1.4.1 第1课时 空间中点、直线和平面的向量表示(Word练习)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（人教A版)

**基本信息** 聚焦空间向量表示的系统性训练，以向量运算为核心，构建方向向量、法向量的概念生成与应用逻辑链，强化几何直观与数学运算素养。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础巩固|10题|方向向量求法（向量坐标化简）、法向量判定（数量积为0）、单位向量计算（模长归一）|从点线面向量表示到位置关系判定，形成“概念→性质→应用”链条| |综合运用|5题|坐标系建系技巧、参数方程求点、法向量证明线面垂直|结合几何模型，实现向量运算与空间几何的转化，强化逻辑推理|

第一课时　空间中点、直线和平面的向量表示 （时间：60分钟　满分：105分） ［备注：单选、填空题5分，多选题6分］ 1.若A（－1，0，1），B（1，4，7）在直线l上，则直线l的一个方向向量为（　　） A．（1，2，3）　 B．（1，3，2） C．（2，1，3）　 D．（3，2，1） 2.下列各式中，k为实数，可以判定点P在直线AB上的是（　　） A．=＋k　 B．=＋k C．=＋k　 D．=＋k 3.已知平面α内有两点M（－2，3，1），N（2，4，1），若平面α的一个法向量为n=（6，a，6），则a=（　　） A．－　　 B．　　 C．－24　　 D．24 4.已知A（1，1，0），B（1，0，1），C（0，1，1），则平面ABC的一个单位法向量是（　　） A．（1，1，1）　 B．（，，） C．（，，）　 D．（，，－） 5.已知平面α内有一个点A（2，－1，2），α的一个法向量为n=（3，1，2），则下列点P中，在平面α内的是（　　） A．（1，－1，1）　 B．（1，3，） C．（1，－3，）　 D．（－1，3，－） 6.〔多选〕若是平面ABCD的法向量，且四边形ABCD为菱形，则以下各式成立的是（　　） A．⊥　 B．⊥ C．⊥　 D．⊥ 7.〔多选〕已知空间中A（0，0，0），B（2，1，0），C（－1，2，1）三点，则下列说法正确的是（　　） A．与是共线向量 B．与同向的单位向量是（，，0） C．在方向上的投影向量是（－2，－1，0） D．平面ABC的一个法向量是（1，－2，5） 8.在空间直角坐标系中，两平面α与β分别以n1=（2，1，1）与n2=（0，2，1）为其法向量，α⋂β=l，则直线l的一个方向向量为　　　　．（写出一个方向向量的坐标） 9.已知向量b=（－2，1，1），点A（－3，－1，4），B（－2，－2，2），若在直线AB上存在一点E，使得⊥b（O为原点），则点E的坐标为　　　　． 10.（13分）如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB=4，BC=3，CC1=2，=λ．以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系． （1）写出平面ABB1A1的一个法向量； （2）当λ=时，写出平面MCA1的一个法向量． 11.（2026•莆田质检）已知=（－3，1，2），平面α的一个法向量为n=（2，－2，4），点A不在平面α内，则直线AB与平面α的位置关系为（　　） A．AB⊥α B．AB⊂α C．AB与α相交但不垂直 D．AB∥α 12.已知直线l的一个方向向量为v=（1，－2，0），写出一个以（2，1，1）为起点，且垂直于直线l的单位向量的终点坐标为　　　　． 13.在空间直角坐标系Oxyz中，已知点A（－1，0，2），B（0，1，－1），点C，D分别在x轴、y轴上，AD⊥BC，那么||的最小值是　　　　． 14.（15分）棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1在空间直角坐标系中的位置如图所示． （1）求直线DB1的一个方向向量； （2）点P是过点D且以为方向向量的直线上的一点，且||=1，求点P的坐标． 15.（15分）已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，如果=（2，－1，－4），=（4，2，0），=（－1，2，－1）． （1）求证：是平面ABCD的法向量； （2）求平行四边形ABCD的面积． 第一课时　空间中点、直线和平面的向量表示 1.A　因为=（2，4，6），所以（1，2，3）是直线l的一个方向向量． 2.B　由点P在直线上的充要条件可得，B符合题意． 3.C　由题可得=（4，1，0），因为平面α的一个法向量为n=（6，a，6），所以n⊥，所以n•=（6，a，6）•（4，1，0）=6×4＋a×1＋6×0=0，解得a=－24. 4.B　设平面ABC的法向量为n=（x，y，z）．又=（0，－1，1），=（－1，1，0），则∴x=y=z，又∵单位向量的模为1，故只有B正确． 5.B　对于选项A，=（1，0，1），则•n=（1，0，1）•（3，1，2）=5≠0，故排除A；对于选项B，=（1，－4，），则•n=（1，－4，）•（3，1，2）=0，故B正确；同理可排除C、D． 6.ABC　由题意知PA⊥平面ABCD，所以PA与平面内的线AB，CD都垂直，A、B正确；又因为菱形的对角线互相垂直，可推得对角线BD⊥平面PAC，故PC⊥BD，C选项正确． 7.BCD　=（2，1，0），=（－1，2，1），=（－3，1，1），若与共线，设=λ，则方程组无解，故与不共线，A错误；与同向的单位向量是==（，，0），B正确；在方向上的投影向量是•=•=（－2，－1，0），C正确；设平面ABC的法向量是n=（x，y，z），则令y=－2，则n=（1，－2，5），D正确． 8.（，1，－2）（答案不唯一）　解析：设直线l的方向向量为d=（x，y，z），则所以令y=1，则z=－2，x=，所以直线l的一个方向向量为d=（，1，－2）． 9.（－，－，）　解析：设=t，则=＋=＋t=（－3，－1，4）＋t（1，－1，－2）=（－3＋t，－1－t，4－2t），因为⊥b，则•b=0，所以－2（－3＋t）＋（－1－t）＋（4－2t）=0，解得t=，因此存在点E，使得⊥b，此时=（－，－，），即点E的坐标为（－，－，）． 10.解：（1）因为x轴垂直于平面ABB1A1， 所以n1=（1，0，0）是平面ABB1A1的一个法向量． （2）因为AB=4，BC=3，CC1=2， λ=， 所以M（3，1，0），C（0，4，0），A1（3，0，2）． 因此=（－3，3，0），=（0，－1，2）． 设n2=（x，y，z）是平面MCA1的法向量， 则n2⊥，n2⊥． 所以 所以取y=2，则x=2，z=1. 于是n2=（2，2，1）是平面MCA1的一个法向量． 11.D　因为n•=2×（－3）＋（－2）×1＋4×2=0，所以n⊥．又点A不在平面α内，n为平面α的一个法向量，所以AB∥α，故选D． 12.（2，1，0）（答案不唯一）　解析：设终点坐标为（x，y，z），因为l的一个方向向量为v=（1，－2，0），以（2，1，1）为起点，且垂直于直线l的单位向量为（x－2，y－1，z－1），则满足 即可取x=2，y=1，z=0，故终点坐标为（2，1，0）． 13.　解析：设C（x，0，0），D（0，y，0）．∵A（－1，0，2），B（0，1，－1），∴=（1，y，－2），=（x，－1，1）．∵AD⊥BC，∴•=x－y－2=0，即x=y＋2.∵=（－x，y，0），∴||====≥（当y=－1时取等号）．故||的最小值为． 14.解：（1）由题意知D（0，0，0），B1（1，1，1），所以=（1，1，1），即直线DB1的一个方向向量是（1，1，1）． （2）设P（x，y，z），则=（x，y，z）， 因为点P在以为方向向量的直线上， 所以∥，设=λ，即有（x，y，z）=λ（1，1，1），所以x=y=z=λ， 又因为||=1， 所以=1， 即=1， 所以=1，所以λ=±， 所以点P的坐标是（，，）或（－，－，－）． 15.解：（1）证明：因为•=（－1，2，－1）•（2，－1，－4）=0，•=（－1，2，－1）•（4，2，0）=0， 所以AP⊥AB，AP⊥AD． 又AB⋂AD=A，AB，AD⊂平面ABCD，所以AP⊥平面ABCD． 所以是平面ABCD的法向量． （2）因为||==， ||==2， •=（2，－1，－4）•（4，2，0）=6， 所以cos〈，〉==， 故sin〈，〉=， S▱ABCD=||•||sin〈，〉=8 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $