第二章 有理数的运算（高效培优讲义）数学新教材人教版七年级上册

该初中数学有理数运算复习讲义以“法则-运算律-混合运算”为主线构建知识体系，通过表格梳理教学目标与重难点，分7个知识点分层呈现加、减、乘、除、乘方运算法则及科学记数法，用“一定二求三加减”等口诀突出运算关键步骤，清晰展现知识内在逻辑。 讲义亮点在于“题型-变式”梯度设计，如温度变化算每分钟增温、无人机飞行高度调整等实际问题，培养运算能力与应用意识。针对符号判定、-a²与(-a)²区分等难点，提供相反数结合、凑整等技巧，基础生可掌握法则，优生能灵活简算，助力教师实施分层教学与精准复习。

第二章 有理数的运算复习讲义 教学目标 1.熟练掌握有理数加、减、乘、除、乘方运算法则，理解运算律，规范进行混合运算。 2.掌握科学记数法表示大数，区分准确数、近似数，会按要求取近似值。 3.初步建立数形结合思想、分类讨论思想，规范书写解题步骤。 教学重难点 1.重点 掌握有理数加减乘除、乘方法则，牢记运算顺序，灵活运用运算律简算。 2. 难点 符号判定、区分-a2与(-a)2，乘法分配律容易符号出错。 知识点01 有理数的加法 1. 有理数的加法运算法则： （1）同号相加：同号相加，符号不变，绝对值相加。 （2）异号相加：异号相加，取绝对值较大的数的符号，再把绝对值做差。 （3）与0相加：任何数与0相加都等于任何数本身。 在计算时，一定二求三加减：一定符号，二求绝对值，三进行绝对值加减。 2. 有理数的加法运算定律及其运算技巧： （1）加法交换律：。 （2）加法结合律： 3. 有理数加法计算时的技巧： （1）相反数结合：互为相反数的两个数可先相加。 （2）同分母结合：同分母或者分母成倍数的分数可先相加。 （3）凑整结合：和为整数的数可先相加。 （4）相同符号结合：符号相同的数可先相加。 （5）带分数拆项结合：带分数可分拆成整数部分和分数部分然后分别相加。（两部分符号与原符号一致） 知识点02 有理数的减法 1. 减法运算法则： 减去一个数等于加上这个数的相反数，把减法变成加法计算。即。 2. 数轴上两点之间的距离： 数轴两点之间的距离等于这两点表示的数的差的绝对值。若A、B表示的数是a、b，则之间的距离为|a－b|。 知识点03 有理数的乘法 1. 乘法运算法则： （1）两数相乘，同号得正，异号得负，再把绝对值相乘。 （2）任何数与0相乘都等于0。 （3）任何数与1相乘的积是原数，与﹣1相乘得到它的它的相反数。 （4）在有理数的乘法计算时，小数化成分数，带分数化成假分数。 （5）多个有理数相乘时，先观察因数中有无0作为因数，若有0作为因数，则积为 0；若没有0作为因数，则根据负因数的个数先确定积的符号，当负因数的个数为奇数个时，积的符号为﹣，当负因数的个数为偶数个时，积的符号为正。再把所有因数的绝对值相乘。 2. 乘法运算定律： （1）乘法交换律：。 （2）乘法结合律： （3）乘法分配律： 知识点04 有理数的除法 除法运算法则 说法一：除以一个数，等于乘以这个数的倒数。即 。 说法二：两数相除，同号得正，异号得负，再把绝对值 相除。0除以任何一个不为0的数都得0。若两数相除的结果为1时，这两个数相等，若两数相除的结果为﹣1时，这两个数互为相反数。 知识点05 有理数的乘方 1. 有理数的乘方的意义： 求几个相同因数 的积的运算叫做乘方。即（个）=。把看做的次方的结果则可读作：的次幂 ，其中是底数，是指数。 特别提示： （1）当指数是1时，指数省略不写。即直接写成。 （2）当底数是负数或分数时，要把底数用括号括起来。 （3）任何数都可以看做是它本身的1次方，一个数的2次方可以读作：平方，一个数3次方可以读作： 立方。 2. 有理数的乘方的计算： 。把乘方转化为乘法运算，计算时先确定幂的符号，在计算幂的绝对值。可以计算出结果，也可以用幂来表示结果。 特别提示： （1）正数的任何次方都是正数。 （2）负数的奇次方是负数，负数的偶次方是正数。 （3）0的任何正整数次方（除0外）都得0。 （4）1的任何次方都得1 ，﹣1的奇次方得﹣1，﹣1的偶次方得1。 3. 的区别与联系 表示的意义是n个a相乘的积，即，底数是a。 