小黄同学选择了某快递，收费标准如下：3千克以内15元（含3千克），超过1千克的部分为2元/每千克（不足1千克按1千克计）．现该快递公司提供多种寄件方式： 纸箱类型 中型纸箱 大型纸箱 可容纳袋数（袋/个） 2 4 重量（千克/个） 价格（元/个） 3 5 方案一：小黄购买了中型纸箱将重量最低的②、④柿子饼袋打包在一起，其余每小袋各自寄出． 方案二： ． 【任务1】 (1)求这5袋柿子饼的总重量． 【任务2】 (2)求方案一所需要的费用． 【任务3】 (3)请你设计方案二，使它的费用低于方案一，并计算你的方案费用． 题型六 有理数乘方 30．（25-26七年级上·河北邯郸·期末）在学习了乘方运算后，对于聪聪和明明有如下讨论： 聪聪：表示有2个k相乘     明明：表示有2个k相加 你认为他们的说法（    ） A．只有聪聪是对的 B．只有明明是对的 C．他们两人都不对 D．他们都有道理 31．（25-26七年级上·河北沧州·期中）已知和，下列关于甲、乙二人的说法判断正确的是（    ） 甲：二者的底数不同； 乙：二者的计算结果相同． A．只有甲的说法正确 B．只有乙的说法正确 C．两人的说法都正确 D．两人的说法都不正确 32．（25-26七年级上·安徽亳州·阶段检测）计算的结果为（   ） A． B． C． D． 33．（24-25七年级上·山东青岛·开学考试）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)； (8)； (9)； (10)； (11)； (12)． 34．（2026·河北邢台·二模）小明同学在黑板上计算“”时，他的解答过程如下： 解： ……………………第一步 ………………………………第二步 …………………………………第三步 解答下列问题： (1)同学们发现小明的解答过程存在错误，请你指出他是在哪一步出现错误的？并写出正确的解答过程； (2)计算：． 35．（24-25七年级下·江苏淮安·阶段检测）规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如等．类比有理数的乘方，我们把记作读作“2的3次商”，记作，读作“的4次商”，一般地，把n个记作读作“a的n次商”． 【初步探究】 (1)直接写出计算结果：______，______； (2)关于除方，下列说法错误的是______； ①任何非零数的2次商都等于1；②对于任何正整数n，；③；④负数的奇数次商结果是负数，负数的偶数次商结果是正数． 【深入思考】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ 例如：； (3)试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成乘方（幂）的形式． ______；______； (4)求． 36．（2026·河北沧州·模拟预测）下面是学习《有理数》时，数学老师出示的问题和两名同学的解答过程． 计算： 嘉嘉： 解：原式  第一步   第二步   第三步   第四步 琪琪： 解：原式  第一步   第二步   第三步   第四步 (1)请指出两名同学的错误分别在第几步； (2)请你写出正确的解答过程． 37．（25-26七年级上·广东梅州·期中）阅读材料，根据材料回答： 例1： ． 例2： (1)由上面的材料可总结出一个规律：（用字母表示）______； (2)仿照上面材料或规律计算：； (3)根据（1）的规律计算：． 题型七 科学记数法 38．（2026·上海·中考真题）某市年进出口集装箱个，年进出口集装箱个，则年较年集装箱的进出口数量增加了________．（用科学记数法表示） 39．（2026·江苏宿迁·二模）2026年“苏超”不仅点燃了绿茵场，更引爆了宿迁文旅消费市场，统计数据显示，“五一”假期，全市纳入统计的31家重点景区共接待游客279万人次，同比增长．将279万用科学记数法表示为_________． 40．（2026·湖南邵阳·三模）2025湘超联赛致力于促进青少年足球事业发展，自开赛以来，共吸引约人到现场观赛．将数字用科学记数法表示为________． 41．（25-26七年级上·内蒙古赤峰·期末）是用科学记数法形式表示的数，这个数原来是______． 42．（23-24七年级上·全国·课后作业）某市将投入元推进“美丽乡村”全域化建设，现将元还原成以“亿元”为单位的原数是________亿元． 题型八 近似数 43．（21-22七年级下·上海·期末）某集团全年产值约亿元，它精确到___________位．用科学记数法表示此近似数是___________元（保留两位有效数字）． 44．（25-26七年级上·江苏南通·开学考试）年月日“苏超”联赛南通队主场对阵连云港队，现场观赛人数为26383人，横线上的数省略“万”后面的尾数是______万．此外，全市“第二现场”观赛点共个，吸引约万人次球迷观看，线上直播平台观看人次超1668万，把横线上的数改写成用“亿”作单位的数，是______亿．这场胜利不仅让南通队提前晋级淘汰赛，更点燃了全城的足球热情，展现了“全域主场”的强大凝聚力． 45．（25-26七年级上·福建泉州·期末）响应国家体育健康年号召，年月日晋江马拉松热情开跑，万名跑友畅跑世遗赛道，用奔跑诠释全民健身的活力，用脚步丈量爱拼敢赢的城市底色！晋江马拉松的半马赛道总里程约为公里，其中近似数“”精确到____________位． 2 / 41 1 / 41 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 有理数的运算 【人教2024版】 一 、法则： （1）加法法则：①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加. ②绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对 值减去较小的绝对值. ③一个数同0 相加，仍得这个数. （2）减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数．即 a-b=a+(-b) . （3）乘法法则：①两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘. ②任何数同0 相乘，都得 0 . （4）除法法则：除以一个不等于 0 的数，等于乘这个数的倒数．即 a÷b=a · . （5）乘方运算的符号法则：①负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数； ②正数的任何次幂都是正数，0 的任何非零次幂都是 0 . （6）有理数的混合运算顺序： ①先乘方，再乘除，最后加减； ②同级运算，从左到右进行； ③如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行. 诠释：“奇负偶正 ”口诀的应用： （1）多重负号的化简，这里奇偶指的是“ － ”号的个数，例如：－[－（－3）]=－3，－[+（－3）]=3 . （2）有理数乘法，当多个非零因数相乘时，这里奇偶指的是负因数的个数，正负指结果中积的符 号，例如：（－3）× (-2）× (-6）=－36 ，而（－3）× (-2）×6=36 . （3）有理数乘方，这里奇偶指的是指数，当底数为负数时，指数为奇数，则幂为负；指数为偶数，则幂为正，例如：(-3)2 = 9 ，(-3)3 = -27 . 二 、运算律： （1）交换律：①加法交换律：a+b=b+a；②乘法交换律：ab=ba； （2）结合律：①加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c)；②乘法结合律：(ab)c=a(bc) （3）分配律：a(b+c)=ab+ac 三、科学记数法 把一个大于 10 的数表示成a ×10n 的形式（其中1≤ a < 10 ，n 是正整数），此种记法叫做科学记数法．例如：200000= 2 × 105 . 四、近似数 1. 接近实际数值的数，叫做近似数。 2. 一般地，一个近似数四舍五入到哪一位，就说这个数精确到哪一位 五、精确度 近似数与准确数的接近程度，我们用精确度来表示 注意：一个数精确到哪一位，就看这个数的最后一位数字，最后一位数字落在什么位，它就精确到什么位。用科学计数法表示的数，应将此数还原为原数，再看还原的末尾数字处于哪一位上 题型一 有理数的加法、减法运算 1．（25-26七年级上·宁夏固原·阶段检测）计算题： (1)； (2)． 【答案】(1) -15 (2) 4.8 【分析】此题考查有理数加法计算，熟练掌握计算法则是解题的关键： （1）根据同号两数相加，取相同加数的符号，并把绝对值相加计算即可； （2）根据异号两数相加，取绝对值较大加数的符号，并用较大绝对值减去较小绝对值计算． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 2．（25-26七年级上·新疆喀什·期中）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了有理数的加法运算，熟练掌握有理数加法的运算法则为解题关键． （1）先去括号再计算即可； （2）先去括号再计算即可； （3）先去括号再计算即可． 【详解】（1）解： ； （2） ； （3） ． 3．（25-26七年级上·重庆·阶段检测）计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查有理数的加法运算，熟练掌握有理数的加法法则是解题的关键； （1）根据有理数的加法运算可进行求解； （2）根据有理数的加法法则可进行求解； （3）根据有理数的加法交换律和结合律可进行求解； （4）根据有理数的加法交换律可进行求解． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式； （4）解：原式 ． 4．（25-26七年级上·广东广州·阶段检测）计算： (1)______； (2)______； (3)______． (4)_____； 【答案】(1)7 (2)0 (3)3.8 (4) 【分析】本题主要考查了有理数的加法运算． （1）根据有理数的加法法则运算即可． （2）先去括号，再进行加法运算即可． （3）先去括号，再进行加法运算即可． （4）根据有理数的加法法则运算即可． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： 5．（24-25七年级上·福建龙岩·阶段检测）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 6．（2026·江苏泰州·一模）著名的中国古代数学著作《九章算术》中提到：异名相益，即异号两数相减时，括号前为被减数的符号，括号内为这两数绝对值的和．例如，，则表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题干给出的“异名相益”的运算规则，先确定结果的符号，再确定括号内的内容，即可选出正确选项． 【详解】解：对于，被减数为，符号为负，两数的绝对值分别为和，绝对值的和为， ∴． 7．（25-26七年级上·浙江台州·期末）有理数减法运算可以转化为加法运算．对的运算进行转化，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查有理数减法法则的应用，减去一个数等于加上这个数的相反数，据此可得答案． 【详解】解：∵有理数减法法则为：减去一个数，等于加上这个数的相反数． ∴ ． 故选：A． 题型二 有理数的加法、减法的实际应用 8．（25-26七年级上·河北石家庄·期末）为了响应学校“阳光体育”的号召，小华决定一周（5天）都步行上下学他以每天步行1.2千米为标准，将一周的实际步行距离记录如下：超过1.2千米的部分记为“”，不足的部分记为“”，刚好1.2千米记为“0”． 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 路程（千米） 0 (1)小华这一周里，步行距离最长的一天比最短的一天多走了多少千米？ (2)小华这五天一共走了多少千米？ (3)已知每步行1千米可以消耗80大卡的热量，学校规定每周消耗满500大卡就能获得“运动小达人”电子奖状，那么小华这周的步行量能拿到奖状吗？ 【答案】(1)步行距离最长的一天比最短的一天多走了； (2)小华这五天一共走了 (3)小华这周的步行量能拿到奖状 【分析】本题考查了有理数的混合运算、正负数的实际意义及实际问题中的数量关系分析，关键是理解表格中“”“”代表的超出或不足标准量的含义，结合每天千米的标准来计算实际距离． （1）只需找出偏差值的最大与最小值，计算两者的差值即可得到最长与最短步行距离的差； （2）将5天的标准总距离与每天的偏差值相加得到总偏差，两者相加即为实际总路程； （3）用总路程乘以每千米消耗的热量得到总消耗，再与大卡的标准比较，就能判断是否能拿到奖状． 【详解】（1）解：最长一天的超出量为，最短一天的超出量为， 两者的差值为， 即步行距离最长的一天比最短的一天多走了； （2）解：， ． 答：小华这五天一共走了； （3）解：总消耗热量为， ∵， ∴小华这周的步行量能拿到奖状． 9．（25-26七年级上·贵州贵阳·期末）随着科技教育的深入推进，校园科技节已成为展示学生科技素养、激发创新思维的重要平台．某学校科技节开幕式上，小星同学用无人机进行表演，起飞后的高度变化情况见下表： 高度变化 上升 下降 上升 下降 记作 (1)此时无人机比起飞点高了多少米？ (2)无人机在四次升降中共飞行多少米？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数的加减运算与绝对值的实际应用，关键是区分“高度变化的净增量”与“总飞行距离”的计算逻辑：净增量用代数和计算，总飞行距离用各次变化的绝对值之和计算． （1）将四次高度变化的数值相加，得到比起飞点的高度差； （2）将每次高度变化的绝对值相加，得到总飞行距离． 【详解】（1）解：此时无人机比起飞点高的高度为米； （2）解：无人机在四次升降中共飞行的距离为 米． 10．（25-26七年级上·四川成都·期中）石室天府中学运动会三分钟集体跳绳项目于2025年11月6日上午举行，A班是第一个参加跳绳的班级，跳绳个数是180个，后面依次是B班、C班、D班、E班、F班参加．下表依次记录的是初一年级后面比赛的5个班跳绳数量（比前一个班多的个数记为“”，比前一个班少的个数记为“”）．请根据表格中的数据回答下列问题： 班级 B班 C班 D班 E班 F班 跳绳变化（个） (1)哪一个班级跳绳个数最多？最多是多少？ (2)为了鼓励同学们坚持锻炼身体，年级决定对参加集体跳绳的班级实行如下奖励方案：只要参加集体跳绳的班级，年级每个班都奖励50元．以三分钟跳绳190个为标准，超出一个再奖励2元，低于一个则扣3元．年级准备用320元来奖励以上这六个参赛班级，这笔钱够吗？请通过计算说明理由． 【答案】(1)F班跳绳个数最多，最多是205个 (2)这笔钱够用，理由见解析 【分析】本题主要考查了正负数的应用，结合题意理解正负数的含义是解决本题的关键． （1）分别依题意求出班的跳绳个数，再进行比较即可； （2）计算出六个班共获得的奖励金额，再比较大小即可． 【详解】（1）解：A班：180个， B班：（个） C班：（个） D班：（个） E班：（个） F班：（个）， 则F班跳绳个数最多，最多是205个； （2）这笔钱够用，理由如下： （元） ， 这笔钱够用． 题型三 有理数的乘法、除法运算 11．（25-26七年级上·广西崇左·阶段检测）计算： (1)； (2)； (3)； 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了有理数的乘法法则． （1）根据有理数的乘法法则计算即可； （2）根据有理数的乘法法则计算即可； （3）根据有理数的乘法法则计算即可； 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； 12．（24-25七年级上·全国·随堂练习）计算下列各式： (1)； (2)； (3)； 【答案】(1) (2)6 (3) 【分析】本题考查有理数乘法运算，解题的关键是掌握有理数乘法法则，注意计算时先确定积的符号． （1）先确定符号，把小数化为分数，再用约分即可得答案； （2）先确定符号，再用约分即可得答案； （3）先确定符号，把小数化为分数，再用约分即可得答案； 【详解】（1） ； （2） ； （3） ； 13．（25-26七年级上·河北保定·期中）下面是暑假期间张明同学完成的一道关于“倒数”问题的判断题．若每一道题记分，请你评价一下他应该得的分数是（   ） 请判断下列叙述是否正确，对的打“√”，错的打“×”． （1）的倒数是（×） （2）的倒数是（×） （3）的倒数是（√） （4）的倒数是（√） （5）的倒数是（×） A．分 B．分 C．分 D．分 【答案】D 【分析】本题考查了倒数，根据倒数的定义逐一分析即可，解题的关键是正确理解乘积为的两个数互为倒数． 【详解】解：（）没有倒数是，原叙述判断错误，得分， （）的倒数是，原叙述判断错误，得分， （）的倒数是，原叙述判断正确，得分， （）的倒数是，原叙述判断正确，得分， （）的倒数是，原叙述判断错误，得2分， ∴他应该得的分数是分， 故选：． 14．（25-26七年级上·吉林长春·开学考试）已知（a、b均大于0），则a的倒数（    ）b的倒数． A．小于 B．大于 C．等于 D．不能确定 【答案】A 【分析】本题考查倒数，对于两个大于0的数，较大的数的倒数小于较小的数的倒数，由此可解． 【详解】解：已知（a、b均大于0），则， 即a的倒数小于b的倒数． 故选A． 15．（25-26七年级上·广西百色·期末）某同学计算过程如下： 计算： 解：原式……第一步 ……第二步 ……第三步 ……第四步 ……第五步 上述步骤中，第一步主要依据的运算律是（　　） A．加法交换律 B．乘法结合律 C．乘法分配律 D．加法结合律 【答案】C 【分析】本题考查乘法分配律，核心是掌握不同运算律的定义．乘法分配律的内容为：一个数与几个数的和(或差)相乘，等于把这个数分别与这几个数相乘，再将所得的积进行相应的加减．第一步是将括号外的数与括号内的每一项分别相乘，符合乘法分配律的应用． 【详解】解：观察第一步运算：，是把分别与括号内的、、相乘，再将积相加，这符合乘法分配律的特征． 故选：C． 16．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）公式的运算依据是（） A．乘法结合律 B．乘法分配律 C．积的乘方法则 D．同底数幂的乘法法则 【答案】B 【分析】本题考查了乘法分配律；公式表示一个数乘以多个数的和，等于这个数分别乘以每个数再相加，这符合乘法分配律的定义． 【详解】解：是乘法分配律的直接应用． 故选：B． 17．（25-26七年级上·山西临汾·期中）对算式“”进行简便计算，在计算过程中使用的运算律表述正确的是（    ） 解： ① ② A．①乘法分配律②加法交换律 B．①②都是加法结合律 C．①乘法结合律②加法交换律 D．①乘法交换律②加法结合律 【答案】A 【分析】本题考查了有理数乘法运算律，有理数加法运算律，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 在计算过程中，步骤①将展开为，使用了分配律；步骤②将重新排列为，改变了加数的顺序，使用了加法交换律． 【详解】解：∵步骤①中： ， 这符合分配律：（此处为减法形式）． ∴①使用了分配律． ∵步骤②中： ， 这改变了加数的顺序，但未改变分组， 符合加法交换律：． ∴②使用了加法交换律． 故选：A． 18．（25-26七年级上·天津西青·期中）用简便方法计算，第一步正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了有理数的乘法运算律，直接使用乘法分配律，将分别乘以括号内的每个分数，并注意各项的符号变化，由此求解即可． 