1.4.1 第3课时 空间中直线、平面的垂直 同步练习-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 分层清晰，梯度合理，通过基础巩固、综合应用到拓展探究的路径，强化空间向量与立体几何垂直关系的理解，培养空间观念与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |夯基础|直线/平面垂直的判定、法向量计算|以选择填空为主，如方向向量垂直判断（第1题）、法向量坐标计算（第3题），夯实概念理解| |提能力|垂直关系综合应用、折叠问题|含多选（第15题）和证明题（第17题），需结合线面垂直与面面垂直判定，提升知识迁移能力| |迎挑战|动态问题、存在性探究|如动点线段长度范围（第18题）、探究性证明（第19题），发展创新意识与逻辑推理|

人教A版选择性必修第一册同步练习 156个知识点 · 624道经典例题 ·215个题型集训 第一章　空间向量与立体几何 §1.4.1 第3课时：空间中直线、平面的垂直 同步分层作业 夯基础 固根基 · 强素养 1．（25-26高二上·湖南·阶段检测）若直线的方向向量分别为，则的位置关系是（ ） A．垂直 B．重合 C．平行 D．平行或重合 【答案】A 【分析】利用向量的数量积得到，故，从而得到结论. 【详解】，， ， 是直线的方向向量， 的位置关系是垂直. 故选：A. 2．（24-25高二下·江西·期中）已知三点，，则以为方向向量的直线与平面是（    ） A．垂直 B．不垂直 C．平行 D．以上都有可能 【答案】A 【详解】由题意，，，所以以为方向向量的直线与平面垂直，故选A. 3．（25-26高二上·全国·课后作业）两平面的法向量分别为，若，则的值是（　　） A．－3 B．6 C．－6 D．－12 【答案】B 【分析】由，可得，则，从而可求得结果. 【详解】因为两平面的法向量分别为，且， 所以，所以. 故选：B 4．（24-25高二上·广东·阶段检测）设a，b为两条直线，，为两个平面，且“，”，则是的（   ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】利用直线与平面、平面与平面的垂直关系判断. 【详解】因为，，且，所以, 又由，，，所以， 所以是的充要条件， 故选:A. 5．（25-26高二上·北京海淀·期中）若直线的方向向量为，平面的法向量为，则能使的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】由题可知，要使直线与平面垂直，即求直线的方向向量和平面的法向量共线即可，结合向量坐标即得. 【详解】直线的方向向量为，平面的法向量为，当，时满足， 对于A、B、D显然不存在向量共线的条件，故错误, 故选：C． 6．（25-26高二下·全国·单元测试）已知点A，B，C的坐标分别为(0，1，0)，(－1，0，－1)，(2，1，1)，点P的坐标是(x,0,y)，若PA⊥平面ABC，则点P的坐标是（    ） A．(－1，0，2) B．(1，0，2) C．(1，0，－2) D．(－1，0，－2) 【答案】A 【分析】由题意可得，，的坐标，再由PA⊥平面ABC，得，，即有，，由两向量垂直数量积为0，列出方程求解即可. 【详解】解：由题意可得，，， 又因为PA⊥平面ABC， ，平面ABC， 所以，， 即，， 所以， 即，解得， 所以点P的坐标. 故选：A. 7．（25-26高二上·河北沧州·阶段检测）如图，平面ABCD，四边形ABCD为正方形，E为CD的中点，F是AD上一点，当时，线段的比值是________． 【答案】2 【分析】建立空间直角坐标系，由即，求出的坐标，即可得出答案． 【详解】建立如图空间直角坐标系，设正方形的边长为1，， 则． 设，则， 因为，即，解得， 即是的中点，故． 故答案为：2． 8．（25-26高二上·山东·期中）（多选）已知点是平行四边形所在平面外一点，如果，，，下列结论正确的有（    ） A． B．∥ C．平面 D．四边形为矩形 【答案】AC 【分析】运用空间向量数量积的坐标运算结合垂直关系逐项分析判断. 【详解】由题意可知 都是非零向量， 对于A， ，即，故A正确； 对于C， ，即， 且 平面ABCD，， 所以 平面ABCD，故C正确； 对于B，因为 平面ABCD， 平面ABCD，所以，故B错误； 对于D，因为，即不垂直，故D错误； 故选：AC. 9．（24-25高二上·四川眉山·阶段检测）已知是直线l的一个方向向量，是平面α的一个法向量，若l⊥α，则a，b的值分别为________. 【答案】 【分析】根据空间线面垂直结合空间向量运算求解. 【详解】∵l⊥α，则∥， 则，解得. 故答案为：. 10．（24-25高二上·全国·课后作业）如图所示，在正方体中，是底面正方形的中心，是棱上一点，是的中点，则当________时，． 【答案】/ 【分析】以为原点，分别以，，所在直线为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，根据列式求解. 【详解】以为原点，分别以，，所在直线为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系， 设正方体的棱长为1，则，，． 设， 则，∴． ∴当时，与垂直． 故答案为： 11．