表示的意义是 n个a相乘的积的相反数，即－，底数是a 。 表示的意义是n个－a相乘的积，即，底数是－a。 （1）当为奇数时，－和相等，他们与互为相反数。 （2）当为偶数时，和相等，他们与互为相反数。 知识点06 有理数的混合运算 先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算从左至右算起，有括号的先算括号，先算小括号，再算中括号，最后算大括号；能简便运算的采用简便运算。 知识点07 科学记数法 1. 科学计数法： 把一个大于10或小于﹣10的数用的形式来表示。这种表示数的方法就叫做科学计数法。其中 1≤＜10 。为正整数。 方法技巧： （1）确定：移动小数点到只有一位整数时得到的数就是。 （2）确定：小数点移动了几位就是几。 特别提示： 当数后面带有数级单位时，的值是由小数点的移动位数＋级数单位后的位数。万级是4位数，亿级是8位数。 2. 科学计数法还原： 还原时，等于多少就将小数点向右移动多少位，若位数不够时添0补足。 题型01 有理数的加法 【典例1】与绝对值等于的数的和等于（     ） A． B．1 C． D．或1 【变式1】下列结论不正确的是（     ） A．若，则 B．若，且，则 C．若，则 D．若，且，则 【变式2】若且a，b异号，，则a_______0． 【变式3】盐果子是江西萍乡的特色零食，以本地新鲜蔬果为原料，经腌制、晾晒、烘干等多道工序制成．在制作过程中很有讲究，烘干环节的温度控制十分关键，需要保持均匀稳定，才能保证盐果子的口感与品质．夏夏同学在观摩制作过程时，记录了温度T（单位：）随时间t（单位：）变化的数据，如表： 时间 0 2 4 6 温度 14 32 50 68 若温度的变化是均匀的，则每分钟温度增加______． 题型02 有理数的减法 【典例1】计算：___________． 【变式1】吐鲁番盆地最低点海拔为，珠穆朗玛峰峰顶海拔为，两地相对高度是________． 【变式2】计算： (1) ； (2) ； (3) ． 【变式3】下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 题型03 有理数的加减混合运算 【典例1】计算： (1)； (2)． 【变式1】若，则________． 【变式2】计算：． 【变式3】以“点亮上海”为主题的上海国际光影节刚刚落幕，其中的无人机表演令人惊艳．当无人机群到达同一高度的表演点位后，飞行控制员发出飞行指令：上升为正，下降为负（单位：米） A组无人机群的3个飞行指令记为：，，； B组无人机群的2个飞行指令记为：，． 若要求两组无人机群的第三个动作后的飞行高度相同，那么要如何调整B组的第3个飞行指令，上升还是下降？上升或下降多少米？ 题型04 有理数的乘法 【典例1】在图1中，如果C是3，A是( )，B是( )． 【变式1】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式2】已知，，，，则（     ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【变式3】某地探空气球的气象观测资料表明，高度每增加1千米，气温大约降低．若该地地面温度为，求距离地面5千米的高度气温是多少？ 题型05 有理数的除法 【典例1】计算得，则是（     ） A．2 B． C． D． 【变式1】某班在一次考试中抽查了10名同学的数学成绩，以80分为基准，超出的记为正数，不足的记为负数，记录的结果如下：，，，，，，，，0，； (1)这10名同学的数学成绩中最高分是多少？最低分是多少？ (2)10名同学中，数学成绩低于80分的占的百分比是多少？ (3)10名同学数学成绩的总分和平均分各是多少？ 【变式2】计算（能用简便运算的用简算） (1) (2) 【变式3】计算： 题型06 有理数的乘方 【典例1】若，，则______． 【变式1】已知的位置如图，下面选项中结果最大的是（     ） A． B． C． D． 【变式2】一个池塘要种睡莲，睡莲每天面积增长一倍，已知40天能长满全池，（     ）天能长满半池． A．20 B．10 C．39 D．30 【变式3】定义：，则________． 题型07 偶次方与绝对值的非负性 【典例1】成立时，______． 【变式1】若，则的值为________． 【变式2】已知a，b都是有理数，且，则等于（     ） A． B． C．8 D．9 【变式3】若，则的值为（   ） A． B． C． D． 题型08 有理数的混合运算 【典例1】计算： 【变式1】对于有理数、，定义运算：． (1)计算：的值； (2)计算：的值． 【变式2】简便运算： (1)． (2)； (3)． 【变式3】某家纺公司生产四种针织产品，每种产品货源充足，各产品重量及价格如表： 产品 重量（千克） 价格（元） 在某次展销活动中，根据客户需求，现在想将部分产品做成套装礼盒销售，每个礼盒总重量不超过千克． （1）若每个礼盒中只装同一种产品，则一个礼盒的总价值最高是________元； （2）若每个礼盒中同一种产品最多装件，则一个礼盒的总价值最高是________元． 题型09 科学计数法 【典例1】山海关不住，东北超级酷．“东北超”（即东北地区城市足球联赛）辐射近1.2亿人口，贯穿东北文旅商体消费黄金季．数据用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 【变式1】国家高山滑雪中心作为2022年北京冬奥会的雪上项目竞赛场馆之一，其雪道是中国最高等级的高山滑雪赛道，是滑降、回转、大回转、超级大回转、全能项目、团体项目的赛场，其建筑面积为43200平方米，将43200用科学记数法表示为________． 【变式2】全球每年大约有立方米的水从海洋和陆地转化为大气中的水蒸气，将科学记数法表示的数还原为原数是__________ 【变式3】北京故宫的占地面积大约为平方米，用科学记数法表示的数，原来是__________ 1．把足够大的一张厚度为的纸连续对折，要使对折后的整叠纸总厚度超过，至少要对折（     ） A．次 B．次 C．次 D．次 2．数和数在直线上的对应点的位置如图． 下面选项中，结果最大的是（     ） A． B． C． D． 3．据统计，至2025年年末，拱墅区常住人口四舍五入后约为万人．这时的拱墅区常住人口最多可能是（     ）人． A．1201000 B．1201400 C．1201499 D．1201999 4．规定是一种特殊运算符号，且，，…，则的值为（     ） A． B． C． D． 5．在算式中的“”里，填入运算符号 ，使得算式的值最大，则这个符号是（     ） A． B． C． D． 6．计算：． 7．焦庄户地道战遗址纪念馆是爱国主义教育示范基地，场馆内开放了可以实地穿行的真实地道，工作人员定期对地道路线进行维护、甲、乙两人合作完成其中三条路线的维护，维护要求：每条路线的维护需要先由甲进行检查，结束后再由乙进行清洁；每人同一时间只能维护一条路线．每人完成各自工序需要的时间（单位：）如下： 路线1 路线2 路线3 甲 2 5 6 乙 5 4 3 （1）若按照路线3→路线2→路线1的维护顺序，总时长为________； （2）若要求维护三条路线的总时长不超过，请写出一种满足条件的维护顺序________． 1．下列式子中，积的符号为负的是（     ） A． B． C． D． 2．有理数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则（   ） A． B． C． D． 3．运算结果大于1的选项是（     ） A． B． C． D． 4．数精确到时近似数是，那么的范围是（    ） A． B． C． D． 5．如果，那么下列式子成立的是（     ） A． B． C． D． 6．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 7．近几年时间，全球的新能源汽车发展迅猛，尤其对于我国来说，新能源汽车产销量都大幅增加．小明家新换了一辆新能源纯电汽车，他连续天记录了每天行驶的路程（如表）．以为标准，多于的记为“+”，不足的记为“-”，刚好的记为“0”． 