【详解】∵ ， 又∵ ， ， ， ， ∴ 原式， 与选项D一致； 故选：D． 19．（24-25七年级上·云南西双版纳·期中）用简便方法计算，逆用分配律正确的是（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查的是乘法的运算律，熟练掌握乘法的运算律是解题的关键． 利用乘法对加法的分配率的逆应用运算即可． 【详解】解： 故选：B． 20．（25-26七年级上·贵州遵义·期中）学习了有理数乘法后，王老师给同学们布置了一道数学题：计算，看谁算得又快又正确．嘉嘉、淇淇和媛媛的解法如下： 嘉嘉：原式； 淇淇：原式； 媛媛：原式． (1)淇淇和媛媛的解法都运用了拆项法，即把一个数拆成两个数的和或两个数的差，然后再运用有理数的运算律进行计算，可使计算简便，她们运用的运算律是_________； (2)请你选择以上三种解法中的一种计算的值． 【答案】(1)乘法分配律 (2)选择媛媛的方法（答案不唯一）， 【分析】本题考查有理数的乘法运算，熟练掌握乘法分配律是解题的关键： （1）利用了乘法分配律； （2）根据三个人的方法，进行计算即可． 【详解】（1）解：她们运用的运算律是乘法分配律； （2）解：选择嘉嘉的方法：原式； 选择淇淇的方法：原式； 选择媛媛的方法： 原式． 21．（25-26七年级上·云南临沧·期中）课堂上，老师出了一道计算题：． 小丽发现，与互为倒数，那么可以先算 ，那么的值为． 请你根据小丽的方法，计算：． 【答案】 【分析】本题考查倒数的定义，有理数的混合运算，乘法分配律．先求得，根据阅读材料求出，据此计算即可求解． 【详解】解： ； ∵与互为倒数，且， ∴， ∴． 22．（25-26七年级上·广西崇左·期末）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查有理数的除法运算： （1）变除法为乘法，再约分化简即可； （2）变小数为分数，再变除法为分数乘法，最后约分化简； （3）变带分数为假分数，变除法为乘法，再约分化简即可； （4）变带分数为假分数，变除法为乘法，再约分化简即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：. 23．（25-26七年级上·广西崇左·阶段检测）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2) (3)21 (4) (5) (6) 【分析】本题主要考查了有理数的除法， 根据有理数的除法法则逐个计算，两个数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；除以一个不等于0的数等于乘以这个数的倒数． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：； （5）解：； （6）解：． 24．（黑龙江省齐齐哈尔市第三中学校和齐齐哈尔第二十八中联考2025-2026学年七年级上学期12月月考数学试题）直接写得数 (1)________； (2)________； (3)________； (4)________； (5)________； (6)________； (7)________； (8)________． 【答案】(1)2； (2)12； (3)； (4)7； (5)； (6)； (7)； (8)． 【分析】本题考查有理数的四则运算，解题关键是掌握有理数运算的符号法则及分数运算的通分、约分方法。 （1）异号两数相加，取绝对值大的符号，用大绝对值减小绝对值，即可解答； （2）同号相乘得正，计算绝对值乘积，即可解答； （3）异号相除得负，计算绝对值商，即可解答； （4）减法转加法，即可解答； （5）异号分数相加，通分后计算，即可解答； （6）同号分数相乘得正，约分计算，即可解答； （7）除法转乘法，异号得负，即可解答； （8）除法转乘法，异号得负，即可解答； 【详解】（1）解： 故答案为：2； （2）解： 故答案为：12； （3）解： 故答案为：； （4）解： 故答案为：7； （5）解： 故答案为：； （6）解： 故答案为：； （7）解： 故答案为：； （8）解： 故答案为： 题型四 有理数的混合运算 25．（25-26七年级上·山东德州·期中）计算 (1) (2) (3) (4) (5) (6) 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】（1）利用加法交换律和结合律简化运算； （2）利用加法交换律和结合律简化运算； （3）先将带分数化为假分数，再按有理数乘除法则计算； （4）先通分计算括号内的运算，再计算乘法； （5）将带分数拆分后简化计算； （6）按先算括号内，再算乘除，最后算加减的顺序计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ； （6）解： ； 26．