1.4.1 第三课时 空间中直线、平面的垂直 同步练习-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息**：分层递进设计，覆盖空间垂直关系从概念理解到综合应用再到拓展探究，强化抽象能力与空间观念。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|法向量性质、线面垂直判定、坐标运算|选择填空结合证明题，如法向量垂直计算（第1题），夯实概念与运算能力| |综合运用|折叠问题、动态点线关系、面面垂直证明|多知识点融合，如折叠后空间垂直判断（第12题），培养推理意识| |拓展提高|动态变量范围、存在性问题探究|含参数探究（第16题λ值），发展创新意识与理性精神|

第三课时　空间中直线、平面的垂直 一、基础巩固 1.已知平面α的一个法向量为a=(1,2,-2),平面β的一个法向量为b=(-2,-4,k),若α⊥β,则k=(　　) A.4 B.-4 C.5 D.-5 2.设a,b分别是两条直线a,b的方向向量,α,β是两个平面,且a⊥α,b⊥β,则“α⊥β”是“a⊥b”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.若直线l的方向向量为m,平面α的法向量为n,则能使l⊥α的是(　　) A.m=(0,2,1),n=(-1,0,1) B.m=(1,3,5),n=(1,0,1) C.m=(1,2,0),n=(-2,-4,0) D.m=(1,-1,3),n=(0,3,1) 4.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,若E为A1C1的中点,则直线CE垂直于(　　) A.AC B.BD C.A1D D.A1A 5.已知点A(0,1,0),B(-1,0,-1),C(2,1,1),P(x,0,z),若PA⊥平面ABC,则点P的坐标为(　　) A.(1,0,-2) B.(1,0,2) C.(-1,0,2) D.(2,0,-1) 6.如图,PA⊥平面ABCD,四边形ABCD为正方形,E为CD的中点,F是AD上一点,当BF⊥PE时,=(　　) A. B.1 C.2 D.3 7.(多选)已知点P是平行四边形ABCD所在平面外的一点,若=(2,-1,-4),=(4,2,0),=(-1,2,-1),则下列结论正确的有(　　) A.AP⊥AB B.AP⊥AD C.是平面ABCD的一个法向量 D.∥ 8.已知u=(a+b,a-b,2)是直线l的一个方向向量,n=(2,3,1)是平面α的一个法向量,若l⊥α,则ab=　　　　.  9.已知空间三点A(0,0,1),B(-1,1,1),C(1,2,-3),若直线AB上一点M,满足CM⊥AB,则点M的坐标为　　　　.  10.在三棱锥S-ABC中,∠SAB=∠SAC=∠ACB=90°,AC=2,BC=,SB=,则直线SC与BC是否垂直　　　　(填“是”或“否”).  11.如图所示,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,PD⊥底面ABCD,AD=PD,E,F分别为CD,PB的中点.求证:EF⊥平面PAB. 二、综合运用 12.(多选)如图,以等腰直角三角形ABC斜边BC上的高AD为折痕,把△ABD和△ACD折成互相垂直的两个平面后,某学生得出如下四个结论,其中正确的是(　　) A.·=0 B.AB⊥DC　 C.BD⊥AC D.平面ADC的法向量和平面ABC的法向量互相垂直 13.如图,已知点E,F分别是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱AB,AA1的中点,点M,N分别是线段D1E,C1F上的点,则与平面ABCD垂直的直线MN有　　　　条.  14.如图所示,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB⊥BC,AB=BC=2,BB1=1,点E为BB1的中点. 证明:平面AEC1⊥平面AA1C1C. 三、拓展提高 15.在直三棱柱A1B1C1-ABC中,∠BAC=,AB=AC=AA1=1.已知G,E分别为A1B1和CC1的中点,D,F分别为线段AC和AB上的动点(不包括端点).若GD⊥EF,则线段DF长度的取值范围为(　　) A. B. C.[1,) D. 16.如图,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,M,N分别是棱AB,AD,A1B1,A1D1的中点,点P,Q分别在棱DD1,BB1上移动,且DP=BQ=λ(0<λ<2). (1)当λ=1时,证明:直线BC1∥平面EFPQ; (2)是否存在λ,使平面EFPQ⊥平面PQMN?若存在,求出实数λ的值;若不存在,说明理由. 第三课时　空间中直线、平面的垂直 一、基础巩固 1.已知平面α的一个法向量为a=(1,2,-2),平面β的一个法向量为b=(-2,-4,k),若α⊥β,则k=(　　) A.4 B.-4 C.5 D.-5 答案　D 解析　∵α⊥β,∴a⊥b,∴a·b=-2-8-2k=0,∴k=-5. 2.