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 路程（） (1)这7天里路程最多的一天比最少的一天多走______； (2)请求出小明家的新能源汽车这7天一共行驶了多少千米? (3)已知汽油车每行驶需用汽油升，汽油价元/升，而新能源汽车每行驶耗电量为度，每度电为元，请估计小明家换成新能源汽车后这天的行驶费用比原来节省多少钱? 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 有理数的运算复习讲义 教学目标 1.熟练掌握有理数加、减、乘、除、乘方运算法则，理解运算律，规范进行混合运算。 2.掌握科学记数法表示大数，区分准确数、近似数，会按要求取近似值。 3.初步建立数形结合思想、分类讨论思想，规范书写解题步骤。 教学重难点 1.重点 掌握有理数加减乘除、乘方法则，牢记运算顺序，灵活运用运算律简算。 2. 难点 符号判定、区分-a2与(-a)2，乘法分配律容易符号出错。 知识点01 有理数的加法 1. 有理数的加法运算法则： （1）同号相加：同号相加，符号不变，绝对值相加。 （2）异号相加：异号相加，取绝对值较大的数的符号，再把绝对值做差。 （3）与0相加：任何数与0相加都等于任何数本身。 在计算时，一定二求三加减：一定符号，二求绝对值，三进行绝对值加减。 2. 有理数的加法运算定律及其运算技巧： （1）加法交换律：。 （2）加法结合律： 3. 有理数加法计算时的技巧： （1）相反数结合：互为相反数的两个数可先相加。 （2）同分母结合：同分母或者分母成倍数的分数可先相加。 （3）凑整结合：和为整数的数可先相加。 （4）相同符号结合：符号相同的数可先相加。 （5）带分数拆项结合：带分数可分拆成整数部分和分数部分然后分别相加。（两部分符号与原符号一致） 知识点02 有理数的减法 1. 减法运算法则： 减去一个数等于加上这个数的相反数，把减法变成加法计算。即。 2. 数轴上两点之间的距离： 数轴两点之间的距离等于这两点表示的数的差的绝对值。若A、B表示的数是a、b，则之间的距离为|a－b|。 知识点03 有理数的乘法 1. 乘法运算法则： （1）两数相乘，同号得正，异号得负，再把绝对值相乘。 （2）任何数与0相乘都等于0。 （3）任何数与1相乘的积是原数，与﹣1相乘得到它的它的相反数。 （4）在有理数的乘法计算时，小数化成分数，带分数化成假分数。 （5）多个有理数相乘时，先观察因数中有无0作为因数，若有0作为因数，则积为 0；若没有0作为因数，则根据负因数的个数先确定积的符号，当负因数的个数为奇数个时，积的符号为﹣，当负因数的个数为偶数个时，积的符号为正。再把所有因数的绝对值相乘。 2. 乘法运算定律： （1）乘法交换律：。 （2）乘法结合律： （3）乘法分配律： 知识点04 有理数的除法 除法运算法则 说法一：除以一个数，等于乘以这个数的倒数。即 。 说法二：两数相除，同号得正，异号得负，再把绝对值 相除。0除以任何一个不为0的数都得0。若两数相除的结果为1时，这两个数相等，若两数相除的结果为﹣1时，这两个数互为相反数。 知识点05 有理数的乘方 1. 有理数的乘方的意义： 求几个相同因数 的积的运算叫做乘方。即（个）=。把看做的次方的结果则可读作：的次幂 ，其中是底数，是指数。 特别提示： （1）当指数是1时，指数省略不写。即直接写成。 （2）当底数是负数或分数时，要把底数用括号括起来。 （3）任何数都可以看做是它本身的1次方，一个数的2次方可以读作：平方，一个数3次方可以读作： 立方。 2. 有理数的乘方的计算： 。把乘方转化为乘法运算，计算时先确定幂的符号，在计算幂的绝对值。可以计算出结果，也可以用幂来表示结果。 特别提示： （1）正数的任何次方都是正数。 （2）负数的奇次方是负数，负数的偶次方是正数。 （3）0的任何正整数次方（除0外）都得0。 （4）1的任何次方都得1 ，﹣1的奇次方得﹣1，﹣1的偶次方得1。 3. 的区别与联系 表示的意义是n个a相乘的积，即，底数是a。 表示的意义是 n个a相乘的积的相反数，即－，底数是a 。 表示的意义是n个－a相乘的积，即，底数是－a。 （1）当为奇数时，－和相等，他们与互为相反数。 （2）当为偶数时，和相等，他们与互为相反数。 知识点06 有理数的混合运算 先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算从左至右算起，有括号的先算括号，先算小括号，再算中括号，最后算大括号；能简便运算的采用简便运算。 知识点07 科学记数法 1. 科学计数法： 把一个大于10或小于﹣10的数用的形式来表示。这种表示数的方法就叫做科学计数法。其中 1≤＜10 。为正整数。 方法技巧： （1）确定：移动小数点到只有一位整数时得到的数就是。 （2）确定：小数点移动了几位就是几。 特别提示： 当数后面带有数级单位时，的值是由小数点的移动位数＋级数单位后的位数。万级是4位数，亿级是8位数。 2. 科学计数法还原： 还原时，等于多少就将小数点向右移动多少位，若位数不够时添0补足。 题型01 有理数的加法 【典例1】与绝对值等于的数的和等于（     ） A． B．1 C． D．或1 【答案】D 【详解】解：∵绝对值等于的数是或， ∴当这个数为时，； 当这个数为时，， ∴所求的和为或. 【变式1】下列结论不正确的是（     ） A．若，则 B．若，且，则 C．若，则 D．若，且，则 【答案】D 【详解】解：，，同号两数相加，取相同的符号， ∴， ∴A结论正确， ，，，异号两数相加，取绝对值较大的数的符号， ∴， ∴B结论正确； ，，同号两数相加，取相同的符号， ∴， ∴C结论正确； ，，，异号两数相加，取绝对值较大的数的符号， ∴， ∴D结论不正确． 【变式2】若且a，b异号，，则a_______0． 【答案】 【详解】解：∵且a，b异号，， ∴； 故答案为：． 【变式3】盐果子是江西萍乡的特色零食，以本地新鲜蔬果为原料，经腌制、晾晒、烘干等多道工序制成．在制作过程中很有讲究，烘干环节的温度控制十分关键，需要保持均匀稳定，才能保证盐果子的口感与品质．夏夏同学在观摩制作过程时，记录了温度T（单位：）随时间t（单位：）变化的数据，如表： 时间 0 2 4 6 温度 14 32 50 68 若温度的变化是均匀的，则每分钟温度增加______． 【答案】9 【详解】解：由表可知，时间从到，温度从升至，增加； 时间从到，温度从升至，增加； 时间从到，温度从升至，增加. 由于温度变化均匀，每分钟温度增加量为． 题型02 有理数的减法 【典例1】计算：___________． 【答案】0 【详解】解：． 【变式1】吐鲁番盆地最低点海拔为，珠穆朗玛峰峰顶海拔为，两地相对高度是________． 【答案】 【详解】解： ∴两地相对高度为． 【变式2】计算： (1) ； (2) ； (3) ． 【答案】(1) (2)7 (3)7 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 （3）解：原式 【变式3】下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算错误，不符合题意； C、，计算正确，符合题意； D、，原式计算错误，不符合题意． 题型03 有理数的加减混合运算 【典例1】计算： (1)； (2)． 【答案】(1)3 (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式1】若，则________． 【答案】 【详解】解：∵， 而，，， ∴，，， 解得，，， ∴． 【变式2】计算：． 【答案】 【详解】解： ． 【变式3】以“点亮上海”为主题的上海国际光影节刚刚落幕，其中的无人机表演令人惊艳．当无人机群到达同一高度的表演点位后，飞行控制员发出飞行指令：上升为正，下降为负（单位：米） A组无人机群的3个飞行指令记为：，，； B组无人机群的2个飞行指令记为：，． 若要求两组无人机群的第三个动作后的飞行高度相同，那么要如何调整B组的第3个飞行指令，上升还是下降？上升或下降多少米？ 【答案】B组的第3个飞行指令是下降，下降米 【详解】解：由题意得： （米）， 答：B组的第3个飞行指令是下降，下降米． 