（25-26高二上·山东济宁·阶段检测）（多选）在正方体中，若为的中点，则与直线不垂直的有（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【解析】建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，然后利用空间向量数量积运算求解. 【详解】建立如图所示的空间直角坐标系. 设正方体的棱长为1. 则，，，，，，， ∴，，，，. ∵， ， . . ∴与不垂直的有、、， 故选：ACD. 12．（25-26高二上·全国·课后作业）在三棱锥S－ABC中，∠SAB＝∠SAC＝∠ACB＝90°，AC＝2，BC＝，SB＝，则异面直线SC与BC是否垂直________．(填“是”或“否”) 【答案】是 【分析】建立空间直角坐标系，求出SC与BC的方向向量，求出数量积可作出判断. 【详解】如图，以A为坐标原点，AB，AS所在直线分别为y轴，z轴建立空间直角坐标系Axyz，则由AC＝2，BC＝，SB＝， 得，，， ， . 因为， 所以SC⊥BC. 故答案为：是 13．（25-26高二上·全国·课后作业）如图所示，在四棱锥中，底面为矩形，底面分别为的中点．求证：平面．    【答案】证明见解析 【分析】以为坐标原点，的长为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系，由空间向量数量积可得，可证得，再由线面垂直的判定定理即可证明. 【详解】以为坐标原点，的长为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系． 设，其中，则， 所以．所以． 所以．又平面平面， 所以平面．    提能力 综合用 · 善迁移 14．（25-26高二上·全国·课后作业）已知空间三点．若直线上存在一点，满足，则点的坐标为________；若空间中点满足平面，则符合条件的一个点的坐标是________． 【答案】 (答案不唯一). 【分析】设，表示出，由，解方程求出，即可求出点的坐标；先求出平面的法向量，设点的坐标为，则，即可求出点的坐标. 【详解】设，， ， ∴由题意，得， ． ∴点的坐标为． 设平面的法向量为， 则． 令，则．． 设点的坐标为，则． 由题知，，即． ∴点的坐标满足，其中． 令，则. 故答案为：；(答案不唯一). 15．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·开学考试）（多选）如图，以等腰直角三角形斜边上的高为折痕，把和折成互相垂直的两个平面后，某学生得出如下四个结论，其中正确的是（    ） A． B． C． D．平面的法向量和平面的法向量互相垂直 【答案】BC 【分析】对于A，判断直线AB 与AC是否垂直即可； 对于B，证明直线CD垂直平面ABD，从而有； 对于C，证明直线BD垂直平面ACD，从而有； 对于D，判断平面ADC与平面ABC是否垂直即可. 【详解】对于A，设AB = AC= t，平面ABD平面ADC，而BDAD， ADCD，则有为二面角的平面角，即∠BDC = 90°，则BC =BD= t，故，，故A错误； 对于B，平面ABD平面ADC，其交线为AD，又由CDAD，且CD含于面ADD,则CD面ABD，则有ABDC，故B正确； 对于C，同理可证BDAC，故C正确； 对于D，平面ADC与平面ABC不垂直，则平面ADC的法向量和平面ABC的法向量不能互相垂直，故D错误； 故选：BC. 16．（25-26高一下·天津河西·期末）如图，在正方体中，点分别是棱和线段上的动点，则满足与垂直的直线（    ） A．有且仅有1条 B．有且仅有2条 C．有无数条 D．不存在 【答案】C 【分析】过点作交于，过作交于，再证明平面，由点的任意性即可判断作答. 【详解】在正方体中，当点与重合时，取为，当点与重合时，取为， 由于平面，平面，又平面，平面， 有，此时， 当点为上除点、外的任意点时，过点作交于，过作的平行线，与的交点为，    因为平面，平面，则，有， 而，则，平面，因此平面， 又平面，则，由点的任意性知，与垂直的直线有无数条. 故选：C 17．（25-26高二上·全国·课后作业）如图所示，在直三棱柱中，分别为棱的中点．证明：平面平面． 【答案】证明见解析 【分析】以C为坐标原点，所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，设平面与平面的法向量分别为，求出，可得，即可证明. 【详解】如图，以C为坐标原点，所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系， 则， 所以． 设平面的法向量为， 则，即，令， 可得平面的一个法向量． 设平面的法向量为， 则，即，令， 可得平面的一个法向量． 因为， 所以， 所以平面平面． 迎挑战 拓思维 · 求突破 18．（24-25高二上·四川攀枝花·阶段检测）如图，在直三棱柱中，，，已知与分别为和的中点，与分别为线段和上的动点（不包括端点），若，则线段的长度的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直三棱柱中三条棱两两垂直，本题考虑利用空间坐标系解决.建立空间直角坐标系，设出的坐标，利用求得关系式，写出的表达式，然后利用二次函数求最值即可. 