（26-27七年级·全国·小升初衔接）计算． (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【分析】先用括号内两项分别乘，消去分母简化计算，最后算加法； 先算除法，再依次算小括号、中括号；百分数，最后从左到右算加减； 先统一数的形式：带分数、小数全部化成分数，从内到外逐层算括号，再依次计算乘除； 先算小括号内除法，再算小括号减法，然后算中括号加法，再算乘法，最后算减法； 先化简第一项算式，再统一提取公因数，逆用乘法分配律简便计算； 拆分个模块分步计算：带分数化简、中括号乘法、凑整简便运算、小数分数统一后乘法分配律计算，最后全部合并求和． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： （6）解： ． 题型五 有理数四则混合运算的其他应用 27．（24-25七年级上·山东青岛·期末）研究新定义的运算“”，并解答下列问题． 【观察运算】 ①；；；； …… ②；；；； …… ③；；；； 【归纳法则】 同号两数进行“”运算，结果取 号，并把绝对值 ； 异号两数进行“”运算，结果取 号，并把绝对值 ； 特别地，0和任何数进行“”运算，或任何数和0进行“”运算，结果等于 ． 【应用法则】 ． 【拓展延伸】 （1）计算： ； （2）若，请直接写出所有符合条件的a的值． 【答案】【归纳法则】，相加，，相加，这个数的绝对值；【应用法则】；【拓展延伸】（1）；（2）或 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算、一元一次方程的知识；根据所给算式总结出运算法则是解答本题的关键． [归纳法则]根据所给算式总结即可； [应用法则]根据新定义计算即可作答； [拓展延伸]（1）根据新定义，首先，根据结果再进行计算即可； （2）结合题意，分、、三种情况计算，再通过求解一元一次方程即可得到答案． 【详解】[归纳法则]同号两数进行“”运算，结果取号，并把绝对值相加； 异号两数进行“”运算，结果取号，并把绝对值相加； 特别地，0和任何数进行“”运算，或任何数和0进行“”运算，结果等于这个数的绝对值． 故答案为：，相加，，相加，这个数的绝对值； [应用法则]根据题意，得：； 故答案为：； [拓展延伸]（1）； 故答案为：； （2）当时， ， ∴， ∴； 当时， ， ∵， ∴不成立； 当时， ， ∴， ∴， ∴或． 28．（23-24七年级上·江苏苏州·期末）（1）[归纳与发现] ① 填空：，； _____， _____； ② 填空：，； _____； _____． （2）[验证与说理] ① 试说明2325及其各个数位上的数字之和都可以被3整除（是3的整数倍）； ② 设是一个四位数（a，b，c，d分别为其千位，百位，十位，个位上的数字）．若可以被3整除，试说明可以被3整除． 【答案】（1）① 23；5 ；② 168；3 ； （2）①， ∵为整数，4为整数，能被3整除， ∴2325及其各个数位上的数字之和都可以被3整除． ② ， ∵ a，b，c，d 为整数， ∴是整数， ∴能被3整除， ∴ 若能被3整除，则可以被3整除． 【分析】本题主要考查了有理数混合运算，数字规律探索，整式混合运算的应用，解题的关键是熟练掌握运算法则，准确计算． （1）根据数字规律，结合有理数混合运算法则进行计算即可； （2）①将2325变形为再变形为，再进行说明即可； ②将变形为然后进行说明即可． 【详解】解：（1）①，； ②  ；； 故答案为：① 23；5 ；② 168；3． （2）①略 ②略 29．（23-24七年级上·浙江温州·期中）素材1：每年秋天是灵昆柿子饼盛产期．小黄同学打算从灵昆寄5袋柿子饼到杭州，以每袋3千克为标准，超过的千克数记为正数，不足的千克数记为负数，记录如下表所示： 柿子饼袋 ① ② ③ ④ ⑤ 与标准重量的差值（单位：千克） 0 素材2：小黄同学选择了某快递，收费标准如下：3千克以内15元（含3千克），超过1千克的部分为2元/每千克（不足1千克按1千克计）．现该快递公司提供多种寄件方式： 纸箱类型 中型纸箱 大型纸箱 可容纳袋数（袋/个） 2 4 重量（千克/个） 价格（元/个） 3 5 方案一：小黄购买了中型纸箱将重量最低的②、④柿子饼袋打包在一起，其余每小袋各自寄出． 方案二： ． 【任务1】 (1)求这5袋柿子饼的总重量． 【任务2】 (2)求方案一所需要的费用． 【任务3】 (3)请你设计方案二，使它的费用低于方案一，并计算你的方案费用． 【答案】(1) (2)元 (3)购买大纸箱，将①、②、④、⑤打包在一起，③单独寄出；元（答案不唯一） 【分析】本题考查正负数的概念，关键是理解正负数的实际意义． （1）根据题意列式计算即可． （2）根据题意列式计算即可． （3）根据题意设计的方案二的费用低于方案一即可． 