题型04 有理数的乘法 【典例1】在图1中，如果C是3，A是( )，B是( )． 【答案】 【详解】解：∵C是3，C距离原点个格， ∴一个格表示， ∴A是，B是． 【变式1】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： 【变式2】已知，，，，则（     ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【答案】B 【详解】解：∵ ，， ∴ ， 又∵ ，即， ∴ ， 又∵ ，即， ∴ ， 综上，，，，． 【变式3】某地探空气球的气象观测资料表明，高度每增加1千米，气温大约降低．若该地地面温度为，求距离地面5千米的高度气温是多少？ 【答案】距离地面5千米的高度气温为 【详解】解：∵高度每增加1千米，气温大约降低， ∴距离地面5千米处的气温总降低量为， ∵该地地面温度为， ∴距离地面5千米的高度气温为， 答：距离地面5千米的高度气温是． 题型05 有理数的除法 【典例1】计算得，则是（     ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【详解】解：，，，， 故是． 【变式1】某班在一次考试中抽查了10名同学的数学成绩，以80分为基准，超出的记为正数，不足的记为负数，记录的结果如下：，，，，，，，，0，； (1)这10名同学的数学成绩中最高分是多少？最低分是多少？ (2)10名同学中，数学成绩低于80分的占的百分比是多少？ (3)10名同学数学成绩的总分和平均分各是多少？ 【答案】(1)最高分是分，最低分是分 (2)数学成绩低于80分的占的百分比是 (3)总分是分，平均分是分 【详解】（1）解：由题意得：最高分是（分）， 最低分是（分）， 答：这10名同学的数学成绩中最高分是分，最低分是分． （2）解：在记录的结果中，负数共有5个， ∴10名同学中，数学成绩低于80分的人数为5人， ∴， 答：数学成绩低于80分的占的百分比是． （3）解：总分是 （分）， 平均分是（分）， 答：10名同学数学成绩的总分是分，平均分是分． 【变式2】计算（能用简便运算的用简算） (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式3】计算： 【答案】 【详解】解：原式 题型06 有理数的乘方 【典例1】若，，则______． 【答案】 【详解】解：，则， ，则， ． 【变式1】已知的位置如图，下面选项中结果最大的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：设， ， ， ， ， ， 则，即结果最大的是． 【变式2】一个池塘要种睡莲，睡莲每天面积增长一倍，已知40天能长满全池，（     ）天能长满半池． A．20 B．10 C．39 D．30 【答案】C 【详解】解：根据分析，40天长满全池，则前一天的量是全池的一半，即半池，所以39天能长满半池． 【变式3】定义：，则________． 【答案】 【详解】解：由定义可知， ∴． 题型07 偶次方与绝对值的非负性 【典例1】成立时，______． 【答案】 【详解】， ， 解得， ． 【变式1】若，则的值为________． 【答案】 【详解】解：，，， ，， 得 ，， 解得 ，， 将，代入， 得： ． 【变式2】已知a，b都是有理数，且，则等于（     ） A． B． C．8 D．9 【答案】A 【详解】解：∵ ，，且 ， ∴ 且 ， ∴ ，即 ， ，即 ， ∴ ， 故选：A． 【变式3】若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵，且， ∴ 且， ∴ ，即， ∴ ，即， ∴ ， 故选：C． 题型08 有理数的混合运算 【典例1】计算： 【答案】 【详解】解：原式 ． 【变式1】对于有理数、，定义运算：． (1)计算：的值； (2)计算：的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：∵， ∴ ． （2）解： ． 