【详解】在直三棱柱中，底面， 以点为坐标原点，，、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、，设点、， ，， 由于，则，可得， ，则， . 故选：C. 19．（25-26高二上·陕西西安·阶段检测）如图，在棱长为2的正方体中，，，，分别是棱，，，的中点，点，分别在棱，上移动，且. (1)当时，证明：直线平面； (2)是否存在，使平面平面？若存在，求出实数的值；若不存在，说明理由. 【答案】(1) 以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下空间直角坐标系， 则、、、，， 所以，，则，故，即， 又平面，平面，因此平面； (2)存在，. 【分析】（1）建立空间直角坐标系，即可得到，从而得证； （2）求出面与面的法向量，由已知条件得出这两个平面的法向量垂直，结合求出实数的值，即可得解. 【详解】（1）略 （2）由（1）知、、、、， 设平面的一个法向量为，，， 由，可得，取，则， 设平面的一个法向量为，，， 由，可得，取，则， 当平面平面时，则. 所以，整理可得，，解得. 所以当时平面平面. 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 $人教A版选择性必修第一册同步练习 156个知识点 · 624道经典例题 ·215个题型集训 第一章　空间向量与立体几何 §1.4.1 第3课时：空间中直线、平面的垂直 同步分层作业 夯基础 固根基 · 强素养 1．（25-26高二上·湖南·阶段检测）若直线的方向向量分别为，则的位置关系是（ ） A．垂直 B．重合 C．平行 D．平行或重合 2．（24-25高二下·江西·期中）已知三点，，则以为方向向量的直线与平面是（    ） A．垂直 B．不垂直 C．平行 D．以上都有可能 3．（25-26高二上·全国·课后作业）两平面的法向量分别为，若，则的值是（　　） A．－3 B．6 C．－6 D．－12 4．（24-25高二上·广东·阶段检测）设a，b为两条直线，，为两个平面，且“，”，则是的（   ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 5．（25-26高二上·北京海淀·期中）若直线的方向向量为，平面的法向量为，则能使的是（    ） A．， B．， C．， D．， 6．（25-26高二下·全国·单元测试）已知点A，B，C的坐标分别为(0，1，0)，(－1，0，－1)，(2，1，1)，点P的坐标是(x,0,y)，若PA⊥平面ABC，则点P的坐标是（    ） A．(－1，0，2) B．(1，0，2) C．(1，0，－2) D．(－1，0，－2) 7．（25-26高二上·河北沧州·阶段检测）如图，平面ABCD，四边形ABCD为正方形，E为CD的中点，F是AD上一点，当时，线段的比值是________． 8．（25-26高二上·山东·期中）（多选）已知点是平行四边形所在平面外一点，如果，，，下列结论正确的有（    ） A． B．∥ C．平面 D．四边形为矩形 9．（24-25高二上·四川眉山·阶段检测）已知是直线l的一个方向向量，是平面α的一个法向量，若l⊥α，则a，b的值分别为________. 10．（24-25高二上·全国·课后作业）如图所示，在正方体中，是底面正方形的中心，是棱上一点，是的中点，则当________时，． 11．（25-26高二上·山东济宁·阶段检测）（多选）在正方体中，若为的中点，则与直线不垂直的有（    ） A． B． C． D． 12．（25-26高二上·全国·课后作业）在三棱锥S－ABC中，∠SAB＝∠SAC＝∠ACB＝90°，AC＝2，BC＝，SB＝，则异面直线SC与BC是否垂直________．(填“是”或“否”) 13．（25-26高二上·全国·课后作业）如图所示，在四棱锥中，底面为矩形，底面分别为的中点．求证：平面． 提能力 综合用 · 善迁移 14．（25-26高二上·全国·课后作业）已知空间三点．若直线上存在一点，满足，则点的坐标为________；若空间中点满足平面，则符合条件的一个点的坐标是________． 15．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·开学考试）（多选）如图，以等腰直角三角形斜边上的高为折痕，把和折成互相垂直的两个平面后，某学生得出如下四个结论，其中正确的是（    ） A． B． C． D．平面的法向量和平面的法向量互相垂直 16．（25-26高一下·天津河西·期末）如图，在正方体中，点分别是棱和线段上的动点，则满足与垂直的直线（    ） A．有且仅有1条 B．有且仅有2条 C．有无数条 D．不存在 17．（25-26高二上·全国·课后作业）如图所示，在直三棱柱中，分别为棱的中点．证明：平面平面． 迎挑战 拓思维 · 求突破 18．（24-25高二上·四川攀枝花·阶段检测）如图，在直三棱柱中，，，已知与分别为和的中点，与分别为线段和上的动点（不包括端点），若，则线段的长度的取值范围为（   ） A． B． C． D． 19．（25-26高二上·陕西西安·阶段检测）如图，在棱长为2的正方体中，，，，分别是棱，，，的中点，点，分别在棱，上移动，且. (1)当时，证明：直线平面； (2)是否存在，使平面平面？若存在，求出实数的值；若不存在，说明理由. 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 $