【详解】（1）解： ； 答：这5袋柿子饼的总重量； （2）解：②、④打包后重量：， ②、④的费用为（元），③的费用为15元，①的费用为元，⑤的费用为元， ∴， 答：方案一所需要的费用为73元； （3）解：可设计方案： 购买大纸箱，将①、②、④、⑤打包在一起，③单独寄出， 费用为：①、②、④、⑤打包后重量：； ①、②、④、⑤费用：（元），③费用15元； 此方案费用共计元； 可设计方案： 购买2个中纸箱，分别将①④、②⑤打包，③单独寄出， 费用为：①④打包后重量， ②⑤打包后重量， ①④费用：（元）， ②⑤费用：（元）， ③费用15元； 此方案费用共计元； 可设计方案： 购买2个中纸箱，分别将②④、①⑤打包，③单独寄出， 费用为：①⑤打包后重量； ②④打包后重量：； ①⑤费用：（元）， ②④费用：（元）， ③费用15元； 此方案费用共计65元． 题型六 有理数乘方 30．（25-26七年级上·河北邯郸·期末）在学习了乘方运算后，对于聪聪和明明有如下讨论： 聪聪：表示有2个k相乘     明明：表示有2个k相加 你认为他们的说法（    ） A．只有聪聪是对的 B．只有明明是对的 C．他们两人都不对 D．他们都有道理 【答案】C 【分析】本题考查乘方的定义，表示n个a相乘（n为正整数），据此可得答案． 【详解】解：根据乘方的定义可知表示k个2相乘， ∴两个人的说法都不正确， 故选：C． 31．（25-26七年级上·河北沧州·期中）已知和，下列关于甲、乙二人的说法判断正确的是（    ） 甲：二者的底数不同； 乙：二者的计算结果相同． A．只有甲的说法正确 B．只有乙的说法正确 C．两人的说法都正确 D．两人的说法都不正确 【答案】A 【分析】本题考查乘方运算中底数的概念和运算顺序．的底数是3，而 的底数是 -3，因此底数不同；计算结果分别为和9，不同，即可得到答案． 【详解】解：，底数为3； ，底数为． 则甲的说法正确，乙的说法错误， 故选：A． 32．（25-26七年级上·安徽亳州·阶段检测）计算的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了有理数乘方的意义，有理数的加法和乘法计算． 根据有理数乘方的意义和有理数乘法的意义即可求解． 【详解】解：的结果为， 故选：A． 33．（24-25七年级上·山东青岛·开学考试）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)； (8)； (9)； (10)； (11)； (12)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ； （6）解： ； （7）解： ； （8）解： ； （9）解： ； （10）解： ； （11）解： ； （12）解： ． 34．（2026·河北邢台·二模）小明同学在黑板上计算“”时，他的解答过程如下： 解： ……………………第一步 ………………………………第二步 …………………………………第三步 解答下列问题： (1)同学们发现小明的解答过程存在错误，请你指出他是在哪一步出现错误的？并写出正确的解答过程； (2)计算：． 【答案】(1)小明在第一步出现错误；正确计算过程为： ； (2) 【分析】（1）小明在第一步中先计算了，因此出现错误；根据有理数混合运算法则进行计算即可； （2）根据含乘方的有理数混合运算法则，进行计算即可． 【详解】（1）略 （2）解： ． 35．（24-25七年级下·江苏淮安·阶段检测）规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如等．类比有理数的乘方，我们把记作读作“2的3次商”，记作，读作“的4次商”，一般地，把n个记作读作“a的n次商”． 【初步探究】 (1)直接写出计算结果：______，______； (2)关于除方，下列说法错误的是______； ①任何非零数的2次商都等于1；②对于任何正整数n，；③；④负数的奇数次商结果是负数，负数的偶数次商结果是正数． 【深入思考】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ 例如：； (3)试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成乘方（幂）的形式． ______；______； (4)求． 【答案】(1)，； (2)②③； (3)； (4)． 【分析】（1）根据新定义直接计算即可求解； （2）理解除方运算，利用除方运算的法则和意义解决初步探究，通过除方的法则，把深入思考的除方写成幂的形式，即可求解； （3）根据法则计算即可求解； （4）根据法则结合有理数的混合运算进行计算即可求解． 【详解】（1）解：， ； （2）解：①任何非零数的2次商都等于1，故①正确； ②对于任何正整数，当为奇数时，，当为偶数时，，故②不正确； ③， ∴故③不正确； ④负数的奇数次商结果是负数，负数的偶数次商结果是正数，故④正确； （3）解：， ； （4）解： ． 36．（2026·河北沧州·模拟预测）下面是学习《有理数》时，数学老师出示的问题和两名同学的解答过程． 计算： 嘉嘉： 解：原式  第一步   第二步   第三步   第四步 琪琪： 解：原式  第一步   第二步   第三步   第四步 (1)请指出两名同学的错误分别在第几步； (2)请你写出正确的解答过程． 【答案】(1)嘉嘉的错误在第一步，琪琪的错误在第三步 (2) 解：原式． 【分析】（1）根据有理数的混合运算法则分析判断即可． （2）先计算乘方，再计算乘除，最后计算加减运算即可． 【详解】（1）解：嘉嘉的错误在第一步，琪琪的错误在第三步． （2）略 37．（25-26七年级上·广东梅州·期中）阅读材料，根据材料回答： 例1： ． 例2： (1)由上面的材料可总结出一个规律：（用字母表示）______； (2)仿照上面材料或规律计算：； (3)根据（1）的规律计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据材料中的计算示例，总结同指数幂相乘的运算规律； （2）先将带分数转化为假分数，再运用（1）中的规律进行简便计算； （3） 先把小数化为分数，拆分指数使各幂的指数统一，再利用（1）的规律简化式子，最后完成有理数的乘法运算． 【详解】（1）解：由材料中的计算过程可得 （2）解： （3）解： 题型七 科学记数法 38．（2026·上海·中考真题）某市年进出口集装箱个，年进出口集装箱个，则年较年集装箱的进出口数量增加了________．（用科学记数法表示） 【答案】 【分析】用年进出口集装箱数量减去年的数量，将结果整理为符合要求的科学记数法的形式即可解答． 【详解】解：根据题意列算式计算得：． 39．（2026·江苏宿迁·二模）2026年“苏超”不仅点燃了绿茵场，更引爆了宿迁文旅消费市场，统计数据显示，“五一”假期，全市纳入统计的31家重点景区共接待游客279万人次，同比增长．将279万用科学记数法表示为_________． 【答案】 【详解】解：． 40．（2026·湖南邵阳·三模）2025湘超联赛致力于促进青少年足球事业发展，自开赛以来，共吸引约人到现场观赛．将数字用科学记数法表示为________． 【答案】 【详解】解：． 41．（25-26七年级上·内蒙古赤峰·期末）是用科学记数法形式表示的数，这个数原来是______． 【答案】705000000 【分析】本题考查将科学记数法表示的数还原为原数，只需把科学记数法中的小数点向右移动位，即可得到原数． 【详解】解：根据题意，得 42．（23-24七年级上·全国·课后作业）某市将投入元推进“美丽乡村”全域化建设，现将元还原成以“亿元”为单位的原数是________亿元． 【答案】 【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正整数；当原数的绝对值时，n是负整数．据此解答即可． 【详解】解：将元还原成以“亿元”为单位的原数是亿元， 故答案为：． 【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要确定a的值以及n的值． 题型八 近似数 43．（21-22七年级下·上海·期末）某集团全年产值约亿元，它精确到___________位．用科学记数法表示此近似数是___________元（保留两位有效数字）． 【答案】 千万 【分析】先判断亿最后一位数字对应的数位得到精确度，再转换单位为元，按要求保留有效数字用科学记数法表示． 【详解】解：亿的单位为亿，最后一位数字对应数位是千万位， 亿元精确到千万位； 亿元元． 44．（25-26七年级上·江苏南通·开学考试）年月日“苏超”联赛南通队主场对阵连云港队，现场观赛人数为26383人，横线上的数省略“万”后面的尾数是______万．此外，全市“第二现场”观赛点共个，吸引约万人次球迷观看，线上直播平台观看人次超1668万，把横线上的数改写成用“亿”作单位的数，是______亿．这场胜利不仅让南通队提前晋级淘汰赛，更点燃了全城的足球热情，展现了“全域主场”的强大凝聚力． 【答案】 3 0.1668 【分析】本题考查近似数的求解与数的改写，第一空利用四舍五入法省略万位后面的尾数求近似数，第二空根据亿与万的进率，将以万为单位的数改写成以亿为单位的数即可． 【详解】解：对于，千位上的数字为，，向万位进，因此万， 因为亿万， 因此万亿亿， 故答案为；． 45．（25-26七年级上·福建泉州·期末）响应国家体育健康年号召，年月日晋江马拉松热情开跑，万名跑友畅跑世遗赛道，用奔跑诠释全民健身的活力，用脚步丈量爱拼敢赢的城市底色！晋江马拉松的半马赛道总里程约为公里，其中近似数“”精确到____________位． 【答案】千分 【分析】本题考查近似数的精确度．熟悉近似数的精确度由最后一位数字所在的数位决定，是解题的关键． 对于小数，根据最后一位数字在千分位上确定它精确到的数位． 【详解】解：近似数“”的最后一位数字是，位于千分位，因此精确到千分位． 故答案为：千分． 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