设a,b分别是两条直线a,b的方向向量,α,β是两个平面,且a⊥α,b⊥β,则“α⊥β”是“a⊥b”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案　C 解析　a⊥α,b⊥β,则a是平面α的一个法向量,b是平面β的一个法向量, 则由a⊥b得α⊥β,必要性满足,反之若α⊥β,则法向量a⊥b,充分性满足,应是充要条件. 3.若直线l的方向向量为m,平面α的法向量为n,则能使l⊥α的是(　　) A.m=(0,2,1),n=(-1,0,1) B.m=(1,3,5),n=(1,0,1) C.m=(1,2,0),n=(-2,-4,0) D.m=(1,-1,3),n=(0,3,1) 答案　C 解析　直线l的方向向量为m,平面α的法向量为n,当m=(1,2,0),n=(-2,-4,0)时满足n=-2m,故正确. 对于A,B,D显然不存在向量共线的条件.故错误. 4.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,若E为A1C1的中点,则直线CE垂直于(　　) A.AC B.BD C.A1D D.A1A 答案　B 解析　建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz. 设正方体的棱长为1, 则A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),D(0,0,0),A1(1,0,1),C1(0,1,1),E, ∴=,=(-1,1,0),=(-1,-1,0),=(-1,0,-1),=(0,0,-1). ∵·=(-1)×+(-1)×+0×1=0,∴CE⊥BD. 5.已知点A(0,1,0),B(-1,0,-1),C(2,1,1),P(x,0,z),若PA⊥平面ABC,则点P的坐标为(　　) A.(1,0,-2) B.(1,0,2) C.(-1,0,2) D.(2,0,-1) 答案　C 解析　由题意知=(-1,-1,-1),=(2,0,1),=(x,-1,z), 又PA⊥平面ABC, 故·=(-1,-1,-1)·(x,-1,z)=0, 得-x+1-z=0.① ·=(2,0,1)·(x,-1,z)=0, 得2x+z=0,② 联立①②得x=-1,z=2, 故点P的坐标为(-1,0,2). 6.如图,PA⊥平面ABCD,四边形ABCD为正方形,E为CD的中点,F是AD上一点,当BF⊥PE时,=(　　) A. B.1 C.2 D.3 答案　B 解析　建立如图空间直角坐标系,设正方形ABCD的边长为1,PA=a, 则B(1,0,0),E,P(0,0,a). 设F(0,y,0),则=(-1,y,0),=. 因为BF⊥PE, 即·=(-1)×+y=0, 解得y=,即F是AD的中点, 故=1.故选B. 7.(多选)已知点P是平行四边形ABCD所在平面外的一点,若=(2,-1,-4),=(4,2,0),=(-1,2,-1),则下列结论正确的有(　　) A.AP⊥AB B.AP⊥AD C.是平面ABCD的一个法向量 D.∥ 答案　ABC 解析　因为·=-2-2+4=0, 所以⊥,所以AP⊥AB,A正确; 因为·=-4+4+0=0, 所以⊥,所以AP⊥AD,B正确; 因为AP⊥AB,AP⊥AD,AB∩AD=A, AB,AD⊂平面ABCD,所以AP⊥平面ABCD, 所以是平面ABCD的一个法向量,C正确; =-=(2,3,4), 设=λ=(-λ,2λ,-λ), 即此方程组无解,D错误. 8.已知u=(a+b,a-b,2)是直线l的一个方向向量,n=(2,3,1)是平面α的一个法向量,若l⊥α,则ab=　　　　.  答案　-5 解析　∵l⊥α,∴u∥n,∴==, ∴a=5,b=-1,从而ab=-5. 9.已知空间三点A(0,0,1),B(-1,1,1),C(1,2,-3),若直线AB上一点M,满足CM⊥AB,则点M的坐标为　　　　.  答案　 解析　设M(x,y,z),则由已知, 得=λ=λ(-1,1,0)=(-λ,λ,0). 又=(x,y,z-1),∴x=-λ,y=λ,z=1. ∴M(-λ,λ,1). 又·=0,=(-λ-1,λ-2,4),=(-1,1,0), ∴(-λ-1,λ-2,4)·(-1,1,0)=0, ∴(λ+1)+(λ-2)=0,λ=, ∴M点坐标为. 10.在三棱锥S-ABC中,∠SAB=∠SAC=∠ACB=90°,AC=2,BC=,SB=,则直线SC与BC是否垂直　　　　(填“是”或“否”).  答案　是 解析　如图,以A为坐标原点,平行于BC的直线为x轴,AC,AS所在直线分别为y轴、z轴建立空间直角坐标系, 则由AC=2,BC=, SB=,得B(-,2,0), S(0,0,2),C(0,2,0),=(0,2,-2), =(-,0,0). 因为·=0,所以SC⊥BC. 11.如图所示,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,PD⊥底面ABCD,AD=PD,E,F分别为CD,PB的中点.求证:EF⊥平面PAB. 证明　以D为坐标原点,DA的长为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系. 设E(a,0,0),其中a>0, 则C(2a,0,0),A(0,1,0), B(2a,1,0),P(0,0,1), F,=, =(2a,1,-1),=(2a,0,0), 所以·=0,·=0, 所以EF⊥PB,EF⊥AB, 又PB⊂平面PAB,AB⊂平面PAB, PB∩AB=B,所以EF⊥平面PAB. 二、综合运用 12.(多选)如图,以等腰直角三角形ABC斜边BC上的高AD为折痕,把△ABD和△ACD折成互相垂直的两个平面后,某学生得出如下四个结论,其中正确的是(　　) A.·=0 B.AB⊥DC　 C.BD⊥AC D.平面ADC的法向量和平面ABC的法向量互相垂直 答案　BC 解析　建立以D为坐标原点,分别以DB,DC,DA所在直线为x,y,z轴的空间直角坐标系(图略), 设斜边BC=2,则B(1,0,0),C(0,1,0),D(0,0,0),A(0,0,1),=(1,0,-1),=(0,1,-1),=(0,1,0),=(-1,0,0), 从而有·=0+0+1=1,故A错误; ·=0,故B正确; ·=0,故C正确; 易知平面ADC的一个法向量为向量=(-1,0,0),设平面ABC的法向量为n=(x,y,z),由·n=x-z=0,·n=y-z=0,令y=1,则x=1,z=1,故n=(1,1,1),·n=-1,故D错误. 13.如图,已知点E,F分别是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱AB,AA1的中点,点M,N分别是线段D1E,C1F上的点,则与平面ABCD垂直的直线MN有　　　　条.  答案　1 解析　假设存在满足条件的直线MN,建立空间直角坐标系如图所示,不妨设正方体的棱长为2, 则D1(2,0,2),E(1,2,0), 设M(x,y,z),=m(0≤m≤1), 所以(x-2,y,z-2)=m(-1,2,-2), x=2-m,y=2m,z=2-2m, 所以M(2-m,2m,2-2m), 同理,若设=n(0≤n≤1), 可得N(2n,2n,2-n), =(m+2n-2,2n-2m,2m-n), 又因为MN⊥平面ABCD, =(2,0,0),=(0,2,0), 所以·=0,·=0, 即解得 即存在满足条件的直线MN,有且只有一条. 14.如图所示,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB⊥BC,AB=BC=2,BB1=1,点E为BB1的中点. 证明:平面AEC1⊥平面AA1C1C. 证明　由题意得AB,BC,B1B两两垂直.以B为原点,BA,BC,BB1所在直线分别为x,y,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系. 则A(2,0,0),A1(2,0,1),C(0,2,0),C1(0,2,1),E, 则=(0,0,1),=(-2,2,0), =(-2,2,1),=. 设平面AA1C1C的法向量为n1=(x1,y1,z1). 则⇒ 令x1=1,得y1=1. ∴n1=(1,1,0). 设平面AEC1的法向量为n2=(x2,y2,z2). 则⇒ 令z2=4,得x2=1,y2=-1. ∴n2=(1,-1,4). ∵n1·n2=1×1+1×(-1)+0×4=0, ∴n1⊥n2,∴平面AEC1⊥平面AA1C1C. 三、拓展提高 15.在直三棱柱A1B1C1-ABC中,∠BAC=,AB=AC=AA1=1.已知G,E分别为A1B1和CC1的中点,D,F分别为线段AC和AB上的动点(不包括端点).若GD⊥EF,则线段DF长度的取值范围为(　　) A. B. C.[1,) D. 答案　A 解析　建立如图所示的空间直角坐标系, 则E,G, 设F(x,0,0),D(0,y,0)且x,y∈(0,1), 则=, =, 由于GD⊥EF,所以·=0, 即x+2y-1=0,x=1-2y, 所以||== =, 又因为x,y∈(0,1),所以1-2y∈(0,1), 得y∈,所以||∈, 即线段DF长度的取值范围为. 16.如图,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,M,N分别是棱AB,AD,A1B1,A1D1的中点,点P,Q分别在棱DD1,BB1上移动,且DP=BQ=λ(0<λ<2). (1)当λ=1时,证明:直线BC1∥平面EFPQ; (2)是否存在λ,使平面EFPQ⊥平面PQMN?若存在,求出实数λ的值;若不存在,说明理由. (1)证明　以D为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系.由已知得B(2,2,0),C1(0,2,2), E(2,1,0),F(1,0,0), P(0,0,λ),M(2,1,2),N(1,0,2),=(-2,0,2),=(-1,0,λ),=(1,1,0), =(-1,-1,0),=(-1,0,λ-2). 当λ=1时,=(-1,0,1), 因为=(-2,0,2), 所以=2,即∥, 又BC1与FP无公共点,所以BC1∥FP. 而FP⊂平面EFPQ,且BC1⊄平面EFPQ, 故直线BC1∥平面EFPQ. (2)解　假设存在符合题意的λ.设平面EFPQ的法向量为n=(x,y,z), 则由可得 于是可取n=(λ,-λ,1).同理可得平面PQMN的一个法向量为m=(λ-2,2-λ,1). 则m·n=(λ-2,2-λ,1)·(λ,-λ,1)=0, 即λ(λ-2)-λ(2-λ)+1=0, 解得λ=1±.故存在λ=1±, 使平面EFPQ⊥平面PQMN. 学科网（北京）股份有限公司 $