【变式2】简便运算： (1)． (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ． 【变式3】某家纺公司生产四种针织产品，每种产品货源充足，各产品重量及价格如表： 产品 重量（千克） 价格（元） 在某次展销活动中，根据客户需求，现在想将部分产品做成套装礼盒销售，每个礼盒总重量不超过千克． （1）若每个礼盒中只装同一种产品，则一个礼盒的总价值最高是________元； （2）若每个礼盒中同一种产品最多装件，则一个礼盒的总价值最高是________元． 【答案】 【详解】解：（1）分别计算每种产品的总价值： 产品A：每件重千克，最多装件，总价值（元）， 产品B：每件重千克，最多装件，总价值（元）， 产品C：每件重千克，最多装件，总价值（元）， 产品D：每件重千克，最多装件，总价值（元）， 比较得，一个礼盒的总价值最高是元； （2）计算单位重量价值（优先选单价高的）： 、（元）， 、（元）， 、（元）， 、（元）， ∵， 即按照单位重量价值从大到小排序为：， 故优先级为． 按照每种最多件：最多件（），最多件（），最多件（），最多件（）， 先装满优先级高的产品，再用剩余重量搭配次优产品： ①件：，价值（元）， 件：，价值（元）， 已用重量：，剩余重量：， 剩余恰好装件，且只装件，符合限制条件， 此时件件件，总重量：（千克），总价值：（元）； ②件件，总重量：（千克），总价值：（元）元； ③件件，总重量：（千克），总价值：（元）元； ④件件件，总重量：（千克），总价值：（元）元； ⑤件件件，总重量：（千克），总价值：（元）元； 其余符合重量限制的组合总价均低于元，因此最高总价值是元． 题型09 科学计数法 【典例1】山海关不住，东北超级酷．“东北超”（即东北地区城市足球联赛）辐射近1.2亿人口，贯穿东北文旅商体消费黄金季．数据用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：. 【变式1】国家高山滑雪中心作为2022年北京冬奥会的雪上项目竞赛场馆之一，其雪道是中国最高等级的高山滑雪赛道，是滑降、回转、大回转、超级大回转、全能项目、团体项目的赛场，其建筑面积为43200平方米，将43200用科学记数法表示为________． 【答案】 【详解】解：∵是位整数， ∴， 将原数小数点左移位得到， 满足， 因此． 【变式2】全球每年大约有立方米的水从海洋和陆地转化为大气中的水蒸气，将科学记数法表示的数还原为原数是__________ 【答案】577000000000000 【详解】解：． 【变式3】北京故宫的占地面积大约为平方米，用科学记数法表示的数，原来是__________ 【答案】720000 【详解】解：． 1．把足够大的一张厚度为的纸连续对折，要使对折后的整叠纸总厚度超过，至少要对折（     ） A．次 B．次 C．次 D．次 【答案】C 【详解】解：设对折次后整叠纸总厚度为． 由题意得， ． ，，， ， 至少要对折8次． 2．数和数在直线上的对应点的位置如图． 下面选项中，结果最大的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由数轴可知：， 不妨设，则， ∵， ∴的结果最大． 3．据统计，至2025年年末，拱墅区常住人口四舍五入后约为万人．这时的拱墅区常住人口最多可能是（     ）人． A．1201000 B．1201400 C．1201499 D．1201999 【答案】C 【详解】解：∵万是四舍五入到千位得到的近似数，原数为整数人数，要使原数最大，需满足四舍条件，即百位数字最大为，个位和十位取最大数字， ∴最大原数为． 4．规定是一种特殊运算符号，且，，…，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：． 5．在算式中的“”里，填入运算符号 ，使得算式的值最大，则这个符号是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A．； B．； C．； D．； ∵， ∴“”里，填入运算符号“”时，算式的值最大． 6．计算：． 【答案】 【详解】 7．焦庄户地道战遗址纪念馆是爱国主义教育示范基地，场馆内开放了可以实地穿行的真实地道，工作人员定期对地道路线进行维护、甲、乙两人合作完成其中三条路线的维护，维护要求：每条路线的维护需要先由甲进行检查，结束后再由乙进行清洁；每人同一时间只能维护一条路线．每人完成各自工序需要的时间（单位：）如下： 路线1 路线2 路线3 甲 2 5 6 乙 5 4 3 （1）若按照路线3→路线2→路线1的维护顺序，总时长为________； （2）若要求维护三条路线的总时长不超过，请写出一种满足条件的维护顺序________． 【答案】 【详解】解：（1）按照的顺序维护，总时长最少为． （2）由（1）得，按照的顺序维护，总时长最少为； 按照的顺序维护，总时长为； 按照的顺序维护，总时长为； 按照的顺序维护，总时长为； 按照的顺序维护，总时长为； 按照的顺序维护，总时长为； 要求三条路线维护完成的总时长不超过，满足条件的维护顺序为或或（写出一种即可）． 1．下列式子中，积的符号为负的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、原式有2个负号，积的符号为正，不符合题意； B、原式有4个负号，积的符号为正，不符合题意； C、原式有一个因数为0，故积为0，不符合题意； D、原式有3个负号，积的符号为负，符合题意． 2．有理数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由数轴可知，， ∴，，且∴，故选项B正确， ∵，， ∴，故选项A错误， ∵，，故选项C、D错误． 3．运算结果大于1的选项是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：选项A：，， A不符合要求， 选项B：，， B不符合要求， 选项C：， ，， C符合要求， 选项D：，， D不符合要求． 4．数精确到时近似数是，那么的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】分两种情况讨论： ①若千分位数字舍去，可得千分位数字小于5，此时原数最大小于，即 ②若千分位数字进一，可得千分位数字大于等于5，进一后得到，因此原数最小为，即 ∴ 数的范围为． 5．如果，那么下列式子成立的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：， ，均为负数，且， 分子相同的两个负分数，分母的绝对值越大，分数值越大， ∴， 故A选项错误； ， ，均为负数， ∵两个负数相乘结果为正，可得，故B错误； ， ，均为负数，且， ∴，故C错误，D正确． 6．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 7．近几年时间，全球的新能源汽车发展迅猛，尤其对于我国来说，新能源汽车产销量都大幅增加．小明家新换了一辆新能源纯电汽车，他连续天记录了每天行驶的路程（如表）．以为标准，多于的记为“+”，不足的记为“-”，刚好的记为“0”． 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 路程（） (1)这7天里路程最多的一天比最少的一天多走______； (2)请求出小明家的新能源汽车这7天一共行驶了多少千米? (3)已知汽油车每行驶需用汽油升，汽油价元/升，而新能源汽车每行驶耗电量为度，每度电为元，请估计小明家换成新能源汽车后这天的行驶费用比原来节省多少钱? 【答案】(1) (2)千米 (3)元 【详解】（1）解： ∵ 7天的路程偏差中，最大值为，最小值为， ∴ 路程最多的一天比最少的一天多走 ． （2）解：∵ 7天的路程偏差总和为 ， 7天的标准总路程为 ， ∴ 七天总行驶路程为 ． （3）解：汽油车行驶的费用为 （元）， 新能源车行驶的费用为 （元）， 节省的费用为 （元）； 答：这7天的行驶费用比原来节省146.8元． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $